了解空间向量的概念空间向量的基本定理及其意义掌握共91页文档
空间向量的基本定理
是不共面的三个向量，请问向量
AC' 与它们是什么关系？
A
AC' AB AD AA'
B
问题2：
D’ C’
D C
如果向量 AB AD AA' 分别和向量a、b、c共线，
能否用向量a、b、． c表示向量 AC' ?
AC'＝xa+yb+zc
一、空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一
OB
B’
故实数x、y、z是唯一的．
A
A’
P’
二、几个基本概念：
空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量 生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底， a、b、c都叫做基向量．
说明：
①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的 一个基底．
②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量． （零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零 向量共面）
OB OC
1 2
OA
OG
1
OA
1 OB
1
A
OC.
633
O
G C N
B
三、课堂练习：
1、以知向量a,b,c是空间的一个基底，从a,b,c中 选一个向量，一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空 间的另一基底？ c
2、设空间四边形OABC，点M,N分别是边OA,BC,的中点，
开封市第二实验高中：孙义章
一、复习引入
1、平面向量基本定理：
同一平面内两个不共线的非零向量a、b， 对平面内任意向量p，有且只有一对实数x，
y，使：
p= xa+yb ．（a、b称基底）
高中数学：空间向量
空间向量一、向量的基本概念与运算1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0．3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a ，AB ．4.模：表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a5.方向：有向线段的方向表示向量的方向．6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线．7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记为a b ∥．8.向量运算：与平面向量类似；二、空间向量的基本定理1.共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =．2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．3.共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+．4.空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．注：上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量．由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．三、向量的数量积1.两个向量的夹角已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，．通常规定0πa b 〈〉≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，，．如果90a b 〈〉=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 2.两个向量的数量积已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ⋅=〈〉，空间两个向量的数量积具有如下性质： 1）||cos a e a a e ⋅=〈〉，；（2）0ab a b ⇔⋅=；（3）2||a a a =⋅；（4）a b a b ⋅||≤||||． 空间两个向量的数量积满足如下运算律：1）()()a b a b λλ⋅=⋅；（2）a b b a ⋅=⋅；（3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．四、空间向量的直角坐标运算前提：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底．空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；，，． 1.坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++，1a i ，2a j ，3a k 分别叫做向量a 在i j k ，，方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作123()a a a a =，，．若123()a a a a =，，，123()b b b b =，，， 则：112233()a b a b a b a b +=+++，，；112233()a b a b a b a b -=---，，；123()a a a a λλλλ=，，；112233a b a b a b a b ⋅=++．注：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．2. 空间向量的平行和垂直的条件：设111()a a b c =，，，123()b b b b =，，， a b ∥（0b ≠）a b λ⇔=112233a b a b a bλλλ=⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩；11223300ab a b a b a b a b ⇔⋅=⇔++=．两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：2212||a a a a a a =⋅=++21||b b b b =⋅=+ 21cos ||||a b a b a b a ⋅〈〉==，．五、位置向量定义：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，再作向量OA a =，则点A 在空间的位置就被向量a 所唯一确定了．这时，我们称这个向量为位置向量． 由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质．1.给定一个定点A 和一个向量a ，O 为空间中任一确定的点，B 为直线l 上的点， 则P 在为过点A 且平行于向量a 的直线l 上 ⇔ AP ta = ① ⇔ OP OA ta =+ ② ⇔ (1)OP t OA tOB =-+ ③这三个式子都称为直线l 的向量参数方程．向量a 称为该直线的方向向量． 2.设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，12l l ∥（或1l 与2l 重合）12v v ⇔∥；12l l 12v v ⇔．若向量1v 和2v 是两个不共线的向量，且都平行于平面α（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线l 的一个方向向量为v ，则l α∥或l 在α内⇔存在两个实数x y ，，使12v xv yv =+．六、异面直线所成的角1.定义：过空间任意一点O 分别做异面直线a 与b 的平行线'a 与'b ，那么直线'a 与'b 所成的不大于90︒的角，叫做异面直线a 与b 所成的角．2.异面直线所成角的向量公式：两条异面直线a 与b 的方向向量m 与n ，当m 与n 的夹角不大于90︒，异面直线a b ，所成的角θ与m 和n 的夹角相等；当m 与n 的夹角大于90︒，异面直线a b ，所成的角与m 和n 的夹角互补．