专题15 圆锥曲线综合(原卷版)2023年高考数学真题题源解密(新高考卷)

考向一直线与双曲线综合考向二 直线与抛物线综合2．（2023•新高考Ⅰ•第22题）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点（0，）的距离，记动点P 的轨迹为W ． （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于3．【命题意图】考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线相交等． 【考查要点】圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想． 【得分要点】 1．圆锥曲线的定义（1）椭圆定义：12||||2PF PF a +=． （2）双曲线定义：12|||-|||2PF PF a =． （3）抛物线定义：|PF|=d ． 2．圆锥曲线的标准方程及几何性质（1）椭圆的标准方程与几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)图形几何性质范围−a≤x≤a,−b≤y≤b−b≤x≤b,−a≤y≤a 对称性对称轴： x轴、y轴.对称中心：原点.焦点F1(−c,0),F2(c,0).F1(0,−c),F2(0,c).顶点A1(−a,0)，A2(a,0)，B1(0,−b),B2(0,b).A1(0,−a),A2(0,a)，B1(−b,0),B2(b,0).轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2a，短轴长为2b.焦距|F1F2|=2c.离心率e=ca=√1−b2a2∈(0,1).a,b,c的关系c2=a2−b2.（2）双曲线的标准方程与几何性质标准方程x2a2−y2b2=1（a＞0,b＞0）y2a2−x2b2=1（a＞0,b＞0）图形性质焦点F1（﹣c,0），F2（c,0）F1（0,﹣c），F2（0,c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=ca（e＞1）准线x＝±a2cy＝±a2c渐近线xa±yb=0xb±ya=0（3）抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=−2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=−2py(p>0)图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O(0,0)焦点F(p2,0)F(−p2,0)F(0,p2)F(0,−p2)准线方程x=−p2x=p2y=−p2y=p2范围x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 离心率e=1焦半径（P(x0,y0)为抛物线上一点）p2+x0p2−x0p2+y0p2−y03.圆锥曲线中最值与范围的求解方法几何法若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决.代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路（1）把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y−y0=k(x−x0)，则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式y=kx+m，则直线必过定点(0,m).（3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.5.求解定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.6.求解定线问题的常用方法定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.7.有关证明问题的解题策略圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.8.探索性问题的解题策略此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.考向一直线与双曲线综合3．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．4．（2022•新高考Ⅰ）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠P AQ＝2，求△P AQ的面积．5．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣，0），F2（，0），点M满足|MF1|﹣|MF2|＝2．记M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|•|TB|＝|TP|•|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．考向二直线与圆锥曲线综合6．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．根据近几年真题推测主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范围等问题，常与函数、不等式等知识综合考查。

复习时需注意以下几点：（1）求解圆锥曲线时，需关注待定系数法与定义法的应用（2）求解有关弦中点问题时，需关注点差法和根与系数的关系的应用（3）求解定值、定点问题时，需注意求解思路与转化方法。

