备战2019中考15分钟精华题考点练习(5)二次根式(含答案)
二次根式混合计算练习(附答案)
二次根式混合计算(2 ”「_ _ _ _ _ _ 18 — 2计算：(12)(1 一.. 2) .50 -2.32 .12.3• 、2 .2； 24 - 96 ；、：127- . 48+ ； . 12+ 75计算：（八）（2+ 3）+ -宀亠二°- 2计算(兀-3)0- (J2+1)( J2 -1) + 屁十卜E_2___ 1 1 1 2014 ) ( 1+—11 +V2 J 2+J 3+L 1L +…+——” ” ).3,4. 2013,2014计算:9（ —X ；厂 1；8«2「3）计算: 2 x ( 2 + l) - _8V2迈扌-心-31十；计算: ...6 ■： - ‘ 2 八』24 3 48.10.计算: (1)「32 + 18 — 50;3 2 5(2)(5-2.6 ) x ( .2- 3 );11.计算:(3)(1+ . 2 + ,3 )(1-.2 - ,3);(4)(J12 -4J — )(2\8；4®).(1) C ■ 24 - 2 2.12 —--5.2412、计算,(-2)2-、、2(、2 -2) 6<3(1 )3_27 + .. (-3)2 - 3 -1 13、计算： (1) ,8 3 (2) i ：75,3)C ，7 - . 5 - . 3)14、 3 -27「；』0 -、1 3 0.1253V4 V_ 2+73 _ 2 15、已知 x = 2 _ 3」=2 ■ 3，求值：2x 1-63 6416、计算：⑴V20+V5 「3xy 2y 2. -W2442｝⑵(爲)2 +(兀十V 3)0 — V 27 +73—2 17、计算（「• ：「（2）（6-3 :-. 1 / 121 .计算题（1）-■ 1「辽心一、：计算（(9二|?恳—^+黑(寸二(^CXI—号co)(号CXI +号co ) —申中哼 +N电—^CXI ) (0 L )(吟2+^二畔2—^2)(書+将^—谒寸)2弋Q)◎co — Q £)(^co + Qu)OL )z ^r Ipl'r — 0(L —号)—或+「(i r g —— gw —) Q) T里)x CXI +2P X粵—『CXI—二十号 + z」L I ) (9)肿(2—吟匸(L —^e )(L +^e)(“)置+§■>ICO, + 2、)(号 +号—等))XI M衣• XICXI —毎co-M 44 ・0|参考答案1 . (1)-_； (2)厶-.10【解析】试题分析：(1)先把各个二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； (2) 根据二次根式的乘除混合运算法则计算. 解: (1 )：：；；；— ::. =3 二一2 匚 + 匚一3 耳一匚；(2)一_「「严》「：=[.2. 3. 2【解析】试题分析：先将所给的各式化简成整数或最简二次根式，然后合并同类二次根式即可. 试题解析：原式 =1 _2 ^.2 -8.2・6 _3 _2--3-/2考点：二次根式的计算.试题解析：解：撐/—96鳥=:、6 2'6"6 T=^/6-2^/66- ------ 5?6.6考点：二次根式的加减点评：本题主要考查了二次根式的加减运算•首先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式4. 0【解析】试题分析：根据实数的运算法则进行计算即可救出答案试题解析：(2 - -3)(2 • .3) • (-1)2010( ■■ 2 7丄「-(丄)-2=4-3^ -2=0考点：实数的混合运算•5. (1) 2+.3 ； (2) 5 3 .【解析】试题分析：(1)先计算零次幕、二次根式化简、去绝对值符号、把括号展开，然后进行合并即可求解. (2)把二次根式化成最简二次根式后，合并同类二次根式即可.4 41 / 12(1)原式=1-1+2 3 +2- .3 =2+ J 3 ；⑵原式=3 3-4. 32 3 5 3 2= 5,3 .考点：实数的混合运算；2•二次根式的混合运算.6. 4.6.【解析】试题分析：先进行二次根式的化简，财进行乘除运算，最后合并同类二次根式即可求出答案 试题解析：原式=9 V 2.2 21- 3迈•厶° -(2、2)2 •纸6-3= 9 2 1 -3 2 -8 4,6-3 =4.6.考点：实数的混合运算.7. 2013.【解析】试题分析：根据分母有理化的计算，把括号内各项分母有理化，计算后再利用平方差公式进行计算即可得解.111 1试题解析：(1.2014 )( 一1 +——1 +——1+…+ ----------- 1)1 +V2 <2 +V3 J3+U412013+J2014=(1 . 2014 ) ( ,2-1+ ..3- .. 2 + .. 4-、、3+…+ '、2014 - .. 2013 ) =(1.2014) ( 2 1 -)=2014-1=2013.考点：分母有理化.8. 2【解析】=2 + 1 — ,9 + .4 = 3 — 3+ 2= 2【解析】- 3 2解：原式=4—(3 — 2・、2) +—解：原式=2= 4 - 3 + 2 2 + 口 = 1 + —244【解析】(1)利用 一 a 2=a(a > 0) , , ab a . b (a > 0,b > 0)化简;(2) 可以利用多项式乘法法则，结合上题提示计算； (3) 利用平方差公式； (4) 利用多项式乘法公式化简•11.(1) ■ 6 ；(2) 3 . 2 .4 10【解析】试题分析：(1 )先把二次根式化成最简二次根式之后，再合并同类二次根式即可求出答案; (2 )先把二次根式化成最简二次根式之后，再进行二次根式的乘除法运算必6冷-子八6(2)原式=4巧汉一3汇4 5/2=3 .2 10考点：二次根式的化简与计算•12. 32.【解析】试题分析：先进行二次根式的化简，再合并同类二次根式即可求出答案试题解析：i (-2)2 -、2(、,2 -2厂v3=2-2+2、、2+ - 2 =3考点：二次根式的化简求值.13. (1)3 2 3 3; (2) -1-2 石【解析】10. (1)-32 ; (2) 11 .2-9 .3 ; (3) -4-2 .6 ; (4) 8-4.6 3试题解析:(1)原式=(2 .6=3103 / 12试题分析：（1）把二次根式进行化简后，再合并同类二次即可得出答案; （2）先利用平方差公式展开后，再利用完全平方公式计算即可.试题解析：(1)8 W F3、. 2 3.3---- + ------^.2 3.3 ；-2 ；(2)(J ：5,.3)( J - .5 - .. 3)=7 -(、一5 '、3)2考点：二次根式的化简14. (1) 111(2) -4【解析】解：(1) 3 -27；(-3)2 - 3 -1 =-3 3-(-1) = 1.15. 385【解析】解：因为 2x 2 -3xy 2y 2 = 2x 2 - 4xy 2y 2 xy = 2(x - y)2 xy所以 2x 2 -3xy 2y 2 =2 (8 .3)21 =385 .16. -.,2 .【解析】试题分析：先化成最简二次根式 ，再进行计算. 试题解析：（J24 - J 》一2（ J 1+J6）⑵—43。
部编数学八年级下册专题5二次根式最热考点——阅读材料题(解析版)含答案
专题5 二次根式最热考点——阅读材料题（解析版）第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化典例1（2022秋•万柏林区校级月考）阅读材料：材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．×=3，6﹣2＝4―材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如1=，8=＝请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：（1 （均写出一个即可）（2）将下列各式分母有理化：（要求：写出变形过程）思路引领：（1）根据互为有理化因式的定义得出答案即可；（2）①先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可；②先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可．解：（1+―（2）①3=5；②11＝+3．总结提升：本题考查了平方差公式，分母有理化和二次根式的混合运算，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．变式训练1．（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因+11．（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： ．化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：3．（2）请仿照上述方法化简：3．（3）比较1与1的大小．思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；（3）分母有理化后再比较．解：（122互为有理化因式，+22（答案不唯一）；（2=（3∴1＜1．总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．类型二二重根式的化简典例2（2022秋•郸城县期中）请阅读下列材料：a ，b ，使a +b ＝m ，ab ＝n ，即22=m ，a ＞b ）．m ＝7，n ＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即22=7×=2+请根据材料解答下列问题：（1= ．（2．思路引领：（1）利用完全平方公式化简得出答案；（2）利用完全平方公式以及二次根式的性质化简得出答案．解：（1―（2m ＝21，n ＝108，∵9+12＝21，9×12＝108，即22=21×===3．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．变式训练1．（2022秋•例如：3224=6+数化简中的作用．建立模型：只要我们找到两个数a ，b ，使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样22==ma＞b），m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即22=7×=2+模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1（2模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4―AC=BC边的长为多少？（结果化成最简）．思路引领：（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；（2）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；（3）根据勾股定理求出即可．解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，即12+2＝6，1===＝1（2m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，2+2＝13====＝（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，所以，2+BC2=(42所以，BC==2．总结提升：本题考查的是分母有理化，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．类型三整体思想运算典例3（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x―2，求代数式x2+4x﹣5的值；（2）已知x x3+x2+1的值．思路引领：（1）仿照阅读材料解答即可；（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．解：（1）∵x―2，∴x+2=∴（x+2）22，∴x2+4x＝﹣1，∴x2+4x﹣5＝﹣6；，（2）∵x=2∴2x+1=∴（2x+1）22，变形整理得：x2+x＝1，∴x3+x2+1＝x（x2+x）+1＝x+11总结提升：本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．针对训练1．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：问题：已知x=，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小明的做法是：根据x=得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．仿照上述方法解决问题：（1）已知x=―3，求代数式x2+6x﹣8的值；（2）已知x=x3+2x2的值．思路引领：（1）根据x=3求出x+3x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；（2）根据x2x+1=4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案．解：（1）∵x3，∴x+3=两边平方得：（x+3）2＝10，即x2+6x+9＝10，∴x2+6x＝1，∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；（2）∵x=∴2x―1，∴2x +1=两边平方，得（2x +1）2＝5，即4x 2+4x +1＝5，∴4x 2+4x ＝4，即x 2+x ＝1，∴x 3+2x 2＝x 3+x 2+x 2＝x （x 2+x ）+x 2＝x ×1+x 2＝x +x 2＝1．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解此题的关键．类型四 基本不等式求最值典例4（2021春•新泰市期中）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，＝或≥，≤）（1）①当a ＝2，b ＝2②当a ＝3，b ＝3③当a ＝4，b ＝4④当a ＝3，b ＝5（2）观察以上式子，猜想写出关于a b 2与a ＞0，b ＞0）之间的数量关系： 并进行探究证明；（提示：2≥0）（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最小值为 ．思路引领：（1）把各组a 、b 的值分别代入a b 2和（22≥0，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到a b 2≥（3）设长方形的长宽分别为xm ，ym ，则xy ＝1，利用（2）中的结论得到x y2≥2（x +y ）≥4，然后可确定镜框周长的最小值．解：（1）当a ＝2，b ＝2时，a b 2=2=2，则a b 2=②当a ＝3，b ＝3时，，a b2=33，则a b 2③当a ＝4，b ＝4时，a b2=44，则a b 2=④当a ＝3，b ＝5时，a b2=4，则a b 2＞故答案为：＝，＝，＝，＞；（2）a b 2≥2≥0，∴a ﹣b ≥0，∴a +b ≥∴a b 2≥故答案为：a b 2≥（3）设长方形的长为xm ，宽是ym ，则xy ＝1，∵x y2≥∴x +y ≥2，∴2（x +y ）≥4，即镜框周长的最小值为4米．故答案为：4米．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．变式训练1．（2022春•海淀区校级期中）阅读下面材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a ＞0，b ＞0时：2＝a ﹣b ≥0，∴a +b ≥a ＝b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ．（2）若y =x 22x 10x 1（x ＞﹣1），求y 的最小值．（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和10，求四边形ABCD 面积的最小值．