所以直线a b ，所成的角θ的余弦值为m n m n⋅．七、直线和平面所成的角1.定义：平面的斜线与它在平面上的射影所成的角叫做这条斜线与平面所成的角．2.直线与平面所成角的向量公式：直线a 的方向向量与平面α的法向量分别为m 和n ，若m 与n 的夹角不大于90︒，直线a 与平面α所成的角等于m 与n 夹角的余角，若m 与n 的夹角大于90︒，直线a 与平面所成的角等于m 与n 夹角的补角的余角，所以直线a 与平面α所成的角θ的正弦值为m n m n⋅．八、平面和平面所成的角1.定义：过二面角l αβ--棱上任意一点O 做垂直于棱l 的夹角与平面αβ，的交线分别为OA OB ，，那么AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角．2.平面与平面所成角的向量公式：平面α与β的法向量分别为m 和n ，则二面角与m n ，的夹角θ相等或互补．当二面角l αβ--大于90︒时，则二面角arccosm n m nθπ⋅=-；当二面角l αβ--不大于90︒时，则二面角arccos m n m nθ⋅=；一．选择题（共15小题）1．（2018•奉贤区二模）设直线l 的一个方向向量d →=（6，2，3），平面α的一个法向量n →=（﹣1，3，0），则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．直线l 在平面α内或平行2．（2018•梅州二模）过正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点A 作平面α，使棱AB ，AD ，AA 1所在直线与平面α所成角都相等，则这样的平面α可以作（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个3．（2018•新课标Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．3√34B ．2√33C ．3√24D ．√324．（2018•浙江模拟）在三棱锥O ﹣ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD →=（ ） A ．12OA →+12OC →﹣OB →B ．12OA →+12OB →+OC →C ．12OB →+12OC →﹣OA →D ．12OB →+12OC →+OA →5．（2018•全国）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（）A．14B．13C．12D．236．（2018•城关区校级模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线A1D上的一点，过M且与平面A1ACC1平行的平面与对角线CD1交于点N，则|MN|的最小值为（）A．13B．√3C．√33D．2√337．（2018•金华模拟）如图，若三棱锥A﹣BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD 的距离与到点A的距离之比为正常数λ，且动点P的轨迹是抛物线，则二面角A ﹣BC﹣D平面角的余弦值为（）A ．λB ．√1−λ2C ．1λD ．√1−1λ28．（2018•西城区一模）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，BC=1，点P 在侧面A 1ABB 1上．满足到直线AA 1和CD 的距离相等的点P （ ）A ．不存在B ．恰有1个C ．恰有2个D ．有无数个9．（2017秋•和平区期末）已知向量a →=（2，4，5），b →=（3，x ，y ），分别是直线l 1、l 2 的方向向量，若l 1∥l 2，则（ ） A ．x=6，y=15B ．x=3，y=15C ．x=83，y=103D ．x=6，y=15210．（2018•新疆一模）在空间中，与边长均为3cm 的△ABC 的三个顶点距离均为1cm 的平面的个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．811．（2018•淮南二模）在平面四边形ABCD中，AD=AB=2，CD=CB=√6，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A′C与平面BCD所成角最大时的正弦值为（）A．√55B．√33C．12D．√2212．（2018•浙江模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD 所成角的余弦值是（）A．13B．√33C．23D．√6313．（2018•桃城区校级模拟）某四棱锥的三视图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（）A ．2√55B ．√52C ．83D ．3214．（2018•赣州二模）已知三棱锥S ﹣ABC ，满足SA ⊥SB ，SA ⊥SC ，SB ⊥BC ，且SA=SB=BC=1，Q 是三棱锥S ﹣ABC 外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离最大值为（ ） A ．√36B ．√32C ．2√33D ．√315．（2018•资阳模拟）如图，二面角α﹣BC ﹣β的大小为π6，AB ⊂α，CD ⊂β，且AB =√2，BC =CD =2，∠ABC =π4，∠BCD =π3，则AD 与β所成角的大小为（ ）A ．π4B ．π3C ．π6D ．π12。
空间向量基本定理
a
空间中
c C1
B1 C
B
任意向量c是不是都可以用这两个不共线向量a, b(基底)进行线性表示？
比如在正方体中 BD1是不是都可以用这两个不共线向量a, b(基底)进行线性表示？ 为什么？怎么解决呢？ 基底增加一个向量 {a,b, AA1}
BD1 = BA+ AA1 + A1D1 BD1 = AB+ AA1 + AD BD1 = xa +1AA1 + yb
例2.已知空间四边形OABC，点M、N分别是边OA、BC的
中点，且OA = a ，OB = b ，OC = c ，用 a , b , c 表示向量MN
解: MN = MA + AB + BN = 1 OA+ OB OA+ 1 BC
2
2
= OB 1 OA + 1 (OC OB) = 1 OB 1 OA + 1 OC.
－3x＋y＝1，
∴e1，e2，e3 不共面，∴ x＋y＝2，
此方程组无解，
2x－y＝－1，
―→ ―→ ―→ 即不存在实数 x，y，使 OA ＝x OB ＋y OC 成立．
―→ ―→ ―→ ∴ OA ，OB ， OC 不共面．
―→ ―→ ―→ 故{ OA ，OB ， OC }能作为空间的一个基底．
数学应用
(2)因为―DM→＝16(－2a－2b＋c)，―AO→＝16(b＋c－5a)，
所以|―DM→＝12，|―A→O |＝
2， 2
―DM→·―A→O ＝1(－2a－2b＋c)·1(b＋c－5a)＝1，
6
6
4
1
所以 cos〈―DM→，―AO→〉＝ 4 ＝ 2，所以〈―DM→，―AO→〉＝π.
空间向量的基本定理-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册优秀课件
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
3.若向量M→A，M→B，M→C的起点 M 和终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，则
能使向量M→A，M→B，M→C成为空间一组基底的关系是
(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平
移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. (2)错误.当向量a,e1,e2共面时,才有a=λe1+μe2λ,μ∈R). 3)错误.当b=0,a≠0时,不存在实数λ,使a=λb. 答案:(1)× (2)× (3)×
不共面
特别地，如果空间的一 个基底中三个基向量两 两垂直，且长度都为 1， 这个基底叫 _单_位_正_交__基_底___,常用 a, b, c 表示，把空间向量分解 为三个两两 垂直的向量，叫作把空 间向量进行 __正_交_分__解_.