一．椭圆的标准方程（共1小题）1．（2023•浦东新区三模）已知t∈R，曲线C：（4﹣t）x2+ty2＝12．（1）若曲线C为圆，且与直线y＝x﹣2交于A，B两点，求|AB|的值；（2）若曲线C为椭圆，且离心率，求椭圆C的标准方程；（3）设t＝3，若曲线C与y轴交于A，B两点（点A位于点B的上方），直线y＝kx+t与C交于不同的两点P，Q，直线y＝s与直线BQ交于点G，求证：当st＝4时，A，G，P三点共线．二．椭圆的性质（共2小题）2．（2023•平罗县校级模拟）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为2．直线l：y＝（x+2）交椭圆C于不同的两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆左焦点为F1，求△F1AB的面积．3．（2023•奉贤区二模）已知椭圆C：，A（0，b），B（0，﹣b）．椭圆C内部的一点（t＞0），过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．（1）若椭圆C的离心率是，求b的值；（2）设△BTM的面积是S1，△ATN的面积是S2，若，b＝1时，求t的值；（3）若点U（x u，y u），V（x v，y v）满足x u＜x v且y u＞y v，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方．三．直线与椭圆的综合（共22小题）4．（2023•海淀区校级三模）已知椭圆，且过两点．（1）求椭圆E的方程和离心率e；（2）若经过M（1，0）有两条直线l1，l2，它们的斜率互为倒数，l1与椭圆E交于A，B两点，l2与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究：△OPQ与△MPQ的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．5．（2023•汉中模拟）已知过点（1，e）的椭圆E：的焦距为2，其中e为椭圆E的离心率．（1）求E的标准方程；（2）设O为坐标原点，直线l与E交于A，C两点，以OA，OC为邻边作平行四边形OABC，且点B恰好在E上，试问：平行四边形OABC的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．6．（2023•商洛三模）已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．（1）求椭圆C的方程．（2）不经过点A且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．7．（2023•辽宁二模）已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程．8．（2023•商丘三模）如图，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，k1＝2k2．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H，问：在平面内是否存在定点T，使得|TH|为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．9．（2023•南通模拟）已知A，B是椭圆上关于坐标原点O对称的两点，点D（4，0），连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点N．（1）若A为线段DM的中点，求点A的坐标；（2）设△DMN，△DAB的面积分别为S1，S2，若，求线段OA的长．10．（2023•未央区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：与椭圆C2：x2+＝1，且椭圆C2过椭圆C1的焦点．过点的直线l与椭圆C1交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）若存在直线l，使得AB＝CD，求t的取值范围．11．（2023•临汾模拟）已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆与矩形的四边都相切且焦距为2c，_____．①a，b，c为等差数列；②为等比数列．（1）在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；（2）（1）中所求C的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线与椭圆C交于P，Q两点，A为椭圆的右顶点，直线AP，AQ分别交直线于M，N两点，求以MN为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若不是请说明理由．12．（2023•雅安三模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，左顶点为A，点是椭圆C上一点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过椭圆C的右焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4分别交于点M，N．①求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；②求△AMN面积的最小值．13．（2023•南开区二模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，坐标原点O到直线AD的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）过A点作两条互相垂直的直线AP，AQ与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值．14．（2023•山西模拟）已知椭圆的离心率为为C的右焦点，过点F作与x轴不重合的直线l，交C于A，B两点，当l与y轴平行时，|AB|＝3．（1）求C的方程；（2）P为C的左顶点，直线P A，PB分别交直线x＝4于D，E两点，求的值．15．（2023•重庆模拟）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，|OA|＝2|OB|．（1）若△BF1F2的面积为，求椭圆C1的标准方程；（2）如图，过点P（1，0）作斜率k（k＞0）的直线l交椭圆C1于不同两点M，N，点M关于x轴对称的点为S，直线SN交x轴于点T，点P在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q，使，记四边形OMQN的面积为S1，求的最大值．16．（2023•湖北模拟）已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于M，N两点，连接AM，AN分别交直线于P，Q两点，过点F且垂直于MN的直线交直线于点R．（1）求证：点R为线段PQ的中点；（2）记△MPR，△MRN，△NRQ的面积分别为S1，S2，S3，试探究：是否存在实数λ使得λS2＝S1+S3？若存在，请求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．17．（2023•锦江区校级模拟）设椭圆过点，且左焦点为．（1）求椭圆E的方程；（2）△ABC内接于椭圆E，过点P（4，1）和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与BC交于点Q，满足，求△ABC面积的最大值．18．