思路引领：（1）根据公式计算即可；（2）先配方，化简，运用公式计算即可；（3）设△BOC 的面积为x ，根据△AOB 与AOD ，△BOC 与△COD 为等高的三角形，且△AOB 与△BOC ，△AOD 与△COD 为同底的三角形，得到S △BOC ：S △COD ＝S △AOB ：S △AOD ，求出S △AOD =40x，利用公式求面积的最小值即可．解：（1）当x ＞0时，1x＞0，∴x +1x≥=2，∴x +1x的最小值是2；当x ＜0时，﹣x ＞0，―1x ＞0，∴x +1x =―（﹣x ―1x），∵﹣x ―1x ≥2，∴﹣（﹣x ―1x）≤﹣2，∴x +1x的最大值为﹣2；故答案为：2；﹣2；（2）y =x＝x +1+9x 1，∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y ≥=2×3＝6，∴y 的最小值为6；（3）设△BOC 的面积为x ，∵△AOB 与AOD ，△BOC 与△COD 为等高的三角形，且△AOB 与△BOC ，△AOD 与△COD 为同底的三角形，∴S △BOC ：S △COD ＝S △AOB ：S △AOD ，∴x ：10＝4：S △AOD ，∴S △AOD =40x，∴四边形ABCD 的面积＝4+10+x +40x≥＝14+2×＝当且仅当x =40x，即x ＝∴四边形ABCD 面积的最小值为总结提升：本题考查了配方法的应用，列出四边形ABCD 面积的表达式解题的关键．类型五 a =的化简典例5 （2022秋•仁寿县校级月考）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．化简：2﹣|1﹣x |．解：隐含条件1﹣3x ≥0，解得x ≤13，∴1﹣x ＞0，∴原式＝（1﹣3x ）﹣（1﹣x ）＝1﹣3x ﹣1+x ＝﹣2x．（12；（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简（3）已知a、b a+3a―b+1，求ab的值．思路引领：（1）根据二次根式有意义条件得出2﹣x≥0，求出x≤2，再根据二次根式的性质进行计算即可；（2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案；（3）直接利用二次根式性质进而分析得出a，b的值，进而得出答案．解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，―2＝3﹣x﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a﹣b＜c，a+c＞b，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c；（3=a+3，若a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，故a＜2，∴2﹣a＝a+3，∴a=―1 2，=a﹣b+1，∴a﹣b+1＝1或0，∴b=―12或12，∴ab＝±1 4．总结提升：本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．变式训练1．（2022秋•唐河县月考）阅读下列解题过程：2，求a的取值范围．解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）．当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件．当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）．综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题．（1）当2≤a≤5 ；（2=4成立，求a的取值范围．思路引领：（1）根据二次根式的性质即可求出答案；（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案．解：（1）∵2≤a≤5，∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|＝a﹣2﹣（a﹣5）＝3；（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，∴a＝3，符合题意；当3＜a＜7时，∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；当a≥7时，∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，∴a＝7，符合题意；综上所述，3≤a≤7；总结提升：本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．类型六纠正解题过程中的错误典例6（2022秋•金水区校级期中）计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．222+22+2……第一步＝10……第三步任务一：填空：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；任务二：请写出正确的计算过程；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．思路引领：任务一：利用完全平方公式进行计算即可解答；任务二：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．解：任务一：填空：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式运用错误，故答案为：一，完全平方公式运用错误；任务二：222+2﹣[2﹣+2]＝5﹣（6﹣+5）＝5﹣5＝任务三：在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．针对训练1．（2022春•12(的过程，请认真阅读并完成相应的任务．―12(―12(2第一步―12×―12×第二步第三步第四步=―第五步任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．任务二：请你写出正确的计算过程．思路引领：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．解：（1）任务一：小明同学的解答过程从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号后，括号内第二项没有变号，故答案为：二；去括号后，括号内第二项没有变号；（2―12(―12(2总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．类型7 分子有理化求最值和比较大小典例7 （2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：―分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：――=1，―+―再例如：求y ―解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =4．当x ＝2+2，所以y 的最大值是2．解决下述问题：（1）比较―4和（2）求y =思路引领：（1）利用分母有理化得到4=2，=2，利用4＞4＜（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x ≥0，x ≥0，则x ≥0，利用分母有理化得到y =1，由于x ＝01，从而得到y 的最大值．解：（1）∵―4==2，=而4∴+4＞∴―4＜（2）由1+x ≥0，x ≥0得x ≥0，而y ―1，∵x＝01，∴y的最大值为1．总结提升：本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．针对训练1．（2021秋•即墨区期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．1．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：―+再例如，求y―解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=4．当x＝2+2．所以y的最大值是2．利用上面的方法，完成下面问题：（1（2）求y=+2的最大值．思路引领：（1）利用平方差公式进行分子有理化计算，从而比较大小；（2）利用二次根式有意义的条件确定x的取值范围，然后通过利用平方差公式对原式进行分子有理化变形，从而确定其最大值．解：（1=1；=++――（2）∵x+1≥0且x﹣1≥0，∴x≥1，原式=2，当x＝1时，2有最大值为此时，原式有最大值为2+总结提升：本题考查二次根式的有理化计算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．第二部分专题提优训练1．（2022秋•萧县期中）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题：x的值是多少？∴x﹣1≥0且1﹣x≥0．又∵x﹣1和1﹣x互为相反数，∴x﹣1＝0，且1﹣x＝0，∴x＝1．问题：若y=+2，求x y的值．思路引领：根据二次根式中的被开方数是非负数，可得x的值，进而得出y的值，然后代入所求式子计算即可．解：由题意得：2x―1≥01―2x≥0，∴2x﹣1＝0，解得x=1 2，所以y＝2，所以x y=(12)2=14．总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出被开方数的取值范围是解题关键．2．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使x+y＝a且xy＝b，这样“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．=1+（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如2样的式子，其实我们还可以将其进一12=1．那么我们称这个过程为分式的分母有理化．根据阅读材料解决下列问题：（1）化简“和谐二次根式”： ； ．（2）已知m =n ，求m nm n 的值．思路引领：（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；（2）先根据阅读材料（一）化简m 与n 的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可．（1）解：=+2；=2―+2；2―（2）解：∵m =11n =11+∴m ﹣n ―m +n =+∴m n m n=总结提升：本题考查的是估算无理数的大小，二次根式的性质与化简，考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，弄懂题意，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．3．（2021秋•广平县期末）阅读下列解题过程―（1）观察上面的解答过程，请写出1= ．（2⋅⋅⋅思路引领：（1（2）把各加数分母有理化，再合并同类二次根式．解：（1（2）1+11⋅⋅⋅+11=―1+―...=1＝10﹣1＝9．总结提升：此题考查二次根式的分母有理化，确定最简公分母和合并同类二次根式是关键．4．（2022秋•南召县月考）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：(2+×(2―=1，×=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：7+像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+ ．（2）已知x =y ，则1x +1y = ．（3）利用上面所提供的解法，请化简1+1+1+⋯+1+1．思路引领：（1）根据有理化因式的概念解答；（2）利用二次根式的乘法法则计算；（3）根据分母有理化、二次根式的加法法则计算．解：（1）∵（4+（416﹣7＝9，∴44―故答案为：4（2）∵x =∴1x =2＝5﹣同理，1y =∴1x+1y =5﹣=10，故答案为：10；（3）原式=―1++⋯+＝10﹣1＝9．总结提升：本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．5．（2022秋•峄城区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题：再进行二次根式运算时，我们有时会碰上如5，221=1．以上这种化简的过程叫做分母有理化．（1）请根据以上方法化简：①4；②4；③1（2）直接写出：2― ；（3）计算：⋯⋯+⋅思路引领：（1）根据阅读材料分母有理化即可；（2）根据倒数的概念列式，再分母有理化即可；（3）将括号内各数分母有理化，合并同类二次根式后再算乘法．解：（14+1；1（2）2―=2+故答案为：2（3―......+×+1）―1）1）＝2022．总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握分母有理化的方法．6．（2022春•昭化区期末）=a （a ≥0），+1）―1）＝b ﹣1（b ≥0）这样的+1―1，都互为有理化因式．进行含有二次根式的分式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．【解决问题】（1―3的有理化因式为 ；（2）已知正整数a ，bb3―a ，b 的值．思路引领：（1―3的有理化因式；（2）根据题意，将题目中的式子变形，然后即可得到关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可．解：（1―3）+3）＝7﹣9＝﹣2，―3+3，+3；（2）∵a=3―=3﹣∴a +1）＝3﹣+a ―＝3﹣∴（a ―12b a ＝3﹣∴a ―12b =―2a =3，解得a =3b =10，即a 的值是3，b 的值是10．总结提升：本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和分母有理化的方法．7．（2022春•新余期末）阅读下列解题过程：=2，求a 的取值．解：原式＝|a ﹣2|+|a ﹣4|，当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；所以，a的取值范围是2≤a≤4．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：（1）当3≤a≤7（26，求a的取值；（3=5的a的取值范围 ．思路引领：（1）根据已知可得3﹣a≤0，a﹣7≤0，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答；（2）按照例题的思路，分类讨论进行计算即可解答；（3）按照例题的思路，分类讨论进行计算即可解答．解：（1）∵3≤a≤7，∴3﹣a≤0，a﹣7≤0，＝|3﹣a|+|a﹣7|＝a﹣3+7﹣a＝4；（2）原式＝|a+1|+|a﹣3|，当a＜﹣1时，原式＝﹣a﹣1+3﹣a＝﹣2a+2＝6，解得a＝﹣2；当﹣1≤a＜3时，原式＝a+1+3﹣a＝4，等式不成立；当a≥3时，原式＝a+1+a﹣3＝2a﹣2＝6，解得a＝4；所以，a的值为﹣2或4；（3）原式＝|a﹣1|+|a﹣6|，当a＜1时，原式＝1﹣a+6﹣a＝7﹣2a＝5，解得a＝1（舍去）；当1≤a＜6时，原式＝a﹣1+6﹣a＝5，等式恒成立；当a≥6时，原式＝a﹣1+a﹣6＝2a﹣7＝5，解得a＝6；∴a的取值范围：1≤a≤6，故答案为：1≤a≤6．总结提升：本题考查了整式的加减，二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键．8．（2022秋•辉县市期中）【阅读学习】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（1+ 2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+=（m+2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+=m2+2n2．