空间向量的基本定理-【新教材】人教 A版高 中数学 选择性 必修第 一册优 秀课件
空间向量的基本定理
1．我们把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量． 2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3．空间向量加法满足 交换律 、 结合律 ． 4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的 定理吗？
空间向量基本定理
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果 向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那 么我们就说向量 平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量 思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线， 则向量 与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数 对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分 新疆 王新敞 奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量 证明：
（1） EG // AC
空间向量知识点
空间向量知识点空间向量是高中数学中的重要内容之一，它是几何向量的推广和扩展。
了解空间向量的基本概念和性质，有助于我们更好地理解和应用向量。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量，它是空间中的一条有向线段。
空间向量用矢量表示，通常用字母a、b、c等表示。
空间向量有以下几个基本要素：1. 大小：空间向量的大小通常用线段的长度表示，即向量的模或长度，记作|a|。
2. 方向：空间向量的方向通常用线段的方向表示，可以用射线或箭头表示。
3. 终点：空间向量的终点用有序的三元组(x, y, z)表示，表示向量在三维坐标系中的终点位置。
二、空间向量的运算1. 加法：空间中的向量加法满足交换律和结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，a+b=b+a。
向量相加的结果是两个向量的平行四边形的对角线。
2. 减法：向量减法等价于向量的相反数与向量的加法，即a-b=a+(-b)。
向量相减的结果是连接两个向量起点和终点的线段。
3. 数乘：向量与一个实数k的乘积，记作ka，可以改变向量的大小和方向，当k<0时，向量的方向相反。
三、空间向量的表示方法空间向量有多种表示方法：1. 平行四边形法表示：即将向量的起点与坐标系原点重合，终点与坐标系中某点重合，计算该点的坐标进行表示。
2. 数量对表示：使用有序数对(x,y,z)表示向量的平行于坐标轴的分量。
3. 距离表示：使用两点之间的距离来表示向量的大小。
4. 方向角表示：使用与坐标轴的夹角来表示向量的方向。
四、空间向量的性质1. 平行关系：若a和b平行，则存在实数k使得a=k*b。
2. 垂直关系：若a和b垂直，则a·b=0，即a和b的数量积为0。
3. 长度关系：向量的模或长度与其坐标分量相关，可以使用勾股定理计算。
4. 重要定理：向量a、向量b和向量c组成平面三角形的面积等于以向量a和向量b为两边的平行四边形的面积的一半。
空间向量不仅在数学中有重要的应用，还广泛应用于物理、工程等领域。
高中数学《空间向量基本定理》课件
也就是说,以O为起点的有向
线段 (向量)的坐标可以和终 点的坐标建立起一一对应的 关系,从而互相转化.
i j Ok
A(x,y,z) y
x
讲
课
人
：
邢
启 强
21
学习新知
讲
课
人
：
邢
启 强
22
巩固练习
1、在空间坐标系Oxyz中，AB i 2 j 3k
( i,j,k 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的 单位向量)则 AB 的坐标为 (1,-2,-3) ，点B 的坐标为 不确定 。
讲
课
人
：
邢
启 强
31
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c ,
⑴用 a 、b 、c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
a,b,c
不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.
（2）由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任意两个 非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是0.
（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的 某一个向量,二者是相关连的不同概念.
(4)空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一 个基底.基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表 示.
那么,对空间任一向量 p , 存在一个有序实数组
{讲 x,y,z}使得 p xi y j zk. 我们称
空间向量基本定理
答案：A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →
知识要点一：空间向量基本定理的理解 1．空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从 而分解结果也多了一“项”，解决问题的思路，步骤也基本相同． 2．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以线性表示出空 间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 对于基底{a，b，c}除了应知道 a，b，c 不共面，还应明确： (1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所 有向量均可由基底唯一表示． (2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量 不共面，就隐含着它们都不是 0.
解析：由基底定义知应选 D.
4． 如图， 在长方体 ABCDA′B′C′D′中向量 A′C― →可用向量 AB― DD′― →， →， B′C′― →表示为__________________．
解析：∵A′C― →＝A′D′― →＋D′D― →＋DC― →， 又∵A′D′― →＝B′C′― →，DC― →＝AB― →，D′D― →＝－DD′― → ∴A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →.
1 1 解析：MN― →＝MC1― →＋C1N― →＝ BC1― →－ AC1―→ 2 3 1 1 ＝ (AC1― →－AB― →)－ AC1― → 2 3 1 1 ＝ AC1―→－ AB― → 6 2 1 1 ＝ (AC―→＋AA1― →)－ AB―→ 6 2 1 1 1 ＝ a－ b＋ c 6 2 6 1 1 1 答案： a－ b＋ c 6 2 6
用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法 的平行四边形法则、加法、减法的三角形法则．
第01讲 空间向量及其运算(解析版)
