运筹学之单纯形法汇总
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运筹学单纯形法的例题
可行域在x1+3x2=7与4x1+2x2=9之下__
3
.
05.07.2020
练习㈠用图解法
5
4 4x1+x2=9
3
2
1 (2.25,0)
0
1
2
3
4
5
6
7
4
.
05.07.2020
练习㈠. 单纯形表
1 31 0 7 4 20 1 9
填入第一个约束的数据.
填入第二个约束的数据.
5
.
05.07.2020
❖至少有一个非基变量的检验数为正,但它的系 数全为非正,则无有限最优解；
❖所有非基变量的检验数全为非正，已有最优解， 但若其中至少有一个的检验数为0，且它的系 数中有2正4 的，则可能有. 无穷多个最优0解5.07.。2020
基变量列中_x_5_换为_x_1_,
改CB列,_-_M__换为_4__.
Excel
17
.
05.07.2020
练习㈢用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解：
Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≥ 7
s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x2 ≥ 0
可行域在直线 x1+3x2=7之上__
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x6=9
基引是进谁两?个这 理x“1里?,x人“2 ,工x-”3 如变,x4何量,x5处”,x6≥0
x5 ,x620
.
05.07.2020
练习㈢.用单纯形法
Max z=4x1+x2+0x3+0x4 -Mx5 –Mx6
运筹学 第三章 单纯形法(1,2两节)
第二节 单纯形法
二、基本过程及主要方法
1．如何寻找初始基本可行解X（0）。 初始基本可行解就是迭代开始时的基本可行解。
既然是基本可行解，必须和一个基本矩阵相对应， 这个基本矩阵就是系数列向量组成的满秩矩阵 （参看文献（3）中矩阵部分的内容），但对由m 个系数列向量组成的矩阵判断是否满秩本身就是 一件很不容易的事情，即使满秩了对应的解也不 一定是可行解。参看课本16页例题的最后一部分。
请按如下思路理解：以X（1）、X（2））（X（1）≠X （2））为端点的线段上的任一点都可以表示为[αX（1） +（1-α）X（2）] （0<α<1）当α在（0，1）之间变化时， 上式表示的点就在以X（1）、X（2）为端点的线段上滑 动，（α=1/2时，在二维空间中（初等平面解析几何 中），上式就是中点坐标）。这与前面的定义实质上 是一致的。
因此，是否引入人工变量，必须在观察完所有变量的系数 列向量后才能确定，这一点在做题过程中一定要注意，否则由 于引入了太多的变量会使问题更为复杂。
第二节 单纯形法
（2）用下面的例子说明另一种方法。 如有一个约束条件方程是2X1+3X2-4X3=5,这
可以用以下两个约束条件方程来代替：
2X1+3X2-4X3≤5 2X1+3X2-4X3≥5 在这两个方程中，可分别加进松弛变量或减多 余变量加入人工变量，再求初始基本可行解，但是 有些复杂，一般希望用第一种方法，也可用第四章 的对偶单纯形法直接求解。
简单的说，就是“通过基本矩阵求得的线性规划 问题的解”。
第一节 线性规划问题的几何意义
基本解的形式是 X=（x1*, x2*,…, xm*,0,0,…,0） ， 基变量 非基变量
若每一个分量大于或等于零，这个解就叫基本可行解。 三、 凸集的极点与线性规划问题的基本可行解 定理1 约束条件为AX=b，X≥0线性规划问题的可行解
运筹学-单纯形法证明
的方案，然后不断去尝试其他的定点，判断其是
否最优，直到找到最优的方案。
School of Information Management ,CCNU
2
《运筹学》
2.1 单纯形法的基本思路：
从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是 最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更 优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。
Nx N
11
《运筹学》
B -1 Bx B + B -1 Nx N = B -1b Þ x B + B -1 Nx N = B -1b
Þ x B = B -1b - B -1 Nx N
令xN = 0
x B1 x B2
Bb-11 b1 = Bb-21b2
x Bm
Bb-m1 b m
B -1 Bx B = Ex B = x B
定理1
D = { x Î R n | Ax = b , x ³ 0 } 是 凸 集 .
证 任 取 x , y Î D ， w = l x + (1 - l ) y ， 其 中
l Î [0 ,1]. 由于 x ³ 0， y ³ 0，故w ³ 0. 又 Ax = b ， Ay = b ， 故
Aw = l Ax + (1 - l ) Ay = b
顶 点
School of Information Management ,CCNU
8
《运筹学》
从图解法的几何直观容易得到下面两个重要结论：
⑴．线性规划的可行区域D是若干个半平面的 交集， 它形成了一个有界的或无界的凸 多边形.
⑵．对于给定的线性规划问题，如果它有最优 解，最优解总可以在D的某个顶点上达到.
