命题逻辑
《软件数学基础》学习辅导——命题逻辑
一. 主要内容
1.命题与联结词
命题与命题真值，五种逻辑联结词，复合命题。
2.公式与解释
原子及其公式，公式的解释、真值表、公式的类型、公式的等价。
二. 学习要求
1.了解命题、逻辑联结词的概念；掌握用联结词产生复合命题的方法。
2.了解公式与解释的概念，掌握真值表判断公式类型的方法。
三. 学习重点
1. 能够把自然命题符号化, 也能够把符号命题翻译成自然命题.
2. 会给出简单命题公式的真值表, 由此判断命题的类型.
3. 用真值表检验简单的逻辑推理*
四.重、难点解析
(一) 命题逻辑基本知识
数理逻辑中研究的命题必须是“能分辨真假的陈述句”.
命题有两个基本特征: 其一, 必须是陈述句；其二, 必须能够分辨真假, 不能不真不假, 也不能亦真亦假.
一般来讲, 疑问句、祈使句、感叹句都不能算命题. 这里要注意, 能辨真假并不要求我们就能够回答其真假. 比如“存在外星人”是一个命题, 虽然我们目前还无法回答这个命题是真还是假.
命题既然是有真假的陈述句, 那么任何一个命题P就只有两种可能的真值: T或F, 也可以表示为1或0.
1. 命题与联结词
在命题逻辑中, 最基本最简单的命题是原子命题, 原子命题无法再分解为更简单的命题. 一般复杂命题可以通过原子命题用联结词复合而成. 因此搞清联结词的含义是十分重要的. 本书我们只介绍了五种最基本的联结词, 汇总在下表中:
由联结词所产生的复合命题真值由原命题所决定, 具体情况如下表:
注意: (1) 析取联结词“∨”与我们日常生活中的“或”之间的细微差别.
(2) 在数理逻辑中, 任何命题都可以复合在一起.
例如: 命题P: 2＋1＝3和命题Q: 今天是晴天, 可以复合成命题: P∧Q, P→Q等.
2. 命题公式及其分类
命题公式: 命题变元和命题联结词, 按照一定方式复合而成的就是命题公式.
例如, 如果P和Q是命题变元, 则?P, P∨Q, (P∨Q)∨(Γ→Q), P?(Q∨?P)等都是命题公式.
命题变元: 命题公式中出现代命题P和Q称作命题变元.
如果一个命题公式A由命题变元P1, P2, …, P n构成, 那么命题变元P1, P2, …, P n任意一组真值指派, 就能得到A的一个真值. n个命题变元所有可能的真值指派共有2n个.
如果把这些指派以及A相应的真值列成表, 就是命题公式的真值表.
例如构造下列命题公式的真值表.
(1)?P∨Q
(2)(P∧Q)∧?P
解(1)命题公式?P∨Q的真值表如下:
(2)命题公式(P∧Q)∧?P的真值表如下:
如果命题公式A在命题变元的任何真值指派下其值恒为真, 则称A为永真式或重言式. 如果命题公式A在命题变元的任何真值指派下其值恒为假, 则称A为永假式或矛盾式, 如果命题公式A至少有一组命题变元的真值指派使其值为真, 则称A为可满足式.
利用真值表很容易判定一个命题公式是否为永真式、永假式、可满足式. 此外, 还可以利用命题的等价和蕴含, 利用逻辑推理的方式确定命题公式的类型, 也可以利用主范式来判定. 对于初学者, 一定要掌握真值表方法, 其它方法了解一下就可以了.
如果把联结词看作命题运算符号, 它们的次序为: ?、∧、∨、→、?.
对于初学者来说, 如果不清楚, 可以适当使用括号.
例如命题公式P∧?Q∨R→S相当于((P∧(?Q))∨R)→S.
3. 命题公式的等价与蕴含
命题逻辑不仅关心一个命题公式的类型, 还关心两个命题之间的关系, 其中等价和蕴含是其中最重要的关系.
只有当命题公式“A ?B”是永真式时, 才说A与B等价, 并使用记号A?B.
而只有当A→B是永真式时, 才称A蕴含B, 并记作A?B.
一定要搞清“?”与“?”的区别和联系; “?”与“→” 的区别和联系.
要证明两个命题公式A与B等价, 有三种方法:
(1)利用真值表. 对于命题变元任何一组指派, 两个命题公式必须取得同样的真值. 或者用真值表证明A ?B为永真式.
利用真值表来证明命题公式等价是一个有效办法, 但是前面我们已经指出过, 这种方法有点过于复杂, 特别当命题变元比较多的时候, 这个方法更麻烦, 但是对于命题变元比较少的情况, 真值表方法无疑是一个很实用的方法.
(2)利用基本等价律、替换原则、代入等方式, 把两个命题公式A, B互化. 也就是使用
等值演算方法.
常用基本等价律如下:
(3)说明两个命题有完全相同的主析取范式或者主合取范式.
4. 主析取范式和主合取范式
设命题公式A由命题变元P1, P2, …, P n构成.
合取式:形如Q1∧Q2∧?∧Q t的命题公式, 其中Q i=P i或者?P i, i=1, 2, …, t.
析取式: 形如Q1∨Q2∨?∨Q t的命题公式, 其中Q i=P i或者?P i, i=1, 2, …, t.
析取范式:
A1∨A2∨?∨A m
其中A1, A2, ?, A m都是合取式.
例如(Q∧R ∧P)∨ (?P∧?Q∧?R)是一个析取范式.
合取范式:
A1∧A2∧?∧A m
其中A1, A2, ?, A m都是析取式.
主范式: (1) 是范式; (2)每项包含公式中出现的所有命题变元.
求一个给定命题的范式和主范式有一定难度. 书中介绍的利用真值表直接给出主范式
的方法比较简单.
5. 命题公式的推理理论*
其实推理就是一些连续的蕴含过程, 类似于我们非常熟悉的平面几何证明题的过程. 每一步必须说明依据. 随时可以使用已知条件、已经证明的结论等等. 这里的推理理论无非就是把平时的推理过程抽象化, 一般化, 严格化. 在学习时尽量结合具体问题的推理理解书中的推理法则. 利用真值表也可以判断一个论证或者推理是否有效.
在进行命题公式推理的时候, 需要经常使用下表中的基本蕴含式:
(二) 命题逻辑应该注意的几个问题
1. “∨”与“或”
在数理逻辑中最常用的逻辑联结词有五个: ?、∧、∨、→、?. 初学者在使用时最容易出现问题的联结词是析取联结词“∨”. 一般情况下我们把这个联结词翻译成“或”. 但是, 这与我们日常生活中“或”的使用有很大差别.
在现实生活中使用的或大部分情况下是指不可兼或. 例如: 我或者写作业或者去跑步. 这个或就是不可兼或. 而“2+3 = 5或者我写作业”里面的或就是可兼或. 数理逻辑中的析取总是指可兼或. 这样在把自然命题翻译成符号命题时, 一定要仔细分析其含义.