第01讲 空间向量及其运算课程标准课标解读1．理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.2．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断..知识点01 空间向量的有关概念1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，⋯表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB ，其模记为|a |或AB．2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1e相反向量相反相等a 的相反向量：-aAB 的相反向量：BA相等向量相同相等a =b【微点拨】解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．例1.下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量AB ，CD 满足AB >CD ，且AB 与CD 同向，则AB >CD；③若两个非零向量AB 与CD 满足AB +CD =0 ，则AB ，CD为相反向量；④AB =CD的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.其中错误的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C 【分析】①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. AB ，CD 为相反向量；④错误. A 与C ，B 与D 不一定重合.【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确. AB +CD =0 ，得AB =-CD ，且AB ，CD 为非零向量，所以AB ，CD为相反向量.④错误. 由AB =CD ，知AB =CD ，且AB 与CD同向但A 与C ，B 与D 不一定重合.故选：C 【点睛】易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点.例2.向量a ,b互为相反向量，已知b =3，则下列结论正确的是()A.a =bB.a +b为实数0C.a 与b方向相同D.a =3【答案】D 【分析】根据相反向量的概念，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，向量a ,b 互为相反向量，可得a=b ，且方向相反，所以C 不正确，可得a =-b ，所以A 不正确；可得a +b =0 ，所以B 不正确；又由b =3，所以a=3.故选：D .知识点02 空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法OB =OA +OC=a +b 减法CA =OA -OC=a -b加法运算律①交换律：a +b =b +a②结合律：(a +b )+c =a +(b +c )(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ=0时，λa =0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．②运算律a ．结合律：λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ．b ．分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb ．【微点拨】空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．例3.若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP =mOA +nOB，其中m +n =1，则()A.P ∈ABB.P ∉ABC.点P 可能在直线AB 上D.以上都不对【答案】A【分析】由已知化简可得AP =nAB ，即可判断.【详解】因为m +n =1，所以m =1-n ，所以OP =(1-n )OA +nOB ，即OP -OA =n (OB -OA )，即AP =nAB ，所以AP 与AB 共线．又AP ，AB 有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB .故选：A .例4.已知向量a ,b ，且AB =a +2b ，BC =-5a +6b ，CD =7a -2b ，则一定共线的三点是()A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D【答案】A 【分析】计算某两个向量的和，与和向量共线的另一向量，即得结论.【详解】∵BC =-5a +6b ，CD =7a -2b ，∴BD =BC +CD =2a +4b ，又AB =a +2b ，所以BD =2AB ，即AB ⎳BD ，而AB ,BD 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线，A 选项正确；AC =-4a+8b ，显然AC ,BC ,CD 两两不共线，选项B ，C ，D 都不正确.故选：A知识点03 向量共线问题共线向量：(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a =λb ．(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP =λa ．【微点拨】利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．例5.如图，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是棱C 1D 1，BB 1的中点，记AB =a ,AD =b,AA 1 =c ，则EF =()A.EF =12a +b +cB.EF =32a +b +32cC.EF =12a -b -12cD.EF =-12a +b +12c【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】EF =EC 1 +C 1F =12AB +C 1B 1 +B 1F =12a +-b +-12c =12a -b -12c.故选：C例6.设e 1 ,e 2 是空间两个不共线的向量，已知AB =e 1 +k e 2 ，BC =5e 1 +4e 2 ，DC =-e 1 -2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k =________．【答案】1【分析】先根据点共线得到向量共线AD =λAB ，再利用向量的线性运算列方程求解即得结果.【详解】依题意，CD =e 1 +2e 2，故AD =AB +BC +CD =e 1 +k e 2 +5e 1 +4e 2 +e 1 +2e 2 =7e 1 +k +6 e 2 ，A ，B ，D 三点共线，可设AD =λAB ，则7e 1 +k +6 e 2 =λe 1 +k e 2，所以7=λk +6=kλ，解得k =1．故答案为：1.知识点04向量共面问题共面向量：(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p =x a +y b ．(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y )，使AP =xAB +yAC或对空间任意一点O ，有OP =OA +xAB +yAC．【微点拨】证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使PA =λPB 成立．(2)对空间任一点O ，有OP =OA +tAB(t ∈R )．(3)对空间任一点O ，有OP =xOA +yOB(x +y =1)．解决向量共面的策略：(1)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP =xAB +yAC 或OP =xOA +yOB +zOC ，x +y +z =1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．例7.下列条件中，使点P 与A ,B ,C 三点一定共面的是()A.PC =13PA +23PBB.OP =13OA +13OB +13OCC.OP =OA +OB +OCD.OP +OA +OB +OC =0【答案】AB【分析】根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面⇔PC =xPA +yPB (x +y =1)⇔OP =xOA +yOB +zOCx +y +z =1 ，对选项逐一分析，即可得到答案.