B -1 Nx N
否最优，直到找到最优的方案。
School of Information Management ,CCNU
2
《运筹学》
2.1 单纯形法的基本思路：
从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是 最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更 优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。
Nx N
11
《运筹学》
B -1 Bx B + B -1 Nx N = B -1b Þ x B + B -1 Nx N = B -1b
Þ x B = B -1b - B -1 Nx N
令xN = 0
x B1 x B2
Bb-11 b1 = Bb-21b2
x Bm
Bb-m1 b m
B -1 Bx B = Ex B = x B
定理1
D = { x Î R n | Ax = b , x ³ 0 } 是 凸 集 .
证 任 取 x , y Î D ， w = l x + (1 - l ) y ， 其 中
l Î [0 ,1]. 由于 x ³ 0， y ³ 0，故w ³ 0. 又 Ax = b ， Ay = b ， 故
Aw = l Ax + (1 - l ) Ay = b
顶 点
School of Information Management ,CCNU
8
《运筹学》
从图解法的几何直观容易得到下面两个重要结论：
⑴．线性规划的可行区域D是若干个半平面的 交集， 它形成了一个有界的或无界的凸 多边形.
⑵．对于给定的线性规划问题，如果它有最优 解，最优解总可以在D的某个顶点上达到.
B -1 Nx N
运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)
为变量xj关于基B的判别数，j=1,2, -------, n。
7 2020/11/2
五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
9 2020/11/2
五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
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五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
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五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
运筹学单纯形法的对偶问题
可以为负，即 y3 没有非负限制。
这样我们把原规划的对偶问题化为
min f 440 y1 100 y2 200 y3
s.t. 2 y1 6 y2 5y3 3,
3y1 4 y2 3y3 4,
6 y1 y2 y3 6,
y1, y2 0, y3 没有非负限制。
对照原线性规划问题，我们可以知道：
解：设x1为产品 的计划产量，x2 为产品Ⅱ的计划产量，则有
目标函数： 约束条件：
Max z=50 x1 + 100 x2
x1 x2 300
2x1 x2 400
x2 250
x1, x2 0
管理运筹学
1
§1 线性规划的对偶问题
现在我们从另一个角度来考虑这个问题。假如有另外一个工厂要求租用该厂的设备A、B、 c，那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
管理运筹学
14
§1 线性规划的对偶问题
首先在写对偶问题之前，我们先把第二个约束条件两边乘以-1得
2x1 3x2 x3 60
然后按照上面的规则，我们可以得到其对偶问题为
max z 180 y1 60 y2 240 y3;
y1 2 y2 5 y3 3
s.t.
2 y1 3y2 3y3 9
管理运筹学
16
§2 对偶规划的基本性质
3．最优性。如果 Xˆ是原问题的可行解，Yˆ 是对偶问题 的可行解，并且cXˆ bTYˆ，则 Xˆ 和 Yˆ分别为原问题和 对偶问题的最优解。
4．强对偶性。即若原问题及其对偶问题都有可行解，
则两者都有最优解，且它们的最优解的目标函数都 相等。
5．互补松弛性。在线性规划问题的最优解中，如果
决策变量都来源于原问题的第三个约束条件，记为
运筹学 第二章线性规划 第三讲 单纯形法
1 -2 4 2
[1] 1 2 -1↑
1 0 0 0
1 0 0 0
1 -1 -2 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
5→ 6 21
5 1 11
5 6 21/2
表中λj≥0( j=1,2,…,5), 所以最优解为X=(0,5,0,1,11 )T , 最 优值 Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11。
大值，因此原问题只要有可行解，新的线性规划问
题的最优解中人工变量的取值一定为0， 这种方
法称为大M单纯形法（简称大M法）。
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
大M法中加入人工变量后新的线性规划问题为
max Z’=c1x1+c2x2+…+cnxn –Mxn+1 – … –Mxn+m
【解】首先将数学模型化为标准形式
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z 3x1 2 x 2 x3
式中x4，x5为松弛变量，x5可 4 x1 3x 2 x3 x 4 4 作为一个基变量，第一、三 x x 2 x x 10 约束中分别加入人工变量x6 、 1 2 3 5 x7 ， 目 标 函 数 中 加 入 2 x1 2 x 2 x3 1 ―Mx6―Mx7一项，得到人工 x j 0, j 1,2,,5 变量单纯形法数学模型
0 0 1
Z＝2 x1 2 x2 (6 x1 x2 ) 6 x1 x2
[1] 1 2 -1↑
1 0 0 0
1 0 0 0
1 -1 -2 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
5→ 6 21
5 1 11
5 6 21/2
表中λj≥0( j=1,2,…,5), 所以最优解为X=(0,5,0,1,11 )T , 最 优值 Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11。
大值，因此原问题只要有可行解，新的线性规划问
题的最优解中人工变量的取值一定为0， 这种方
法称为大M单纯形法（简称大M法）。
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
大M法中加入人工变量后新的线性规划问题为
max Z’=c1x1+c2x2+…+cnxn –Mxn+1 – … –Mxn+m
【解】首先将数学模型化为标准形式
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z 3x1 2 x 2 x3
式中x4，x5为松弛变量，x5可 4 x1 3x 2 x3 x 4 4 作为一个基变量，第一、三 x x 2 x x 10 约束中分别加入人工变量x6 、 1 2 3 5 x7 ， 目 标 函 数 中 加 入 2 x1 2 x 2 x3 1 ―Mx6―Mx7一项，得到人工 x j 0, j 1,2,,5 变量单纯形法数学模型
0 0 1
Z＝2 x1 2 x2 (6 x1 x2 ) 6 x1 x2
运筹学线性规划与单纯形法
整理课件
16
Max Z= x1-2x2+3x3' -3x3" + 0x4 +0x5 s.t. x1+x2+ x3' - x3" +x4 =7
x1-x2+ x3' - x3" -x5=2
-3x1+x2+2x3' -2x3" =5 x1, x2,x3',x3", x4,x5 0
第一节小结：建立模型；三个组成要素；四种形式； 化为标准形（4个条件5点）
.