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+【解决问题】（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+（m+2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a ＝ ，b＝ ；（2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+（m+2成立，且a+b+m+n 的值最小．请直接写出a，b，m，n的值；（3）若a=（m+2，且a，m，n均为正整数，求a的值．思路引领：（1）根据阅读材料，利用完全平方公式将等式右边展开，即可求出a、b的值；（2）根据（1）的结论即可得到结果；（3）根据题意得到a＝m2+5n2，b＝2mn，求得mn＝3，分类讨论即可得到结论．解：（1）（m+2＝m2+3n2＝m2+3n2+2∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）当n＝1，m＝2时，a＝22+3×1＝7，b＝2mn＝4，故a＝7，b＝4，m＝2，n＝1时，a+b+m+n的值最小．（3）（m+2＝m2+5n2＝a∴a＝m2+5n2，6＝2mn，∴mn＝3，∵a、m、n均为正整数，∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1；当m＝1，n＝3时，a＝12+5×32＝46．当m＝3，n＝1时，a＝32+5×12＝14．综上，a的值为14或46．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减，理解题意，弄清阅读材料中把一个式子化为平方式的方法是解题的关键．9．（2022春•邗江区期末）阅读下列材料，并回答问题：把形如a+a﹣a、b为有理数且b＞0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．（1）请你举出一对共轭实数： 3+ 3―（2）﹣a、b的值；（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是思路引领：（1）根据题意，可以写出一组共轭实数，本题答案不唯一；（2）根据共轭实数的定义，可以判断﹣a和b即可；（3）根据两个共轭实数的和是10，差的绝对值是a、b、m的值，从而可以写出这两个共轭实数．解：（1）由题意可得，3+3―故答案为：33―（2）﹣a＝0，b＝2；（3）设这两个共轭实数为a+a﹣∵两个共轭实数的和是10，差的绝对值是∴（a++（a﹣10，|（a+a﹣|＝∴2a＝10，|2∴a＝5，b＝2或b＝﹣2（舍去），m＝3，∴这两个共轭实数是5﹣总结提升：本题考查二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．10．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：问题：已知x=2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x―2，求代数式x2+4x﹣10的值；（2）已知x x 3+x 2+1的值．思路引领：（1）根据完全平方公式求出x 2+4x ＝1，代入计算即可；（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．解：（1）∵x ―2，∴（x +2）2＝5，∴x 2+4x +4＝5，∴x 2+4x ＝1，∴x 2+4x ﹣10＝1﹣10＝﹣9；（2）∵x =∴x 22=则x 3＝x •x 2=2×22，∴x 3+x 2+1=21=总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．11．（2021秋•宽城县期末）（1）计算：+1；（2―2；（3）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：×第一步―第二步―第三步第四步①以上化简步骤中第一步化简的依据是： ；②第 步开始出现错误，请写出错误的原因 ，该运算正确结果应是 ．思路引领：（1）利用平方差公式计算；（2）先把各二次根式化简，然后合并即可；（3）①第一步化简的依据为二次根式的除法法则；②第二步去括号错误，然后计算出正确的结果．解：（1）原式＝5﹣3+1＝3；（2）原式＝+912×5＝―5＝+5；（3）①化简步骤中第一步化简的依据是商的算术平方根，等于算术平方根的商；故答案为商的算术平方根，等于算术平方根的商；②第二步开始出现错误，请写出错误的原因括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；，该运算正确结果应是故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号； 总结提升：本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．12．（2021秋•岳阳期末）王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．（1）小青编的题，观察下列等式：2123―1；2直接写出以下算式的结果：2 ；2（n 为正整数）＝ ；（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：+1）2＝2＝+2＝a +b a ≥0，b ≥0）；再根据平方根的定义可得：+1a ≥0，b ≥0）；直接写出以下算式的结果： ， ， ；（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：（2+2222）思路引领：（1）根据分母有理化化简即可得出答案；（2=|a|化简即可；（3|a|化简，根据平方差公式即可得出答案．解：（17=n1=n为正整数）；（2===+1；===―1；==＝2+1―1，2+（3）原式＝=1―――1））＝11﹣1＝10．总结提升：本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，探索二次根式计算中的规律，将第一个多项式的每项分母有理化，裂项相消是解题的关键．13．（嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b2≥0，∴a﹣b≥0，∴a+b≥a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9≤ ；（2）若m＞0，当m为何值时，m+1m有最小值，最小值是多少？思路引领：（1）根据a+b≥2 a、b均为正实数），进而得出即可；（2）根据a+b≥2 a、b均为正实数），进而得出即可．解：（1）∵a+b≥2 a、b均为正实数），∴a+b＝9，则a+b≥9 2；故答案为：9 2；（2）由（1）得：m +1m≥即m +1m ≥2，当m =1m 时，m ＝1（负数舍去），故m +1m有最小值，最小值是2．总结提升：此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a +b ≥2 a 、b 均为正实数）求出是解题关键．14．（2021春•莆田期中）阅读下面材料：同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式，小明发现像m +n ，mnp 如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．他还发现像m 2+n 2，（m ﹣1）（n ﹣1）等神奇对称式都可以用mn ，m +n 表示．例如：m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn ，（m ﹣1）（n ﹣1）＝mn ﹣（m +n ）+1．于是丽丽把mn 和m +n 称为基本神奇对称式．请根据以上材料解决下列问题：（1）代数式①2，②m 2﹣n 2，③n m ，x ≥0，y ≥0，z ≥0)中，属于神奇对称式的是 （填序号）；（2）已知（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝x 2﹣px +q ．①若p ＝3，q ＝﹣2，则神奇对称式1m +1n= ；②―q ＝0，求神奇对称式m 31m +n 31n的最小值．思路引领：（1）根据神奇对称式的概念进行判断；（2）①首先利用多项式乘多项式的计算法则计算求得mn ，m +n 的值，然后利用分式的计算法则进行计算；②利用分式的运算法则将原式进行化简，然后代入求值，结合配方法求代数式的最值．解：（1①是神奇对称式；只有当m +n ＝0或m ﹣n ＝0时，m 2﹣n 2＝n 2﹣m 2，∴m 2﹣n 2不一定等于n 2﹣m 2，故②不是神奇对称式；只有当m ＝n ≠0或m ＝﹣n 时，n m =m n ，∴n m 不一定等于m n ，故③不是神奇对称式；++④是神奇对称式；故答案为：①④；（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，∴m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，∴1m+1n=m nmn=―32，故答案为：―3 2；②∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，∴m+n＝p，mn＝q，原式＝m2+1m+n2+1n＝（m+n）2﹣2mn+m n mn＝p2﹣2q+p q，q，∴p＝±q，当p＝q时，原式＝p2﹣2q+1＝（p﹣1）2≥0，∴此时，原式的最小值是0；当p＝﹣q时，原式＝p2﹣2q﹣1＝（p﹣1）2﹣2≥﹣2，∴此时，原式的最小值是﹣2；综上，m31m+n31n的最小值是﹣2．总结提升：本题考查多项式乘多项式的运算，分式的混合运算，二次根式的混合运算，理解新定义，掌握运算法则是解题关键．。
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(-2)2 ab ab 3 3 (x -1)2 ab a 3b 9 + x 2 x - 32512a 3a 2 -1 x 2 - 2x+1 24 32 2 y -3 11 x 3 + 3x 2 x + 3 x 2 - 2xy + y 2 x 2 + 2xy + y 2 (x - 1 )2 +4 x (x + 1 )2- 4 x- a 3- a - a a ab a a - a - a •二次根式化简练习题含答案（培优）（一）判断题：（每小题 1 分，共 5 分）1． ＝－2 ．…………………（ ）2． －2 的倒数是 ＋2．（） 3． ＝ ( x -1)2．…（）4． 、1 、 - 31是同类二次根式．…（ ）5 ， 都不是最简二次根式．（ ） 3（二）填空题：（每小题 2 分，共 20 分）16. 当 x时，式子有意义．15 7. 化简－ 8÷ ＝ ． 8. a －的有理化因式是．9．当 1＜x ＜4 时，|x －4|＋ ＝ ．10．方程 （x －1）＝x ＋1 的解是 ．ab - c 2d 211．已知 a 、b 、c 为正数，d ＝．1112．13．化简：(7－5 )2000·(－7－5 )2001＝．14. 若 x +1 ＋ ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝ ．15. x ，y 分别为 8－的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝ ．（三）选择题：（每小题 3 分，共 15 分）16．已知 ＝－x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若 x ＜y ＜0，则 ＋ ＝………………………（）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y18．若 0＜x ＜1，则 －等于………………………（）2 2（A ）（B ）－（C ）－2x（D ）2xx x19．化简 a( a ＜0 ) 得………………………………………………………………（）（A ） （B ）－ （C ）－ （D ） 20．当 a ＜0，b ＜0 时，－a ＋2 －b 可变形为………………………………………（ ）（A ） ( + b )2（B ） － (- b )2（C ） (+ - b )2（D ） (- - b )22 ax b 2 10 27 a5325324 - 11 11 -7aa ab -a3 + 2 3 - 2 3 - 2 3 + 223 +7mnab（四）计算题：（每小题6 分，共24 分）21．（-+）（--）；22．5－4－2；ab n2 2n23．（a－＋m ma b ；m24．（+a）÷（b a +b＋－）（a≠b）．（五）求值：（每小题7 分，共14 分）x3 -xy225．已知x＝，y＝，求x4 y + 2x3 y2 +x2 y3的值．x 2x -x2 +a2 1 26．当x＝1－六、解答题：（每小题8 分，共16 分）b ab +b5 (-2)2 3 (x -1)2 a 3b 9 + x 2 x a a 2 -1 a 2 -1 a 2 -1 2 c 2d 2ab ab ab 7 28 3 48 28 48 2 2 2 2 2 2 x - 2 + yy x2 111127．计算（2 ＋1）．28．若 x ，y 为实数，且 y ＝ 1- 4x ＋ 4x -1 ＋ 1．求2 － 的值．（一）判断题：（每小题 1 分，共 5 分） 1、【提示】 ＝|－2|＝2．【答案】×． 1 2、【提示】＝3 + 2 ＝－（＋2）．【答案】×． 3 - 43、【提示】 ＝|x －1|， ( 数．【答案】×． x -1)2 ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须 x ≥1．但等式左边 x 可取任何4、【提示】1 、- 3化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5、 是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题 2 分，共 20 分） 6、【提示】 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0 且 x ≠9． 7、【答案】－2a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、【提示】（a － ）（ ）＝a 2－ ( a 2 -1)2 ．a ＋ ．【答案】a ＋ ． 9、【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当 1＜x ＜4 时，x －4，x －1 是正数还是负数？x －4 是负数，x －1 是正数．【答案】3． 10、【提示】把方程整理成 ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？ 11、【提示】 ＝|cd |＝－cd ．-1， +1．【答案】x ＝3＋2 ． 【答案】 ＋cd ．【点评】∵ ab ＝ ( ab )2 （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（ + cd ） （ - cd ）．12、【提示】2 ＝ ，4 ＝ ．1 1 1 【答案】＜．【点评】先比较 ，113、【提示】(－7－5 )2001＝(－7－5 )2000·（）[－7－5 ．]（7－5 ）·（－7－5 ）＝？[1．]【答案】－7－5 ．x + 2 + y y x 3 - 22a x b2y - 3 y - 3 11 11 11 11 x 2 - 2xy + y 2 (x - y )2 (x + y )2 a 2- a 3 - a ⋅ a 2 - a a 2- a - a ab (-a )(-b ) a b 3 15 15 11 11 7 7 n ⋅ m m n a + ab + b - ab a + b 5 5 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40．【点评】 x +1 ≥0， ≥0． 当 x +1 ＋ ＝0 时，x ＋1＝0，y －3＝0． 15、【提示】∵ 3＜ ＜4，∴＜8－ ＜．[4，5]．由于 8－ 介于 4 与 5之间，则其整数部分 x ＝？小数部分 y ＝？