2.3 F集运算的其它定义
复变函数第2章
第二章 解析函数1. 复变函数：()w f z =w =f (z )又常写成w =u (x ,y )+iv (x ,y )，从而对复变函数f (z )的讨论可相应地 转化为对两个实函数u (x ,y )和v (x ,y )的讨论.2.复变函数的极限与连续：定义2.2 设函数w =f (z )定义在z 0的去心邻域0<|z -z 0|<r 内，若存在常数A ，对于任意给定的0ε>,都存在一正数(0)r δδ<≤,使得当0<|z -z 0|<δ时,有()f z A ε<-,则称函数f (z )当0z z →时的极限存在，常数A 为其极限值.记作0lim ()z z f z A →=或 0()()f z A z z →→.定理2.1 设f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ),z 0=x 0+iy 0,A =a +ib ，则000(,)(,)lim ()lim (,),z z x y x y f z A u x y a →→=⇔= (2.1) 00(,)(,)lim (,).x y x y v x y b →= (2.2)定义 2.3 若00lim ()()z z f z f z →=，则我们就说函数 f (z ) 在点 z 0 处连续. 如果函数f (z )在区域D 内每一点都连续，那么称函数f (z )在区域D 内连续.定理2.5 设函数000()(,)(,),f z u x y iv x y z x iy =+=+,则f (z )在点z 0连续的充分必要条件是u (x ,y )、v (x ,y ) 均在点(x 0,y 0)连续.3.复变函数的导数定义2.4 （导数的定义）设函数w =f (z )定义在z 平面上区域D 内，点z 0、z 0+Δz D ∈, 00Δ(Δ)()w f z z f z ∈=+-,若极限00Δ0Δ0(Δ)()Δlimlim ΔΔz z f z z f z w z z →→+- 存在,则称函数f (z ) 在 z 0可导,这个极限值称为f (z )在z 0的导数,记作00000Δ0(Δ)()d ()d lim ().d d Δz z z z z f z z f z f z w f z z z z==→+-='== (2.3) 由于复变函数导数的定义在形式上和一元实函数的导数定义一致，并且复变函数中的极限运算法则与实函数中一样，所以微积分中几乎所有的关于函数导数的计算规则都可以不加更改地推广到复变函数中来.4.解析函数的概念定义2.6 若函数f (z )在点z 0及z 0的邻域内处处可导，则称函数f (z )在点z 0解析.若函数f (z )在区域D 内每一点都解析，则称函数f (z )在区域D 内解析，或称f (z )是D 内的解析函数.若f (z )在点z 0不解析，但在z 0的任一邻域内总有f (z )的解析点，则称z 0为f (z )的奇点.5.函数可导与解析的充要条件定义2.6 对于二元实函数u (x ,y )和v (x ,y )，方程,.u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ (2.5) 称为柯西-黎曼方程（简记为C-R 方程）.定理2.7 设函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内有定义，则f (z )在区域D 内一点z =x +iy 可导的充要条件是(1) 二元实函数u (x ,y )和v (x ,y )在点(x ,y )可微；(2) u (x ,y ),v (x ,y )在点(x ,y )满足柯西-黎曼方程.6.初等函数（1）指数函数定义2.7 对于复变数z =x +iy ，定义指数函数为:e e e (cos sin ).z x iy x y i y +==+e z 又用记号exp(z )表示.（2）对数函数定义2.8 规定对数函数是指数函数的反函数，即若e (0)w z z =≠则称函数w =f (z )为z 的对数函数，记作w =Ln z .令w =u +iv ,则w =u +iv =ln|z |+i Arg z ∆Ln z .注意到Arg z 是多值函数，所以对数函数w =f (z )也是多值函数.