第三章《三角形》知识要点分梳理及单元测试题(含答案)

“三角形”知识要点梳理

三角形三边关系

三角形三角形内角和定理角平分线

三条重要线段中线

高线

全等图形的概念

全等三角形的性质

三角形全等三角形SSS

SAS

全等三角形的判定ASA

AAS

HL （适用于Rt Δ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形

一、三角形概念

1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”

表示。

2、顶点是A、B、C 的三角形，记作“Δ ABC”，读作“三角形ABC”。

3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c 来表示，

顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC、AB 分别用b，c 来表示；

4、∠A、∠B、∠C为Δ ABC的三个内角。

二、三角形中三边的关系

1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b

2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：

（1）当a+ b>c,a+c>b,b+c> a 同时成立时，能组成三角形；

（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

知边）的取值范围时， 它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和， 即 a b c a b . 三、三角形中三角的关系

1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 1800

。

2、三角形按内角的大小可分为三类：

（ 1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形； （ 2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用

“Rt Δ”表示 “直角三角形 ”

其中直角∠ C 所对的边 AB 称为直角三角表的斜边， 夹直角的两边称为直角三角形的直角边。 注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 （ 3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。

4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和

为 1800

的性质。

6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。

四、三角形的三条重要线段

1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。

2、三角形的角平分线：

（ 1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段 叫做三角形的角平分线。

（ 2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。

3、三角形的中线：

（ 1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 （ 2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。

4、三角形的高线：

（ 1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的高线，简称为三角形的高。

2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。

3、确定第

三边（未

五、全等图形

1、两个能够重合的图形称为全等图形。

2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。

3、全等图形的面积或周长均相等。

4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不可。

5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。

6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。

六、全等分割

1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。

2、对一个图形全等分割：

（1）首先要观察分析该图形，发现图形的构成特点；

（2）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。

七、全等三角形

1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。

2、用“≌ ”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等的重要依据。

4、两个全等三角形，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。

八、全等三角形的判定

1）三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有 2）三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样的两个三角

形全等。

3）两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。 6、熟练运用以下内容

已知 “AA ”，可考虑 A ：任意一边，即 “AAS ”或“ASA ”。 7、三角形的稳定性：根据三角形全等的判定方法（

SSS ）可知， 了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。 九、作三角形

1、作图题的一般步骤：

（ 1）已知，即将条件具体化；

（ 2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件； （ 3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；

（ 4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程； （ 5）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）。

2、熟练以下三种三角形的作法及依据。

（ 1）已知三角形的两边及其夹角，作三角形。 （ 2）已知三角形的两角及其夹边，作三角形。 （ 3）已知三角形的三边，作三角形。 十、利用三角形全等测距离

1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用 全等三角

形的性质 （对应边相等） ，把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易 测量的线段的长

1、 三边对应相等的两个三角形全等，简写为 “边边边 ”或 SSS ”。

2、 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为 角边角 ”或“ASA ”。

3、 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为 角角边 ”或 “AAS ”。

4、 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为 边角边 ”或“SAS ”。

5、 注意以下内容

组边对应相等。

1） 熟练运用三角形判定条件，是解决此类题的关键。

2） 已知 “SS ”，可考虑 A ：第三边，即 “SSS ”； B ：夹角，即 SAS ”。

3） 已知 “SA ”，可考虑 A ：另一角，即 “AAS ”或 “ASA ”；B ：

夹角的另一边，即 “SAS ”。 4）

只要三角形三边的长度确定

度，从而得到被测距离。

2、运用全等三角形解决实际问题的步骤：

（1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；

（2）根据实际问题抽象出几何图形；

（3）结合图形和题意分析已知条件；

（4）找到解决问题的途径。

十一、直角三角形全等的条件

1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

2、“HL”是直角三角形特有的判定条件，对非直角三角形是不成立的；

3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。

十二、分析-综合法1、我们在平时解几何题时，采用的解题方法通常有两种，综合法与分析法。

2、综合法：从问题的条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题的结论。

3、分析法：从问题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件。

4、在具体解题中，通常是两种方法结合起来使用，既运用综合法，又运用分析法。

1

．

3

．

4

．

5

．

6

．

7

．

8

．

、选择题

三角形”单元测试

如图：△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠ CAB 交BC 于D，DE ⊥AB 于E，且AB=6 ㎝，则△ DEB 的周长是