（2023•凉州区模拟）已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M 是椭圆上异于A，B的动点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）若P为直线x＝4上一点，P A，PB分别与椭圆交于C，D两点．①证明：直线CD过椭圆右焦点F2；②椭圆的左焦点为F1，求△CF1D的内切圆的最大面积．19．（2023•湖北模拟）已知椭圆与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为上任意一点到其中一个焦点的距离的最小值为1．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线交E于M，N两点，O为坐标原点，以OM，ON为邻边作平行四边形OMPN，P在椭圆E上，求|OP|的取值范围．20．（2023•黄浦区校级三模）已知椭圆C：的焦距为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，O 为坐标原点．①若点P在直线上，求证：线段MN的垂直平分线恒过定点S，并求出点S的坐标；②求证：当△OMN的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．21．（2023•安庆二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C分别为椭圆E：的三个顶点，F（c，0）为其右焦点，直线AB与直线CF相交于点T．（1）若点T在直线l：x＝上，求椭圆E的离心率；（2）设直线CF与椭圆E的另一个交点为D，M是线段CD的中点，椭圆E的离心率为，试探究的值是否为定值（与a，b无关）．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．22．（2023•虹口区校级模拟）已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，△P AB面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2，且3k1＝5k2．①求证：直线PQ经过定点；②设△PQB和△PQA的面积分别为S1、S2，求|S1﹣S2|的最大值．23．（2023•天津模拟）已知曲线C的方程为y2＝4x（x＞0），曲线E是以F1（﹣1，0）、F2（1，0）为焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且．（1）求曲线E的标准方程；（2）直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．24．（2023•鼓楼区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，设F为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，直线x＝﹣与x轴交于点P，M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且＝2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2．①求证：k1+k2为定值；②求△ABF面积的最大值．25．（2023•滨海新区校级三模）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EF A的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|＝c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．四．直线与抛物线的综合（共3小题）26．（2023•佛山模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线Γ：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线Γ上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①|FM|+|FN|＝|MN|；②|OM|＝|ON|＝|MN|＝8；③直线MN的方程为y＝6p．（1）请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求抛物线Γ的标准方程；（2）过抛物线Γ的焦点F的两条倾斜角互补的直线AB和CD交抛物线Γ于A，B，C，D，且A，C两点在直线BD的下方，求证：直线AD，BC的倾斜角互补并求直线AD，BC的交点坐标．27．（2023•淮安模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与C2：x2＝2qy（q＞0）都经过点A（4，8）．（1）若直线l与C1，C2都相切，求l的方程；（2）点M，N分别在C1，C2上，且，求△AMN的面积．28．（2023•青羊区校级模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）和圆x2+y2＝r2（r＞0）的公共弦过抛物线的焦点F，且弦长为p2．（Ⅰ）求抛物线和圆的方程；（Ⅱ）过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，抛物线在点A处的切线与y轴的交点为M，求△ABM 面积的最小值．五．直线与双曲线的综合（共10小题）29．（2023•湖北模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：x＝1，l与x轴交于点H，l与双曲线C的一条渐近线交于点T，且，．（1）求双曲线C的方程；（2）设过点H与x轴不重合的直线交双曲线C于A，B两点，直线AF2，BF2分别交l于点M，N，求证：|HM|＝|HN|．30．（2023•忻州一模）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且点A（2，1）在C上．（1）求双曲线C的方程；（2）若点M．N在双曲线C上，且AM⊥AN，直线MN不与y轴平行，证明：直线MN的斜率k为定值．31．（2023•张家口三模）已知点P（4，3）为双曲线上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距离为．（1）求双曲线E的标准方程；（2）不过点P的直线y＝kx+t与双曲线E交于A，B两点，若直线P A，PB的斜率和为1，证明：直线y ＝kx+t过定点，并求该定点的坐标．32．