[x ＝4，y ＝4－ ]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题 3 分，共 15 分） 16、【答案】D ．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17、【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴＝ ＝|x －y |＝y －x ．＝ ＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ．【点评】本题考查二次根式的性质 ＝|a |．18、【提示】(x － 1 )2＋4＝(x ＋ 1 )2，(x ＋ 1 )2－4＝(x － 1)2．又∵ 0＜x ＜1，x x x x1 1 ∴ x ＋ ＞0，x － ＜0．【答案】D ．xx【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当 0＜x ＜1 1 时 ，x － ＜0．x19、【提示】 ＝ ＝ · ＝|a | ＝－a ．【答案】C ． 20、【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝ ( - a )2 ，－b ＝( - b )2 ， ＝ ． 【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式( a )2 ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为 a ＜0，b ＜0 时， 、 都没有意义．（四）计算题：（每小题 6 分，共 24 分）21、【提示】将 - 看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝( - )2－ ( 2)2 ＝5－2 ＋3－2＝6－2 ． 22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝5(4 + 11) － 4( 11 + 7 ) － 2(3 - 7 ) ＝4＋ － － －3＋ ＝1． 16 -1111- 79 - 723、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a 2ab n － m m 1 ）· a 2b 2 ＝ 1－ 1 mn ⋅ m ＋ n b 2 mab n ma 2b 2 11 1 a2 - ab +1＝－＋ ＝ ．b 2aba 2b 2a 2b224、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝ ÷3 m n m nm ⋅m n nx 2 + 2xy + y 2 a a ( a - b ) - b b ( a + b ) - (a + b )(a - b )ab ( a + b )( a - b )a b3 63 - 23 + 23 664 6x2 +a2x2 +a2x2 +a2x2 +a2x2 +a222xx2 +a2 ( x2 +a2 -x)2x -x2 +a2x( x2 +a2 -x) x2 +a253 3 99555ab ( a - b )( a + b )-ab (a +b)4 100= a ＝a +b＝a +ba +b＝·＝－+．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．（五）求值：（每小题7 分，共14 分）25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．2【解】∵x( +2) ＝5＋2 ，y＝＝( -2)2 ＝5－2 ．∴ x＋y＝10，x－y＝4 6 ，xy＝52－(2 )2＝1．x3 -xy 2 x(x +y)(x -y) x -y 2＝x 4 y + 2x3 y 2 +x 2 y 3x2 y(x +y)2＝＝＝ 6 ．xy(x +y) 1⨯10 5【点评】本题将x、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x＋y”、“x－y”、“xy”．从而使求值的过程更简捷．26、【提示】注意：x2＋a2＝( x2+a2 )2，∴ x2＋a2－x ＝（－x），x2－x ＝－x（－x）．x 1＝x 2 - 2x x 2 +a 2 + ( x 2 +a 2 )2 +x x 2 +a 2 -x 2 ( x2 +a2 )2 -x x2 +2x x 2 +a 2 (1x 2 +a 2 -x)1x x2 +a2 ( x2 +a2 -x)＝．当x＝1－1－．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分x式”之差，那么化简会更简便．即原式＝－＋1＝( 1 1 －-1 ) 1 1 ．六、解答题：（每小题8 分，共16 分）x x27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（2 ＋1）（ 2 -1 ＋ 3 - 2 ＋ 4 - 3 ＋…＋100 - 99 ）2 -1 3- 2 4 -3 100 - 99＝（2 ＋1）[（＝（2 ＋1）（＝9（2 ＋1）．2 -1）＋（--1 ））＋（-）＋…＋（-）]【点评】本题第二个括号内有99 个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．a +bx2 +a2 ( x2 +a2 -x)x x2 +a2 ( x2 +a2 -x)2100x yy xy x y x x y xy⎧x = 128、【提示】要使 y 有意义，必须满足什么条件？⎧[1⎨- 4x ≥ 0 ] 你能求出 x ，y 的值吗？[⎨ 4 ]⎩4x -1 ≥0. ⎧ 1⎪ y = 1 . ⎩ 2 x ≤ ⎧1 - 4x ≥ 0 4 1 1 1 【解】要使 y 有意义，必须[⎨⎩4x - 1 ≥ 0 ， 即⎨⎪ 1 x ≥ .∴ x ＝ 4．当 x ＝ 时4 ，y ＝ ．2又∵＝| + － |－| ＝- |∵ ⎩ 4 －x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，∴x y＜ ． 42 yx∴ 原式＝ － ＝2 当 x 1 y 1 + + ＝ ， ＝ 时 ， 421 原式＝2 4 ＝1 2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出 x 的值，进而求出 y 的值．x y 2 ( y )2 y x x + x + 2 + y y x x - 2 + y y x ( y )2y x x - y xx y“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
专题02 二次根式综合(压轴33题10个考点)(解析版)
专题02二次根式综合（压轴33题10个考点）一．二次根式的定义（共1小题）1．若是整数，则正整数n的最小值是51．【答案】51．【解答】解：∵204＝4×51，∴，∴，∵是整数，且n是整数，∴n的最小值为：51．故答案为：51．二．二次根式有意义的条件（共3小题）2．使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．﹣1≤x≤2C．x≤2D．﹣1＜x＜2【答案】B【解答】解：根据题意，得，解得，﹣1≤x≤2；故选：B．3．已知|2004﹣a|+＝a，则a﹣20042＝2005．【答案】2005．【解答】解：∵有意义，∴a﹣2005≥0，解得：a≥2005，∴|2004﹣a|+＝a﹣2004+＝a，故＝2004，∴a﹣2005＝20042，∴a﹣20042＝a﹣（a﹣2005）＝a﹣a+2005＝2005．故答案为：2005．4．已知，则x2022y2023＝﹣．【答案】．【解答】解：∵，即，解得：，∴x＝2，∴，∵x2022y2023＝（xy）2022•y，将x＝2，代入，∴x2022y2023＝（xy）2022•y＝[2×（﹣）]2022×（﹣）＝（﹣1）2022×（﹣）＝﹣．故答案为：．三．二次根式的性质与化简（共8小题）5．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1B．x+1C．﹣x﹣1D．1﹣x【答案】D【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．6．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（）A．4B．2a C．2b D．2a﹣2b【答案】A【解答】解：由数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．∴＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|＝a+2+2﹣b+b﹣a＝4．故选：A．7．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n ﹣1），所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．故选：C．8．已知T1＝＝＝，T2＝＝＝，T3＝＝＝，…T n＝，其中n为正整数．设S n＝T1+T2+T3+…+T n，则S2021值是（）A．2021B．2022C．2021D．2022【答案】A【解答】解：由T1、T2、T3…的规律可得，T1＝＝1+（1﹣），T2＝＝1+（﹣），T3＝＝1+（﹣），……T2021＝＝1+（﹣），所以S2021＝T1+T2+T3+…+T2021＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝（1+1+1+…+1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝2021+（1﹣）＝2021+＝2021，故选：A．9．已知a≠0，b≠0且a＜b，化简的结果是﹣a．【答案】﹣a．【解答】解：由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，∵a＜b，∴a＜0＜b，所以原式＝|a|＝﹣a，故答案为：﹣a．10．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，则x+y的最小值为﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，∴|x+2|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣5|＝9，∵|x+2|+|x﹣1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到﹣2和1两点的距离之和；|y+1|+|y ﹣5|可理解为在数轴上，数y的对应的点到﹣1和5两点的距离之和，∴当﹣2≤x≤1，|x+2|+|x﹣1|的最小值为3；当﹣1≤y≤5时，|y+1|+|y﹣5|的最小值为6，∴x的范围为﹣2≤x≤1，y的范围为﹣1≤y≤5，当x＝﹣2，y＝﹣1时，x+y的值最小，最小值为﹣3．故答案为﹣3．11．若，则m的取值范围是m≤4．【答案】见试题解答内容【解答】解：，得4﹣m≥0，解得m≤4，故答案为：m≤4．12．若x＜2，化简|﹣x|的正确结果是2x+2或﹣4x+2．【答案】2x+2或﹣4x+2．【解答】解：当0≤x＜2时，原式＝|x﹣2|+3x＝2﹣x+3x＝2x+2；当x＜0时，原式＝|x﹣2|﹣3x＝2﹣x﹣3x＝﹣4x+2．故答案为：2x+2或﹣4x+2．四．二次根式的乘除法（共4小题）13．使式子成立的条件是（）A．a≥5B．a＞5C．0≤a≤5D．0≤a＜5【答案】B【解答】解：由题意得：，解得：a＞5．故选：B．14．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+ 4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（）A．5+3B．5+C．5﹣D．5﹣3【答案】D【解答】解：设x＝﹣，且＞，∴x＜0，∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，∴x2＝12﹣2×3＝6，∴x＝，∵＝5﹣2，∴原式＝5﹣2﹣＝5﹣3，故选：D．15．若a，b为有理数且满足，则a+b＝4．【答案】1．【解答】解：∵，∴＝．∴a＝3，b＝1．∴a+b＝3+1＝4．故答案为：4．16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简：．解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：．∴1﹣x＞0．∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简．【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．（3）已知a，b，c为A B C的三边长．化简：．【答案】（1）1；（2）﹣a﹣2b；（3）2a+2b+2c．【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，∴x﹣3＜0，∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．五．分母有理化（共1小题）17．阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，∴．模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）；模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，即12+（）2＝6，1×＝，所以：＝＝＝1+；（2）首先把化为，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，即（）2+（）2＝13，×＝，所以＝＝＝＝﹣＝2﹣；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，所以，所以，．六．同类二次根式（共1小题）18．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（）A．16B．0C．2D．不确定【答案】B【解答】解：∵＝3，而最简二次根式与是同类二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故选：B．七．二次根式的加减法（共1小题）19．若，则x﹣x2的值为﹣6．【答案】﹣6．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0．∴x≥2．∴1﹣x＜0．∴．∴x﹣1+＝x．∴．∴x＝3．∴x﹣x2＝3﹣9＝﹣6．故答案为：﹣6．八．二次根式的混合运算（共4小题）20．已知，，则2y﹣3x的平方根为±4．【答案】±4．【解答】解：∵，∴96﹣x≥0，∴x≤96，∴100﹣x+96﹣x＝200，解得x＝﹣2，∵，∴m+23≥0，m﹣2≥0，2﹣m≥0，解得m＝2，∴y＝5，∴±＝±＝±4，故答案为：±4．21．计算的结果是+．【答案】+．【解答】解：原式＝[（﹣）（+）]2022×（+）＝（2﹣3）2022×（+）＝+．故答案为：+．22．已知a＝，b＝．（1）求a+b的值；（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．【答案】（1）2；（2）20．【解答】解：（1）a＝＝＝﹣2，b＝＝＝+2．a+b＝﹣2++2＝2，（2）∵2＜＜3，∴0＜﹣2＜1，4＜+2＜5，∴m＝﹣2，n＝4，∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（2﹣4+4）2＝20．23．先阅读下面的材料，再解答下列问题．∵，∴．特别地，，∴．这种变形叫做将分母有理化．利用上述思路方法计算下列各式：（1）；（2）．【答案】（1）2020；（2）1．【解答】解：（1）＝＝＝2021﹣1＝2020；（2）＝＝＝＝1．九．二次根式的化简求值（共8小题）24．已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（）A．B．﹣10C．﹣2D．