2. “→”与“如果…, 那么…”
在日常生活中, “如果A, 那么B”中间的A, B肯定有联系, 这就是我们习惯上所说的前因后果. 但是在命题逻辑中, 只要A, B是命题, “A→B”总是一个有意义的命题. 更重要的是, 要接受关于这个复合命题真值的规定. 在数理逻辑中规定, 只要B真, 无论A真值如何, 复合命题都算真; 如果B不真, A也不真, 整个命题还算作真. 只有当A真但B假这一种情况下这个复合命题才算假.
从以上叙述我们知道: 无论A是什么样的命题, 复合命题“1+1=3→A”永远是对的. 这一点对于初学者来讲最难理解.
考察下面例子:
(1) 如果我跳高能跳过3米, 那么太阳就会从西边出来.
(2) 如果我跳高能跳过1米, 那么太阳就会从东边出来.
(3) 如果我跳高能跳过3米, 那么太阳就会从东边出来.
(4) 如果我跳高能跳过1米, 那么太阳就会从西边出来.
(5) 如果我是你, 我肯定能考100分.
3. “?”与“?”、“?”与“→”
A?B与A ?B 有区别也有联系. “?”并不是一个命题联结词, 而只是表明两个命题公式之间的关系. 实际上, 我们是用“A?B”来表示命题公式“A?B”是永真式. 因此A?B并不是一个命题公式. 而“?”是一个命题联结词, 如果A, B是命题公式, 那么A ?B是一个命题公式.
A?B与A→B 的区别和联系与“?”和“?”的完全类似. “?”也不是一个命题联结词, 而只是表明两个命题公式之间的关系, 因此A?B并不是一个命题公式. 而“→”是一个命题联结词, 如果A, B是命题公式, 那么A→B是一个命题公式. 这是它们的区别. 实际上, 我们是用“A?B”来表示命题公式“A→B”是永真式.
另外需要指出的是, “?”是命题公式之间的一个等价关系, 但是蕴含关系“?”则不是等价关系. 主要原因是蕴含不满足对称性, 即即使A?B也不一定有B?A.
五. 典型例题
例1 试把下列命题符号化:
(1) 我们要做到身体好、学习好、工作好, 为祖国建设小康社会而奋斗.
(2) 北京到西安的42次列车是下午4:30开或下午5:30开.
解找出原子命题, 然后用适当联结词对命题进行符号化.
(1) 设A: 我们要做到身体好;
B: 我们要做到学习好;
C: 我们要做到工作好;
P: 为祖国建设小康社会而奋斗.
原命题可符号化为: (A∧B∧C)?P
(2)设P: 北京到西安的42次列车下午4:30开;
Q: 北京到西安的42次列车下午5:30开.
注意汉语的“或”有时候是不可兼或, 而逻辑联结词∨是“可兼或”, 因此不能直接对两命题析取. 可以通过构造下面的真值对照表来看清如何翻译不可兼或:
从表中可以看出原命题不能用前述五个联结词单独写出, 但是如用命题和联结词组合, 可以把本命题表达为: ?(P?Q).
有些书籍引入符号“ ”来表示不可兼或.
例2把下列命题符号化:
(1)他既聪明又用功.
(2)他聪明但不用功.
(3)他既不聪明又不用功
解设P: 他聪明; Q: 他用功, 则可根据自然语言的实际含义进行符号化.
(1)P∧Q;
(2)P∧?Q;
(3)?P∧?Q.
例3 将下列命题符号化:
(1)除非你努力学习, 否则你将无法通过考试.
(2)小张或小李都可以担任学习委员.
解(1)这个命题的意义, 亦可理解为: 如果你不努力学习, 就无法通过考试.
设P: 你努力学习; Q: 无法通过考试, 则原命题可以翻译成: ?P→Q
(2)这个命题的意义是: 小张可以担任学习委员, 并且小李也可以担任学习委员.
设P: 小张可以担任学习委员; Q: 小李可以担任学习委员, 则原命题表示为: P∧Q.
例4 给出P→(Q→R)的真值表..
解命题公式P→(Q→R)的真值表为:
例5 检验下面论证的正确性: 如果我好好学习, 那么我就能通过软件数学基础的考试. 如果我不是整天上网玩游戏, 那么我就会好好学习. 但是, 我没有通过软件数学基础的考试. 因此我整天上网玩游戏.
分析对于这样一个推理, 首先要把论证符号化. 再来讨论论证是否有正确. 对于命题变元比较少的情况, 可以利用真值表来检验论证的正确性.
解设P表示“我好好学习”，Q表示“我没有通过软件数学基础考试”，R表示“我整天上网玩游戏”. 那么所给出的论证为: P→?Q, ?R→P, Q?R. 为了检验论证的正确性, 我
们构造以上命题P→?Q, ?R→P, Q, R的真值表:
从表中可以看出, 前提命题P→?Q, ?R→P, Q只有在第5行同时为真, 并且此时结论R 也为真, 因此论证是正确的.
数理逻辑是比较抽象的, 也比较难学. 尤其对于非数学专业的学生而言, 更是如此. 好在我们对大家的要求并不算高. 主要目的是让大家开阔视野, 了解到数理逻辑究竟研究什么对象, 是如何去研究的. 自从有了计算机, 人们一直梦想让计算机去帮我们进行逻辑推理, 去寻找新的结论. 这就是现在十分活跃的自动推理理论和机器证明或者机械证明理论研究的范畴. 如果大家想研究这方面的内容, 必须学好数理逻辑.