（2023•岳麓区校级模拟）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线l与C的右支相交于A，B两点．（1）当直线l与x轴垂直时，OA⊥OB，求C的离心率；（2）当C的焦距为2时，∠AOB恒为锐角，求C的实轴长的取值范围．33．（2023•德州三模）已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，点在C上，且双曲线C的渐近线与圆x2+y2﹣6y+8＝0相切．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，Q为x轴上一点，满足|QA|＝|QB|，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．34．（2023•长春模拟）已知双曲线C上的所有点构成集合P＝{（x，y）|ax2﹣by2＝1（a＞0，b＞0）}和集合Q＝{（x，y）|0＜ax2﹣by2＜1（a＞0，b＞0）}，坐标平面内任意点N（x0，y0），直线l：ax0x﹣by0y ＝1称为点N关于双曲线C的“相关直线”．（1）若N∈P，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：N∈Q；（3）若点N∈Q，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B，求证：．35．（2023•茂名二模）已知F1，F2分别为双曲线E：＝1（{a＞0，b＞0}）的左、右焦点，P为渐近线上一点，且|PF1|＝|PF2|，cos∠F1PF2＝．（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线E实轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支不同的A，B两点，Q为x 轴上一点且满足|QA|＝|QB|，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．36．（2023•浦东新区校级模拟）已知坐标平面xOy上左、右焦点为（﹣4，0）、（4，0）的双曲线C1：和圆C2：x2+（y﹣a）2＝9（a∈R）．（1）若C1的实轴恰为C2的一条直径，求C1的方程；（2）若C1的一条渐近线为y＝x，且C1与C2恰有两个公共点，求a的值；（3）设a＝5．若存在C2上的点P（x0，y0），使得直线l P：＝1与C1恰有一个公共点，求C1的离心率的取值范围．37．（2023•开福区校级二模）已知双曲线x2﹣y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y＝kx+m与圆x2+y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（1）求k的取值范围；（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．38．（2023•招远市模拟）已知双曲线的焦距为4，点在C上．（1）求双曲线C的方程；（2）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，斜率为k（k≠0）且不过F1的直线l与C交于点A，B，若k为直线AF1，BF1斜率的等差中项，求F2到直线l的距离d的取值范围．六．直线与圆锥曲线的综合（共22小题）39．（2023•青羊区校级模拟）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为．记动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；（2）设P，Q为曲线C上的两动点，直线AP的斜率为k AP，直线BQ的斜率为k BQ，且k AP＝7k BQ．①求证：直线PQ恒过一定点；②设△PQB的面积为S，求S的最大值．40．（2023•大同模拟）已知椭圆C1：的离心率为，并且直线y＝x+b是抛物线C2：y2＝4x的一条切线．（Ⅰ）求椭圆C1的方程．（Ⅱ）过点的动直线l交椭圆C1于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由．41．（2023•福田区校级模拟）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB，设动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y＝﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．42．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知点F（0，1），动点M在直线l：y＝﹣1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的标准方程；（2）过F的直线与曲线C交于A，B两点，直线OA，OB与圆x2+y2﹣2y＝0的另一个交点分别为D，E，求△DOE与△AOB面积之比的最大值．43．（2023•泉州模拟）已知点M为圆O：x2+y2＝1上的动点，点F1（﹣2，0），F2（2，0），延长F1M至N，使得|MN|＝|F1M|，线段F1N的垂直平分线交直线F2N于点P，记P的轨迹为Γ．（1）求Γ的方程；（2）直线l与Γ交于A，B两点，且OA⊥OB，求△OAB的面积的最小值．44．（2023•2月份模拟）椭圆曲线加密算法运用于区块链．椭圆曲线C＝{（x，y）|y2＝x3+ax+b，4a3+27b2≠0}．P∈C关于x轴的对称点记为．C在点P（x，y）（y≠0）处的切线是指曲线y＝±在点P处的切线．定义“⊕”运算满足：①若P∈C，Q∈C，且直线PQ与C有第三个交点R，则P⊕Q＝；②若P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P则P⊕Q＝；③若P∈C，规定P⊕，且P⊕0°＝0°⊕P＝P．（1）当4a3+27b2＝0时，讨论函数h（x）＝x3+ax+b零点的个数；（2）已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P，证明：P⊕P ＝；（3）已知P（x1，y1）∈C，Q（x2，y2）∈C，且直线PQ与C有第三个交点，求P⊕Q的坐标．参考公式：m3﹣n3＝（m﹣n）（m2+mn+n2）45．（2023•广州二模）已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C．（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于的直线交x轴于点N．当四边形MANB的面积最小时，求l的方程．