全等三角形证明经典题(含答案)

全等三角形证明经典题(含答案)
连接CE，在△CEA和△CEB中，∠XXX∠CEB，
CE=CE，∠XXX∠BEC=90°，∴△CEA≌△CEB（AAS）
∴AE=BE
在△AED和△BED中，∠AED=∠BED，AD=BD，
∠XXX∠EBD，∴△AED≌△BED（SAS）∴AE=BE 又∠B+∠D=180°，∴ABCD为四边形，AC=BD=AD+BC AE=BE，
∴AE+AD+BE=2AE+AD=AD+AC=AD+AD+BC=2AD+BC=AD +BD+BC=AD+BE
XXX⊥XXX∴∠ABE=90°-∠1，∠DBE=90°-∠2
ADE=∠ABE=90°-∠1，∠XXX∠DBE=90°-∠2
又∠1=∠2，∴∠ADE=∠BDC
ADE≌△BDC（AAS）
AD=BC，AC-AB=AD-BD=BC-BD
又因为BD=2BE（在直角三角形BDE中，根据勾股定理可得BD=2BE）
AC-AB=BC-2BE=2BE（在三角形ABC中，根据角度和定理可得∠B=180°-4∠C，又∠ABC=3∠C，因此∠B=60°，所
以三角形ABC为等边三角形，即AC=BC）。

AC-AB=2BE，证毕。

1.根据题意，可知在等腰三角形ABD中，AE是角BAD
的角平分线，因此AE垂直BD。

同时，由于AB=AD，所以
点E也是BD的中点，即BD=2BE。

又因为BD=CD=AC-AB，所以AC-AB=2BE。

根据已知条件，可得E是AB的中点，
AF=BD=5，BD=CD=AC-AB=7-5=2.因此，DC=CF=2.
2.由题意可知，BD=DC，且∠1=∠2.因此，△ABD和
△ACD是全等三角形（边角边），即AB=AC，
∠BAD=∠CAD。

又因为AE是△XXX的中垂线，所以
AE⊥BC，即AD⊥BC。

3.根据题意，可知OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，且AB交OM于点N。

由于OM平分∠POQ，所以∠POM＝
∠QOM。

又因为MA⊥OP，MB⊥OQ，所以∠MAO＝
∠MBO＝90°。

因此，△AOM≌△BOM（AAS），即OA＝OB。

又因为ON＝ON，所以△AON≌△BON（SAS）。

因此，
∠XXX∠OBA，∠ONA=∠ONB。

又因为∠ONA+∠ONB＝180°，所以∠ONA＝∠ONB＝90°。

因此，OM⊥AB。

4.根据题意，可知AD∥BC，且∠PAB的平分线与∠CBA 的平分线相交于E，CE的连线交AP于D。

连接BE并延长至
与AP相交于F点。

由于PA//BC，所以∠PAB+∠CBA=180°。

又因为AE和BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线，所以
∠EAB+∠EBA=90°，即∠AEB=90°。

因此，EAB为直角三角形。

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线，因此三角形FAB为等腰三角形，即AB=AF。

又因为BE=EF，在三角形DEF与三角形BEC中，有∠XXX∠DFE，且
BE=EF，∠DEF=∠CEB。

因此，三角形DEF与三角形BEC
为全等三角形，即DF=BC。

因此，AB=AF=AD+DF=AD+BC。

连接BD，因为AB=AD，BC=BD，所以∠ADB=∠ABD，∠XXX∠ABD，两角相加得到∠XXX∠ABC。

又因为CE是
BF的中点，所以DE=BF，而且因为AB=AD，DE=BF，所以
∠XXX∠ABC，进而得到AE=AF。

因此，得证∠5=∠6.
在四边形ABCD中，连接AC，根据三角形的角度之和等
于180度，得到∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA。

因为
AB=AD，BC=CD，所以△ADC≌△ABC。

又因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠5=∠6.因此，得证。

已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF。

因为AD=DF，所以AC=DF。

又因为AB∥DE，所以
∠A=∠EDF。

因为BC∥EF，所以∠F=∠BCA。

因此，根据ASA准则，得证△ABC≌△DEF。

在图中，连接CF和BD。

因为AB=AC，所以
∠XXX∠XXX。

因为BD⊥AC，CE⊥AB，所以
∠XXX∠BEC=90°。

因此，根据AAS准则，得到
Rt△BDC≌Rt△BEC，进而得到BE=CD。

在△ABC中，连接AD，DE，DF。

因为AD是∠BAC的平分线，所以∠EAD=∠FAD。

因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BFD=∠CFD=90°。

因此，根据AAS准则，得到
△AED≌△AFD，进而得到AE=AF。

因为∠EAO=∠FAO，所以△AEO≌△AFO。

因此，∠AOE=∠AOF=90°，所以
AD⊥EF，进而得到DE=DF。

在图中，连接AE、DE、BC、EF。

因为BC=AE，所以
△ABC≌△DAE。

因为∠BAC=∠DAE，所以XXX是一个平
行四边形。

因为DE⊥AC，所以∠ADE=90°。

因为AD⊥AB，所以∠BAC=90°。

因此，△ADE和△ABC都是直角三角形。

因为BC=AE，所以△ABC≌△DAE（ASA）。

因此，
AD=AB=5.
29.已知直角三角形ABE和ACF，其中AE=AB，AF=AC，且BE和CF垂直于AB和AC。

证明：（1）EC=BF；（2）
EC⊥BF。

1）因为AE⊥AB，AF⊥AC，所以∠BAE=∠CAF=90°。

又因为AE=AB，所以∠XXX∠BAF。

根据SAS准则，可以得到△ABF≌△AEC，从而得到EC=BF。

2）根据（1），可以得到△ABF≌△AEC，所以
∠XXX∠ABF。

又因为AE⊥AB，所以∠BAE=90°。

因此，
∠AEC+∠ADE=90°。

又因为∠ADE=∠BDM（对顶角相等），所以∠ABF+∠BDM=90°。

在△BDM中，∠BMD=180°-
∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°。

因此，XXX。

30.已知直角三角形ABE和ACF，其中BE⊥AC，
CF⊥AB，且BM=AC，CN=AB。

证明：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

1）因为BE⊥AC，CF⊥AB，所以∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠XXX°。

因此，∠ABM=∠ACN。

又因为BM=AC，CN=AB，所以△ABM≌△NAC。

因此，AM=AN。

2）因为△ABM≌△NAC，所以∠XXX∠N。

又因为
∠N+∠BAN=90°，所以∠BAM+∠BAN=90°。

因此，
∠MAN=90°。

所以，XXX。