2012中考试题抛物线与几何问题精选
2012年中考数学压轴题100题精选(71-80题)答案
2012年中考数学压轴题100题精选（71-80题）答案2 ba【071】解：（1）由题意得，解得13 2a 4 9a 3b c 0∴此抛物线的解析式为3b 3c 2 c 2 242分 y x 2x 33（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最ACBCBC△PBCPC PB小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点. ACx 1BAP y 设直线的表达式为ACy kx b E，k A O B x 则解得3 D2 3k b 0∴此直线的表达式为……5分b 2 b 2 P 2 C．344 （第24题图）把代入得∴点的坐标y x 2， 33 （3）为······································ 6分 ·x 1y P 1存在最大值·························································································7分S理由：∵即DE∥PC，DE∥AC．ODOE2 mOE∴∴即△OED∽△OAC． ， ．OCOA2333∴OE 3 mm，AE 3，OE 22方法一：OP连结△OED△POE△POD△OED四边形S S S S S SPDOE134113= 3 m 2 m 1 3 m 2 m·················································223222 332= ···········································8分m m423333m 1∵，∴当最大4424时， ·········································· 9分 0S方法二：S S S S S△OAC△OED△AEP△PCD1131341 =13 2 3 m 2 m m m2222232 33332 2= (8)分 m m m 1 424433∵，∴当时，··························································9分m 1 0S 最大448【072】解：（1）①，，，S=12 OC 4OA 4AB 2OABC梯形2②当时，直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积2 t 4l1228 （2）存S 12 (4 t) 2( 4t )t t8 4在，,4),P(4,4),P(8,4)P( 12,4),P( 4,4),P( 451233对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：① 以点D为直角顶点，作轴PP x1 设.（图示阴影）， 在Rt OD E中，OE 2OD， OD b，OE 2bRt ODE Rt PPD1，在上面二图中分别可得到点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）E点在0点 b ，2b 8P与A点之间不可能；② 以点E为直角顶点8同理在②二图中分别可得点的生标为P（－，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能. P3③ 以点P为直角顶点同理在③二图中分别可得点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），PE点在A点下方不可能. 8综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、P3P（8，4）、P （4，4）．下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论（分三类）：第一类如上解法⑴中所示图此时D（-b,o)，E(O,2b) P为直角：设直线DE：y 2x 2b，b1b3b，直线的中垂线方程：，令得．由的中点坐标为(-,b)y b (x )P( 8,4)DEy 4 2222 3 222222 (b 8) (4 2b) b 4b 已知可得即化简得解2PE DE3b 32b 64 0283b 得 ； P( 4,4)b 8，b 将之代入P （-8，4） P （4，4)、 121232 第二类如上解法②中所示图此时D （-b,o)，E(O,2b) E 为直角：设直线DE ：y 2x 2b ，1，直线的方程：，令得．由已知可得即y x 2bPEPE DEP(4b 8,4)y 4 2 222222化简得解之得 ，(4b 8) (4 2b) b 4bb (2b 8)48 b 4，b ,4)将之代入P （4b-8，4） P （8，4)、P( 123433 第三类如上解法③中所示图此时D （-b,o)，E(O,2b) D 为直角：设直线DE ：y 2x 2b ，1，直线的方程：，令得．由已知可得即y (x b)PDPD DEP( b 8,4)y 4 2 2222 解得8 4 b 4b （-b-8，4） P （-12，4)、b 4，b 4将之代入P512． （与重合舍去）P( 4,4)P( 4,4)P6628综上可得点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－，4）、 P 3P （8，4）、P （4，4）． 事实上，我们可以得到更一般的结论： b a 如果得出设，则P 点的情形如下 AB a 、OC b 、OA h 、k h 直角分类情形 k 1k 1 P(h,h)1 P( h,h) P 为直角1 P( h,h)2hk P( ,h)3h1 k P( ,h) E 为直角2hk2 P(,h)4k 1 P( h(k 1),h)P(0,h)53 D 为直角 P( 2h,h)P( h(k 1),h)46 【073】(1)∵∠A 、∠C 所对的圆弧相同，∴∠A ＝∠C ． APPD ∴Rt △APD ∽Rt △CPB ，∴，∴PA·PB ＝PC·PD ；………………………3分 CPPB(2)∵F 为BC 的中点，△BPC 为Rt △，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：222222∴OM＝(2)－4＝4，ON＝(2)－3＝11 55 y 又易证四边形MONP是矩形， O l 3O P 2O 2260°∴OP＝ OM ON 151 B D D x O A 1 C （第22题答图）点坐标为．在中，，Rt△AOC OAC 60° A ( 12，【074】（1）解：由题意得，OA | 4| |8| 12设直线的解析式为，由过两点的坐标为． C(0， 123) 123 b0) OC OAtan OAC 12 tan60° 123b 123 解得直线的解析式为：． ly 3x 123 k 3 点，得 A、Clly kx b 0 12k b（2）如图，设平移秒后到处与第一次外切于点，⊙O⊙O⊙O t P231与轴相切于点，连接．则x OO OP PO 8 5 13在⊙ODOO，OD1313113313轴，， OD⊥x OD 531312222OD OO OD 13 5 12中，．