46．（2023•金昌二模）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过两点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得直线l与圆x2+y2＝1相切，与椭圆C交于A，B两点，且满足（O 为坐标原点）？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．47．（2023•枣强县校级模拟）已知半椭圆和半圆x2+y2＝b2（y≤0）组成曲线C．如图所示，半椭圆内切于矩形ABCD，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点．当点P位于点处时，△AGP的面积最大．（1）求曲线C的方程；（2）连PC，PD分别交AB于点E，F，求证：|AE|2+|BF|2为定值．48．（2023•南昌县校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线与椭圆交于P，Q两点（P在x轴上方），且，设点P在x轴上的射影为点N，△PQN的面积为，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆C的焦点重合，斜率为k的直线l过抛物线E的焦点与椭圆C交于A，B两点，与抛物线E交于C，D两点．（1）求椭圆C及抛物线E的标准方程；（2）是否存在常数λ，使为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．49．（2023•邹平市校级模拟）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．50．（2023•虹口区校级三模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．51．（2023•西宁二模）已知双曲线W：的左、右焦点分别为F1、F2，点N（0，b），右顶点是M，且，∠NMF2＝120°．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过点Q（0，﹣2）的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点H （7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．52．（2023•徐州模拟）已知抛物线C1：x2＝8y的焦点F也是双曲线C2：的一个焦点，C1与C2公共弦的长为．（1）求C2的方程；（2）过F的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于C，D两点，且与同向．（i）若AC＝BD，求直线l的斜率；（ii）设C1在点A处的切线与x轴交于点M，试判断点F与以MD为直径的圆的位置关系．53．（2023•湖北模拟）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），双曲线，点A（x1，y1）在C的左支上，过A作x轴的平行线交E于点M，过M作E的切线l1，过A作直线l2交l1于点P，交E于点N，且．（1）证明：l2与E相切；（2）过N作x轴的平行线交C的左支于点B（x2，y2），过P的直线l3平分∠MPN，记l3的斜率为k，∠MPN＝θ，若cosθ＝﹣k2，证明：恒为定值．54．（2023•怀化二模）如图，椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．|AF|的最大值是M，|BF|的最小值是m，满足M•m＝a2．（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点．记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，求的取值范围．55．（2023•漳州模拟）已知椭圆C的中心为坐标原点O，对称轴为x轴、y轴，且点和点在椭圆C上，椭圆的左顶点与抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点F的距离为4．（1）求椭圆C和抛物线Γ的方程；（2）直线l：y＝kx+m（k≠0）与抛物线Γ交于P，Q两点，与椭圆C交于M，N两点．（ⅰ）若m＝k，抛物线Γ在点P，Q处的切线交于点S，求证：|PF|•|SQ|2＝|QF|•|SP|2；（ⅱ）若m＝﹣2k，是否存在定点T（x0，0），使得直线MT，NT的倾斜角互补？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．56．（2023•涟源市模拟）已知点F是抛物线C：x2＝4y与椭圆＝1（a＞b＞0）的公共焦点，椭圆上的点M到点F的最大距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）过点M作C的两条切线，记切点分别为A，B，求△MAB面积的最大值．57．（2023•宝鸡二模）已知椭圆，F为左焦点，A为上顶点，B（2，0）为右顶点，若，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F．（1）求C1的标准方程；（2）是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．58．（2023•江宁区校级一模）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线﹣y2＝1共顶点．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求的最大值．59．（2023•雨花区校级模拟）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P（2，），且它的离心率e＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）与圆（x﹣1）2+y2＝1相切的直线l：y＝kx+t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足+＝λ，求实数λ的取值范围．60．（2023•大观区校级三模）已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．（Ⅰ）求双曲线E的方程；（Ⅱ）已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线l交双曲线E于P，Q两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请说明理由．x2y2。