【详解】对于A ：∵OC -OP =13OA -OP +23OB-OP ，∴OC -OP =13OA -13OP +23OB -23OP ，∴23OP +13OP -OP =13OA +23OB -OC =0 ，故OC =13OA +23OB ，故A 、B 、C 共线，故P 、A 、B 、C 共面；或由PC =13PA +23PB 得：PA ，PB ，PC 为共面向量，故P 、A 、B 、C 共面；对于B ：13+13+13=1，故P 、A 、B 、C 共面；对于C ：由OP =OA +OB +OC，1+1+1=3≠1，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面.对于D ：由OP +OA +OB +OC =0，得OP =-OA -OB -OC ，而-1-1-1=-3≠1，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面.故选：AB ．【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件⇔PC=xPA +yPB (x +y =1)⇔OP =xOA +yOB +zOCx +y +z =1 ，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.知识点05空间向量数量积的运算空间向量的数量积：(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b ．即a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0．(2)常用结论(a ，b 为非零向量)①a ⊥b ⇔a ·b =0．②a ·a =|a ||a |cos 〈a ，a 〉=|a |2．③cos 〈a ，b 〉=a ∙ba b ．(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )交换律a ·b =b ·a分配律a ·(b +c )=a ·b +a ·c【微点拨】在几何体中求空间向量的数量积的步骤：(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模．(4)代入公式a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．例8.三棱锥A BCD 中，AB =AC =AD =2，∠BAD =90°，∠BAC =60°，则AB ⋅CD等于( )A.-2B.2C.-23D.23【答案】A 【详解】试题分析：∵CD =AD -AC ∴AB ·CD =AB ·AD -AC =AB ·AD -AB ·AC=0-2×2×cos60°=-2知识点06垂直问题、夹角问题、距离问题当a ⊥b 时，a ∙b =0．夹角公式：cos θ=a ⋅b a ∙ba=(x ,y ,z )，向量的模：|a |=a 2=x 2+y 2+z 2【微点拨】用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉=a ∙ba b求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b〉的值．(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a ·a =|a |2，所以|a |=a ⋅a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |=a ±b2=a 2±2a ⋅b +b 2．(3)可用|a ·e |=|a ||cos θ|(e为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．例9.如图所示，已知P 是ΔABC 所在平面外一点，PA ⊥PC ,PB ⊥PC ,PA ⊥PB ，求证：P 在平面ABC 上的射影H 是ΔABC 的垂心．【答案】证明见解析【分析】根据垂直关系得数量积为0，进而得PA ⊥平面PBC ，可得AH ⋅BC =0，得AH ⊥BC ，同理可证BH ⊥AC ，CH ⊥AB ，从而得证.【详解】∵PA ⊥PC ,PB ⊥PC ,PA ⊥PB ，∴PA ⋅PC =0，PB ⋅PC =0，PA ⋅PB =0，PA ⊥平面PBC ，∴PA ⋅BC=0．由题意可知，PH ⊥平面ABC ，∴PH ⋅BC =0，PH ⋅AB =0，PH ⋅AC =0，∴AH ⋅BC =PH -PA ⋅BC =PH ⋅BC -PA ⋅BC=0，∴AH ⊥BC ．同理可证BH ⊥AC ，CH ⊥AB ．∴H 是ΔABC 的垂心．例10.如图，在空间四边形OABC 中，OA =8，AB =6，AC =4，BC =5，∠OAC =45°，∠OAB =60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．【答案】3-225【解析】【分析】由BC =AC -AB 求出OA ⋅BC ，再由cos OA ,BC =OA ⋅BCOABC求解即可.【详解】∵BC =AC -AB∴OA ⋅BC =OA ⋅AC -OA ⋅AB =OA ⋅AC cos OA ,AC -OA ⋅AB cos OA ,AB =8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-162∴cos OA ,BC =OA ⋅BCOA BC =24-1628×5=3-225∴异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值为3-225【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用向量的减法运算以及数量积运算得出OA ⋅BC，进而求出异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．例11.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AB =AC =1,∠ACD =90°,将△ACD 沿对角线AC 折起,使AB 与CD 成60°角,求B ,D 间的距离.【答案】2或2【分析】由题意先得到BD =BA +AC +CD ，然后两边平方根据数量积可得|BD |2，进而可得|BD |，即为所求的两点间的距离．【详解】∵∠ACD =90°，∴AC ⋅CD =0．同理AC ⋅BA=0．∵在三棱锥A -BCD 中，AB 与CD 成60°角，∴<BA ,CD >=60°或<BA ,CD>=120°．又BD =BA +AC +CD ，∴BD 2=BD ⋅BD =BA 2+AC 2+CD 2+2BA ⋅AC +2BA ⋅CD +2AC ⋅CD=3+2×1×1×BA ⋅CD ．当<BA ,CD >=60°时，BD 2=4；当<BA ,CD >=120°时，BD 2=2．∴BD =2或BD=2|，即B ，D 间的距离为2或2．【点睛】在空间中，求两点间距离或某一线段的长度时，一般用向量的模来解决，通过向量数量积的运算可得所求结果．在本题中容易出现的错误是误认为BA ,CD的夹角为60°，而忽视另一种情形，解题时一定要分清两直线的夹角和向量夹角的关系．考法011.给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC =A 1C 1 ；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b的方向相同或相反；④在四边形ABCD 中，必有AB +AD =AC.其中正确命题的序号是________.【答案】①②【分析】根据零向量、相等向量、向量和及向量模等概念逐一判断.【详解】①正确；②正确，因为AC 与A 1C 1 的大小和方向均相同；③a =b ，不能确定其方向，所以a 与b的方向不能确定；④只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB +AD =AC.综上可知，正确命题为①②.故答案为:①②考法022.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式：(1)AB +BA 1 ； (2)AB +B 1C 1 +C 1C ；(3)AM -BM -CB ；(4)12AA 1+AB -AM ．【答案】(1)AB +BA 1 =AA 1 ；(2)AB +B 1C 1 +C 1C =A 1C ；(3)AM -BM -CB =AC ；(4)12AA 1+AB -AM =0 ．