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明:
(完整)高考文科数学命题与逻辑(答案详解)
命题 1．（2012浙江卷）设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2． （湖北卷）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 3． （2012湖北卷）设,,a b c +∈R ，则“1abc =”是a b c ≤++”的 A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要的条件 4.（2012安徽）命题“存在实数x ,，使>1x ”的否定是（） A.对任意实数x , 都有1x > B.不存在实数x ，使1x ≤ C.对任意实数x , 都有1x ≤ D.存在实数x ，使1x ≤ 5.（2012湖南）命题“若 4 πα= ，则tan 1α=”的逆否命题是（ ） A ．若 4 πα≠，则tan 1α≠ B ．若= 4 πα，则tan 1α≠ C ．若tan 1α≠，则4πα≠ D ．若tan 1α≠，则= 4 πα 6.（2012辽宁）已知命题()()()()122121:,,--0 p x x R f x f x x x ?∈≥，则p ?是 A ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ?∈≤ B ． ()()()()122121,,--0 x x R f x f x x x ?∈≤ C ． ()()()()122121,,--<0 x x R f x f x x x ?∈ D ． ()()()()122121,,--<0 x x R f x f x x x ?∈ 7.（2012上海）对于常数m 、n ，“>0mn ”是“方程22+=1mx ny 的曲线是椭圆”的（） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.（2012四川）下列命题正确的是（） A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
命题逻辑练习题及答案14
命题逻辑练习题 一、从五个备选答案中选择一个正确的答案，并做出简要的分析： 1、古代一位国王率领张、王、李、赵、钱五位将军一起打猎，各人的箭上均刻有自己的姓氏。围猎中，一只鹿中箭倒下，但却不知是何人所射。国王令众将军猜测。 张说：“或者是我射中的，或者是李将军射中的。” 王说：“不是钱将军射中的。” 李说：“如果不是赵将军射中的，那么一定是王将军射中的。” 赵说：“既不是我射中的，也不是王将军射中的。” 钱说：“既不是李将军射中的，也不是张将军射中的。” 国王令人把射中鹿的箭拿来，看了看，说：“你们五位将军的猜测，只有两个人的话是真的。” 根据国王的话，可以判定以下哪项是真的？ A、张将军射中此鹿。 B、王将军射中此鹿。 C、李将军射中此鹿。 D、赵将军射中此鹿。 E、钱将军射中此鹿。 1、某大学进行演讲比赛，得第一名的只有一人。在对六个参赛者进行名次预测时，四人作了如下 预测： 甲：取得第一名的要么是我，要么是乙。 乙：取得第一名的要么是甲，要么是丙。 丙：如果不是戊取得第一名，就一定是己。 丁：第一名决不会是甲。 比赛结果发现，只有一个人的预测正确。请问谁得第一名？谁的预测正确？ A、甲得第一名，乙的预测正确。 B、乙得第一名，甲的预测正确。 C、丙得第一名，乙的预测正确。 D、丁得第一名，丁的预测正确。 E、戊得第一名，丙的邓测正确。 2、销售经理的人选，对于一个公司的生存和发展十分重要。哈维珍珠有限责任公司对于销售经理 的任用，就非常填重。由于前任销售经理因故离任，关于公司新销售经理的人选，甲、乙、丙 三位董事经过充分考虑，提出了他们的意见： 甲：要么聘用李先生，要么聘用王先生。 乙：如果不聘用李先生，那么也不聘用王先生。 丙：如果不聘用王先生，那么就聘用李先生。
逻辑学第三版(编者姜全吉 迟维东)出版社：高等教育出版社-书后答案第六章模态命题及其推理
第六章模态命题及其推理 一、指出下列命题各属何种模态命题，并用公式表示其命题形式。 1．教与学脱节，势必造成教学质量下降。 答：必然肯定命题。其逻辑式为：必然p（或“s必然是p”）。 2．谎言必然不能长久骗人。 答：必然否定命题。其逻辑式为：必然非p（或“s必然不是p”） 3．火车必然比摩托车大。 答：必然肯定命题。其逻辑式为：必然p。 4．他可能估计不到这件事的严重后果。 答：可能否定命题。其逻辑式为：可能非p（◇?p） 5、月球昼夜温差的巨大变化必定导致无生物存在。 答：必然肯定命题。其逻辑式为：必然p（□p） 6、有错必纠，有反必肃。 答：必须联言命题。其逻辑式为：必须p并且必须q（○p∧○q） 7．任何人不得利用宗教活动煽动群众闹事。 答:禁止肯定命题. 其逻辑式为：禁止p(Fp). 8．满十八岁者不准参加选举。 答:禁止肯定命题. 其逻辑式为:禁止p(Fp). 9．能够坦白交待、态度诚恳者，可以从轻处理。 答:允许肯定命题. 其逻辑式为:允许p(Pp). 10．不准任何人以任何借口搞分裂国家的活动。 答：禁止选言命题。其逻辑式为: 禁止p. 二、指出下列各组模态命题间的逻辑关系： 1．⑴月球运行于太阳和地球之间必然发生日食。 ⑵月球运行于太阳和地球之间可能不发生日食。 答：①必然p，②可能非p，二者是“不同真、不同假”的矛盾关系。 2．⑴世界事务必定不会受一、两个大国操纵。 ⑵世界事务可能不会受一、两个大国操纵。 答：①必然非p，②可能非p，二者是“可同真，可同假”的从属关系。即：“必然非p”真，“可能非p”必真；“必然非p”假，“可能非p”可真可假，“可能非p”真，“必然非p”可真可假，“可能非p”假，“必然非p”必假。 3．⑴这个荒岛一定有人上去过。 ⑵这个荒岛一定没有人上去过。 答：①必然p，②必然非p，二者是“不同真，可同假”的反对关系。即断定其中一个真，另一个必假；断定其中一个假，另一个可真可假。 4．⑴证人不可以充当证据鉴定人。 ⑵证人应当充当证据鉴定人。 答：①不允许p（必须非p）②必须p，二者是一个可行，另一个就不可行，一个不可行，另一个可行与否不确定的反对关系。 5．⑴犯贪污罪的并非必须是国家机关工作人员。 ⑵犯贪污罪并非可以不是国家机关工作人员。 答：①并非必须p，②并非允许不p；①等值于“允许不p”，②等值于“必须p”，二者是一个可行，
第一讲逻辑与公理化系统