上式中Arg z 取主值arg z (-π<arg z ≤π)时对应的w 值称为Ln z 的主值，并记作ln z =ln|z |+i arg z .这样对数函数可表示为:w =ln z =ln z +2k πi =ln|z |+i arg z +2k πi , k =0,±1, ±2,….上式中对于每一个确定的k ,对应的w 为一单值函数，称为Ln z 的一个分支.（3）幂函数定义2.9 函数w =z a =e a Ln z （z≠0,a 为复常数）称为z 的一般幂函数.当一般的幂函数aw z =的底数z 为一确定复常数b (b≠0)时，则b a =e a Ln b 称为乘幂.由于Ln b =ln|b |+i arg b +2k πi ，所以乘幂b a 也是多值的.（4）三角函数与反三角函数定义2.10 规定e e e e sin , cos .22iz iz iz izz z i ---+== 其它三角函数定义如下:sin cos 11tan , cot , sec , csc .cos sin cos sin z z z z z z z z z z==== （5）双曲函数与反双曲函数我们用指数函数来定义双曲函数.定义2.11 规定e e e e sh , ch 22z z z zz z ---+== 小 结复变函数及其极限、连续、导数等概念是微积分学中相应概念的推广.复变函数的定义在形式上只是将一元实函数的定义域与值域由“实数集”扩大为“复数集”，但要注意实函数是单值函数，而复变函数有单值函数与多值函数之分.一个复变函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )对应着两个二元实函数u (x ,y )和v (x ,y )，所以对复变函数的研究可以转化为对它的实部和虚部两个二元实函数的研究.另外将复变函数看成复平面上两个点集之间的映射，有时可以将问题直观化、几何化.复变函数极限的定义在形式上与一元实函数极限的定义相似，因此复变函数具有与实函数类似的极限运算法则.但实质上复变函数的极限与二元实函数的极限是等价的.一元实函数的极限00lim (),x x f x x x →→是指x 在x 轴上从x 0的左右两侧以任何方式趋向于x 0，而在复变函数的极限0lim ()z z f z →中，0z z →是指z 在z 0的邻域内以任何方式趋于z 0.如果z 沿两条不同路径趋于z 0, f (z )不趋于同一复数，那么f (z )在z 0处的极限不存在.复变函数的连续定义是依赖于极限定义的，若00lim ()()z z f z f z →=,则我们说f (z )在z 0处连续.复变函数w =f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )极限存在与连续的充要条件是其实部u (x ,y )和虚部v (x ,y )极限存在与连续.复变函数的导数定义在形式上与一元实函数导数的定义相似，因此复变函数具有与实函数类似的求导法则.复变函数导数为函数的改变量Δw 与自变量Δz 的比0(+Δ)()ΔΔΔf z z f z w z z-=当Δ0z →的极限，该极限值与Δ0z →的方式无关，也就是说如果当Δz 沿某一路径趋于0时，ΔΔw z 的极限不存在,或沿两条不同路径趋于0时，ΔΔw z趋于不同的数，则f (z )在z 0处不可导.由此可见复变函数在一点可导要比一元实函数可导条件更强.解析函数是复变函数的主要研究对象，它有着一元实函数所没有的好性质，如解析函数的导数仍是解析函数，解析函数的虚部为实部的共轭调和函数以及解析函数可以展开为幂级数等，这些性质在后面就会学到.应当注意的是解析与可导的区别与联系.对于一个区域而言， 函数解析与可导是一回事；但对于一个点，解析就比可导要求高得多.函数在某点解析不仅要求在该点可导而且要求在该点的某邻域内可导.判断函数可导与解析的方法主要有以下三种：(1)利用可导与解析的定义.(2)利用可导(解析)函数的和、差、积、商及其复合仍为可导(解析)函数这一性质.(3)利用可导与解析的充要条件(即定理2.7和定理2.8).定理2.7给出了函数f (z )在一点z D ∈处可导的充要条件，由于z 的任意性，从而可以得到函数在区域D 内可导与解析的充要条件，即定理2.8.