【分析】(1)利用向量加法的三角形法则即可求解.(2)由AB =A 1B 1 ，利用向量加法的三角形法则即可求解.(3)利用向量减法的运算法则即可求解.(4)利用向量加法、减法的运算法则即可求解.【详解】(1)AB +BA 1 =AA 1 ．(2)AB +B 1C 1 +C 1C =A 1B 1 +B 1C 1 +C 1C =A 1C ．(3)AM -BM -CB =AM +MB +BC =AC ．(4)12AA 1+AB -AM =BM +AB +MA =AB +BM +MA =0 ．考法033.已知a =13，b =19，a +b =24，则a -b=________．【答案】22【分析】先由a +b 的平方求出a ⋅b ，再求a -b 的平方.【详解】因为a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2=132+2a ⋅b+192=242，所以2a ⋅b =46,a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2=132-46+192=484，故a -b =22．故答案为:224.(多选题)在四面体P -ABC 中，以上说法正确的有()A.若AD =13AC +23AB ，则可知BC =3BDB.若Q 为△ABC 的重心，则PQ =13PA +13PB +13PCC.若PA ∙BC =0，PC ∙AB =0，则PB ∙AC =0D.若四面体P -ABC 各棱长都为2，M ，N 分别为PA ,BC 的中点，则MN =1【答案】ABC【分析】作出四面体P -ABC 直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于A ，∵AD =13AC +23AB ，∴3AD =AC +2AB ，∴2AD -2AB =AC -AD ， ∴2BD =DC，∴3BD =BD +DC =BC 即∴3BD =BC ，故A 正确；对于B ，∵Q 为△ABC 的重心，则QA +QB +QC =0，∴3PQ +QA +QB +QC =3PQ ∴(PQ +QA )+(PQ +QB )+(PQ +QC )=3PQ ,∴PA +PB +PC =3PQ即∴PQ =13PA +13PB +13PC ，故B 正确；对于C ，若PA ∙BC =0，PC ∙AB =0，则PA ∙BC +PC ∙AB=0，∴PA ∙BC +PC ∙(AC +CB )=0,∴PA ∙BC +PC ∙AC +PC ∙CB =0∴PA ∙BC +PC ∙AC -PC ∙BC =0,∴(PA -PC )∙BC +PC ∙AC =0∴CA ∙BC +PC ∙AC =0,∴AC ∙CB +PC ∙AC =0∴AC ∙(PC +CB )=0，∴AC ∙PB =0，故C 正确；对于D ，∴MN =PN -PM =12(PB +PC )-12PA=12(PB +PC -PA )∴MN =12PB +PC -PA =12PA -PB -PC∵PA -PB -PC =PA 2+PB 2+PC 2-2PA ∙PB -2PA ∙PC +2PC ∙PB =22+22+22-2×2×2×12-2×2×2×12+2×2×2×12=22∴MN=2，故D 错误.故选：ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．考法045.如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法证明：(1)E ，F ，G ，H 四点共面;(2)BD ⎳平面EFGH ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】(1)由共面向量定理得证.(2)用线面平行的判定定理证明.【详解】证明：(1)如图所示，连接BG ，则EG =EB +BG =EB +12(BC +BD )=EB +BF +EH =EF +EH ，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH =AH -AE =12AD -12AB =12(AD -AB )=12BD ，且E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD ．又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH ．6.如图所示，已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM =kAC 1 ，BN =kBC(0≤k ≤1)，判断向量MN 是否与向量AB ，AA 1共面．【答案】向量MN 与向量AB ，AA 1 共面．【分析】由MN =AN -AM ，再分别将AN ，AM 表示为AN =(1-k )AB +kAC ，AM =k (AA 1 +AC )，最后用共面向量定理可判断.【详解】∵AN =AB +BN =AB +kBC =AB +k (AC -AB )=(1-k )AB +kAC ．AM =kAC 1 =k (AA 1 +AC )，∴MN =AN -AM =(1-k )AB -kAA 1 ，∴由共面向量定理知向量MN 与向量AB ，AA 1共面．基础过关练⒈在下列结论中：①若向量a ,b 共线，则向量a ,b所在的直线平行；②若向量a ,b 所在的直线为异面直线，则向量a ,b一定不共面；③若三个向量a ,b ,c 两两共面，则向量a ,b ,c共面；④已知空间的三个向量a ,b ,c ，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x ，y ，z 使得p =xa +yb +zc．其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】A 【分析】根据向量共线的概念、异面直线的概念及空间向量的基本定理逐一判断.【详解】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P -ABC 中，PA ,PB ,PC两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，a ,b ,c需不共面才成立，故④错．故选:A ．⒉已知O 为空间任意一点，若OP =34OA +18OB +18OC ，则A ,B ,C ,P 四点()A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断【答案】B【分析】由空间向量共面定理的推论可得，若OP =aOA +bOB +cOC，满足a +b +c =1，则A ,B ,C ,P 四点共面可判断.【详解】由空间向量共面定理的推论若OP =aOA +bOB +cOC，满足a +b +c =1，则A ,B ,C ,P 四点共面，∵OP =34OA +18OB +18OC ，而34+18+18=1，故A ,B ,C ,P 四点共面.故选：B .⒊已知i 与j 不共线，则存在两个非零常数m ，n ，使k =m i +n j 是i ，j ，k共面的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据平面向量的基本定理及充分条件、必要条件的概念判断.【详解】若i 与j 不共线，根据平面向量的基本定理，则存在两个非零常数m 、n ，使k =m i +n j ，所以 k与i ，j共面；若存在两个常数m ，n ，使k =m i +n j，m ，n 不一定非零．故选:A .⒋如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则()A.EF +GH +PQ =0B.EF -GH -PQ =0C.EF +GH -PQ =0D.EF -GH +PQ =0【答案】A【分析】通过相等向量进行平移，将EF ,GH ,PQ平移后可以首尾相接，最后得出结果即可.【详解】由题图观察，EF ,GH ,PQ 平移后可以首尾相接，故有EF +GH +PQ =0.故选：A .⒌ ．如图，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，设AB =a ，AD =b ，AA =c ，则下列与向量A C 相等的表达式是()A.-a +b +cB.-a -b +cC.a -b -cD.a +b -c【答案】D 【分析】利用空间向量的运算求解即可.【详解】在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，A C =A A +AB +BC =a +b -c .