第一讲数理逻辑与公理化系统 逻辑是人通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观事物的思维过程，逻辑思维，人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程，又称理论思维。它是作为对认识着的思维及其结构以及起作用的规律的分析而产生和发展起来的。只有经过逻辑思维，人们才能达到对具体对象本质规定的把握，进而认识客观对象。它是人的认识的高级阶段，即理性认识阶段。 概念是反映事物内的本质属性及其分子的的思维形式，是抽象的、普遍的想法、观念或充当指明实体、事件或关系的范畴或类的实体。其特征是概念的内涵（内容）和外延（包含在概念中的事物）； 判断的特征是对事物有所断定且有真假； 演绎推理的特征是如果前提真，则结论真；（数学的逻辑推理通常是演绎推理） 定义是揭示概念内涵的逻辑方式，是用简洁的语词揭示概念反映的对象特有属性和本质属性。定义的基本方法是“种差”加最邻近的“属”概念。 定义的规则：一是定义概念与被定义概念的外延相同；二是定义不能用否定形式；三是定义不能用比喻；四是不能循环定义。 划分是明确概念全部外延的逻辑方法，是将“属”概念按一定标准分为若干种概念。划分的逻辑规则：一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。 数学中的逻辑除了上述特点之外，更重要的是定量的刻画客观事物，在这一过程中，集合是一个基本的概念，它通过集合中的一些关系将事物量化。 将具有某种确定的特性的事物的全体称为一个集合。 在数学中，在逻辑量化过程中，会用到量词。 量词是命题中表示数量的词，分为全称量词和存在量词。全称量词断定所有的个体都具有相关谓词所表示的性质或关系，相当于自然语言中的“一切”、“所有”、“凡”等；存在量词断定存在（即至少有一个，但不一定是每一个）个体具有相关谓词所表示的性质或关系，相当于自然语言中的“有的”、“有”、“至少有一个”、“找得到一个”等。 符号表示为?（任一）表示全称量词，?（存在）表示存在量词，在数学中主要有以下几种形式： x F ?表示任一x具有性质F； ,x ) ( x?表示存在x具有性质F（满足条件F）； F ,x ( ) y x? ?表示任一x和任一y具有关系G（满足条件G）； G ( , ) ,y x x,具有关系G（满足条件G）； y x? ?表示对任一x，存在y，使得y G , ) ( ,y x x,具有关系G（满足条件G）； y x? G ?表示存在x，对任一y，使得y ( ) , ,y x
逻辑判断中的模态命题解题技巧
逻辑判断中的模态命题 模态命题是反应事物必然性和可能性的命题。在逻辑中，“必然”、“不必然”、“可能”、“不可能”等叫做“模态词”，包含模态词的命题叫做“模态命题”。 从以往考试来看，通常是让我们在“必然”和“可能”间进行转换。如：甲队必然得冠军，可以推出甲队可能得冠军，也可以推出甲队不可能不获得冠军。其实就是我们的日常思维。 1. 最近一段时期，有关要发生地震的传言很多。一天傍晚，小明问在院里乘凉的爷爷：“爷爷，他们都说明天要地震了。”爷爷说：“根据我的观察，明天不必然地震”。小明说，“那您的意思是明天肯定不会地震了。”爷爷说不对。小明陷入了迷惑。 以下哪句话与爷爷的意思最为接近? A.明天必然不地震 B.明天可能地震 C.明天可能不地震 D.明天不可能地震 【分析】本题属于模态命题。 “不必然p”，等价于“可能非p”。那么，不必然地震，等价于可能不地震。所以C项和爷爷的意思最接近。 2. 有人断言：近日股价可能会上涨。 下面哪项的意思和该人的判断最为接近? A. 近日股市必然上涨
B. 近日股市必然不上涨 C. 近日股市必然下跌 D. 近日股市不必然不上涨 【分析】本题属于模态命题。 可能=不必然不。所以正确答案为D选项。 还有一些比较难的模态命题，以直言命题(性质命题)为基础，加上“必然”或“可能”，形成直言模态命题。这里，我们再把直言命题的等价关系回忆一下。 下面通过真题来看看这类问题的解法。 【真题示例】 1. 不可能所有的考试都不能通过考试。 据此，可以推出( ) A. 可能有的考试不能通过考试 B. 必然有的考生能通过考试 C. 必然所有的考试都能通过考试 D. 必然所有的考生不能通过考试 【分析】本题属于直言模态命题。 不可能P=必然非P，这里的P是“所有的考试都不能通过考试”，非P就是“有的考生能通过考试”，即必然有的考生能通过考试。 2.并非任何战争都必然导致自然灾害，但不可能有不阻碍战争的自然灾害。 以下哪一项与上述断定的含义最为接近?(北京2011 ) A.有的战争可能不导致自然灾害，但任何自然灾害都可能阻碍战争 B.有的战争可能不导致自然灾害，但任何自然灾害都必然阻碍战争
模态命题及其推理
第三讲模态命题及其推理 第一节模态命题 无论是直言命题，还是复言命题，都是表达明确判断的句子。然而在现实情况中这样并不能解决所有的问题，有时会出现谈论事件发生可能性的情况 例如：今天早上堵车。 表达的是一种判断，是直言命题。但是，今天早上堵车的可能性有多大呢？是有可能会堵车呢？还是一定会堵车？为了探讨这种可能性，就要引入我们模态命题这一部分的学习 一、什么是模态命题 模态命题就是陈述事物情况的必然性或可能性的命题。直言命题和关系命题只是关于事物情况存在或不存在的陈述。但有些事物情况的存在或不存在是必然的，有些事物情况的存在或不存在是可能的，陈述这种必然性或可能性的命题就是模态命题。模态命题反映人们对客观事物认识的程度。 例如：违反客观规律必然要受到客观规律的惩罚。 辩护人的意见可能是对的。 模态命题都含有“必然”或“可能”等模态词。必然：一定、肯定、必须、必定等。可能：大概、也许等。不含有模态词的命题是非模态命题。人们使用模态命题一般是出于两种情况：1、用模态命题来反映事物本身确实存在的某种可能性或必然性。如例（1）；2、我们有时对事物是否确实存在某种情况，一时还不十分清楚、确定，因而只好用可能命题来表示自己对事物情况断定的不确定的性质。如例（2）。 另外，模态词在一个模态命题中所处的位置，不是固定不变的。模态命题是在非模态命题的基础上，加上模态词而构成的。模态词可以加在命题的中间，也可以加在命题的前面或后面。如例（2）也可表述为：“可能辩护人的意见是对的”。 注意：辨别模态命题和非模态命题的关键就是看这个命题中是否包括模态词，如果包括模态词就是模态命题。 二、模态命题的种类 既然是命题，就是表示某种判断，所以，根据模态词和判断词的不同，模态命题大致可以分为四种：必然P(P是非模态命题)，必然非P，可能P，可能非P。
逻辑学 命题逻辑
第五章命题逻辑 上一章我们学习了词项逻辑，词项逻辑是以词项的研究为基础的，讨论的是简单命题和简单命题的推理。在这一章中，我们来学习在简单命题的基础上构成的复合命题以及复合命题推理。由于对复合命题和复合命题推理的研究是以命题为基本单位的，不再分析简单命题的内部结构，因此被称为命题逻辑。命题逻辑也叫联结词的逻辑，因为它是以命题联结词的研究为基础的。 第一节复合命题 复合命题是由一定的联结词（常称为命题联结词或逻辑联结词）将一个、两个或两个以上命题联结起来构成的命题。与简单命题不同，复合命题中包含着其他命题。作为复合命题组成部分的命题称为支命题。 复合命题按照其不同的逻辑含义，可分为负命题、联言命题、选言命题和假言命题。 一、负命题 （一）什么是负命题 负命题是否定某种事物情况的命题。 负命题由表示否定的联结词联结一个支命题构成。负命题只有一个支命题，这显然与其他复合命题不同。 在日常语言中，表达负命题的联结词的语词有“并非”、“并不是”等，我们在表示负命题的形式时，以“并非”作为代表，即将负命题的形式表示为： 并非p 这里的p是表示任一命题（常表示任一简单命题）的符号，称为命题变项。负命题的联结词也可以用符号“?”表示。这样，上述形式就可表示为： ?p 这里的“?”称为否定词，?p称为否定式，可读作“非p”。 负命题是否定某种事物情况，而不是否定事物具有某种性质，因而它不同于直言命题中的否定命题。直言命题中的否定命题的否定联项处于命题当中，而负命题的否定词