复初等函数是实初等函数在复数域的推广，它既保持了实初等函数的一些性质，又有一些不同的性质.指数函数e z =e x (cos y +i sin y )在z 平面上处处解析，并且(e z )'=e z ,它具有实指数函数相同的某些性质如加法定理.但周期为2πi 这与实指数函数不同，实指数函数e x 可以看成数e 的x 次幂，但在复变函数中e z 仅仅是一个记号，而不再有幂的含义.对数函数Ln z =ln z +i Arg z 是一多值函数，它在除去原点与负实轴的复平面上处处解析,且有(l nz )' =1z.它保持了实对数函数的如下性质： 11212122ln()ln ln ,ln ln ln .z z z z z z z z ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭应当注意的是，等式1ln ln ln n z n z z n== 不再成立，其中2n ≥,为正整数.幂函数w =z a =e a L n z , 除了整幂函数z n (z 为正整数)外都是多值函数，在除去原点与负实轴的复平面上处处解析,且有(z a )'=az a -1.而整幂函数z n (z 为正整数)是单值函数，在复平面上处处解析，且(z n )'=nz n -1.当底数z 为一确定的常数b (b ≠0)时，b a =e a L nb 为乘幂.三角正弦函数与三角余弦函数e e e e sin , cos 22iz iz iz izz z i ---+== 在复平面上处处解析，并且(sin z )'=cos z ,(cos z )'=-sin z .它保持了对应的实函数的奇偶性、周期性，类似的三角恒等式成立，但是不再具有有界性，即|sin z |≤1,|cos z |≤1不成立.其它三角函数与反三角函数、双曲函数与反双曲函数读者可以自己小结它们的性质.1.讨论函数(1) f (z )= Im(z ) ;(2) f (z )=|z |2z .的可导性，并在可导点处求其导数.。
第2章-模糊逻辑控制
例2.3 设论域X={x1, x2, x3, x4, } 以及模糊集合
求 解：
2.2.3模糊集合运算的基本性质 1分配律
2 结合律 3 交换律 4吸收律
5.幂等律 6.同一律
其中x表示论域全集，Φ表示空集。 7.达·摩根律
8.双重否定律 以上运算性质与普通集合的运算性质完全相同，但是在普通集合 中成立的排中律和 矛盾律对于模糊集合不再成立，即
模糊集合的表示方法
序偶 A x, Ax x X
紧凑形式
模糊集合的例子
例2.1 在整数1．2，…，10组成的论域中， 即论域X＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}．设A表示模糊集合“几个”。 并设各元素的隶属度函数依次为
Ax 0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0,0
9．α截集到模糊集合的转换
即
2.2.4 模糊集合的其它类型运算 1．代数和
若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的 均有
2.代数积 3.有界和 4.有界差 5.有界积 6.强制和
7.强制积
2.3 模糊关系
2.3.1 模糊关系的定义及表示
定义：n元模糊关系R是定义在直积 X1 X 2 X n 上的模糊集合.
2．2 模糊集合及其运算
2.2.1 模糊集合的定义及表示方法
上节介绍了模糊性的概念．例如到苹果园去摘“大苹果”，这里“大 苹果”便是 个 模糊的概念。如果将“大苹果”看作是一个集合．则 “大苹果”便是一个模糊集合。如前所述． 若认为差不多比2两重的 苹果称之为“大苹果”，那么，2．5两的苹果应毫无疑问地属于 “大 苹果”，如对此加以量化，则可设其属于的程度为1.2.1两苹果属于 “大苹果”的程度譬如说为0.7，2两苹果居于的程度为0.5，1.9两的 苹果届于的程度为0.3等等。以后称属 于的程度为隶属度函数，其值 可在0~1之间连续变化。可见，隶属度函数反映了模糊集合 中的元素 属于该集合的程度。若模糊集合“大苹果”用大写字母A表示，隶属 度函数用µ 表示。A中的元素用x表示,则µA (x)便表示x属于A的隶属度， 对上面的数值例子可写成