【答案】C【解答】解：∵，∴x﹣1＝，∴x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7＝（）2﹣7＝5﹣7＝﹣2，故选：C．25．已知，，则a与b的关系是（）A．a＝b B．ab＝1C．ab＝﹣1D．a+b＝0【答案】D【解答】解：a＝＝＝3﹣＝﹣（﹣3），A．a＝﹣b，故本选项不符合题意；B．ab＝（3﹣）×（﹣3）＝﹣（﹣3）2＝﹣（5﹣6+3）＝﹣5+6﹣3＝﹣8+6，故本选项不符合题意；C．ab＝﹣8+6，故本选项不符合题意；D．a+b＝3﹣+﹣3＝0，故本选项符合题意．故选：D．26．若x2+y2＝1，则++的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：∵x2+y2＝1，∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，∵＝＝，x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴y＝0，∴++＝2+1+0＝3．故选：D．27．若a＝2+，b＝2﹣，则＝8．【答案】8．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2＝（2+√5）2＝4+4+5＝9+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+5＝9﹣4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣5＝﹣1．﹣＝＝＝8．故答案为：8．28．若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝4030．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵m＝＝＝＝，∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015＝4032﹣2＝403029．已知a＝2+，b＝，则a2﹣3ab+b2的值为11．【答案】11．【解答】解：当a＝2+，b＝时，a2﹣3ab+b2，＝﹣+，＝，＝，＝11．30．某同学在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与求解的：先将a进行分母有理化，过程如下，，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据上述分析过程，解决如下问题：（1）若，请将a进行分母有理化；（2）在（1）的条件下，求a2﹣2a的值；（3）在（1）的条件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．【答案】（1）；（2）1；（3）．【解答】解：（1）a＝＝＝；（2）∵，∴（a﹣1）2＝2，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1；（3）根据（2）可知，a2﹣2a＝1，∴2a3﹣4a2﹣1＝2a（a2﹣2a）﹣1＝2a﹣1，当a＝时，原式＝2（）﹣1＝2．31．小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）计算：．（2）若a＝．①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；②求a3﹣3a2+a+1的值．【答案】（1）9；（2）①a＝+1，4a2﹣8a﹣1的值是3；②0．【解答】解：（1）＝﹣1+++…+＝﹣1+＝﹣1+10＝9；（2）①a＝＝＝＝+1，∴a＝+1，∴（a﹣1）2＝（）2＝2，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴4a2﹣8a﹣1＝4（a2﹣2a）﹣1＝4×1﹣1＝4﹣1＝3；②由①知a2﹣2a＝1，∴a3﹣3a2+a+1＝a（a2﹣2a）﹣（a2﹣2a）﹣a+1＝a×1﹣1﹣a+1＝a﹣1﹣a+1＝0．十．二次根式的应用（共2小题）32．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是1或或2﹣．【答案】1或或2﹣．【解答】解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是或；如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．故答案为：1或或2﹣．33．古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝7，则用海伦公式求得△ABC的面积为．【答案】【解答】解：由题意可得：a＝6，b＝7，c＝3，∴，∴＝＝＝，故答案为：．。
【精华版】二次根式计算专题训练 (附答案)
二次根式计算专题训练一、解答题（共30小题）1．计算：（1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算：（1）（π﹣）0+|﹣2|﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）—2．（4）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）3．计算化简：（1）++（2）2﹣6+3．4．计算（1）+﹣（2）÷×．、5．计算：（1）×+3×2（2）2﹣6+3．6．计算：（1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）×（3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）—7．计算（1）•（a≥0）（2）÷（3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）^8．计算：：（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷．9．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．[10．计算：（1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0．￥11．计算：（1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2•．12．计算：①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2．￥13．计算题（1）××（2）﹣+2（3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）．：14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．)16．化简：﹣a．17．计算：（1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015．18．计算：．~19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|．…22．观察下列等式：①==；②==；③==………回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++…+．23．观察下面的变形规律：.=，=，=，=，…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=；（2）计算：（++…+）×（）24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣1==﹣；￥==﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果；（2）计算（）（）=；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++…+）（）．25．计算：（1）6﹣2﹣3（2）4+﹣+4．|26．计算（1）|﹣2|﹣+2（2）﹣×+．27．计算．-28．计算（1）9+7﹣5+2（2）（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3（2）﹣×．—30．计算（1）9+7﹣5+2（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2《二次根式计算专题训练》参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．计算：（1）+= 2+5= 7；（2）（+）+（﹣= 4+2+2﹣= 6+．2．计算：（1）（π﹣）0+|﹣2|﹣+（）﹣2 =1+2﹣﹣4+9=12﹣5；…（2）﹣4﹣（﹣）= 2﹣4×﹣+2= +（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2 =﹣x2+6x﹣9﹣（x2﹣4x+4）=﹣2x2+10x﹣133．计算化简：（1）++= 2+3+2= 5+2；（2）2﹣6+3= 2×2﹣6×+3×4= 144．计算（1）+﹣= 2+4﹣2= 6﹣2．（2）÷×= 2÷3×3= 2．5．计算：（1）×+3×2= 7+30= 37（2）2﹣6+3= 4﹣2+12= 146．计算：（1）（）2﹣20+|﹣| = 3﹣1+=（2）（﹣）×=（3﹣）×= 24（3）2﹣3+= 4﹣12+5=﹣8+5（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）=（2+）2（2﹣）2+（2+）（2﹣）= 1+1 = 27．计算（1）•（a≥0）= = 6a（2）÷= =（3）+﹣﹣= 2+3﹣2﹣4= 2﹣3（4）（3+）（﹣）= 3﹣3+2﹣5=﹣2﹣8．计算：（1）+﹣=+3﹣2=2；（2）3+（﹣）+÷=+﹣2+=．9．计算：（1）﹣4+÷=3﹣2+=3﹣2+2=3；（2）（1﹣）（1+）+（1+）2 =1﹣5+1+2+5 =2+2．10．计算：（1）﹣4+=3﹣2+=2；（2）+2﹣（﹣）=2+2﹣3+=3﹣；（3）（2+）（2﹣）=12﹣6 =6；（4）+﹣（﹣1）0 =+1+3﹣1 =4．11．计算：（1）（3+﹣4）÷=（9+﹣2）÷4=8÷4=2；（2）+9﹣2x2•=4+3﹣2x2×=7﹣2=5．12．计算：①4+﹣+4=4+3﹣2+4=7+2；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2 =49﹣48﹣（45+1﹣6）=﹣45+6．13．计算题（1）××===2×3×5 =30；（2）﹣+2=×4﹣2+2×=2﹣2+=；（3）（﹣1﹣）（﹣+1）=﹣（1+）（1﹣）=﹣（1﹣5）=4；（4）÷（﹣）=2÷（﹣）=2÷=12；（5）÷﹣×+=4÷﹣+2=4+；（6）===．14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．解：a==2+，b=2﹣，则a+b=4，ab=1，a2+3ab+b2=（a+b）2+ab =17．15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形：，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y都是有理数，∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数，∴解得∵有意义的条件是x≥y，∴取x=5，y=﹣4，∴．【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．16．化简：﹣a．【分析】分别求出=﹣a，=﹣，代入合并即可．【解答】解：原式=﹣a+=（﹣a+1）．【点评】本题考查了二次根式性质的应用当a≥0时，=a，当a≤0时，=﹣a．17．计算：（1）9+5﹣3= 9+10﹣12= 7；（2）2= 2×2×2×= ；（3）（）2016（﹣）2015．=[（+）（﹣）]2015•（+）=（5﹣6）2015•（+）=﹣（+）=﹣﹣．18．计算：．解：原式=+（）2﹣2+1﹣+=3+3﹣2+1﹣2+=4﹣．19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可求出y的值，然后代入x﹣y2求值即可．【解答】解：由题意得：，解得：x=，把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当x=，y=﹣4时x﹣y2=﹣16=﹣14．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．【解】解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c=3a+b﹣c．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|．解：∵1＜x＜5，∴原式=|x﹣1|﹣|x﹣5| =（x﹣1）﹣（5﹣x）= 2x﹣6．22．观察下列等式：①==；②==；③==…回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++…+．【分析】（1）根据观察，可发现规律；=，根据规律，可得答案；（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．【解答】解：（1）原式==；）（2）原式=+++…+=（﹣1）．23．观察下面的变形规律：=，=，=，=，…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=﹣；（2）计算：（++…+）×（）解：原式=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]（+1）=（﹣1）（+1）=（）2﹣12 = 2016﹣1 = 2015．24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣1==﹣；==﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果﹣；（2）计算（）（）=1；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++…+）（）．=（﹣1+﹣+…+﹣）（）=（﹣1）（+1）=2017﹣1 =2016．25．计算：（1）6﹣2﹣3= 6﹣5= 6﹣；（2）4+﹣+4= 4+3﹣2+4= 7+2．26．计算（1）|﹣2|﹣+2= 2﹣﹣2+2= ；（2）﹣×+= ﹣×5+= ﹣1+=﹣．27．计算．=（10﹣6+4）÷=（10﹣6+4）÷=（40﹣18+8）÷=30÷=15．28．计算（1）9+7﹣5+2= 9+14﹣20+= ；（2）（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2 = 12﹣1﹣1+4﹣12 = 4﹣2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3= ﹣+=6﹣6+=6﹣5；（2）﹣×= +1﹣= 2+1﹣2．30．计算（1）9+7﹣5+2= 9+14﹣20+= ；（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2=3﹣1﹣（1+12﹣4）=2﹣13+4=﹣11+4．$。
二次根式提高练习习题(含答案)
