高考数学圆的知识点归纳
2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：与圆有关的最值问题含解析
与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -.2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径.3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.四、题型分析(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ． C ．D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】,且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α,当01AB k <≤时,则,所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当时,则,所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围． 【小试牛刀】若过点的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得0k =或k =故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案:解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题. 【例3】若圆C ：关于直线对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】C【解析】圆C ：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2．圆C ：关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3．点（a,b ）与圆心的距离,,所以点（a,b ）向圆C 所作切线长：当且仅当b=-1时弦长最小,为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π 【答案】A 【解析】设直线l ：.因为,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为,圆C 面积的最小值为选A.【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C 与直线总有公共点,则圆C的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,,即,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+,圆心到直线的距离为,∴或2b ≥,当2b =时,,∴.【小试牛刀】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知O 为坐标原点，直线．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】C 【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为2，又由直线，可知，即点D 为OC 的中点， 所以,设，又由，所以，又由当，此时直线，使得的最小角为，即当时，此时的最大值为2，故选C 。
高考数学轨迹方程的求解知识点归纳整理-圆的轨迹方程例题
高考数学轨迹方程的求解知识点归纳整理|圆的轨迹方程例题符合一定条的动点所形成的图形，或者说，符合一定条的点的全体所组成的集合，叫做满足该条的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条，也就是符合给定条的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条的动点轨迹方程。
直线与圆相交的性质-高中数学知识点讲解
直线与圆相交的性质
1．直线与圆相交的性质
【知识点的知识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
【例题解析】
例：写出直线y＝x+m 与圆x2+y2＝1 相交的一个必要不充分条件：
解：直线x﹣y+m＝0 若与圆x2+y2＝1 相交，
则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，
即d =|푚|
2＜1，
∴|m|＜2，
即―2＜푚＜2，
∴满足―2＜푚＜2的必要不充分条件均可．
故答案为：满足―2＜푚＜2的必要不充分条件均可．
这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m 的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．
【考点解析】
本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．
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高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
高中数学 数形结合_巧解“与圆有关的最值问题” 知识点+例题
数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值．解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+222002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ．点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．例２ 点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ， 则AD CD r =-为所求 ．∴AD例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点．求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程（2）过P 的圆的最长弦所在直线方程解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ； 长l ：)3(-=x y 即03=--y x ． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．例４ 已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1） 求y x的最大值与最小值； （2） 求y x -的最大值与最小值； （3） 求22x y +的最大值和最小值．分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0）点．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．解：（1）设y k x=，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值，=k =．所以y xk = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值，=解得2b =-所以y x -的最大值为2-，最小值2-．（3表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-．例5 过直线1y =上一点P （x ，y ）作圆22(1)(1)1x y +++=的切线，求切线长的最小值．解析：如图所示，切线长2221PM PC CM PC =-=-，所以要求PM 的最小值，只需求PC 的最小值．PC 是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC 垂直于直线时，min 2PC =，此时，切线长最小，为3．小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．。
高考数学(文)大一轮复习课件：第8章 第3节 圆的方程
解
3 m＝2， 3 2 2 25 得 所以圆的标准方程为 x－2 ＋y ＝ 4 .] r2＝25， 4
求圆的方程
(1)(2015· 全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( 5 A.3 2 5 C. 3 ) 21 B. 3 4 D.3
(2)(2016· 天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 4 5 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 5 ，则圆 C 的方程 为________．
(1)B (2)(x－2)2＋y2＝9 [(1)法一：在坐标系中画出 △ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC| ＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三 角形．设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心． 2 2 3 所以|AE|＝3|AD|＝ 3 ，从而|OE|＝ |OA|2＋|AE|2＝ D＝－2， 1＋D＋F＝0， 4 3 3 ＋ 3 E ＋ F ＝ 0 ， 则 解得E＝－ ， 3 7＋2D＋ 3E＋F＝0， F＝1. 4 21 1＋3＝ 3 ，故选 B.