则处于命题的最前端。 不过，直言命题中的单称否定命题形式“s不是P”逻辑等值于“并非s是P”，而后者可表示为“并非p”的形式，因此，直言命题中的单称否定命题常被作为负命题处理。特别是在单称肯定命题与相应的单称否定命题同时出现，而又将单称肯定命题用某个命题变项符号（如p）代替时，为反映出它们之间的逻辑联系，更需要将相应的单称否定命题直接表示为负命题的形式（如?p）。这种处理方法在复合命题推理中是常用的。 必须注意的是，直言命题中的否定命题能直接作为负命题对待的只有单称否定命题，全称否定命题和特称否定命题则不能直接作为负命题处理。显而易见，“所有S不是P”并不逻辑等值于“并非所有S是P”，“有S不是P”也并不逻辑等值于“并非有S是P”。 （二）负命题的真假值 负命题是对其支命题所断定的事物情况的否定，它的真假与其支命题的真假相反：如果一个负命题的支命题为真，那么这个负命题就是假的；如果一个负命题的支命题为假，那么这个负命题就是真的。 负命题与其支命题之间的真假值关系可概括为：?p真，当且仅当p假。 二、联言命题 （一）什么是联言命题 联言命题是断定两种或两种以上事物情况同时存在的命题。 联言命题由两个或两个以上支命题经一定的联结词联结而成。构成联言命题的支命题称为联言支。 在日常语言中，表达联言命题的语句是多种多样的，有并列复句、连续复句、递进复句、转折复句等。这些复句的关联词更是多种多样的，如“并且”、“而且”、“也”、“既……又……”、“可是”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”等。这些语词中，最符合联言命题的逻辑含义的是“并且”。其他一些语词则还带有更多的含义，如表示递进、转折等，这些含义不是逻辑上的。因此，我们选择“并且”作为联言命题的联结词的逻辑表达。这样，具有两个联言支的联言命题的形式可表示为：p并且q 具有三个联言支的联言命题的形式可表示为：
命题与简单逻辑连接词
12月1日（命题与简单逻辑连接词） 一、选择题： 1. "0"≤a 是函数()()"1"x ax x f -=在区间()+∞,1内单调递增的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 给定命题:p 函数()()[]x x y +-=11ln 为偶函数；命题:q 函数1 1+-=x x e e y 偶函数，下列说法正确的是（ ） A. q p ∨为假命题 B.()q p ∧?为假命题 C.q p ∧为真命题 D.()q p ∨?为真命题 3. 已知命题:p 若()2,1=与()λ,2-=共线，则4-=λ；命题:q R k ∈?，直线1+=kx y 与圆0222=-+y y x 相交。则下列结论正确的是（ ） B. q p ∨为假命题 B.()q p ∧?为真命题 C.q p ∧为假命题 D.()q p ∨?为真命题 4.命题:p 若,0,0>>b a 则1=ab 是2≥+b a 的必要不充分条件，命题:q 函数2 3log 2+-=x x y 的定义域是()()+∞-∞-,32, ，则（ ） A.q p ∨为假命题 B.p 真q 假 C.q p ∧为真命题 D.p 假q 真 5.""π?=是“曲线()?+=x y 2sin 过坐标原点”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设{}n a 是等比数列，则“321a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.一元二次方程()00122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A. 0a C.1-x ”是“02>x ”的必要不充分条件，命题:q ABC ?中，“B A >”是“B A sin sin >”的充要条件，则_______. A.q p ∨为假命题 B.p 真q 假 C.q p ∧为真命题 D.p 假q 真 二、填空题： 9.关于x 的不等式a x >-32的解集为R 的充要条件是____________. 10.已知命题:p 函数x x y --=22在R 上为增函数；命题:q 函数x x y -+=22在R 上为奇函数.则在命题（1）q p ∨；（2）q p ∧；（3）q p ∨?)(；（4）)(q p ?∧中为真命题的是_________. 11.若命题:p 不等式0>+b ax 的解集为???? ??->a b x x |，命题:q 关于x 的不等式()()0<--b x a x 的解集为{}b x a x <<|，则“q p ∨”，“q p ∧”，“p ?”中真命题的是______________. 三、应用题： 12.求证：方程()01222=+-+k x k x 的两个根均大于1的充要条件是.2- 第六章模态命题 药恩情 一、模态命题的概念 二、模态命题的种类 一、模态命题 重庆市的汽车都是靠右行驶的。（性质命题） 重庆市的汽车必须是靠右行驶。（规范命题） 重庆市的汽车可以是靠右行驶。（规范命题） 模态命题 模态命题是一切包括可能、必然、必须、禁止等模态词的命题。 二、模态命题的种类 （一）真值模态命题 必然命题 可能命题 （二）规范模态命题 必须命题 允许命题 （一）真值模态命题 1.真值模态命题的概念 2.真值模态命题的种类 3.真值模态命题的对当关系 1.真值模态命题的概念 真值模态命题，是陈述事物情况的必然性或可能性的命题。 凡包含着“必然”、“可能”等词的命题，就叫真值模态命题。由模态词和基础命题组成。模态词：必然、可能。 真值模态命题 例： 事物必然是运动的。 ??地球以外的天体可能存在生物。 今天一定有同学逃课。 今天可能要耽误吃饭。 2.真值模态命题的种类 必然命题 可能命题（或然命题） 1.必然命题 必然命题是陈述事物情况的必然性的命题。 必然命题分为必然肯定命题和必然否定命题。 必然肯定命题是陈述事物情况必然存在的命题。表达式为必然p。□p 必然否定命题陈述事物情况必然不存在的命题。表达式为必然不p。□- p 2.可能命题（或然命题） 是陈述事物情况的可能性的命题。 分为可能肯定命题和可能否定命题。 可能肯定命题陈述事物情况可能存在的命题。表达式可能p。◇p 可能否定命题是陈述事物情况可能不存在的命题。表达式可能不p。◇-- p 符号 其中： “必然”用□表示； “可能”用◇表示； 而p表示基础判断： 如即事物是运动的； 必然p??? 命题与逻辑关系 四种命题及其关系 1.有下列四个命题： ①“若xy ＝1，则x 、y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③若“A ∪B ＝B ，则A ?B ”的逆否命题．