《二次根式》（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）2．3－2的倒数是3＋2．（ ）3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）4．ab 、31b a 3、ba x 2-是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ） （二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义． 7．化简－81527102÷31225a ＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．（三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤017．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+x x 等于………………………（ ） （A ）x 2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---（四）计算题：（每小题6分，共24分）21．（235+-）（235--）；22.1145-－7114-－732+；23.（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）÷a 2b 2mn ；24.（a ＋ba ab b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．（五）求值：（每小题7分，共14分）25．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．26.当x ＝1－2时，求2222a x x a x x+-+＋222222a x x x a x x +-+-＋221a x +的值．六、解答题：（每小题8分，共16分）27．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．28.若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xy y x +-2的值．。
2019年宜宾中考总复习精练第1章数与式第4讲二次根式(含答案)
第四讲 二次根式1．(2019潍坊中考)若代数式x －2x －1有意义，则实数x 的取值范围是( B )A ．x ≥1B ．x ≥2C ．x ＞1D ．x ＞22．(2019淮安中考) 下列式子为最简二次根式的是( A ) A. 5 B.12 C.a 2D.1a3．(2019十堰中考)下列运算正确的是( C ) A.2＋3＝ 6 B ．22×32＝6 2 C.8÷2＝2 D ．32－2＝3 4．计算48－913的结果是( B ) A ．－ 3 B. 3 C ．－113 3 D.11335．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( C ) A ．9 B ．±3 C ．3 D. 5 6．若x －1＋(y ＋2)2＝0，则(x ＋y)2 018等于( B )A ．－1B ．1C ．32 018 D ．－32 0187．(2019徐州中考改编)使x －6有意义的x 的最小整数是__6__．8．计算：(1)(2019长春中考)2×3＝；(2)(2019衡阳中考)8－2＝．9．已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 21＋x 22＝__10__．10．已知a(a －3)＜0，则|a －3|＋a 2＝． 11．若20n 是整数，则正整数n 的最小值为__5__．12．将2，3，6按下列方式排列，若规定(m ，n)表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(15，7)表示的两数之积是．13．(2019滨州中考改编)计算： 33＋(3－3)0－|－12|－2－1－cos60°.解：原式＝3＋1－23－12－12＝－ 3.14．设a ＝19－1，且a 在两个相邻的整数之间，则这两个整数是( C )A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和515．若反比例函数y＝a－2 018x的图象与正比例函数y＝(a－2 016)x的图象没有公共点，则化简（a－2 018）2＋（a－2 016）2的结果为( C )A．－2 B．2a－4 034C．2 D．4 03416．将一组数3，6，3，23，15，…，310，按下面的方式进行排列：3，6，3，23，15，32，21，26，33…若23的位置记为(1，4)，26的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( C )A．(5，2) B．(5，5) C．(6，2) D．(6，5)17．已知a，b为有理数，m，n分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn＋bn2＝1，则 2a＋b＝__2.5__．18.若y＝x－4＋4－x2－2，则(x＋y)y＝__14__．19.计算：(2－3)2 017(2＋3)2 018－2|－32|－(－2)0.解：原式＝[(2－3)(2＋3)]2 017(2＋3)－2×32－1＝(2＋3)－3－1＝2＋3－3－1＝1.20．解方程：x＋2x－1＋x－2x－1＝x－1.解：方程两边同时平方，得2x＋2x2－（2x－1）2＝x2－2x＋1，变形，得2x＋2x2－4x＋4＝x2－2x＋1，2x＋2（x－2）2＝x2－2x＋1，2x＋2|x－2|＝x2－2x＋1，∵x－1≥0，即x≥1.∴①当1≤x＜2时，原方程化简为：2x＋2(2－x)＝x2－2x＋1，即x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3(都不符合题意，舍去)，②当x≥2时，原方程化简为：2x＋2(x－2)＝x2－2x＋1，即x2－6x＋5＝0，解得x1＝1，x2＝5(x＝1不符合题意，舍去)，综上，原方程的解为x＝5.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，AB ∥ED ，CD=BF ，若△ABC ≌△EDF ，则还需要补充的条件可以是（ ）A.AC=EFB.BC=DFC.AB=DED.∠B=∠E2．立定跳远是体育中考选考项目之一，体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表：则下列关于这组数据的说法，正确的是（ ） A ．众数是2.3 B ．平均数是2.4 C ．中位数是2.5D ．方差是0.013．如图，OA 在x 轴上，OB 在y 轴上，OA ＝4，OB ＝3，点C 在边OA 上，AC ＝1，⊙P 的圆心P 在线段BC 上，且⊙P 与边AB ，AO 都相切．若反比例函数y ＝kx（k≠0）的图象经过圆心P ，则k 的值是（ ）A.54-B.53-C.52-D.﹣24．在平面直角坐标系中，点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．(3,5)B ．(3,-5)C ．(-3,-5)D ．(-3,5)5．下列计算正确的是（ ） A ．224a a a += B ．()2326a a =C ．()23533a aa -=-gD ．623422a a a ÷=6．国家统计局统计资料显示，2018年第一季度我国国内生产总值为31355.55亿元，用科学记数法表示为( )元．(用四舍五入法保留3个有效数字) A ．831355.510⨯B ．133.1410⨯C ．123.1410⨯D ．123.1310⨯7．为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表：则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法错误的是（ ） A ．众数是60B ．平均数是21C ．抽查了10个同学D ．中位数是508．某同学做了四道题：①3m+4n=7mn ；②（﹣2a 2）3=﹣8a 6；③6x 6÷2x 2=3x 3；④y 3•xy 2=xy 5，其中正确的题号是（ ） A ．②④B ．①③C ．①②D ．③④9．如图，平面上有两个全等的正八边形ABCDEFGH 、A′B′C′D′E′F′G′H′，若点B 与点B′重合，点H 与点H′重合，则∠ABA′的度数为（ ）A.15°B.30°C.45°D.60°10．如图，ABCDEF 为⊙O 的内接正六边形，AB ＝m ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．6πm 2B m 2C ．3π⎛- ⎝⎭m 2D ．6π⎛- ⎝⎭m 211．如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＞90°，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上，将△CDE 沿DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点F 处，连结AD ，则下列结论不一定正确的是（ ）A.AE=EFB.AB=2DEC.△ADF 和△ADE 的面积相等D.△ADE 和△FDE 的面积相等12．下列计算正确的是（ ） A ．（a 2b ）2＝a 2b 2 B ．a 6÷a 2＝a 3C ．（3xy 2）2＝6x 2y 4D ．（﹣m ）7÷（﹣m ）2＝﹣m 5二、填空题13．如图，在3×3的方格中（共有9个小格），每个小方格都是边长为1的正方形，O、B、C是格点，则扇形OBC的面积等于___（结果保留π）14．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是_____度．15．分解因式：ab4－4ab3＋4ab2＝______________。
2019年北京中考数学习题精选：实数的运算(含二次根式)(含答案)
一、选择题1．（2018北京燕山地区一模）实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示, 则 正确的结论是A ．0<+b aB ． 2->aC ． π>bD ．0<ba 答案：D2．（2018北京市怀柔区初二期末）下列运算结果正确的是A ．9)9(2-=-B ．2(2)2-= C ．623÷= D ．525±=答案： B 3．（2018北京市门头沟区八年级期末）9的平方根是 A ．3B ．3±C ．3±D ．81答案：B4．（2018北京市石景山区初二期末）估计13的值在A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间答案：C5. （2018北京延庆区八年级第一学区期末）下列变形中，正确的是 A. (23)2＝2×3＝6 B. 2)52(-＝－52C.169+＝169+ D. )4()9(-⨯-＝49⨯答案：D6．（2018北京市顺义区八年级期末）下列运算错误的是 A. 236⨯= B. 623÷= C.235+= D.2(2)2-=答案：C7.（2018北京怀柔区初一第一学期期末）4．观察算式28)25(71)4(⨯-⨯⨯-，在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是A.乘法交换律B.乘法结合律C.乘法交换律、结合律D.乘法对加法的分配律 答 案C8.（2018北京平谷区初一第一学期期末）下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. (2)-- B. 2-C. 3(2)-D. 2(2)-答案C9.（2018北京石景山区初一第一学期期末）2．计算11001010-÷⨯，结果正确的是 A ．100- B ．100C ．1D ．1-答案：D10.（2018北京平谷区初一第一学期期末）计算 221⎪⎭⎫⎝⎛-=b a -5-4-3-25420答案：41二、填空题 11.（2018北京平谷区初一第一学期期末）10.小丽家冰箱冷冻室温度为-5℃，调高4℃后的温度为 ___________. 答案 ：-1℃12.（2018北京平谷区初一第一学期期末）13. 已知02)1(2=-++y x ，则y x +的值为答案：113.（2018北京怀柔区初一第一学期期末）16.学习了有理数的运算后，老师出了一道题：计算-5-3的值，小罗同学是这样做的：-5-3=-5+（-3）=-8，他的理由是：减去一个数等于加上这个数的相反数.聪明的你还有什么方法计算此题？请写出你的计算过程： ，你这样计算的理由是： . 答案：-5-3=-（5+3）=-8（1）添上前面带有“-”号的括号时，括号内各数的符号都要改变.（2）同号的两数相加，符号不变，并把两个加数的绝对值相加. (答案不唯一)14.（2018北京海淀区七年级第一学期期末）16. 规定图形b ca表示运算a b c --,图形zy wx 表示运算x z y w --+.则132 +4576=________________（直接写出答案）. 答案：8-; 15、（2018北京延庆区初一第一学期期末）16．按下面的程序计算：NoYes>149计算4x -2的值输入x 输出结果如果输入x 的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x 的值有 个．16.（2018北京市大兴区检测） 计算：13118272-⎛⎫⎛⎫-----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.答案322- 17、（2018北京大兴第一学期期末）10. 计算：2sin60°－tan 45°＋4cos30°=__________． 答案：33-118.(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)11．计算11512________.436⎛⎫-+⨯=⎪⎝⎭答案：19.（2018123 .答案：3320.（20182(5)- ． 答案：521.（2018北京市丰台区初二期末）一个正方形的面积是10 cm 2，那么这个正方形的边长约是 cm ．（结果保留一位小数） 答案：3.222.（2018北京市怀柔区初二期末）-4没有平方根的理由是 . 答案：因为任何一个实数的平方都是一个非负数（或任何一个实数的平方都不等于-4 ） 23.．（2018小的整数是____________． 答案：324．（2018北京市石景山区初二期末）写出两个无理数，使得它们的和为有理数，则这两个无理数可以为①_______________；②_______________．1；225.（2018北京市平谷区初二期末）计算32⎪⎪⎭⎫⎝⎛-y x =___________ 解：338y x -26、（2018北京市顺义区八年级期末）计算：2= .答案：5-27、．（2018北京市顺义区八年级期末）若实数x y ，0y =，则代数式2xy 的值是 .答案：1528. （2018北京延庆区八年级第一学区期末）小明编写了一个如下程序：输入x →2x →立方根→倒数→算术平方根→21，则x 为 . 答案：±8 三、解答题29.(2018北京昌平区初一第一学期期末) 计算：-3- 2 +（-4）-（-1）.答案： 解:原式= - 3 -2 - 4 + 1 ………………………… 2分 = -5 - 4 + 1 ………………………… 3分 = -9 + 1 ………………………… 4分 = -8 . ………………………… 5分 30.(2018北京昌平区初一第一学期期末)18. 计算：(-3)×6÷（-2）×12. 答案： 解：原式= ()11822-÷-⨯（）………………………… 2分 =192⨯ ………………………… 4分=92. ………………………… 5分31.(2018北京昌平区初一第一学期期末)19. 计算：153(24)368-+-⨯-⎛⎫ ⎪⎝⎭．答案： 解：原式=()()()153242424368-⨯-+⨯--⨯-⎛⎫ ⎪⎝⎭………………………… 1分 = 8 – 20 + 9 ………………………… 4分= - 3 . ………………………… 5分32.(2018北京昌平区初一第一学期期末)计算：213(12)6(1)2-+-⨯--÷-．答案： 解：原式= ()()19+12+62--⨯ ………………………… 3分= - 9- 6 + 6 ………………………… 4分 = - 9 . ………………………… 5分 33.(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)计算：()()41230(5)-⨯-+÷-.答案： 解：原式1(2)(6)=⨯-+-26=-- 8=-.34.（2018北京东城区初一第一学期期末）计算题：（1） 10﹣（﹣5）+（﹣9）+6 ； （2）﹣14﹣5×[2﹣（﹣3）2]；（3） 626172+--+-5353-⨯⨯（）（）（）． 