A [圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线 ax＋y |a＋4－1| 4 －1＝0 的距离 d＝ 2 ＝1，解得 a＝－3.] a ＋1
4． (2017· 西安质检)若圆 C 的半径为 1， 其圆心与点(1,0)关于直线 y＝x 对称， 则圆 C 的标准方程为________．
3 25 x－ 2＋y2＝ 4 2
[由题意知 a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，
－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，
高考数学复习知识点讲解课件16--- 隐圆问题
解析 由题意得|OM|＝ 5－1＝2，所以点 M 在以 O 为圆心，半径为 2 的 圆上. 设 CD 的中点为 N，则 N(2 2，a＋1)，且|CD|＝2. 因为当 A，B 在圆 O 上运动时，始终有∠CMD 为锐角，所以以 O 为圆心， 半径为 2 的圆与以 N(2 2，a＋1)为圆心，半径为 1 的圆外离， 所以 2 22＋a＋12>3，整理得(a＋1)2>1，解得 a<－2 或 a>0， 所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞).
A. 6
B. 7
√C. 10
D. 11
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解析 设 Q(a,0)，M(x，y)，所以|MQ|＝ x－a2＋y2， 由 P－12，0，所以|MP|＝ x＋122＋y2， 因为||MMQP||＝λ 且 λ＝2，所以 xx－＋a1222＋＋yy22＝2， 整理可得 x2＋y2＋4＋32ax＝a2－3 1， 又动点M的轨迹是x2＋y2＝1，
1234
跟踪演练
1.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－12,0)，B(0,6)，点 P 在圆 O：x2＋y2＝
50 上，若P→A·P→B≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是
A.[0， 2]
√B.[－5 2，1]
C.[－ 2， 2]
D.[－2,0]
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解析 设 P(x，y)，由P→A·P→B≤20 可得
解析 设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10， 可得x2＋(y－1)2＝4， ∴M点在圆x2＋(y－1)2＝4上， 故圆x2＋(y－1)2＝4和圆(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1相交或相切， ∴1≤ a2＋a－32≤3，∴0≤a≤3.
1234
4.已知圆 O：x2＋y2＝5，A，B 为圆 O 上的两个动点，且|AB|＝2，M 为弦 AB 的中点，C(2 2，a)，D(2 2，a＋2).当 A，B 在圆 O 上运动时，始终有 ∠CMD 为锐角，则实数 a 的取值范围为__(－__∞__，__－__2_)_∪__(_0_，__＋__∞__) _.
数学高考知识点圆规曲线
数学高考知识点圆规曲线数学是一门深奥而又美妙的学科，其中的许多知识点都承载着人类智慧的结晶。
在高考中，数学作为一门重要的科目，占有相当的比重。
而其中的一个重要的知识点就是圆规曲线。
圆规曲线是数学中几何图形的一种重要工具，通过圆规和直尺的结合，可以画出许多有趣的图形和曲线。
在高考中，关于圆规曲线的考查主要集中在轨迹、曲线的特点以及相关的性质和问题上。
首先，我们来看看圆规曲线的轨迹问题。
所谓轨迹，就是一点在运动过程中所经过的路径。
在圆规曲线中，已知一个定点O和一个定长r，圆规开到r的长度，然后以O为圆心，以r为半径画圆的所有的可能位置所构成的轨迹。
这个轨迹就是一个圆。
这个圆被称为圆规曲线的轨迹。
其次，我们来讨论圆规曲线的一些特点和性质。
首先，对于给定的点O和长度r，圆规只能做到开到r的长度。
所以圆规曲线是由一系列圆弧构成的。
其次，在圆规曲线上，无论怎样拉伸、压缩圆规，所得到的图形都是圆规曲线的一部分。
这意味着圆规曲线具有自相似性。
此外，圆规曲线还具有较高的对称性，它可以在平面的任意一点绕着该点作旋转，所得到的图形仍然是圆规曲线。
最后，让我们来探讨一些与圆规曲线相关的问题。
例如，给定一个圆规曲线上的一点P和一个长度d，如何以P为起点，以d为半径画一个圆？这个问题可以通过利用圆规的定长性质来解决。
我们可以以P为圆心，以r为半径画一个圆，然后找到新圆与圆规曲线的交点，连接该交点与P，这样就得到了以P为起点，以d为半径的圆。
此外，还有一些与圆规曲线有关的挑战性问题，例如如何以圆规和直尺构造指定形状的多边形等等。
综上所述，圆规曲线作为数学高考中的一个重要知识点，不仅仅是一种工具和技巧，更是对几何图形的深度理解和应用。
通过对圆规曲线的研究和探索，我们不仅可以加深对几何图形的认识，还可以提升对数学美妙的体验和理解。
希望同学们能够在备考中重视圆规曲线这一知识点，通过多思考、多练习，掌握其中的技巧和方法，取得优异的成绩！。