····································6分Rt△OOD111331131，，（秒）平移的时间为5OD OO OD 4 13 17 DD OD OD 17 12 51111115秒． ····························································· 8分 ⊙O t 521【075】解：（1）对称轴是直线：， x 1点A的坐标是（3，0）．···························································· 2分（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分）（2）如∵点ADC的坐标分别图11，连接AC、AD，过D作于点M，DM y 轴△AOC∽△CMD解法一：利用、、、， a b b是 A （3，0），D（1，）C（0），AOOC3b3 ab 0∴AO＝3，MD=1．由得∴·············································3分∴函数解析式0 2CMMDa13 ab 0a 1 2又∵∴由得0 a ( 1) 2a ( 1) b b 33a b为： ·········································································· 6分 y x 2x 3解法二：利用以AD为直径的圆经过点C ∵点A、D的坐标分别是A （3，0）、D（1，）、C（0，）， a b b222222∴，，∵∴…① 又AC 9 bCD 1 aAD 4 ( a b)AC CD AD2∵…②···········································4分由①、②得∴函数解析式3 ab 00 a ( 1) 2a ( 1) b2为：·······························6分a 1，b 3y x 2x 3（3）如图所示，当BAFE为平行四边形时，则∥，并且＝． BAEFBAEF ∵=4，∴=4 ，由于对称为，∴点F的横坐标为5． ·························· 7分 x 1BAEF2 E 将根据抛物线的对称代入得，∴F（5，12）． F x 5y x 2x 3y 12 y性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F，使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（，12）． 3当四边形BEAF是平行四边形时，点F即为点D，此时点F的坐标为（1，）． 4综上所述，点F的坐标为（5，12）， O A B x （，12）或（1，）． 3 4【076】解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB， C 又D（5，2），∴C（0，2），OC=2 .图11 ∴解得 2 1 2 5 5 m n 2 D 5n 2 mn 22 152 ∴抛物线的解析式为：…… 4分y x x 222（2）点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分152由y = 0，得. 解得x=1，x=4.∴A（4，0），B（1，0）. x x 2 01222 ∴OA=4，OB=1. 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，∴点E的坐标为（3，－1）. 151522把x=3代入，得，2222（3）法一：∴点E在抛物线上. y x x 2y 3 3 2 1存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1. S=5，S= 3，记S= S，S= S， BCGF ADGF BCQP 1ADQP 2梯形梯形梯形梯形1 下面分两种情形：①当S∶S=1∶3时，，S (5 3)2 512 14PFEF1此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，由△EPF∽△EQG，得，则QG=9 QGEG319－3a，∴CQ=3－(9－3a) =3a －6，由S=2，得，解得；(3a 6 a 1) 2 2a 1243②当S∶S=3∶1时，此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－S (5 3) 6 51214，3，由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，913113由S= 6，得，解得，综上所述：所求点P的坐标为24440）……… 14分（，0）或（，(3a 6 a 1) 2 6a 1法二：存在点P（a，0）. 记S= S，S= S，易求S= 8. BCQP 1ADQP 2ABCD 梯形梯形梯形当PQ经过点F（3，0）时，易求S=5，S= 3，此时S∶S不符合条件，故a≠3. 12 121 k，则，解得设直线PQ的解3k b 1 a 3k≠0 y = kx+b()析式为， aak b 0 b∴. 由y = 2得xa 3 1a= 3a－6，∴Q（3a－6，2）……… 10分 y x a 3a 31∴CQ1211= 2；= 3a－6，BP = a－1，. (3a 6 a 1) 2 4a 7S下面分两种情形：①当S∶S= 1∶3时，S 8S 12 1梯形ABCD449－∴4a7 = 2，解得； (12)分a 43313－②当S∶S= 3∶1时，；∴4a7 = 6，解得；1梯形ABCD444913，0）………… 14分综上S 8 6S a 12所述：所求点P的坐标为（，0）或（44913[说明：对于第（3）小题，只要考生能求出或两个答案，就给6分. ] a a 443【077】解：（1）把B（0，6）代入，得＝6 (1)分my m43 把＝0代入，得＝8 xy 6y4∴点A 的坐标为（8，0）…………… 3分 B'PCP（2）在矩形OACB中，AC ＝OB＝6，BC＝OA＝8，∠C＝90°GDQ∴AB＝FIE'JM∵PD⊥AB∴∠PDB=∠C＝2222AC BC 6 8 1090° OMEABDBD8BC，∴∴cos CBA BPa10BA 44∴BD aAD 10 a55又∵BC∥AE，∴△PBD∽△EAD4a10 AEAEAD54a5∴，即，∴ AE (10 ) 12.5 a 4aaBPBD45511∵，∴梯形PEAC22S (PC AE)ACs (8 a 12.5 a)6 6a 61.5（）……………………………7分（注：写成不扣分） o a 8o a 8② ⊙Q是△OAB的内切圆，可设⊙Q的半径为r 11∵,解得OAB22、、r=2.………………………………………8分 S (6 8 10)r 6 8设⊙Q与OBABOA分别切于点F、G、H 可知，OF＝2∴BF＝BG＝OB－OF＝6－2＝4，设直线PD与⊙Q交于点I、J ，过Q作QM⊥IJ于点1M，连结IQ、QG，∵QI＝2， IM IJ 1.2222 ∴∴在∴BD＝矩形GQMD中，GD＝QM＝1.6 QM QI IM 1.6BDBC85BG+GD＝4+1.6＝5.6，由，得 cos CBA BP BD 7 BPBA104∴点P的坐标为（7，6）…………………………………………………………………11分当PE在圆心Q的另一侧时，同理可求点P的坐标为（3，6）………………………12分综上，P点的坐标为（7，6）或（3，6）．………………………………………………13分。