其中的真命题有( )个。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.命题“若a >b ，则ac 2>bc 2 (a ，b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )． A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 3.下列命题为真命题的是( ) A ．若ac bc >，则a b > B ．若22a b >，则a b > C ．若11a b >，则a b < D ．若a b <，则a b < 4.设b a ,是向量，命题“若b a -=，则b a =”的逆命题是( ) .A 若b a =，则b a -= .B 若b a -≠，则b a ≠ .C 若b a ≠，则b a -≠ .D 若b a -=，则b a ≠ 5.“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题是（ ） A 、若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 C 、若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 6.命题“若12 第五章模态命题及其推理 第一节模态命题 一、什么是模态命题? 模态命题，有广义和狭义之分，广义是指一切包含有模态词的命题，狭义的主要是指其中包含有“必然”和“可能”这类模态词的命题。 定义：模态命题是反映事物可能性或必然性的命题。 例如：1、社会必然不断进步。 2、明天可能不下雨 这些都是模态命题。例1反映了社会进步的必然性。例2反映了“明天不下雨具有可能性”。 二、模态命题的种类 根据命题所反映的是事物可能性还是必然性，可以把模态命题分为可能命题和必然命题。 1、可能命题。反映事物情况可能性的命题是可能命题。 可能命题又分为两种：肯定可能命题和否定可能命题。 （1）肯定可能命题：是反映事物情况可能存在的命题。 例1、火星上可能有生命存在。 例2、今天可能下雨。 前者反映火星上存在生命具有可能性，后者反映今天下雨的具有可能性。 公式：“S可能是P”或“S是P是可能的”简化为： “可能P”或“◇P”（在这里，P表示命题，“◇”模态算子，表示“可能”）。 （2）否定可能命题：是反映事物情况可能不存在的命题。 例1、明天可能不下雨。 例2、他可能没有20岁。 前者反映“明天下雨”这种情况可能不存在，后者反映“他有20岁”这种情况可能不存在。 公式：“S可能不是P”或“S不是P是可能的”，也可简化为“可能┒P”（即可能非P “或”◇┒P）。 2、必然命题。反映事物情况必然存在的命题是必然命题。 （1）肯定必然命题。是反映事物情况必然存在的命题。例如： a.生物必然进行新陈代谢。 b.我国的四个现代化必然能实现。 前者反映了“生物进行新陈代谢”的必然性，后者反映了，“我国实现四个现代化的必 命题逻辑 一、选择题（每题3分） 1、下列句子中哪个是命题？ ( ) A 、你的离散数学考试通过了吗？ B 、请系好安全带！ C 、 π是有理数 D 、 本命题是假的 2、下列句子中哪个不是命题？ ( ) A 、你通过了离散数学考试 B 、我俩五百年前是一家 C 、 我说的是真话 D 、 淮海工学院是一座工厂 3、下列联接词运算不可交换的是( ) A 、∧ B 、∨ C 、 → D 、 ? 4、命题公式P Q ?→不能表述为( ) A 、P 或Q B 、非P 每当Q C 、非P 仅当Q D 、除非P ，否则Q 5、永真式的否定是 ( ) A 、 永真式 B 、永假式 C 、可满足式 D 、 以上答案均有可能 6、下列哪组赋值使命题公式()P P Q →∧的真值为假( ) A 、P 假Q 真 B 、P 假Q 假 C 、P 真Q 真 D 、P 真Q 假 7、下列为命题公式()P Q R ∧∨?成假指派的是( ) A 、100 B 、101 C 、110 D 、111 8、 下列公式中为永真式的是 ( ) A 、()P P Q →∧ B 、()P P Q ?→∧ C 、()P Q Q ∧→ D 、()P Q Q ∨→ 9、 下列公式中为非永真式的是( ) A 、 ()P P Q ∧?→ B 、()P P Q ∨?→ C 、()P P Q ∧?→ D 、()P P Q ∨?→ 10、下列表达式错误的是( ) A 、()P P Q P ∨∧? B 、()P P Q P ∧∨? C 、()P P Q P Q ∨?∧?∨ D 、()P P Q P Q ∧?∨?∨ 11、下列表达式正确的是( ) A 、P P Q ?∧ B 、P Q P ?∨ C 、()Q P Q ???→ D 、Q Q P ??→?)( 12、下列四个命题中真值为真的命题为( ) （1）224+=当且仅当3是奇数 （2）224+=当且仅当3不是奇数； （3）224+≠当且仅当3是奇数 （4）224+≠当且仅当3不是奇数 A 、（1）与（2） B 、（1）与（4） C 、（2）与（4） D 、（3）与（4） 13、设P ：龙凤呈祥是成语，Q ：雪是黑的，R ：太阳从东方升起，则下列假命题为( ) A 、R Q P ∧→ B 、Q P S →∧ C 、P Q R →∨ D 、 Q P S →∨ 14、设P ：我累，Q ：我去打球，则命题：“除非我累，否则我去打球”的符号化为（ ） A 、P Q → B 、Q P ?→ C 、 Q P →? D 、P Q ?→? 15、设P ：我听课，Q ：我睡觉，则命题 “我不能一边听课，一边睡觉”的符号化为( ) A 、P Q → B 、Q P ?→ C 、 Q P →? D 、P Q ?→? 提示：()P Q P Q ?∧?→? 16、设P ：停机；Q ：语法错误；R ：程序错误， 则命题 “停机的原因在于语法错误或程序错误” 的符号化为（ ） A 、R Q P ∧→ B 、P Q R →∨ C 、Q R P ∧→ D 、Q R P ∨→ 17、设P ：你来了；Q ：他唱歌；R ：你伴奏 则命题 “如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定” 的符号化为（ ） A 、()P Q R →∧ B 、()P Q R →→ C 、()P R Q →→ D 、()P Q R →? 18、在命运题逻辑中，任何非永真命题公式的主合取范式都是（ ） A 、 存在并且唯一 B 、存在但不唯一 C 、 不存在 D 、 不能够确定 ! "# 20173一、引言 人们有时会说，尽管罗素和怀特海（1910）的《数学原理》（Principia Mathematica ，下文简写为 PM ）是早期分析哲学的奠基性著作之一，但它很少被阅读甚至被认为是“难以读懂的”①。除了PM 第14章中定性的讨论之外，当代哲学家已经不会再去研究PM 了。其部分原因既在于其过时的观点， 也在于它已经被逻辑学的后续进展所取代。