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高考数学圆的知识点归纳
在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。下面是小编为
大家整理的关于高考数学圆的知识点归纳，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读
参考学习!
目录
圆知识点归纳：圆的定义。
圆知识点归纳：圆的各元素。
圆知识点归纳：圆的基本性质。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
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1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角： 以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
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1、圆的对称性。
(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：
平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的
一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦
心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O 的半径为 r，OP=d。
7、 (1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三
个点的距离相等。
(直角三角形的外心就是斜边的中点。)
8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相
切 ;
直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9、平面直角坐标系中，A(x1，y1)、B(x2，y2)。则 AB=
10、圆的切线判定。
(1)d=r 时，直线是圆的切线。
切点不明确：画垂直，证半径。
(2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
切点明确：连半径，证垂直。
11、圆的切线的性质(补充)。
(1)经过切点的直径一定垂直于切线。
(2)经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。
12、切线长定理。
(1)切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这
个点到圆的切线长。
(2)切线长定理。
∵ PA、PB 切⊙O 于点 A、B
PA=PB，2。
13、内切圆及有关计算。
(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
(2)如图，△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7， ⊙O 切△ABC 三边于点 D、E、F。
求：AD、BE、CF 的长。
分析：设 AD=x，则 AD=AF=x，BD=BE=5-x，CE=CF=7-x.
可得方程：5-x+7-x=6，解得 x=3
(3)△ABC 中，C=90，AC=b，BC=a，AB=c。
求内切圆的半径r。
分析：先证得正方形 ODCE，
得 CD=CE=r
AD=AF=b-r，BE=BF=a-r
b-r+a-r=c
得 r=
(4)S△ABC=
14、 (补充)
(1)弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC 切⊙O 于点 B，AB 为弦，ABC 叫弦切角，ABC=D。
(2)相交弦定理。
圆的两条弦 AB 与 CD 相交于点 P，则 PAPB=PCPD。
(3)切割线定理。
如图，PA 切⊙O 于点 A，PBC 是⊙O 的割线，则 PA2=PBPC。
(4)推论：如图，PAB、PCD 是⊙O 的割线，则 PAPB=PCPD。
15、圆与圆的位置关系。
(1)外离：dr1+r2， 交点有 0 个;
外切：d=r1+r2， 交点有 1 个 ;
相交：r1-r2
内切：d=r1-r2， 交点有 1 个 ;
内含：0d
(2)性质。
相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
相切两圆的连心线必经过切点。
16、圆中有关量的计算。
(1)弧长有 L 表示，圆心角用n 表示，圆的半径用R 表示。
L=
(2)扇形的面积用 S 表示。
S= S=+
(3)圆锥的侧面展开图是扇形。
r 为底面圆的半径，a 为母线长。
扇形的圆心角=
S 侧= ar S 全= ar+ r2
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