第3章 关系代数
关系代数
第3章 关系代数 章
2.1 关系代数概述 2.2 传统的集合运算 2.3 专门的关系运算
第2章
关系代数
2.1 关系代数概述
关系操作采用集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合。 这种操作方式也称为一次一集合的方式 。 关系模型中常用的关系操作 关系操作包括： 关系操作 选择、投影、连接、 增加、 选择、投影、连接、除、并、交、差等查询操作和增加、删除、 增加 删除、 修改等。 修改 关系数据语言可以分为三类： 关系数据语言可以分为三类：
第2章
关系代数
三、连接（Join） 连接（ ） 连接也称为θ连接。 连接也称为 连接。它是从两个关系的笛卡尔积中 连接 选取属性间满足一定条件的元组。记作： 选取属性间满足一定条件的元组。记作：
其中A和 分别为 分别为R和 上度数相等且可比的属性组 上度数相等且可比的属性组。 其中 和B分别为 和S上度数相等且可比的属性组。 θ是比较运算符。连接运算从 和S的笛卡尔积 ×S中选 是比较运算符。 的笛卡尔积R× 中选 是比较运算符 连接运算从R和 的笛卡尔积 关系） 属性组上的值与（ 关系 关系） 取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组 关系 属性组上的值与 属性组 上值满足比较关系θ的元组 的元组。 上值满足比较关系 的元组。 连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，一 种是等值连接（equi-join）， 等值连接（ ），另一种是自然连接 自然连接 等值连接 ）， （Natural join）。 ）。
tr ts表示由两元组tr和ts前后有序连接而成的一个元 组。 任取元组tr和ts,当且仅当tr属于R且ts属于S时,tr和ts的 有序连接即为R×S的一个元组。
第2章
关系代数
第二章 二元关系
O 说明
2
x
如果|A|=m,|B|=n,则|A×B|=mn。
6
积运算的性质
(1) 若A，B中有一个空集，则笛卡儿积是空集， 即： B = A = (2) 当AB，且A，B都不是空集时，有ABBA (3) 当A，B，C都不是空集时，有(AB)C A(BC) 因为(AB)C中的元素< <x,y>, z>，而A(BC)中 的元素为< x, <y, z> > 。
个元素x，y，z满足xRy， yRz，则x y，yz
被3整除，由于xz=(xy)+(yz)，所以xz被3
整除，从而xRz即R具有传递性。
§2.3 关系的集合运算
关系是由序偶组成的集合,因此关系也具有集合的并、交、 差、补、对称差运算 设 R, S是 A 到 B的 两个二元关系，则 ( R A×B, S
定义2.4 设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系 叫做从A到B的二元关系；特别当A=B时，则叫做A上的二 元关系。（所有的子集全部来自于A）
举例
已知：A={0,1}，B={1,2,3}，那么 R1={<0,2>}， R2=A×B，R3= ，R4={<0,1>}等是否是从A到B的二元
关系？同时那些是A上的二元关系？
(2)R={<2,1>,<3,2>,<4,3>,<3,1>,<4,2>,<2,4>,<1,3>,<3,4>, <2,3>,<1,2>} (3)R={<2,1>,<3,1>,<4,2>} (4)R=EA-IA={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,1>, <3,2>,<3,4>,<4,1>,<4,2>,<4,3>}
(优选)纠错码环与域的基本概念
例F1 有理数全体、 实数全体、 复数全体对加法、 乘法都分别构成域， 分别称有理数域、 实数域和复数 域。 且这 3 个域中的元素个数有无限多个， 所以称它 们为无限域。
例F2 0、 1 两个元素按模2加和模 2 乘构成域。 该域中只有两个元素， 记为GF(2)或F2。
二、 陪集 若G中有子群H， 则可用H把G划分成等价类， 如下所示： 设群G的元素是： g1， g2， g3， g4， …； 子群H的元素是： h1， h2， h3， …；