2012年河南中考试题数学
22.（10分）类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研
究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。
原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点
BF的延长线交射线CD于点G。若，求的值。
1 尝试探究
在图1中，过点E作EH//AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是
足 21%
1
这次接受图随1 机抽样调查的项市目 民总人数为
2 图1中m的值是
;
图2
;
3 求图2中认为“烟民戒烟的毅力弱”所对应的圆心角的度数； 4 若该市18∼65岁的市民约有200万人，请你估算其中认为导致吸烟人口
比例高的最主要原因是“对吸烟危害健康认识不足”的人数。
18.（9分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边
两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D，
则∠ADC的度数为
。
C G
F D
A
E
B
第10题
11.母线长为3，底面圆的直径为2的圆锥的侧面
积为
.
12.一个不透明的袋子中装有三个小球，它们除
分别标有的数字1、3、5不同外，其它完全相
同。任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸
出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的
△AEF为直角三角形时，BD的长为
.
A`
E
B
D
F
C
第15题
三、解答题（本大题8个小题，满分75分）
16.（8分）先化简
，
然后从的范围
内选取一个合适的整数作为x
的值代入求值。
17.（9分）5月31日是世界无烟日，某市卫生机构为了了解“导致吸烟人口 比例高的主要原因”，随机抽样调查了该市部分18∼65岁的市民，下图是根
初三抛物线试题大全及解析
初三抛物线试题大全及解析一、抛物线的基本概念抛物线是一种重要的几何图形，它在中考数学试题中占有重要地位。
抛物线通常由一条直线和一个二次曲线组成，它可以用来描述一些常见的数学问题，如二次函数、几何问题等。
二、抛物线试题类型1. 已知抛物线解析式求未知量2. 抛物线的性质与应用3. 抛物线的形状与开口方向、对称轴、顶点坐标的关系4. 抛物线与方程的综合题5. 与抛物线有关的实际问题三、抛物线试题解析【例1】（基础题）已知抛物线解析式为y=x²-2x-3，请回答下列问题：（1）求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？【解析】（1）因为a=1>0，所以抛物线开口向上。
对称轴为直线x=-b/2a=-(-2)/2=1，顶点坐标为（1，-4）。
（2）因为对称轴为直线x=1，且开口向上，所以当x>1时，y随x的增大而增大。
【例2】（提高题）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（1，0），B（0，-6），C（2，-4）三点，求这个二次函数的解析式。
【解析】由题意可设y=ax²+bx-6，把C（2，-4）代入得4a+2b-6=-4，即b-a=1。
再由点A（1，0）在抛物线上可求c值，即可得到二次函数的解析式。
【答案】解：由题意可设y=ax²+bx-6。
把C（2，-4）代入得4a+2b-6=-4，即b-a=1。
又因为图像经过A（1，0），B（0，-6），所以y=x²+x-6。
【例3】（压轴题）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（0，5），B（1，3），C（-2，7）三点。
求这个二次函数的解析式和图像的对称轴。
【解析】这道题需要用到待定系数法。
首先根据条件确定系数可能取到的值，再代入求出解析式。
然后根据对称性求出对称轴。
【答案】设这个二次函数的解析式为y=a(x-h)²+k，将A（0，5），B（1，3），C（-2，7）三点代入得{c=5a+b+c=39a−2a+k=7解得{a=2k=5∴y=2(x−1)2+3图像的对称轴为直线x=1。
抛物线练习题
抛物线习题精选精讲（１)抛物线——二次曲线的和谐线ﻩ椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章.【例1】P 为抛物线px y 22=上任一点,Ｆ为焦点,则以P Ｆ为直径的圆与y 轴（ ).A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,准线是 :2pl x =-.作PH ⊥l 于H,交y 轴于Q,那么PF PH =， 且2pQH OF ==．作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的中位线,()111222MN OF PQ PH PF =+==．故以ＰF 为直径的圆与y 轴相切,选B ．【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则 分别是相离或相交的.（2)焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】 过抛物线()022p px y =的焦点Ｆ作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点,求证:pBF AF 211=+ （1）12AB x x p =++ （2）【证明】（1)如图设抛物线的准线为l ，作1AA l ⊥11111,2pA BB l B AA x ⊥==+于，则AF ， 122pBF BB x ==+.两式相加即得：12AB x x p =++（2)当AB ⊥x 轴时,有AF BF p ==，112AF BF p∴+=成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为:2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.代入抛物线方程:l XY FA(x,y)11B(x,y)22A 1B 1l2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得:()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为ｘ1,x 2，∴1224k x x ⋅=.()122111212121111112224x x p p p p p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=+++++ ()()121222121222424x x p x x p p p p pp x x p x x ++++===+++++. 故不论弦AB 与x 轴是否垂直,恒有pBF AF 211=+成立.（3)切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线22y px =上一点M(x 0，y 0）的切线方程是：y ０ｙ=p(x+x 0)【证明】对方程22y px =两边取导数：22.py y p y y''⋅=∴=，切线的斜率 00x x p k y y ='==.