当代逻辑学家可能把关于命题逻辑的前几章（2-5章）看作是从公理中毫无目的地选择出来的近两百条基本定理的堆砌。PM 第一卷于1910年出版之后，亨利·谢费（Henry Sheffer ，1913）和珍·尼可德（Jean Nicod ，1917）已经表明，命题逻辑可以由一个连接 词（“谢费竖”）和使用这个连接词的公理进行形式化②。尼可德和谢费是罗素的学生，他们的成就主 要反映在1925年的PM 第二版《导言》里，《导言》给人的印象是：罗素早期曾经否定过PM 中的初等逻辑系统。到了20世纪20年代中期，人们已经知道如何使用真值表证明命题逻辑的任意一个公理系统在语义上是完全的③。研究早期分析哲学的学者们发现，维特根斯坦在《逻辑哲学论》中最先提出：命题逻辑的公理形式是不必要的。而且，重言式的概念可以取代定理的概念成为逻辑真的解释。因此，在PM 出版时，其中的命题逻辑就被认为已经过时并且与哲学几乎无关。然而，探寻PM 在皮亚诺逻辑和罗素早期研究的踪迹，将帮助我们理解PM 之后的逻辑学中许多看似困惑的特征。 罗素于1900年在巴黎数学大会听到朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano ）和他学生的报告，他把这个报告描述为在“我理智生命的最重要一年中的最重要的事件”（罗素，1944）。正是这次与新符号逻辑 从《数学原则》到《数学原理》的命题逻辑 伯纳德·林斯基著[摘要]《数学原理》（Principia Mathematica ）是罗素和怀特海的著作，也是早期分析哲学的基石，它的 公理系统与《数学原则》（Principles of Mathematics ）的公理系统不同。通过研究罗素如何在《数学原理》中找 到证明方法的过程，可以发现经典命题逻辑公理形式化证明的一般方法。《数学原理》改变了《数学原则》中的初始命题，带来了新的证明，一些定理和引理随着论题的发展而被删除了，但《数学原则》中尽量多的结果还是被保留下来。《数学原理》中的命题逻辑系统是一个逐步演化的结果。 [关键词]《数学原则》；《数学原理》；《蕴含理论》；皮亚诺，皮尔士 [作者简介]伯纳德·林斯基，加拿大阿尔伯特大学哲学系教授，加拿大埃德蒙顿；陈磊，北京师范大 学哲学学院副教授；王秀娟，北京师范大学哲学学院硕士研究生，北京100875 ［中图分类号］B81［文献标识码］A ［文章编号］1004-4434(2017)03-0032-09 [基金项目]国家社科基金一般项目“相对论的一阶逻辑基础研究”（14BZX078）资助 ①见格里芬和林斯基（2013）在XViii 页引述了这个观点。②谢费尔（1913）和尼可德（1917）。 ③伯纳斯（1926）的工作中包含了PM 的一条公理是多余的以及公理的完备性这两个结果。这两个结果都没有在PM 的第二版中出现。见林斯基（2011）。 陈 磊，王秀娟 译 32 命题与逻辑联结词 一、命题与逻辑联结词 1、命题定义 可以判断真假的语句叫“命题” 2、分类 简单命题 复合命题（由简单命题与逻辑联结词构成） p 或q ：q p ∨ p 且q ：q p ∧ 非p ：p ?（命题p 的否定） 3、判断复杂命题的真假 一真或真，一假且假. 4、四种命题 （1）原命题. 若p ，则q . （2）逆命题 若q ，则p . （3）否命题 若p ?，则q ?. （4）逆否命题 若q ?，则p ?. 5、四种命题关系 （1）原命题与逆否命题同真同假. （2）逆命题与否命题同真同假. 6、命题的否定与否命题. （1）命题的否定：（只否定结论）. p 表示命题，非p 叫做命题的否定； 若p 则q ，则命题的否定为：若p 则q ? （2）否命题（既否定条件，又否定结论） 若p 则q 的否命题为： 若p ?则q ?. 二、充分条件与必要条件. 1、充分条件 若q p ?，则p 是q 的充分条件（q 的充分条件p ） 2、必要条件 若q p ?，则q 是p 的充分条件（p 的充分条件q ） 3、充要条件 若q p ?且p q ?（或q p ?）则p 是q 的充要条件。 4、充分条件与必要条件判定 （1）数轴法 （2）集合法 （3）等价法 三：全称量词与存在量词 1、 全称量词：“所有的”.“任意一个”.“每个”，用“?”表示。 存在量词：“存在一个”.“至少有一个”.“有些”，用“?”表示. 2、 全称命题（含有全称量词的命题）：();,x p M x ∈? 特称命题（含有存在量词的命题）：().,00x p M x ∈? 3、含有一个量词的命题的否定. 命题 命题的否定 ()X P M x ,∈? ()00,x p M x ?∈? ()00,x p M x ∈? ()x p M x ?∈?, 4、一些常用正面描述的词语的否定形式： 正面词语 = > < 是 都是 一定 否定词语 ≠ ≤ ≥ 不是 不都是 不一定 正面词语 至多有一个 至少有一个 至多有n 个 至少有n 个 P 或q P 且q 否定词语 至少有两个 一个也没有 至少有n +1个 至多有n -1个 非p 且非q 非p 或非q 课题：命题及逻辑连接词 考纲要求： ①理解命题的概念. ②了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.③了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. ④理解全称量词与存在量词的意义. ⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定 教材复习 1.原命题：若p则q；逆命题为：；否命题为：；逆否命题为： 2.四种命题的真假关系：两个命题互为逆否命题，它们有的真假性； 四种命题中真命题或假命题的个数必为个． 3.常见词语的否定：如：“等于、大于、小于、是、都是、至多一个、至少一个、任意的、所有的、至多n个、任意两个、或、且”的否定分别是： 4. 5.命题的否定与否命题的区别，全称性命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称性命题. 基本知识方法 1.四种命题之间的关系 2.存在，任意的符号表示法 3.含有一个量词的命题的否定 典例分析： 问题1．把写列命题写成若p 则q 的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否否命题， 并判断真假.()1 当2x =时，2 320x x -+=；()2 对顶角相等。 问题2．分别写出由写列命题构成的“p 且q ”、“p 或q ”、“非p ”形式的复合命题 并判断真假。 ()1:p 3是9的约数；:q 3是18的约数； ()2:p 菱形的对角线相等；:q 菱形的对角线互相垂直； ()3 :{,,}p a a b c ∈；:{}{1,,}q a b c ü； ()4 :p 不等式2221x x ++>的解集是R ；:q 不等式2221x x ++≤的解集为?. 问题3．试判断下列命题的真假 ()12,20x R x ?∈+>； ()24,1x N x ?∈≥； ()33,1x Z x ?