故选：D .⒍已知非零向量a ,b 不平行，且a =b ，则a +b 与a -b 之间的关系是()A.垂直B.同向共线C.反向共线D.以上都可能【答案】A【分析】作a +b 与a -b 的数量积即可.【详解】因为a +b ⋅a -b =a 2-b 2=a 2-b 2=0，所以a +b 与a -b垂直．故选:A⒎已知向量a ，b 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则a ⋅c =0，且b ⋅c =0是l ⊥α的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据线面垂直的判定与性质定理，若l ⊥平面α，则有a ⋅c =0，b ⋅c =0；若a ⎳b ，则反之不对．【详解】若l ⊥平面α，则c ⊥a ，c ⊥b ，所以a ⋅c=0，b ⋅c =0；反之，若a ⎳b ，则c ⊥a ，c ⊥b，并不能保证l ⊥平面α．故选：B⒏若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n =λa +μb λ,μ∈R ,λμ≠0 ，则()A.m ⎳nB.m ⊥nC.m ,n既不平行也不垂直 D.以上三种情况都可能【答案】B【分析】由条件可以得到m ⋅n =0，即可选出答案.【详解】因为m ⋅n =m ⋅λa +μb =λm ⋅a +μm ⋅b =0，所以m ⊥n.故选：B能力提升练⒐(多选)设a ,b ,c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是()A.(a ⋅b )c -(c ⋅a )b =0B.a =a ⋅aC.a 2∙b =b 2∙aD.(3a +2b )⋅(3a -2b )=9a 2-4b 2【答案】BD 【分析】根据平面向量数量积的运算律判断．【详解】因为数量积不满足结合律，故A 不正确；由数量积的性质可知B 正确，C 中结论不一定成立，D 运算正确．故选：BD ．⒑在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1 的是()A.AA 1 -B 1C 1 +D 1C 1B.AB +BC +CC 1C.AB -C 1C +B 1C 1D.AA 1 +DC +B 1C 1【答案】BCD 【分析】利用向量加法、减法以及向量的可平移性逐项进行化简计算即可得到结果.【详解】如图所示：A.AA 1 -B 1C 1 +D 1C 1 =AA 1 +DA +D 1C 1 =DA 1 +A 1B 1 =DB 1 ≠AC 1 ，故错误；B.AB +BC +CC 1 =AC +CC 1 =AC 1 ，故正确；C.AB -C 1C +B 1C 1 =AB +CC 1 +B 1C 1 =AB +BB 1 +B 1C 1 =AC 1 ，故正确；D.AA 1 +DC +B 1C 1 =AA 1 +A 1B 1 +B 1C 1 =AC 1 ，故正确.故选：BCD .⒒若a ,b ,c是空间任意三个向量，λ∈R ，下列关系中，不成立的是()A.|a +b |=|b -a |B.(a +b )⋅c =a ⋅(b +c)C.λ(a +b )=λa +λbD.b =λa【答案】ABD 【分析】根据空间向量加法法则、数量积的运算律、向量数乘法则和共线向量定理分别判断各选项．【详解】由向量加法的平行四边形法则，只有a ⊥b ，即a ⋅b =0时，都有|a +b|=|b -a |，A 不成立；由数量积的运算律有(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c ，a ⋅(b +c )=a ⋅b +a ⋅c ，a ⋅b 与b ⋅c不一定相等，B 不成立；向量数乘法则，C 一定成立；只有a ,b 共线且a ≠0 时，才存在λ，使得b =λa，D 这成立．故选：ABD ．⒓(多选)若a ,b ,c不共面，则()A.b +c ,b -c ,a共面 B.b +c ,b -c ,2b共面C.b +c ,a ,a +b +c共面D.a +c ,a -2c ,c共面【答案】BCD 【分析】根据空间向量基本定理逐一判断是否共面即可.【详解】∵2b =(b +c )+(b -c )，∴b +c ,b -c ,2b 共面，故B 正确；∵a +b +c =(b +c )+a，∴b +c ,a ,a +b +c 共面，故C 正确；∵a +c =(a -2c )+3c ，∴a +c ,a -2c ,c 共面，故D 正确.对于A 选项，若设b +c =λb -c +μa ，则b +c =λb -λc +μa得λ=1-λ=1μ=0，故无解，因此b +c ,b -c ,a不共面.故选：BCD .【点睛】本题考查了空间向量的基本定理.⒔给出下列命题：①若|a |=|b |，则a =b 或a=-b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a|=|b |；③在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC =A 1C1；④若空间向量m ,n ,p 满足m =n ,n =p ，则m =p．其中正确命题的序号是________．【答案】②③④【分析】根据向量模长、相反向量、相等向量的定义判断即可.【详解】对于①，向量a 与b的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a|=|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC =A 1C1，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知④正确．故答案为：②③④⒕如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∩B 1D 1=F ，若AF =xAB +yAD +zAA 1 ，则x +y +z =___________.【答案】2【分析】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，AF =AB +BB 1 +B 1F =AB +BB 1 +12B 1D 1 ,再将A 1D 1 转化为AD ，以及将A 1B 1 转化为AB ,BB 1 =AA 1 ,总之等式右边为AB ，AD ，AA 1 ,从而得出x =y =12，z =1.【详解】因为AF =AB +BB 1 +B 1F =AB +BB 1 +12B 1D 1=AB +BB 1 +12A 1D 1 -A 1B 1=AB +BB 1 +12AD -12AB=12AB +12AD +AA 1 ，又AF =xAB +AD +zAA 1，所以x =y =12，z =1，则x +y +z =2.故答案为：2.【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将AF =xAB +AD +zAA1作为转化的目标，从而得解.⒖已知e 1,e 2,e 3是空间单位向量，e 1⋅e 2=e 2⋅e 3=e 3⋅e 1=12，若空间向量a 满足a =xe 1+ye 2x ,y ∈R ，a =2，则a ⋅e3 的最大值是___________.【答案】233【分析】由a 2=4可构造出符合基本不等式的形式，求得x +y 2的范围；根据向量的数量积运算可求得a ⋅e 3=12x +y ，利用x +y 2的范围可求得所求最大值.【详解】∵a =xe 1+ye 2 =2，∴a 2=x 2e 21+2xye 1⋅e 2+y 2e 22=x 2+y 2+xy =x +y 2-xy =4，显然，当xy >0时，x +y 2最大；当x >0，y >0时，xy =x +y 2-4≤x +y 22(当且仅当x =y 时取等号)，∴x +y 2≤163；当x <0，y <0时，xy =-x -y =x +y 2-4≤-x -y 22=x +y 24(当且仅当-x =-y ，即x =y 时取等号)，∴x +y 2≤163；综上所述：x +y 2≤163；∵a ⋅e 3=xe 1+ye 2 ⋅e 3=xe 1⋅e 3+ye 2⋅e 3=12x +y ，∴a ⋅e 3 =12x +y =12x +y 2≤233，∴a ⋅e 3 的最大值为233.故答案为：233.【点睛】关键点点睛：本题考查向量模长的相关问题的求解，解题关键是能够利用平方运算将模长转化为数量积运算的形式，结合基本不等式求得最值.