由点斜式方程：()()20000001p y y x x y y px px y y -=-⇒=-+20021y px =，代入（）即得： ｙ0y=p （x+ｘ0）(4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点 ( ）()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -显然．本题是例1的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选Ｂ. 2.抛物线22y px =的通径长为2p ；３．设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ,那么：212y y p =-以下再举一例【例4】设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是Ａ1Ｂ1，证明:以Ａ1B 1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么A 1B 1=A Ｂ=2p ，而Ａ１Ｂ１与AB 的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对A Ｂ的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为()()1122,,,A x y B x y ， 那么:22121112.y y p CA CB y y p =-⇒⋅==设抛物线的准线交x 轴于Ｃ，那么.CF p =2111111.90A FB CF CA CB A FB ∴∆=⋅∠=︒中故.这就说明：以A 1B １为直径的圆必过该抛物线的焦点.● 通法 特法 妙法（１）解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等)． 【例5】(07.四川文科卷.１0题）已知抛物线y=-ｘ2+3上存在关于直线ｘ+y=0对称的相异两点Ａ、B ，则|AB ｜等于（ ）A.3B.4C.32 D ．42 【分析】直线ＡB 必与直线x+ｙ＝０垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】∵点A 、Ｂ关于直线ｘ+y=0对称，∴设直线AB 的方程为：y x m =+. 由()223013y x mx x m y x =+⎧⇒++-=⎨=-+⎩设方程(1）之两根为x 1，ｘ2,则121x x +=-． 设AB 的中点为M （x ０,y 0）,则120122x x x +==-.代入x+ｙ=0:ｙ０＝12.故有11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 从而1m y x =-=．直线ＡB 的方程为:1y x =+.方程（1)成为:220x x +-=.解得:2,1x =-，从而1,2y =-,故得:A(-2,－１）,B （１,２).AB ∴=,选C.(2)几何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例６】(0７．全国1卷．1１题)抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F的直线与抛XYAB FA 1B 11M C XOY ABMl x y +=ÿ物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥,垂足为K ，则AKF △的面积（ )A.4Ｂ． C． D ．8 【解析】如图直线AF时∠A ＦX ＝６０°. △ＡFK 为正三角形.设准线l 交x 轴于M,则2,FM p ==且∠ＫFM=60°，∴24,4AKFKF S ∆===选C. 【评注】(1)平面几何知识：边长为a 的正三角形的面积用公式24S a ∆=计算. (2）本题如果用解析法,需先列方程组求点Ａ的坐标,，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做,反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.７题)双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的线为l ,焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ）A.1-ﻩ B ．1ﻩ C ．12-Ｄ．12【分析】 这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上,那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半 焦距ｃ,离心率为e ，作 MH l H ⊥于，令1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上，1112222,MF MF r MH MF r e MH MF r ∴=====故，这就是说:12||||MF MF 的实质是离心率e.其次，121||||F F MF 与离心率ｅ有什么关系?注意到： ()1212111122111F F e r r c e a e e MF r r r e +⋅⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭. XY O F(1,0)AK60°Y2=2px L:x=-1M这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于()12112||||11||||F F MF e e MF MF -=-+=-.∴选 A ．.(４）三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的．因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例8】（0７．重庆文科．21题）如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F,且与抛物线交于A 、B 两点。
2012年中考压轴题精选(12)
2012年中考压轴题精选（12）1、定义：P 、Q 分别是两条线段a 和b 上任意一点，线段PQ 长度的最小值叫做线段a 与线段b 的距离.已知O(0，0)，A(4，0)，B(m ，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点. （1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC 与线段OA 的距离是_ ____； 当m=5，n=2时，如图2，线段BC 与线段OA 的距离(即线段AB 的长)为____ __； （2）如图3，若点B 落在圆心为A ，半径为2的圆上，线段BC 与线段OA 的距离记为d ，求d 关于m 的函数解析式； （3）当m 的值变化时，动线段BC 与线段OA 的距离始终为2，线段BC 的中点为M. ①求出点M 随线段BC 运动所围成的封闭图形的周长； ②点D 的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH ⊥x 轴,垂足为H ，是否存在m 的值，使以A 、M 、H 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