答案：（1） 10﹣（﹣5）+（﹣9）+6． 解：原式= 10+5﹣9+6 ………2分 =12. ………3分（2）﹣14﹣5×[2﹣（﹣3）2].解：原式=﹣1﹣5×（2﹣9） ………2分=﹣1+35=34 ． ………3分（3）626172+--+-5353-⨯⨯（）（）（）．解：原式=6217-2+533⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭………1分=-2-6 ………2分＝-8 ． ………3分35.（2018北京丰台区初一第一学期期末）计算：()376-+--．答案： 解：原式= 6–7–3……2分= – 4.……3分36.（2018北京丰台区初一第一学期期末）20. 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯-32652118． 答案．解：原式= – 9+15–12……3分= – 6. ……4分37.（2018北京丰台区初一第一学期期末）21. 计算：()4832116+-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷． 答案．解：原式=()()483216+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯……2分=12– 4 ……3分 =8．……4分38.（2018北京丰台区初一第一学期期末）22. 计算：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯-23234332． 答案．解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-2278943……2分=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-23843……3分=3243⨯-=21-．……4分39.（2018北京海淀区七年级第一学期期末）19．计算：（1）()()21862⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭;（2）()411293⎛⎫-+-÷--- ⎪⎝⎭.答案．解：（1）()()21862⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭436=+…………………………………..2分 40= …………………………………..3分（2）()411293⎛⎫-+-÷--- ⎪⎝⎭169=-+- …………………………………..2分 59=-4=- …………………………………..3分40.（2018北京怀柔区初一第一学期期末）17. 计算： 13(15)(23)+---. 答案. 解：原式=13-15+23…………………………………… 3分 =21…………………………………… 4分41.（2018北京怀柔区初一第一学期期末）18. 计算：533()(1)64⨯-÷-.答案. 解：原式=54()27-⨯-…………………………………… 3分=107…………………………………… 4分 42.（2018北京怀柔区初一第一学期期末）计算：23133(2)4-÷-⨯-. 答案 解：原式=19384-÷-⨯-（）=32-+…………………………………… 3分 =-1……………………………………4分 43.（2018北京怀柔区初一第一学期期末）计算： 13116()64124-⨯-+-÷.答案 解：原式1316()46412=-⨯-+-⨯ ………………………………………… 1分 13124()6412=-⨯-+- …………………………………………2分4182=-+ ………………………………………………………3分 12=- ………………………………………………………… 4分 44.（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）计算：（1）()()()482-+--+； （2）()()()1361242⎛⎫-÷+--⨯-⎪⎝⎭． 答案：（1）()()()4+8+2---；解：原式=482---…………………………………………………………………1分 =122--=14-.………………………………………………………………………2分（2）()()()136+1242⎛⎫-÷--⨯-⎪⎝⎭； 解：原式=32--……………………………………………………………………2分 =5-…………………………………………………………………………3分45.（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）19．计算：（1） ()231243412⎛⎫--⨯- ⎪⎝⎭； （2）()2442313⎡⎤⎛⎫--⨯--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．答案：（1）()231243412⎛⎫--⨯- ⎪⎝⎭；解：原式=16+18+2-…………………………………………………………………3分 =4…………………………………………………………………………4分（2）()2442313⎡⎤⎛⎫--⨯--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．解：原式=[]1641----………………………………………………………………3分=()165---…………………………………………………………………4分 =16+5-=11-…………………………………………………………………………5分46.（2018北京平谷区初一第一学期期末）17．计算：)()(1712129175---+- 答案 解：)()(1712129175---+- 1712129175+--= (2)=1-9-12 ...........................................................................3 =1-21 ..............................................................................4 =-20 (5)47.（2018北京平谷区初一第一学期期末）18.计算：8)41()2(163⨯-+-÷答案 解：8)41()2(163⨯-+-÷ = 8)41()8(16⨯-+-÷ (2)=)2()8(16-+-÷ (3)=-2-2 ..............................................................................4 =-4 (5)48.（2018北京平谷区初一第一学期期末）计算：)24()872161(-⨯-+．答案 解：)24()872161(-⨯-+=)24(87)24(21)24(61-⨯--⨯+-⨯ (3)=-4-12+21 ........................................................................ 4 =5 (5)49.（2018北京石景山区初一第一学期期末）2018328(1)()3⨯--÷．答案：解：原式183(8)=⨯⨯- …………………… 3分3=-． ………………………… 5分 50.（2018北京石景山区初一第一学期期末）25133()(12)634--+-⨯-．答案．解：原式5139[(12)(12)(12)]634=-+⨯--⨯--⨯- ……………………… 3分9(1049)=-+-++ ………………………… 4分6=-． ………………………… 5分51.（2018北京石景山区初一第一学期期末）直接写出计算结果：（1）27-= ；（2）13()12-⨯-= ；（3）11(1)362÷-= ； （4）(2018)(326)-⨯-⨯+= .答案：（1）5-； （2）14； （3）2-； （4）0．52.（2018北京顺义区初一第一学期期末）21．17(33)10(16)-+----答案：解：原式17331016=---+ ……………………………………………………… 2分 6016=-+ ………………………………………………………………… 4分 44=- ……………………………………………………………………… 5分 53.（2018北京顺义区初一第一学期期末）22．76()( 3.2)()437-⨯-⨯--答案：解：原式2( 3.2)4=⨯-- …………………………………………………………… 3分 6.44=-- ……………………………………………………………… 4分 10.4=- ………………………………………………………………… 5分 54.（2018北京顺义区初一第一学期期末）23．1515156()14()9()171717-⨯-+⨯--⨯-． 解：原式15()(6149)17=-⨯-+- ……………………………………………… 2分 15()(1)17=-⨯- ……………………………………………………… 4分1517= …………………………………………………………………… 5分55.（2018北京顺义区初一第一学期期末）24．2217(3)(27)6(3)(2)()23⎡⎤-÷--÷-⨯-+-⎢⎥⎣⎦解：原式579(27)6(9)()()23⎡⎤=÷--÷-⨯-+-⎢⎥⎣⎦ …………………………… 1分1257()()3323⎡⎤=---⨯-+-⎢⎥⎣⎦ ………………………………………… 2分157()333⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦ …………………………………………………… 3分1233⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦ ………………………………………………………… 4分1233=-+13= …………………………………………………………… 5分56.（2018北京西城区七年级第一学期期末）19．(21)(9)(8)(12)---+--- 答案 解：(21)(9)(8)(12)---+---= -21 + 9 - 8 + 12 ...........................................................................................1分 = -29 + 21 .............................................................................................................3分 = -8 ........................................................................................................................4分57.（2018北京西城区七年级第一学期期末）20． 311()()(2)424-⨯-÷-答案． 解：311()()(2)424-⨯-÷-319424=-⨯÷ ........................................................................................................2分314429=-⨯⨯ ........................................................................................................3分16=-4分58.（2018北京西城区七年级第一学期期末）21．31125(25)25()424⨯--⨯+⨯- 解：31125(25)25()424⨯--⨯+⨯- =311252525424⨯+⨯-⨯ ...............................................................................1分=31125()424⨯+- ..............................................................................................2分=25 ...................................................................................................................................4分59.（2018北京西城区七年级第一学期期末）3213(2)0.254[()]4028-⨯-÷---答案 解：3213(2)0.254[()]4028-⨯-÷---=1380.254()4048-⨯-÷-- ...............................................................................1分=180.254()408-⨯-÷-- ...................................................................................2分=24840-+⨯- ....................................................................................................3分 =10- ....................................................................................................................4分60.（2018北京延庆区初一第一学期期末）17．计算： （1）7+（－28）－（－9） （2）23136()3412-⨯+- （3）32128(2)4-÷-⨯- 答案（1）解：7289=-+原式 ……… 2分1628=- ………… 3分12=- ………… 4分（2）解：原式=2313636363412-⨯-⨯+⨯ ………………3分 ＝24273--+ ……………………………4分 ＝48- ……………………………………5分（3）解：原式=18844-÷-⨯………………2分 =11--……………………………… 4分 =-2…………………………………… 5分61．（2018北京燕山地区一模）计算：．计算：4cos30°－12 + 20180 + ||1－3答案：4cos30°－12 + 20180 + ||1－3 =13132234-++-⨯=362．（2018北京顺义区初三练习）计算：()013212sin 452π-+--︒+-．答案：()013212sin 452π-+--︒+-12212132=+--⨯+ ………………………………………………………4分13= ……………………………………………………………………………… 5分 63. （2018北京通州区一模）答案：64．（2018北京延庆区初三统一练习）计算：0113tan 3013(2)()3π-︒+-+--．答案：原式=3⨯33+3-1+1-3 ……4分 =23-3 ……5分 65．（201811184sin 30215-⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭．答案：1118()4sin30215-+︒13254(21)=+⨯- ……………………………………………………… 4分325221=+222=．…………………………………………………………………………… 5分66．（2018北京门头沟区初三综合练习）计算：()201254sin 603π-⎛⎫--++-︒ ⎪⎝⎭．答案：原式92123=-+- …………………………………………………………………………4分82 3.=-………………………………………………………………………………………………5分 67．（2018北京平谷区中考统一练习）计算：()113132sin 603-⎛⎫--+--︒ ⎪⎝⎭π.答案：()113132sin 603-⎛⎫--+--︒ ⎪⎝⎭π=3313122-+--⨯.......................................................................... 4 (5)68．（2018北京海淀区第二学期练习）计算：11()123tan 30|32|3--+︒+-．