h1=e
h2
g1h1=g1 g1h2
g2h1=g2 g2h2
………
h3 … g1h3 … g2h3 …
…
gnh1=gn gnh2 gnh3 … ↑
定理2.4.1 群G的非空子集H为G的子群的充要条件是： (1) 若a∈H， b∈H， 则ab∈H； (2) 若a∈H， 则a的逆元a-1∈H。 证明 若H为子群， 则(1)、 (2)自然成立。 反之， 由 (1)可知， H关于G的代数运算封闭。 由(2)知， H中的每 一元素均有逆元。 因为H是G的子集， 所以G中的结合律 在H中同样适用， 又因a∈H， a-1∈H及aa-1=e∈H(由(1) 条件)， H中有单位元， 故H是一个群。
定理 2.3.2 设p为素数， 则整数全体关于模p的剩余 类： 0 ， 1 ， 2 ， …， p-1 ， 在模p运算下(模p相加和 相乘)， 构成p阶有限域Fp(GF(p))。
证明 由前面已知， 模m整数(m不一定为素数)剩余 类集合构成交换环Zm， 现在只需证明当m=p为素数时， 非 0 元素有逆元即可。 1 为单位元， 因为p为素数， 因此任何小于p的数a和p均互素。 所以， 由欧几里德 算法可知：
2.数电-- 基本逻辑运算及集成逻辑门
F=A+B
读作“F等于A加B”。
第二章 基本逻辑运算及集成逻辑门
第二章 基本逻辑运算及集成逻辑门
2.1 基本逻辑运算 2.2 常用复合逻辑
2.3 集成逻辑门
第二章 基本逻辑运算及集成逻辑门
2.1 基本逻辑运算
逻辑运算是逻辑思维和逻辑推理的数学描述。
具有“真”与“假”两种可能，并且可以判定其
“真”、 “假”的陈述语句叫逻辑变量。一般用英文大
辑值，也叫逻辑常量。通常用“1”表示“真”，用“0” 表示“假”，或者相反。本教材中，若不作特别说明，
“1”就代表“真”，“0”就代表“假”。虽然“1”和“0”
叫逻辑值或逻辑常量，但是它们没有“大小”的含义， 也无数量的概念。它们只是代表逻辑“真”、“假”的 两个形式符号。
第二章 基本逻辑运算及集成逻辑门
由图2 - 11(a)得： F
1
第二章 基本逻辑运算及集成逻辑门
多变量的“异或”及“同或”逻辑功能， 必须以两 变量的“异或”及“同或”逻辑的定义为依据进行推证。 将0, 1值代入多变量的异或式中可得出如下结论。 (1) 奇数个“1”相异或结果为1； 偶数个1相异或结果为0。
利用此特性， 可作为奇偶校验码校验位的产生电路,
求解逻辑函数时， 应首先进行级别高的逻辑运算。 各种逻 辑运算的优先级别， 由高到低的排序如下：
异或 长非号 乘 加 括 号 同或
集合间的基本关系示范教案
集合间的基本关系示范教案第一章：集合的概念与表示方法1.1 集合的定义与表示方式1.2 集合的元素特征1.3 集合的常用符号与表示方法1.4 集合的书写规则与注意事项第二章：集合之间的关系2.1 集合之间的包含关系2.2 集合的相等关系2.3 集合的交集与并集2.4 集合的补集与余集第三章：集合的运算3.1 集合的交集运算3.2 集合的并集运算3.3 集合的补集运算3.4 集合的差集运算第四章：集合的性质与判定4.1 集合的确定性4.2 集合的互异性4.3 集合的无序性4.4 集合的分类第五章：集合的应用举例5.1 集合在生活中的应用5.2 集合在数学中的应用5.3 集合在其他学科中的应用5.4 集合问题解决策略与技巧第六章：集合的逻辑运算6.1 集合的逻辑与运算概念6.2 集合的德摩根定理6.3 集合的逻辑蕴含与等价6.4 集合的逻辑运算在数学中的应用第七章：集合的排列与组合7.1 排列的概念与计算7.2 组合的概念与计算7.3 排列与组合的性质与应用7.4 排列与组合在实际问题中的应用第八章：集合的函数关系8.1 函数的定义与性质8.2 函数的表示方法8.3 函数的域与值域8.4 函数与集合的关系第九章：集合的无限性质9.1 无穷集合的概念9.2 无穷集合的比较9.3 集合的势与阿列夫数9.4 无穷集合在日常生活中的应用第十章：集合与其他数学概念的关系10.1 集合与数集的关系10.2 集合与几何图形的关系10.3 集合与逻辑数学的关系10.4 集合与其他数学分支的关系第十一章：集合与概率论的关系11.1 概率的基本概念11.2 事件的集合表示11.3 随机事件的概率计算11.4 