⒗如图，四面体ABCD 中，M 、N 分别是线段BC 、AD 的中点，已知AG =23AM ，(1)NM =12(NB +NC )；(2)NM =DB +12AC ；(3)NG =13(NA +NB +NC )；(4)存在实数x ，y ，使得NG =xDB +yDC．则其中正确的结论是_______．(把你认为是正确的所有结论的序号都填上)．【答案】(1)(3)【分析】(1)由于M 是线段BC 的中点，可得NM =12(NB +NC)；(2)取CD 的中点E ，连接EN ，EM ．而NM =NE +EM =12AC +12DB，即可判断出；(3)利用NG =NM +MG ，MG =13MA =13NA -NM，及(1)即可得出；(4)由于M 、N 分别是线段BC 、AD 的中点，AG =23AM，可得NG 与平面DBC 不平行，得出不存在实数x ，y ，使得NG =xDB +yDC．【详解】解：(1)∵M 是线段BC 的中点，∴NM =12(NB +NC)，正确；(2)取CD 的中点E ，连接EN ，EM ．则NM =NE +EM =12AC +12DB，因此不正确；(3)NG =NM +MG =NM +13MA =NM +13NA -NM =23×12NB +NC +13NA =13NB +NC +NA，因此正确；(4)∵M 、N 分别是线段BC 、AD 的中点，AG =23AM，∴NG 与平面DBC 不平行，∴不存在实数x ，y ，使得NG =xDB +yDC．综上可得：只有(1)(3)正确．故答案为：(1)(3)．培优拔尖练⒘已知空间四边形OABC 中，∠AOB =∠BOC =∠AOC ，且OA =OB =OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .【答案】证明见解析【解析】【分析】设OA =a ,OB =b ,OC =c，∠AOB =∠BOC =∠AOC =θ，根据题意，结合向量的四边形法则，可得OG =12OM +ON =14a +b +c ,BC=c -b ，即可求得OG ⋅BC =0 ，即可得证.【详解】证明：设OA =a ,OB =b ,OC =c ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =θ，则a =b =c.因为G 是MN 的中点，所以OG =12OM +ON =1212OA +12OB +OC =14a +b +c ,BC =c -b 所以OG ⋅BC =14a +b +c ⋅c -b =14a ⋅c -a ⋅b +b ⋅c -b 2+c 2-b ⋅c=14a 2⋅cos θ-a 2⋅cos θ-a 2+a 2 =0 所以OG ⊥BC ，即OG ⊥BC .⒙已知M ，G 分别是空间四边形ABCD 的两边BC ，CD 的中点，化简下列各式：(1)AB +BC +CD ；(2)AB +12(BD +BC )；(3)AG -12(AB +AC )．【答案】(1)AD ；(2)AG ；(3)MG.【分析】利用空间向量的加减法及数乘运算化简即可.【详解】解：(1)如图所示，AB +BC +CD =AC +CD =AD.(2)取BD 的中点H ，连接MG ，GH .因为M ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以MG =BH ，MG ∥BH ，所以BMGH 为平行四边形，所以12(BD+BC )=BH +BM =BG ，从而AB +12(BD +BC )=AB +BG =AG .(3)分别取AB ，AC 的中点S ，N ，连接SM ，AM ，MN ，则易证得ASMN 为平行四边形，所以12(AB+AC )=AS +AN =AM ，所以AG -12(AB +AC )=AG -AG =MG .【点睛】本题主要考查空间向量的线性运算，在处理向量加法时往往需要结合利用平行四边形法则，借助线段中点实现化简.⒚如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E =2ED 1 ，F 在对角线A 1C 上，且A 1F=23FC ，求证：E ，F ，B 三点共线.【答案】证明见解析.【分析】设AB =a ,AD =b ,AA 1 =c，利用几何图形中各线段对应的向量，结合空间向量加减、数乘的几何意义，判断EF =λEB成立，结论即得证.【详解】设AB =a ,AD =b ,AA 1 =c ，∵A 1E =2ED 1 ，A 1F =23FC ，∴A 1E =23A 1D 1 ，A 1F =25A 1C ，而A 1D 1 =AD =b ∴A 1E =23b ，A 1F =25(AC -AA 1 )=25(AB +AD -AA 1 )=25(a +b -c ).∴EF =A 1F -A 1E =25a -23b -c ,又EB =EA 1 +A 1A +AB =a -23b -c ,∴EF =25EB ，即E ，F ，B 三点共线.【点睛】关键点点睛：根据空间向量线性运算的几何意义，判断E ，F ，B 三点所构成向量是否存在m =λn 关系，即可证三点共线.⒛已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM =13OA +13OB +13OC .(1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内.【答案】(1)MA ,MB ,MC 共面；(2)点M 在平面ABC 内.【分析】(1)由向量的线性关系可得OA -OM =(OM -OB )+(OM -OC )，由向量减法有MA =-MB -MC ，由空间向量共面定理，知MA ,MB ,MC 共面.(2)由(1)结论，有四点共面，即可知M 在平面ABC 内.【详解】(1)由题意，知：3OM =OA +OB +OC ，∴OA -OM =(OM -OB )+(OM -OC )，即MA =BM +CM =-MB -MC ，故MA ,MB ,MC 共面得证.(2)由(1)知：MA ,MB ,MC 共面且过同一点M .所以M ,A ,B ,C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.·21·。
空间向量的概念与运算
空间向量的概念与运算空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的量。
它起源于物理学中对于物体位移、力和速度等概念的描述。
在数学中，空间向量被广泛应用于代数、几何和向量分析等领域。
本文将介绍空间向量的基本概念、运算法则以及一些实际应用。
一、空间向量的概念空间向量可以用有序三元组表示，即 (x, y, z)。
其中，x、y和z分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的分量。
空间向量可以用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
空间向量的大小也称为向量的模，用 ||V|| 表示，计算公式为：||V|| = √(x^2 + y^2 + z^2)二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法、数量乘法以及点乘和叉乘。
1. 加法：两个向量相加的结果是一个新的向量，其分量等于对应分量的和。
即V = A + BV 的分量 Vx = Ax + BxV 的分量 Vy = Ay + ByV 的分量 Vz = Az + Bz2. 减法：两个向量相减的结果是一个新的向量，其分量等于对应分量的差。
即V = A - BV 的分量 Vx = Ax - BxV 的分量 Vy = Ay - ByV 的分量 Vz = Az - Bz3. 数量乘法：向量乘以一个常数的结果是一个新的向量，其分量等于原向量分量乘以常数。
即V = kAV 的分量 Vx = kAxV 的分量 Vy = kAyV 的分量 Vz = kAz4. 点乘：两个向量的点乘结果是一个标量（即数量），计算公式为A ·B = Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz5. 叉乘：两个向量的叉乘结果是一个新的向量，垂直于原来的两个向量。
计算公式为V = A × BV 的分量 Vx = Ay * Bz - Az * ByV 的分量 Vy = Az * Bx - Ax * BzV 的分量 Vz = Ax * By - Ay * Bx三、空间向量的实际应用空间向量在几何、物理和工程等领域有广泛应用。