∈<； ()42 ,2x R x ?∈=. 计算机科学M O O C课程群 离散数学基础 命题逻辑的自然演绎系统 (一) 形式语言和变形规则 ? 定义：形式语言 L ?形式语言 L 包括初始符号集和形成规则。 ?初始符号 (1)命题变量符号 p1, p2, p3, … ； (2)命题联结词 ?, ∧, ∨, →, ?； (3)辅助性符号 (, )，用于描述联接词的辖域或运算优先次序。 ?形成规则 (1)单独的命题变量符号是合式公式 (wff，简称公式)； (2)若 A 是 wff，则 ?A 也是 wff； (3)若 A, B 是 wff，则 (A∧B), (A∨B), (A→B), (A?B) 也是 wff； (4)当且仅当有限次使用上述规则得到的才是 wff。 ?规定 ?公式最外层括号可以省略；省略括号情况下，联接词的结合按 ?, ∧, ∨, →, ? 的次序进行。 ?一般地定义：(A?B) = (A→B)∧(B→A) ?说明 ?生成合式公式的过程中，每一步所生成的公式，称为该合式公式的子式。 ?生成合式公式最后一步使用的联结词称为该公式的主联结词。 ?比如 (A∧B)→(A∨B) 中的 →；又如 A∨(A∧B) 中的 ∨。 ? 定义：变形规则 ?变形规则 (或推演规则) ?° Γ├ B?± 描述合式公式之间的语法推演关系，它只涉及公式的形式结构，与其真值含义无关。 ?“Γ├ B”表示在演绎系统 N 中“由 Γ 形式推出 B”的语法推演关系 (或语法变形)， 也称为 N 的定理。其中 Γ 是元语言符号，描述 N 中的一个有限公式集合，称为规则的 前提，B 是 N 的公式，称为结论公式。 ?规定 ?等价规则： (1) 若 Γ├ A∧B 则 Γ├ B∧A； (2) 若 Γ├ A∨B 则 Γ├ B∨A。 ?Γ = {p1, p2, …, p n} 时， Γ├ B 也可以写成 p1, p2, …, p n├ B ?定义：基本变形规则集 R ?每一条变形规则都指出一种语法推演关系的模式。 ?设 Γ 是 L 中的一个有限公式集，A, B, C 是 L 的公式。 (1)包含规则：若 A∈Γ 则 Γ├ A 。特别地 A├ A。 –包含规则也称为前提引入规则。 (2)前提附加：若 Γ├ A 则 Γ, B├ A 。 –前提附加规则也称为弱化规则。 –Γ, B├ A 是 Γ∪{B}├ A 的简写。 (3)否定引入：若 Γ├ A 则 Γ├ ??A。 (4)否定消去：若 Γ, ?A├ B 且 Γ, ?A├ ?B 则 Γ├ A。 –否定消去也称为反证法 (5)合取引入：若 Γ├ A 且 Γ├ B 则 Γ├ A∧B。 (6)合取消去：若 Γ├ A∧B 则 Γ├ A 且 Γ├ B。 (7)析取引入：若 Γ├ A 或 Γ├ B 则 Γ├ A∨B。 (8)析取消去：若 Γ, A├ C 且 Γ, B├ C 则 Γ, A∨B├ C –析取消去的另外描述形式：若 Γ├ A∨B，Γ, A├ C 且 Γ, B├ C 则 Γ ├C。 (9)蕴涵引入：若 Γ, A├ B 则 Γ├ A→B 。（CP 规则） (10)蕴涵消去：若 Γ├ A→B 且 Γ├ A 则 Γ├ B 。 (11)等价引入：若 Γ, A├ B 且 Γ, B├ A 则 Γ├ A?B。 –或：若 Γ├ A→B 且 Γ├ B→ A 则 Γ├ A?B。 (12)等价消去：若 Γ├ A?B 且 Γ├ A 则 Γ├ B 。 –或：若 Γ├ A?B 则 Γ├ A→B 且 Γ├B→ A。 (13)等值替换：若 A├ B, B├ A 且 Γ├ Φ(A)，则 Γ├ Φ(B)；Φ(A) 描述 N 的 一个含子式 A 的公式。 ?定义：基本变形规则集 R ?每一条变形规则都指出一种语法推演关系的模式，其中可以包含无数实际实现的形式，称为规则的代入实例。 ?变形规则是由形式演绎系统约定为合法的推演规则。大部分变形规则具有直观的语义意义。 ?命题逻辑自然演绎系统 N 由形式语言 L 和一组变形规则集 R 构成 ?说明： 模态命题对当关系推理 模态命题对当关系推理在近年来北京市公务员行测考试演绎推理部分占到一定的比例，主要考查的是模态命题的相互转化。本讲中公教育专家结合历年北京行测考试真题为大家讲解模态命题对当关系推理。 与直言命题相似，模态命题“必然P”、“必然非P”、“可能P”和“可能非P”在真假方面存在着必然性的制约关系。 1.矛盾关系 “必然P”与“可能非P”、“必然非P”与“可能P”之间的关系是矛盾关系。其中，一个真，另一个必假；一个假，另一个必真。二者既不可同真又不可同假。 2.反对关系 “必然P”和“必然非P”之间的关系是反对关系。其中，一个真，另一个必假；一个假，另一个则真假不定。二者可以同假但不可同真。 3.下反对关系 “可能P”和“可能非P”之间的关系是下反对关系。其中，一个假，另一个必真；一个真，另一个则真假不定。二者可以同真但不可同假。 4.从属关系 “必然P和可能P”、“必然非P和可能非P”之间的关系是从属关系。其中，“必然P”真，则“可能P”必真；“可能P”假，则“必然P”必假；“必然P”假，“可能P”则真假不定；“可能P”真，则“必然P”真假不定。 “必然非P”真，则“可能非P”必真；“可能非P”假，则“必然非P”必假；“必然非P”假，则“可能非P”真假不定；“可能非P”真，则“必然非P”真假不定。 可以用逻辑方阵表示如下图： 根据上面的关系，一方面，我们可以由一个模态命题的真或假，推知其他三个模态命题的真假情况。 示例：已知“今天可能有风”为真，可推知“今天可能无风”真假不定，“今天必然无风”假，“今天必然有风”真假不定。 另外一方面，我们可以由一个模态命题的负命题确定与其等值的模态命题。 示例：“并非他必然来”等值于“他可能不来”，“并非他必然不来”等值于“他可能来”。 模态命题的转化规则 例题1：北京行测真题 并非任何战争都必然导致自然灾害，但不可能有不阻碍战争的自然灾害。 以下哪一项与上述断定的含义最为接近？（） A．有的战争可能不导致自然灾害，但任何自然灾害都可能阻碍战争 B．有的战争可能不导致自然灾害，但任何自然灾害都必然阻碍战争 C．任何战争都不可能导致自然灾害，但有的自然灾害可能阻碍战争 D．任何战争都可能不导致自然灾害，但有的自然灾害必然阻碍战争 解析：考查模态命题的转化。根据“并非所有……都”＝“有的……不”，“不必然”＝“可能不”，题干第一句话“并非任何战争都必然导致自然灾害”＝“有的战争不必然导致自然灾害”＝“有的战争可能不导致自然灾害”。根据“不可能不”＝“必然”，题干第二句话“不可能有不阻碍战争的自然灾害”＝“所有的自然灾害都不可能不阻碍战争”＝“所有的自然灾害都必然阻碍战争”。故答案选B。 例题2：北京行测真题 若“所有灵长类动物大脑可能都具有额叶皮质”为真，则以下哪项一定为真？（） A．并非所有灵长类动物大脑都具有额叶皮质，这是不必然的 B．所有灵长类动物大脑都具有额叶皮质，这是必然的法律逻辑学 第六章 模态命题
命题及逻辑关系
6第六章 模态命题及其推理
命题逻辑复习题
从《数学原则》到《数学原理》的命题逻辑(伯纳德 林斯基)
命题与逻辑联结词知识点
命题与逻辑联结词
命题逻辑的自然演绎系统-1
模态命题对当关系推理