集合在概率论中的应用实例第十二章：集合与数理逻辑12.1 数理逻辑的基本概念12.2 集合论在数理逻辑中的应用12.3 集合与命题逻辑12.4 集合与谓词逻辑第十三章：集合与图论13.1 图的基本概念13.2 集合在图论中的应用13.3 网络流与集合的关系13.4 集合在图论研究中的应用实例第十四章：集合与组合数学14.1 组合数学的基本问题14.2 集合在组合数学中的应用14.3 计数原理与集合的关系14.4 组合数学问题的集合解法第十五章：集合与现实世界的联系15.1 集合在自然科学中的应用15.2 集合在社会科学中的应用15.3 集合在信息技术中的应用15.4 集合在现代科学中的新进展重点和难点解析本教案主要介绍了集合间的基本关系，涵盖了集合的概念、表示方法、关系、运算、性质、逻辑运算、排列组合、函数关系、无限性质以及与其他数学概念的关系等多个方面。
2.3 关系及其性质
nm
1 rij 0
矩阵 M 称为
R
若ai Rb j 若ai R ' b j
1 5 7
R
的关系矩阵。
上例 中由 A 到 B 的关系 用一个
4 3的矩阵来表示。
R 可以
2 0 3 0 MR 4 0 8 0
1 1 1 0
1 1 1 0
例 设 A {1,2,3,4} ，A上的关系
例
设A={a,b}，B={2,5,8}
A B {( a,2), (a,5), (a,8), (b,2), (b,5), (b,8)} 令 1 {( a,2), (a,8), (b,2)} 2 {( a,5), (b,2), (b,5)}
则
3 {( a,2)} 2 A B ， 3 A B 。 因为 1 A B ， 1 , 2 和 3 均是由A到B的关系。 所以，
设有两个有限集合 X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn} 以及X到Y的二元关系，在平面上作m个结点和n个 结点，若xiRyj，则可自xi至yj作一有向弧；否则xi 和yj间没有连线，这种方法所联的图称为R的关系图。
例 前面例子中的 A {1,2,3,4}
，
R {(1,1),(1, 2),(1,3),(1, 4),(2, 2),(2, 4),(3,3),(4, 4)}
则称D(R)、R(R)和F (R)分别是二元关系R的定义域、 值域和域。 显然 D(R) A， R(R) B。
其他表示方法
◦ dom R,ran R,FLD R ◦ DR , RR , FR
A
B
设 由 到 有 ab。
《集合概念》教案设计
《集合概念》教案设计第一章：集合的定义与表示1.1 集合的概念：元素与集合的关系，集合的表示方法（列举法、描述法）1.2 集合的分类：直积集、子集、真子集、幂集1.3 集合的基本运算：并、交、补集第二章：集合的性质与运算规律2.1 集合的性质：无序性、确定性、互异性2.2 集合运算的交换律、结合律、分配律2.3 集合运算的德摩根定律、对偶性原理第三章：维恩图与集合的关系3.1 维恩图的概念与绘制方法3.2 利用维恩图表示集合的关系：并集、交集、补集、对称差3.3 维恩图在实际问题中的应用第四章：集合的划分与基数4.1 集合的划分：有限划分与无限划分4.2 集合的基数：势、阿列夫数4.3 集合的基数与集合的关系：基数相等、基数不等、基数极限第五章：图灵机与集合5.1 图灵机的概念与结构5.2 图灵机的运算：读写操作、状态转移5.3 图灵机与集合的关系：图灵机识别的语言、图灵机计算的问题第六章：集合论的基本公理系统6.1 集合论公理系统的概念6.2 ZFC公理系统：集合论的基础公理、替换公理、选择公理6.3 公理系统的完备性、一致性、独立性第七章：集合论的应用7.1 集合论在数学分析中的应用：实数集、函数集7.2 集合论在图论中的应用：顶点集、边集7.3 集合论在其他数学分支中的应用：代数结构、拓扑空间第八章：函数与集合8.1 函数的概念：函数的定义、函数的表示方法8.2 函数的性质：一一映射、单射、满射、双射8.3 函数与集合的关系：函数的定义域、值域、函数的复合第九章：关系的集合论性质9.1 关系的概念：关系的定义、关系的表示方法9.2 关系的性质：自反性、对称性、传递性9.3 关系的集合论表示：关系矩阵、关系代数第十章：集合论的进一步研究10.1 无穷集合：无穷的概念、无穷集合的类型10.2 