平面及其方程习题解析

6.3
一、单选题
1、平面330x y z +--=的截距式方程为（ ）.
A 3(1)0x y z +--= B
133
x z y +-= C 33x y z +-= D 13y x z +-=
答案： B
解析： 根据截距式方程的标准形式，
可将平面的一般式方程330x y z +--=，化为
133x z y +-=.
2、过三点1(0,1,0)M -, 2(1,0,1)M , 3(1,1,1)M -的平面的一般式方程为（ ）.
A 32(1)0x y z -+-=
B 3220x y z --+=
C 3220x y z ---=
D 1232
x z y --= 答案： C
解析：
方法一 直接求平面的一般方程 .
设平面的一般方程为0Ax By Cz D +++= ①，将已知的三个点123,,M M M 坐标
分别代入方程①中, 即有方程组0
00B D A C D A B C D -+=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩
, 运用中学学过的消元法解方程组, 用D
来表示,,A B C , 可得3212
B D
A D C D ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩ , 因此, 所求平面的一般方程为 310,22D x D y D z D -⋅+⋅+⋅+=方程两边同时除以2
D -化简得3220x y z ---=.
方法二 先求平面的点法式方程, 再化为一般方程 .
将三个点任意连成两个向量, 不妨作1213,,M M M M
则有1213(1,1,1),(1,2,1),M M M M ==-从1213,M M M M
的坐标可以看出这两个向量并不平行, 可以通过这两个向量
求出平面方程的法向量1213111121i j k
n M M M M =⨯=-
11111132.211112
i j k i j k =+=-++--- 再从123,,M M M 中任取一点, 不妨就取1(0,1,0)M -, 根据点法式, 可得所求的平面方程(3)(0)2(1)1(0)0,x y z -⋅-+⋅++⋅-=化为平面的一般方程即3220x y z ---=. （大家还可以想想其他方法.）
（做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。

）
3、过点1(1,1,2)M -, 2(2,0,4)M 且平行于x 轴的平面的一般式方程为（ ）.
A 240y z -+= B
124y z -= C 024
y z -= D 240y z --=
答案： A
解析： 首先，由于所求平面平行于x 轴，因此可设平面方程为0By Cz D ++= .
方法一 直接求平面的一般方程 .
将已知的两个个点12,M M 坐标分别代入平面方程0By Cz D ++=中,
即有方程组2+04+=0
B C D C D -+=⎧⎨⎩, 运用中学学过的消元法解方程组, 用D 来表示,B C , 可得1214
B D
C
D ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ , 因此, 平面的一般方程为110,24D y D z D ⋅-⋅+= 方程两边同时除以2D 化简得240.y z -+=
方法二
根据所设平面方程0By Cz D ++=，可知平面的法向量为(0,,)n B C =. 由于点1(1,1,2)M -, 2(2,0,4)M 均在平面内，因此12n M M ⊥，其中12(1,1,2)M M =.
根据两向量垂直的充要条件：12120n M M n M M ⊥⇔⋅=，因此有120B C ⋅+⋅=，可得2B C =-，代入所求平面方程有20Cy Cz D -++= ① .
再将点2(2,0,4)M 的坐标代入①中，有40C D +=， 可得14C D =-，再代回①中，有11024
Dy Dz D -+=，方程 两边同时除以D 化简得240.y z -+=
（大家还可以想想其他方法.）
（做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。

）
4、过y 轴及点(1,7,2)P 的平面的一般式方程为（ ）.
A 20x z -=
B 20x z +=
C 1x z -=
D 1x z +=
答案： A
解析： 首先，由于所求平面过y 轴，当然也就过原点，因此，
如右图所示，所求平面的法向量n OP j =⨯，其中(1,7,2)OP =， (0,1,0)j =，可得721217172100001010i j k
n i j k -==+2(2,0,1)i k =-+=-.
由于平面过原点，所以根据平面的点法式方程可得2(0)1(0)0x z -⋅-+⋅-=，即20x z -+=或20x z -=.
（大家还可以想想其他方法.）
（做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。

）
5、过点(2,6,4)P --且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3的平面的一般式方程为（ ）.
A 123x y z ++=-
B 023
x y z ++= C 3210x y z +++= D 32660x y z ++-=
答案： D
解析： 首先，由于已知所求平面在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3，因此可设平面的截距式方程为123x y z c
++=. 又由于所求平面过点(2,6,4)P --，因此可将坐标代入方程，有
264123c --++=，可求得1c =.
因此，所求平面的截距式方程为1231
x y z ++=，可化为它的一般式方程32660x y z ++-=.
（大家还可以想想其他方法.）
（做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。

）
6、过点(1,1,0)P -且与两向量(2,2,1)a =--，(1,0,2)b =-平行的平面一般式方程为
（ ）. A 43270x y z --+-= B 43270x y z ++-=
C 43270x y z -+-=
D 43270x y z -++=
答案： C
解析： 如右图所示，由于所求平面与两向量a ，b 平行，可知
所求平面的法向量212122221021210102i j k
n a b i j k ----=⨯=---=+---，即 ，因此，所求平面的点法式方程为4(1)3(1)20x y z --++-=，可化为它
的一般式方程43270x y z -+-+=.
（大家还可以想想其他方法.）
（做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。

）
7、过点(1,0,1)-且与平面3570x y z ++-=平行的平面一般式方程为（ ）.
A 3540x y z -++=
B 3540x y z +-+=
C 3540x y z +++=
D 3540x y z ++-=
答案： C
解析：
根据两平面平行的充要条件可设135
A B C k ===, 因此有,3,5A k B k C k ===, 代入所求平面方程有350kx ky kz D +++=①, 再将点(1,0,1)-代入方程① , 可得 1305(1)0k k k D ⋅+⋅+⋅-+=, 即有4D k =, 又代回方程①有3540kx ky kz k +++= , 两边同除以k 即得所求平面方程3540.x y z +++=
（大家还可以想想其他方法.）
（做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。

）
8、三平面210x y z ++-=，220x y z ++-=，240x y z ++-=的交点为（ ）.
A 319(,,)444-
B 319(,,)444
--- C (3,1,9)- D (3,1,9)---
(4,3,2)n =--
答案： A
解析： 方法一 用中学消元法解三元线性方程组422122x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
.
方法二 用预备知识《二、三阶行列式》里的方法解上述三元线性方程组： 设211121112D =，1121121124D =，221112
2411D =，32111
42121D =，则
134D x D -==，214D y D ==，394
D z D == .
方法三 做选择题也可以用代入法，将四个选项中点的坐标逐个代入平面方程检验。

（大家还可以想想其他方法.）
二、填空题
1、将正确选项填入以下各空：
方程20x y z +-=表示的平面为 ;
方程10y z -+=表示的平面为 ;
方程0x z +=表示的平面为 ;
方程0y =表示的平面为 ;
方程10z +=表示的平面为 .
A 过原点的平面
B 平行于x 轴的平面
C 过y 轴的平面
D 平行于xoy 面的平面
E xoz 面
答案： 第一空A 第二空B 第三空C 第四空E 第五空D
解析：
2、请选择正确的项填入以下各空（答案可以重复）：
平面10x y --=与xoy 面的夹角为 , 与yoz 面的夹角为 , 与zox 面的夹角为 .
A 4π
B 3
π
答案： 第一空 A 第二空 B 第三空 B
解析： 试用以下公式求解——
3、点(3,7,4)P 到平面2210x y z -+-=的距离为 .
答案： 2
解析： 试用以下公式求解——。