以上都不对

D

．

（第7

题）

C．10 ㎝

A．6㎝B．4 ㎝

)

2

．

C．6

A．4 B．5

等腰三角形中的一个内角为50°，则另两个内角的度数分别

是

D．

A 、65°，

65°

B、

50°，

80

°

C、50°，50°D

．

65°，65°或50°，

80°以下各组数为边长的三角形

中，

能组成直角三角形的是(

A.1 ，2，3

B.2，3，

C.4，5，6

D.5，12，13

△ ABC 中，①若

形是等边三角形；

形是等边三角形．

A．1个

AB＝BC ＝CA，则△ ABC 是等边三角形；②一个底角为60°的等腰三

角

③顶角为60°的等腰三角形是等边三角形;④有两个角都是60°的三角

上述结论中正确的有

B．2个C．3 个D．4 个如图所示，已知△ ABC 和△ DCE 均是等边三角形，点

BD 交于点O，AE与CD 交于点G，AC与BD 交于点

①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠ BOC＝∠

B、

F

，

A．1 B．2 C．3

如图，△ ABC 中，AB =AC，∠ A= 400，则B=（

C、E在同一条直线上，AE 与

连接OC、FG ，则下列结论：

EOC ，其中正确的结论的个数是

D．4

A、60

B、700

C、750

D、80

满足下列条件的ABC ，不是直角三角形的是(

A ．A 25 ,

B 65 B． A: B:

C 3:4:5

9．下列几组数，能作为直角三角形的三边的是

A ．5，12，23

B ．0.6，0.8，1

C ． 20，30，50

D ．4, 5，6

10．如图，将 Rt △ABC （∠ACB=90°，∠ABC=30°）沿直线 AD 折叠，使点 B 落在 E 处，E 在 AC 的

延长线上，则∠ AEB 的度数为（ ）

A ．30°

B ．40°

C ．60°

D ．55°

（第 10 题） （第 11 题） （第 13 题）

二、填空题

11．如图， E 点为 Δ ABC 的边 AC 中点， CN ∥ AB ，过 E 点作直线交 AB 与 M 点，交 CN 于 N

点，若 MB=6cm ，CN=4cm ，则 AB= ___________

12．一个十二边形的内角和是

度 ，外角和是 度 .

13．如图，∠ ACD 是△ABC 的外角，∠ ACD=80°，∠B=30°，则∠ A= 。

14．若等腰三角形的一个内角为

50°，则这个等腰三角形顶角的度数为

.

15．如图，在 Rt △ABC 中，∠ ABC ＝90°，AB ＝BC ＝8，点 M 在 BC 上，且 BM ＝2 N 是

AC 上一动点，则 BN ＋ MN 的最小值为

出一个点 D ,使得△ DBC 与△ABC 全等,这样的三角形有C ．b 2

a 2 c 2

D ． AC 12,AB 20,

BC 16

（第 15 题）

16．如图 ,△ ABC 的三个顶点分别在格子的

3 个顶点上 ,请你试着再在图中的格子的顶点上找

个．

（第 16 题）

三、解答题

17．今年第九号台风 “苏拉 ”登陆浙江 ,A 市接到台风警报时， 台风中心位于 A 市正南方向 85km 的

B 处，正以 14km/h 的速度沿 B

C 方向移动． 已知 A 市到 BC 的距离 AD=40km ，那么台 风中心从 B 点移到

D 点经过多长时间？(计算结果精确到 0.1 小时)

19.如图，△ ABD ≌ △EBD, △DBE ≌ △DCE, B, E, C 在一条直线上 .

(1)BD 是∠ ABE 的平分线吗？为什么 ?(2)DE ⊥BC ，BE=EC 吗？为什么 ?

18．已知三角形的两边长分别为

3和 5，第三边长为 c ，

化简

E

20．已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF.求证：AE=CF .

21．如图：AD 是△ ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F，且有BF=AC，FD =CD 。求证：BE⊥AC 。

22．如图，AOB 90 ，OM 是AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA,OB交于点C和D,证明：PC PD．

参考答案

15 分）

19．略

20．略

21．略 22．略

1． A 2． 3．D 4．D

5．D 6．D 7． B 8．B 9．B 10． C 11． 10cm 12．

18000

，360°

13．50

°

14． 50°或 80°

15． 10 16．3

17．5.4 小时

18．由三边关系定理，得

3+5> c ， 5－ 3 c>2．

=c －2－ 4+ c= c －6．