集合论的新发展：类别论、模型论、公理化方法10.3 集合论在现代数学中的地位与作用第十一章：集合论与逻辑11.1 集合论与命题逻辑：命题的集合表示、逻辑运算符的应用11.2 集合论与谓词逻辑：个体、谓词、量词、逻辑运算11.3 集合论在数理逻辑中的应用：形式系统、公理化逻辑第十二章：集合论与组合数学12.1 组合数学的基本概念：排列、组合、图论基本概念12.2 集合论在组合数学中的应用：计数原理、鸽巢原理、包含-排除原理12.3 组合数学中的极限问题：卡塔兰数、Stirling 数第十三章：集合论与数理逻辑13.1 数理逻辑的基本概念：命题逻辑、谓词逻辑、形式系统13.2 集合论在数理逻辑中的应用：模型论、公理化方法13.3 数理逻辑在计算机科学中的应用：自动机理论、程序语言设计第十四章：集合论与拓扑学14.1 拓扑学的基本概念：拓扑空间、开集、闭集、连通性14.2 集合论在拓扑学中的应用：度量空间、拓扑关系、连通性14.3 拓扑学在其他数学领域中的应用：微分几何、泛函分析第十五章：集合论与计算机科学15.1 计算机科学中的集合概念：数据结构、算法、编程语言15.2 集合论在计算机科学中的应用：计算复杂性、形式语言、编译原理15.3 集合论在中的应用：知识表示、推理机制、专家系统重点和难点解析重点：1. 集合的基本概念和表示方法。
大学数学第一课知识点总结
大学数学第一课知识点总结一、集合论1. 集合及其基本概念1.1 集合的定义1.2 元素1.3 集合的表示方式2. 集合间的关系2.1 相等2.2 包含2.3 子集2.4 交集2.5 并集2.6 差集2.7 补集3. 集合的运算3.1 交集的性质3.2 并集的性质3.3 差集的性质4. 集合的基数4.1 有限集合和无限集合4.2 等势集合4.3 自然数集5. 基本概念的扩展5.1 复合命题5.2 集合的基本运算和性质5.3 逻辑运算和集合关系的联系二、函数与映射1. 函数的定义1.1 自变量和因变量1.2 函数的符号表示1.3 函数图像2. 函数的性质2.1 值域和定义域2.2 单调性2.3 奇偶性2.4 周期性2.5 常用函数的性质3. 函数的运算3.1 函数的和、差、积、商3.2 复合函数3.3 反函数4. 映射4.1 映射的定义4.2 单射、满射、双射4.3 逆映射5. 常用函数5.1 幂函数5.2 指数函数5.3 对数函数5.4 三角函数5.5 反三角函数三、数列与极限1. 数列的概念1.1 数列的定义1.2 数列的表示方法1.3 数列的分类2. 数列的性质2.1 有界数列2.2 单调数列2.3 散点数列2.4 大O记号3. 数列的极限3.1 数列极限的定义 3.2 数列极限的性质 3.3 无穷小量3.4 等价无穷小4. 函数的极限4.1 函数极限的定义 4.2 函数的极限性质4.3 左右极限5. 极限的计算5.1 无穷大极限5.2 极限的四则运算 5.3 极限的夹逼准则 5.4 极限的一致性收敛四、导数与微分1. 导数的概念1.1 导数的定义1.2 导数的几何意义1.3 导数的物理意义2. 导数的计算2.1 函数的导数2.2 基本初等函数的导数 2.3 导数的四则运算2.4 高阶导数3. 函数的增减性和凹凸性 3.1 函数的增减性3.2 函数的凹凸性4. 微分的概念4.1 微分的定义4.2 微分的性质4.3 微分近似5. 函数的求极值5.1 函数的极值及其判定 5.2 凹凸性与极值的关系5.3 临界点与拐点五、定积分1. 定积分的概念1.1 定积分的定义1.2 定积分的几何意义1.3 定积分的物理意义2. 定积分的性质2.1 定积分的性质2.2 定积分的计算2.3 积分中值定理3. 不定积分3.1 不定积分的定义3.2 不定积分的计算3.3 定积分与不定积分的关系4. 微积分基本定理4.1 微积分基本定理的内容4.2 微积分基本定理的应用4.3 微分方程5. 曲线的弧长与表面积5.1 曲线的弧长5.2 曲线的表面积总结起来，大学数学第一课主要包括集合论、函数与映射、数列与极限、导数与微分、定积分等内容。
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算子的清晰域越小，运算结果越模糊。
a
a b max( 0, a b 1),
பைடு நூலகம்
a b min( a b,1).