班级____________________ 姓名____________________………………密………………………………………………封………………………………………………线………………2、如图，经过原点的抛物线2y x 2mx(m 0)=-+>与x 轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM x ⊥轴于点M ，交抛物线于点B.记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （B 、C 不重合）.连结CB,CP 。
（1）当m 3=时，求点A 的坐标及BC 的长；（2）当m 1>时，连结CA ，问m 为何值时CA ⊥CP ？（3）过点P 作PE ⊥PC 且PE=PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并写出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由。
3、在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．4、如图1，已知直线y=kx 与抛物线2422y=x +x 273交于点A （3，6）． （1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD ．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？答案1、解：（1）2（2）∵点B 落在圆心为A ，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。
神奇的抛物线——与抛物线一个几何模型有关的试题探究
【 １ 直 方 ｍ ， Ｙ ｐ ／ ， 、设 线 程 ：ｙａ与 ２ 婴 ， ＋ ＝ｘ
２ ｐ ｚ
正 好是 准线 ！亦 即两 条切 线交 点一 定落在 准 线 上 ！
联立得 Ｙ － ｐ ｙ ２ ａ ０ ． ・ ： ２ａ’＿ｒ 叫 ， ２ｍ 一 ｐ ＝ Ｙ Ｙ －ｐ ． ＝ ｌ２ ． ｘ
・ ． ．
豸２＂ ＝，）。。．一 ￣Ｙ （＋ ＝ 一Ｄ Ｙｌ Ｙｐ Ａ ， －（ ｌ ２ Ｏ 一 ＿ ／ ／ Ｏ
Ａ， ０ ， Ｄ 三点共 线 ．
又 ／ Ｅ＋／Ｅ Ｏ＋ＺＢ Ｄ＋ＺＤＦＯ ＝１ ０ ＿ ＡＦ Ｆ Ｆ ８。
． ．
ＺＥＦＯ ＋ＺＤＦＯ ＝９ 。， ． ＥＦ －ＤＦ ． ０ 。 ． Ｊ
切线 Ａ Ｔ的方程 ：Ｙ Ｙ ＝ｅ（— ｉ 切 线 Ｂ — ， －－ Ｘ）， －ｘ Ｔ的 方程 ：Ｙ ２ －－ｘ ： ，联 立这 两个 方程 ，求得点 —Ｙ ＝ｅ（－ｘ） －
Ｊ ，
／ 、
Ｔ 坐 ｐ ， Ｚ ／ ， 的 标ｆ Ｉ 又同（ ） 证明： ★ 处 ｚ
Ｙ・２ 一 ． ： ， ｌ ＝Ｐ Ｙ ｘ 一 故点 Ｔ ｒ 的轨迹是直线 ＝ ， 一
＋ ： — ｍ ：—
・
ｃ
・
一
３
（ ） １ 当线段 Ｍ １ Ｎ的长度最小时， 在椭 圆ｃ上是
１
． ‘
・ ． ． ．
ｍ … ＝ 一 ＋
＋ ｍ １ 一ｌ≥ ６一 １＝ ， ＋Ｉ ＋ ） ＝ ５ 。
＋１
ｍ ＋１
、
否存在这样的点 ， 使得ＡＳ ＴＢ的面积为｛？若存在，
・
．
．
联想到普通高中数学课程标准实验教科书数学 选修 ２１（ — 人教版）Ｐ ５阅读与思 ７ 考 中介 绍 的抛 物 线 的 光 学性 质 ：
2012年数学中考压轴题分类5 ——几何图形与动点问题
2012年数学中考压轴题分类5 ——几何图形与动点问题1．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？2．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E，G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EF G的面积为S（cm2）．（1）当t＝1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围．（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由．Array（第24题图）3.如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=8cm,BC=4cm,D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE.点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动,到点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动.当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上.设点P的运动时间为t（s）.（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为cm（用含t的代数式表示）.（2）当点N落在AB边上时，求t的值.（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式.（4）连结CD.当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中点处.直接写出在点P的整个运动过程中,点H落在线段CD上时t的取值范围.4．(12分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．5．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．6、已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运到，连结DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连结OP，ON。
2012中考数学压轴题及答案40例(7)
∴yB＝a()2＝ 5分 设抛物线F2的对称轴与x轴交于点P，如图1． ∵a＞0，∴BP＝． ∵顶点N（，－），∴NP＝|－|＝． ∴BP＝NP． 6分 ∵抛物线是轴对称图形，∴OP＝AP． ∴四边形ABMN是平行四边形． 7分 ∵BN是抛物线F2的对称轴，∴BN⊥OA． ∴四边形ABMN是菱形． 8分 ∵BN＝BP＋NP，∴BN＝． ∵四边形ABMN的面积为×OA·BN＝×|m|× ∴当m＞0时，四边形ABMN的面积为×m×＝． 9分 当m＜0时，四边形ABMN的面积为×(－m)×＝－． 10 分 （3）点C的坐标为（0，＋c）（参考图2）．
＝(yD－yP)(xB－xA) ＝[(x＋)－(x 2＋x)](1＋2) ＝－x 2－x＋ ＝－(x＋)2＋ ∴当x＝－时，△PAB的面积有最大值，最大值为． 8分 此时yP＝×(－)2＋×(－)＝－． ∴此时P点的坐标为(－，－)． 9分
∴直线ON的解析式为y＝－x．