答案：原式=3323323-+⨯+- ………………4分 =523-. ………………5分69.（2018北京怀柔区一模）计算：12130tan 3)3(31-︒⎪⎭⎫⎝⎛-+---π.答案：原式331132=--+⨯- …………………………………………………4分 .…………………………………………………………………5分70．（2018北京丰台区一模）计算：082cos 45(3π)|12|-︒+-+-．答案：082cos 45(3π)|12|-︒+-+-． =2222121-⨯++- ……………………4分=22. ……………………5分 71．（2018北京市朝阳区一模）计算：1)31()10(30cos 412-︒+-+-π．答案：解：原式=3123432++⨯-……………………………………………4分 =4． ………………………………………………………………5分72. （2018北京房山区一模）计算： 214sin 30322π-⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭o （3）答案： 解：原式=1412342⨯-+- ………………………………………………4分=73…………………………………………………………………………5分73．（2018北京石景山区初三毕业考试）计算：012sin 455()1833--++°234=答案：解：原式=225132 2⨯-+-………………4分42 2.=--74．（2018北京东城区一模）计算：()2012sin60-π-2++1-33-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭.3=2-1+9+3-1----------42=23+7------------------------5⨯17.解：原式分分75.（2018北京市朝阳区综合练习（一））计算：2sin30°+.8)4()31(01+-+-π答案：解：原式2213212+++⨯=…………………………………………………………………4分225+=. ……………………………………………………………5分76.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）计算：2sin30tan60cos60tan45︒-︒+︒-︒．77.（2018北京东城第一学期期末）计算：2cos30-2sin45+3tan60+1-2︒︒︒.答案：32=2+33+2-1----------423-2+33+2-1=43-1------------------------5⨯17.解：原式分分78.（2018北京房山区第一学期检测）17. 3cos60sin45︒︒︒-+.答案：79.（2018北京丰台区第一学期期末）17．计算：2cos30sin 45tan60︒+︒-︒. 答案：17. 解：2cos30sin 45tan60︒+︒-︒=3223⨯+-，……3分=233+- ……4分=22. ……5分 80.（2018年北京海淀区第一学期期末）17．计算：2sin 30°2cos 45-°8+．81.（2018北京怀柔区第一学期期末）17.计算：4sin45°-8+(3-1)0+|-2|. 答案：17. 解:原式=4×22-22+1+2 …………………………………………………… 4分 =3 ………………………………………………………………………………………5分82.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）17．计算：(21π+3122sin 602-⎛⎫︒- ⎪⎝⎭.解：原式312324=+-…………………………………………………4分 3 3.=-………………………………………………………………5分83.（2018北京密云区初三（上）期末）17. 03302cos 60245π︒-︒︒+.答案：17. 解：原式31232212-⨯++ ……………………………………………….4分 =2 ……………………………………………….5分84.（2018北京平谷区第一学期期末）17．计算：112sin 30832-⎛⎫︒+- ⎪⎝⎭．答案：17．解：原式=1222232⨯+- ............................................................................. 4 =622- .. (5)85.（2018北京石景山区第一学期期末）17．计算：︒-︒+︒-︒60sin 260cos 145cos 30tan 32．答案： 解：原式=232211)22(3332⨯-+-⨯………………………………4分=32213-+- =23．………………………………………………………………5分 86.（2018北京顺义区初三上学期期末）计算：2212sin 458tan 60-+︒-+︒．答案：18．计算：2212sin 458tan 60-+︒-+︒．2212223=-+⨯-+ 212223=-+-+………………………………………………….4分（每项1分） 2=………………………………………………………………………….5分87.（2018北京通州区第一学期期末）计算：︒+︒-︒⋅︒453046030tan sin tan cos ． 答案：88.（2018北京西城区第一学期期末）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒． 答案：89.（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）17．计算：3tan30°＋ cos 245°－ 2sin60°； 答案：3tan30°＋cos 245°－2sin60°；=232)22(3332⨯-+⨯………..3′=3213-+……………..4′=21……………………..……..5′90.（2018北京昌平区二模）计算：06sin 45231823)+°． 答案．解： 06sin 452318(223)+°332223+1= ………………………………………………………… 4分 33= ． ……………………………………………………………………… 5分 91.（2018北京朝阳区二模）17.011123tan 30(2018)()2π-︒+-- . 答案：解：原式 2133332-+⨯-= ………………………………………………4分13-=. …………………………………………………………………5分92.（2018北京东城区二模）计算：()332sin 60+2+12--︒-. 答案：3=3-2-8+23⨯17.解：原式 -----------------------------------------------------------------4分 =3-5-------------------------------------------------------------------------------------- 5分93.（2018北京丰台区二模）计算：23182sin 60(1)2-⎛⎫-︒+-+ ⎪⎝⎭．答案．解：203182sin 60(1)2-⎛⎫-︒+-+ ⎪⎝⎭．=32214-⨯++ ……………………4分=73-. ……………………5分94.（2018北京海淀区二模）计算：021184sin 45(22)()2--︒+--．答案. 解：原式=232414-⨯+- =23-.95. （2018北京昌平区初二年级期末）计算：128182÷⨯.=42322÷⨯ …………………………………………… 3分 = 42232⨯⨯ …………………………………………………………………………… 4分= 242.…………………………………………………… 5分 96．（2018北京市东城区初二期末）(5分)计算：101326()(21)2--++--g 解：97．（2018北京市丰台区初二期末）计算：+-⨯123331|31-|． 答案：98．（2018北京市海淀区八年级期末）计算：（1）()024920183----； （2）22(1510)5x y xy xy -÷．解：（1）原式=14319-+----------------------------------------------3分=19．--------------------------------------------------- 4分（2）原式=()22151105x y xy xy -⋅------------------------------1分=5(12)5xy x y xy-⋅----------------------------------2分=32x y -．--------------------------------------------- 4分99.（2018031283(32)--. 解：原式=23231+………………… 4分=333………………… 5分100.（2018北京市怀柔区初二期末）计算：1(83)662解：原式=433232-………………… 4分=43.………………… 5分101．（2018381232．解：原式22323=-………………………………………………………………3分43 3.=-…………………………………………………………………………5分102.（2018北京市平谷区初二期末）计算：)(2228+- 解：)22(28+-22222--=2-=103.（2018北京市平谷区初二期末）计算：()3027********+-+--π．解：原式 312123+-+-= (4)124+= …………………………………………………… 5 104．（2018北京市平谷区初二期末）计算：()()()2132525-++-.解：原式132325+-+-= (4)327-= (5)105．（2018()238272-解：原式2332=+ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分33= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分106．（2018北京市石景山区初二期末）计算：111826363⎛⎫⨯--÷+ ⎪⎪⎝⎭． 解：原式362323=--+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分23523=-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分107．（2018北京市顺义区八年级期末）（4分）15201025+-÷ 解：原式＝5255+- ………………………………………3分（各1分） ＝25 …………………………………………4分108.（2018北京市顺义区八年级期末）（5分）计算：5(515)(1523)(1523)-++- 解：原式＝553(1512)-+- ………………………………… 4分（前2分后2分）＝853- …………………………………………5分109．（2018北京延庆区八年级第一学区期末）计算：238)3(1230-+----π答案：解：原式= …………4分= …………5分110. （2018北京延庆区八年级第一学区期末）计算： 1182(21)8答案：解： 原式23242224=⨯- ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 322222=2= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分101．（2018北京西城区二模）计算：06cos6027(π2)32︒-．解：16331(23)=⨯--- ……………………………………………………… 4分333123=--223=- ……………………………………………………………………………5分。
浙教版数学备战中考专题突破导与练《专题3 分式与二次根式》课件
易用错的公式，一定要注意.
考题探究
知识点一 分式、二次根式的定义
【例1】要使 3 − +
1
A.
2
≤≤3
1
有意义，则应满足(
2−1
B. ≤ 3且 ≠
1
2
1
C. ＜＜3
2
D
) .
1
D. ＜
2
≤3
思路点拨根据被开方数大于等于0，分母不等于0列出不等式组
解题过程 当＞时， ≥ ，理由如下：
∵−=+−
−
+
+
=
+ −
+
=
−
，∵
+
＞, ∴
= .
∴当＞且 ≠ 时，＞；当 = 时， = .
−
＞0或
+
考题探究
（3）设 =
4
- ，若, 均为非零整数，求的值.
12
思路点拨 先用含的式子表示出，再求, 的整数值，进而可以解决问题.
考题探究
解题过程 ∵ = - ， = + , =
，
+
−
− + +
∴= - =
=
=
+ +
+
+
=
−
+
+
−
−
[
−
]⋅
=
−
−
(完整版)二次根式混合计算练习(附答案)
（1）原式=1-1+2 +2-
=2+ ；
(2)原式=
= ．
考点：实数的混合运算；2．二次根式的混合运算．
6． .
【解析】
试题分析：先进行二次根式的化简，财进行乘除运算，最后合并同类二次根式即可求出答案.
试题解析：原式=
.
考点: 实数的混合运算.
15．385
【解析】解:因为 ，
，
，
所以 .
16． ．
【解析】
试题分析：先化成最简二次根式,再进行计算．
试题解析：
．
考点：二次根式化简．
17． ．
【解析】
试题分析：先化成最简二次根式,再进行计算．
试题解析： ．
考点：二次根式化简．
18．(1)22; (2)
【解析】
试题分析：(1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案.
＝2＋1－ ＋ ＝3－3＋2＝2
9．1＋
【解析】
解：原式＝4－(3－2 )＋
＝4－3＋2 ＋ ＝1＋
10．（1） ；（2）11 -9 ；（3）-4-2 ；（4）8- .
【解析】（1）利用 =a(a≥0)， = (a≥0,b≥0)化简；
（2）可以利用多项式乘法法则，结合上题提示计算；
（3）利用平方差公式；
点评：本题主要考查了二次根式的加减运算.首先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式.
4．0
【解析】
试题分析：根据实数的运算法则进行计算即可救出答案.
试题解析：
=
=0
考点：实数的混合运算.
5．(1) 2+ ；(2) ．
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、选择题
设点一C表示的数为x,贝U x J2|+2X=（ ）【原创】
CAB
] 」 [ I
O x 1
-2
③2的立方根是 3'2 :④2的立方根是 ±32 中，正确的结论有（
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
5 •估算.17 1的值在（ ）
、填空题
1.若最简二次根式 2x与x2 1是同类二次根式，则 x= .
x2 3xy y2
的值为 _______ ▲ ______
3.
函数y ,2x 3中自变量x的取值范围是 ▲
4.
2 .3 -.3 .2
= ___________ .
5. 方程•厂x的解是 ____________ .
二次根式
A . x>— 1 B . x>— 1
2.（南京市六合区 2011年中考一模）
” 1 1
A . 一 B -
2 2
▲)
C . XM— 1 D . xw— 1
1
开平方的结果是
(▲)
4
1 1
C . — D .—
2 16
3.如图，数轴上与1， 2对应的点分别为
A , B,点B关于点A的对称点为C,
4.（南京市咼淳县
2011年中考一模）在
①2的平方根是,-'2 :②2的平方根是 土2 ;
）个
A . 2和3之间 B . 3和4之间 C . 4和5之间
D . 5和6之间
2. （2011杭州市金山学校中考模拟
1.使,'x+1有意义 的x的取值范围是
（
）（原创）已
知
6•观察下列的等式：.11 2 .9 3 （即3 X1）
v'1111 22 J1089 33
（即 3X11）
111111 222 . 110889 333
（即 3 X111）
由此猜想
'1111 1 22 2
4022个 2011个
答案：
选择题
1、答案
B
2、答案
C
3、答案
D
4、答案
B
5、答案
D
填空题
1、【答案】1 ；
2、【答案】
95
3
3、【答r案】x> —
2
4、答案
1
5、答案
x 1”
6、答案
33 3 （或 3 111
1
2011 个 2011 个