9x1+4x2 ≤ 360
90 80 60 40 20
4x1+5x2 ≤200
B C
HI G
Z=70x1+120x2 3x1+10x2 ≤300
0
20 D40 E 60
80 1F00 x1
整理课件
30
二、解的几种可能情况
1．唯一最优解。目标函数直线与凸多边形只有 一个切点； 2．无穷多最优解，目标函数图形与某个约束条 件平行。 3．无界解（无最优解）----可行域无界。一般是 漏了一些约束条件。 4．无可行解----可行域为空。
Ⅰ
Ⅱ 计划期可用能力
2
2
12
1
2
8
4
0
16
0
4
12
2
3
问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？
整理课件
3
解：用数学的语言进行描述:
1.决策变量：设产品I、II的产量分别为 x1、x2 2.目标函数：问题要求获取利润最大，该公司获取
利润为2 x1 + 3 x2，令z = 2 x1 + 3 x2，则max z = 2 x1 + 3 x2， max z 是该公司获取利润的目标 值，它是变量x1、 x2的函数，称为目标函数。
运筹学-第一章-单纯形法基本原理
初始基本可行解：
X (0) (x10 , x20 ,, xm0 ,0,0,...,0)T (b1,b2,......,bm ,0,0,...,0)T
单纯形法基本原理
2、基变换 定义：两个基可行解称为相邻的，如果它们之间变换 且仅变换一个基变量。 初始基可行解的前m个为基变量，
X (0) (x10, x20,...xm0, o,...o)T
0 0
1 0
0
1
当线性规划的约束条件均为≤，其松弛变量的系数矩阵为单位 矩阵；当线性规划的约束条件均为≥或=，为便于找到初始基 可行解，构造人工变量，人为产生一个单位矩阵。
单纯形法基本原理
式中p1,…,pm 为基变量,同其所对应的 x1,x2,…..,xm为基变量；其它变量 xm+1,xm+2，……,xn为非基变量。令所有的非基变量 等于零。
0 1
...
0
a2,m1
..... a2, j
. a2,n
b2
. . . . . . . . . .
0 0
.
1 am,m1
.
am, j
.
am,n
bm
因为p1,…,pm,是一个基，其他向量pj可以这个基
的线性组合表示：
m
p j ai法基本原理
问题 ①如果限制条件中既有“≤”类型的约束， 又有“≥”或“=”类型的约束，怎么办？
构造单位阵
②初始可行基一定要选单位阵？
b列正好就是基变量的取值，因此称b列
为解答列
单纯形法基本原理
（2）写出初始基可行解——
令非基变量取0，基变量对应b(i)，一起构 成初始基可行解
X (0) (x10 , x20 ,, xm0 ,0,0,...,0)T (b1,b2,......,bm ,0,0,...,0)T
单纯形法基本原理
2、基变换 定义：两个基可行解称为相邻的，如果它们之间变换 且仅变换一个基变量。 初始基可行解的前m个为基变量，
X (0) (x10, x20,...xm0, o,...o)T
0 0
1 0
0
1
当线性规划的约束条件均为≤，其松弛变量的系数矩阵为单位 矩阵；当线性规划的约束条件均为≥或=，为便于找到初始基 可行解，构造人工变量，人为产生一个单位矩阵。
单纯形法基本原理
式中p1,…,pm 为基变量,同其所对应的 x1,x2,…..,xm为基变量；其它变量 xm+1,xm+2，……,xn为非基变量。令所有的非基变量 等于零。
0 1
...
0
a2,m1
..... a2, j
. a2,n
b2
. . . . . . . . . .
0 0
.
1 am,m1
.
am, j
.
am,n
bm
因为p1,…,pm,是一个基，其他向量pj可以这个基
的线性组合表示：
m
p j ai法基本原理
问题 ①如果限制条件中既有“≤”类型的约束， 又有“≥”或“=”类型的约束，怎么办？
构造单位阵
②初始可行基一定要选单位阵？
b列正好就是基变量的取值，因此称b列
为解答列
单纯形法基本原理
（2）写出初始基可行解——
令非基变量取0，基变量对应b(i)，一起构 成初始基可行解