由x＝－x 2＋x，得x1＝0，x2＝6． ∴N(6，－3)． 过点N作NC⊥x轴于C． 在Rt△BCN中，BC＝6－4＝2，NC＝3 ∴NB＝＝． ∵OB＝4，∴NB≠OB，∴∠BON≠∠BNO，∴△OBN与 △OAB不相似． 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 点． ∴在x轴下方的抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相 似． 10分 31.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段 OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长 最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么
2012中考数学试题及答案分类汇编：平面几何基础
2012中考数学试题及答案分类汇编：平面几何基础一、选择题1.（河北省2分）如图,∠1+∠2等于A、60°B、90°C、110°D、180°【答案】B。
【考点】平角的定义。
【分析】根据平角的定义得到∠1+90°+∠2=180°,即由∠1+∠2=90°。
故选B。
2.（河北省3分）已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数则这样的三角形个数为A、2B、3C、5D、13【答案】B。
【考点】一元一次方程组的应用,三角形三边关系。
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边,两边差小于第三边,得213132x >x <+⎧⎨+⎩,解得,11＜x ＜15,所以,x 为12、13、14。
故选B 。
3.（山西省2分）如图所示,∠AOB 的两边、OA 、OB 均为平面反光镜,∠AOB=35°,在OB 上有一点E,从E 点射出一束光线经OA 上的点D 反射后,反射光线DC 恰好与OB平行,则∠DEB 的度数是A 、35°B 、70°C 、110°D 、120°【答案】B 。
【考点】平行线的性质,入射角与反射角的关系,三角形内角和定理,等腰三角形的性质。
【分析】过点D 作DF ⊥AO 交OB 于点F,则DF 是法线,根据入射角等于反射角的关系,得∠1=∠3,∵CD ∥OB,∴∠1=∠2（两直线平行,内错角相等）。
∴∠2=∠3（等量代换）；在Rt △DOF 中,∠ODF=90°,∠AOB=35°,∴∠2=55°；∴在△DEF 中,∠DEB=180°－2∠2=70°。
故选B 。
4.（山西省2分）一个正多边形,它的每一个外角都等于45°,则该正多边形是A 、正六边形B 、正七边形C 、正八边形D 、正九边形【答案】C 。
2012年中考压轴题
1.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求的长．2.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB＝x，AD＝y(1)求y与x的函数关系式；(2)若∠APD＝45°，当y＝1时，求PB•PC的值；(3)若∠APD＝90°，求y的最小值．3.我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y＝ax2＋b x(a≠0) (1)对于这样的抛物线：当顶点坐标为(1，1)时，a＝________；当顶点坐标为(m，m)，m≠0时，a与m之间的关系式是________(2)继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y＝kx(k≠0)上，请用含k的代数式表示b；(3)现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y＝x上，横坐标依次为1，2，…，n(为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长．4.如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．(1)若OC＝5，AB＝8，求tan∠BAC；(2)若∠DAC＝∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．5.如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的图象与x 轴相交于O、A两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．24.如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．6.我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．已知平行四边形ABCD，∠A＝60°，AB＝2a，AD＝a．(1)把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明(见题答卡表格里的示例)；要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．示例(2)图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．7.如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的图象与x 轴相交于O、A两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．.已知AB是⊙O的直径，AB＝4，点C在线段AB的延长线上运动，点D 在⊙O上运动(不与点B重合)，连接CD，且CD＝OA．(1)当时(如图)，求证：CD是⊙O的切线；(2)当时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．①当D为CE中点时，求△ACE的周长；②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．9.已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0，a≠c)过点A(1，0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限．(1)使用a、c表示b；(2)判断点B所在象限，并说明理由；(3)若直线y2＝2x＋m经过点B，且于该抛物线交于另一点，求当x≥1时y1的取值范围．10.如图，在平面直角坐标系中，顶点为(3，4)的抛物线交y轴于A点，交x 轴于B、C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，－5)．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；(3)在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O半径为2，，求AD的长．12.如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．13.如图，抛物线y＝ax2＋b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为(1，0)，与y 轴交于点C(0，1)．