中的(),(),()以不同程度表示逻辑“与”运算。
算子(,
中的(),(),( )以不同程度表示逻辑“或”运算。
)和(,)都满足交换律，结合律，零壹律
A Ac , A Ac U .
§3
定义1
F集运算的其它定义
对u U , 规定 :
1. F算子
设A, B F (U ),
( A B )( u) A( u) B( u) ( A B )( u) A( u) B( u)
式中 , 是[0,1]中的二元运算，简称为模糊算子。
模糊算子 , 的各种定义
（1） 0 T (a , b) a b;
( 2) T (a ,0) 0.
性质2
设S是S范数，则a , b [0,1]有
（1） a b S (a , b) 1;
( 2) S (a ,1) 1. 推论 (1) T (0,0) 0, T (1,1) 1;
( 2) S (0,0) 0, S (1,1) 1.
和对偶律，但都不满足: 幂等律，吸收律和分配律。
而 和 却满足互补律，即
定义2
（1） 交换律
（2） 结合律
映射 T :
0,1
2
0,1,
如果a , b, c 0,1 满足条件：
T ( a , b ) T ( b, a ) T (T (a , b), c ) T (a ,T (b, c ))
（3） 单调性 若a1 a2 , b1 b2，则T (a1 , b1 ) T (a2 , b2 ) （4）边界条件 T (1, a ) a 则称为T三角模，也称为T范数。
T范数是广义的“交”运算， ”是它的特例。 “
定义3
（1）交换律
（2） 结合律
映射 S :
0,1
2
0,1,
上例表明 同理可证
S (a , b) T c (a c , bc ) T (a , b) S c (a c , bc )
定理 三角范算子T和S是对偶算子。
T范算子是广义的“交”运算“”时其特例； , S范算子是广义的“并”运算“”是其特例. ,
性质1 设T是T范数，则a , b [0,1]有
定义4 给定模糊算子“*”，称点集
() {( x , y ) | x y 0或x y 1}
模糊算子“*”的清晰域。
例2
求出算子“”的清晰域 ( )。
解 ( ) {( x , y ) | x y 0或x y 1}
{( x , y ) | x y 0} {( x , y ) | x y 1}
如果a , b, c 0,1 满足条件：
S ( a , b ) S ( b, a ) S ( S (a , b), c ) S (a , S (b, c ));
（3）单调性 若a1 a2 , b1 b2，则S (a1 , b1 ) S (a2 , b2 ) （4）边界条件 S (a ,0) a 则称为S三角模，也称为S范数。
“ S范数是广义的“并”运算， ”是它的特例。
T三角模T和 S三角模S，统称为三角范算子。
证明a , b [0,1] 例1 设T是T范数算子，
1 T (1 a ,1 b)
是 S范数。
补运算记为：a c 1 a(0 a 1), 则 T c (a c , bc ) 1 T (1 a ,1 b )
算子名称
1 2
3
Zadeh
最大，乘积 代数和与积
4 5
Einstein
有界和与积
令a A( u), a b max( a , b),
a b ab,
b B( u ) a b min( a , b).
b a b ab