(1)求抛物线的解析式，并求出点B坐标；(2)过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ACBD的周长；(结果保留根号)(3)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点C(0，1)，顶点为Q(2，3)，点D在x轴正半轴上，且OD＝OC．(1)求直线CD的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；(4)在(3)的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．1.如图，二次函数的图象与x轴交于点A(－3，0)和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．(1)请直接写出点D的坐标：________；(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；(3)是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．16.如图，已知一次函数y＝0.5x＋2的图象与x轴交于点A，与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式；(2)设一次函数y＝0.5x＋2的图象与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．17.根据要求，解答下列问题：(1)已知直线l1的函数表达式为y＝x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；(2)如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°．①求直线l3的函数表达式；②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．(3)分别观察(1)(2)中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线垂直的直线l5的函数表达式．18.如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图象与坐标轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．(1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；(2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？19.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数(x＞0)图象上任意一点，以P 为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．(1)求证：线段AB为⊙P的直径；(2)求△AOB的面积；(3)如图2，Q是反比例函数(x＞0)图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DO•OC＝BO•OA．20.如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，，BE＝2．求证：(1)四边形FADC是菱形；(2)FC是⊙O的切线．21.已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？(3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．22.如图，抛物线与y轴交于点C(0，－4)，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为(2，0)(1)求该抛物线的解析式．(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．23、函数的运用题(30题10分).如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为(－6，n)，线段OA＝5，E为x轴正半轴上一点，且(1)求反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积．24.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．(1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．25.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；(3)在(2)的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．11。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012数学中考试题抛物线与几何问题精选 1、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线33yx与x轴交于点A，与y
轴交于点C，抛物线223(0)3yaxxca经过ABC，，三点． （1）求过ABC，，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P，使ABP△为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF△的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）直线33yx与x轴交于点A，与y轴交于点C． (10)A，，(03)C， 点AC，都在抛物线上， 23033acc
333ac
抛物线的解析式为2323333yxx顶点4313F，
（2）存在1(03)P，2(23)P， （3）存在 理由： 延长BC到点B，使BCBC，连接BF交直线AC于 点M，则点M就是所求的点．
过点B作BHAB于点H． B点在抛物线2323333yxx上，(30)B，
A O x y B F C
A O x y B F C
图9
H
B M 在RtBOC△中，3tan3OBC， 30OBC，23BC，
在RtBBH△中，1232BHBB， 36BHBH，3OH，(323)B， 设直线BF的解析式为ykxb
233433kbkb
解得36332kb
33362yx
3333362yxyx
解得371037xy， 310377M，
在直线AC上存在点M，使得MBF△的周长最小，此时310377M，． 2、（山东济南）已知：抛物线2yaxbxc(a≠0)，顶点C (1，3)，与x轴交于A、B两点，(10)A，． （1）求这条抛物线的解析式． （2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，
PN⊥DB于N，请判断PMPNBEAD是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． （3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边．
AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断PAEFPBEG是否成
立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【思路点拨】（2）证△APM∽△ABE，PMAPBEAB 同理: PNPBADAB （3）证PH=BH且△APM∽△PBH 再证△MEP∽△EGF可得。
解：(1)设抛物线的解析式为2(1)3yax 将A(－1，0)代入: 20(11)3a ∴ 34a ∴ 抛物线的解析式为23(1)34yx，即：2339424yxx （2）是定值，1PMPNBEAD ∵ AB为直径，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE ∴ △APM∽△ABE，∴ PMAPBEAB ①
同理: PNPBADAB ② ① + ②:1PMPNAPPBBEADABAB （3）∵ 直线EC为抛物线对称轴，∴ EC垂直平分AB ∴ EA=EB ∵ ∠AEB=90° ∴ △AEB为等腰直角三角形． ∴ ∠EAB=∠EBA=45° .................... 7分 如图，过点P作PH⊥BE于H， 由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形， ∴PH=ME且PH∥ME 在△APM和△PBH中 ∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45° ∴ PH=BH 且△APM∽△PBH
∴ PAPMPBBH
∴ PAPMPMPBPHME ① 在△MEP和△EGF中， ∵ PE⊥FG， ∴ ∠FGE+∠SEG=90° ∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP ∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF
∴PMEFMEEG ②
C O x A D P M E B
N
y 由①、②知：PAEFPBEG 3、 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二 次函数2txy的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B。 （1）是否存在这样的抛物线F， OCOBOA2？请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=23，求抛物线F
对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1）由关系式OCOBOA2来构建关于t、b的方程；(2)讨论 t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。
解：（1）∵ 平移2txy的图象得到的抛物线F的顶点为Q, ∴ 抛物线F对应的解析式为:btxty2)(. ∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴0bt.
令0y, 得tOBtb，tOCtb, ∴ tOCOB(|||||tb)( ttb)|2|t 22|OAttb , 即22tttb, 所以当32tb时, 存在抛物线F使得||||||2OCOBOA.-- 2分 (2) ∵BCAQ//, ∴ bt, 得F: ttxty2)(, 解得1,121txtx. 在RtAOB中, 1) 当0t时,由 ||||OCOB, 得)0,1(tB, 当01t时, 由ABOtan23||||OBOA1tt, 解得3t, 此时, 二次函数解析式为241832xxy; 当01t时, 由ABOtan23||||OBOA1tt, 解得t53, 此时，二次函数解析式为y532x +2518x +12548. 2) 当0t时, 由 ||||OCOB, 将t代t, 可得t53, 3t, （也可由x代x，y代y得到） 所以二次函数解析式为 y532x +2518x –12548或241832xxy.
4、(江苏常州)如图,抛物线24yxx与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点. （1）求点A的坐标; （2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标; （3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S, 点P的横坐标为x,当462682S时,求x的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线l的函数关系式是y=-2x，所以应讨论①当点P在第二象限时，x<0、 ②当点P在第四象限是，x>0这二种情况。
解：（1）∵4)2(422xxxy ∴A(-2,-4) （2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)
四边形ABOP2为等腰梯形时，P1(5452，)
四边形ABP3O为直角梯形时，P1(5854，) 四边形ABOP4为直角梯形时，P1(51256，) （3）
由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x ①当点P在第二象限时，x<0,
△POB的面积xxSPOB4)2(421
∵△AOB的面积84421AOBS， ∴)0(84xxSSSPOBAOB ∵286264S， ∴286264SS
即2868426484xx ∴22412232Sx ∴x的取值范围是22322241x ②当点P在第四象限是，x>0, 过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′ 则四边形POA′A的面积
44)2(21)2(224xxxxxSSSOPPAAP梯形PAAPO ∵△AA′B的面积42421BAAS ∴)0(84xxSSSBAAAAPO ∵286264S，
∴286264SS 即2868426484xx ∴21242223Sx ∴x的取值范围是21242223x 5、（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线2x
与x轴相交于点B，连结OA，抛物线2xy从点O沿OA方向平移，与直线2x交于点P，顶点M到A点时停止移动． （1）求线段OA所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M的横坐标为m, ①用m的代数式表示点P的坐标； ②当m为何值时，线段PB最短； （3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设OA所在直线的函数解析式为kxy， ∵A（2，4）， ∴42k, 2k, ∴OA所在直线的函数解析式为2yx （2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动， ∴2ym（0≤m≤2）. ∴顶点M的坐标为(m,2m). ∴抛物线函数解析式为2()2yxmm.
y B O
A P M
x 2x