2018届高三数学(文)二轮复习专题集训：专题六解析几何6.3直线与圆锥曲线的位置关系
圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置课件
直线是二维空间中的一维图形，表示 两点之间所有点的集合。
位置关系的分类与定义
相交
当直线与圆锥曲线至少有一个交点时，称为 相交。
相切
当直线与圆锥曲线仅有一个交点时，称为相 切。
相离
当直线与圆锥曲线没有交点时，称为相离。
02 直线与圆锥曲线相交的位 置关系
直线与圆锥曲线交点个数的问题
01 直线与圆锥曲线可能有一个、两个或无交点。 02 判断交点个数需要利用代数方法，如判别式法。 03 交点个数与直线的斜率和圆锥曲线的类型有关。
离点距离的计算
离点距离是指离点到直线或圆锥曲线的 某一点的距离，可以通过坐标计算得到。
计算方法为使用两点间距离公式，即 $sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
根据具体问题，可以选择不同的点 作为计算离点距离的基准点，如直 线的交点、圆锥曲线的顶点等。
05 直线与圆锥曲线位置关系 的几何意义
几何问题的求解方法
代数法
通过代数运算和方程求解的方法，求出直线和圆锥曲线的交点坐标。
解析几何法
利用解析几何的基本原理和方法，通过代数运算和方程求解的方法， 求出直线和圆锥曲线的交点坐标。
几何直观法
通过观察和想象，利用几何图形的性质和特点，直接求解几何问题。
06 直线与圆锥曲线位置关系 的实际应用
几何图形的构造与解释
直线与圆锥曲线相交
当直线与圆锥曲线只有一个交点时，表示直线与圆锥曲线相切； 当直线与圆锥曲线有两个交点时，表示直线与圆锥曲线相交。
直线与圆锥曲线相切
当直线与圆锥曲线只有一个交点时，表示直线与圆锥曲线 相切。
直线与圆锥曲线相离
当直线与圆锥曲线没有交点时，表示直线与圆锥曲线相离。
最新高三教案-2018年高中总复习第二轮数学第一部分专
§6.2 直线与圆锥曲线的位置关系考点核心整合本节内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质，以及它们与直线的位置关系的判定，弦长的有关计算、证明等，本部分内容为高考命题的热点.1.椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质.2.椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下:(1)从方程的形式看:在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次方程，所以它们属于二次曲线;(2)从点的集合(或轨迹)的观点看:它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的集合(或轨迹)，这个点是它们的焦点，定直线是它们的准线.只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆(0<e<1)、双曲线(e>1)和抛物线(e=1)三种曲线； (3)这三种曲线都是由平面截圆锥面得到的截线.3.坐标法是研究曲线的一种重要方法，本节进一步研究求曲线方程的一般方法，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，以及用坐标法证明简单的几何问题等.4.椭圆、双曲线、抛物线是常见的曲线，利用它们的方程及几何性质，可以解决一些简单的实际问题；利用方程可以研究它们与直线的交点、相交弦等有关问题. 链接·思考如何判定直线与圆锥曲线的位置关系？提示:直线与圆锥曲线的位置关系由它们的方程组解的情况来确定.由方程组消元后得到形式上的一元二次方程，必须讨论二次项的系数是否为零.若不为零，再通过判别式Δ讨论根的个数，从而得到直线与圆锥曲线的相交、相切或相离位置关系的判定；若二次项系数为零，消元后的方程实际上是个一次方程，通过讨论它是否有满足方程组的根，进而得知直线与圆锥曲线相交(方程组有一解)或相离(方程组无解). 考题名师诠释【例1】(2005山东高考,12)设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l ′.若l ′与椭圆x 2+42y =1的交点为A 、B,点P 为椭圆上的动点,则使得△PAB 的面积为21的点P 的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：由题意易知l ′:2x+y-2=0,A 、B 为椭圆的两个顶点,|AB|=5,要使△PAB 的面积为21,则点P 到直线l ′的距离为55. 与l ′平行且距离为55的直线与椭圆的交点即为所求点P. 直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l ′:2x+y-2=0. l ′与椭圆的交点为A(1,0)、B(0,2),|AB|=5. S △PAB =21|AB|·h=21.∴h=55. 易求得与l ′平行且距离为55的直线为l 1:2x+y-3=0, l 2:2x+y-1=0,显然直线l 2与椭圆有两个交点,l 1与椭圆无交点. 故满足题意的点P 有两个. 答案：B评述：本题亦可利用数形结合求点P 到直线l ′的距离,然后与55比较. 【例2】(2005全国高考Ⅲ，21)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点在抛物线y=2x 2上,l 是AB 的垂直平分线.(1)当且仅当x 1+x 2取何值时,直线l 经过抛物线的焦点F?证明你的结论. (2)当直线l 的斜率为2时,求l 在y 轴上截距的取值范围.解：(1)F ∈l ⇔|FA|=|FB|⇔A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是x 轴的平行线,y 1≥0,y 2≥0且y 1、y 2不同时为0, ∴上述条件等价于y 1=y 2⇔x 12=⇔(x 1+x 2)(x 1-x 2)=0. ∵x 1≠x 2,∴x 1+x 2=0,即当且仅当x 1+x 2=0时,l 经过抛物线的焦点F.(2)设l 在y 轴上的截距为b,l 的方程为y=2x+b,过A 、B 两点的直线方程为y=-21x+m, ∴x 1、x 2满足方程2x 2+21x-m=0,即x 1+x 2=-41. A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ=41+8m ＞0,即m ＞-321.设A 、B 两点的中点N(x 0,y 0),则x 0=221x x +=-81, y 0=-21x 0+m=161+m. 由N ∈l,∴161+m=-41+b.于是b=165+m ＞165-321=329.故l 在y 轴上截距的取值范围为(329,+∞). 【例3】(2006福建高考，20理)已知椭圆22x +y 2=1的左焦点为F ，O 为坐标原点. (Ⅰ)求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；(Ⅱ)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.分析：(Ⅰ)先由圆过点O ，F 得出圆心在x=-21上，再由圆与l 相切得出半径r ，再进一步求出圆心坐标.(Ⅱ)G 点的横坐标的取值范围取决于直线的斜率的取值，故可先建立x G 关于直线的斜率K 的函数，再求函数的值域.解：(Ⅰ)∵a 2=2,b 2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2∵圆过O ，F ，∴圆心M 在直线x=-21上， 设M(-21,t),则圆半径r=｜(-21)-(-2)｜=23. 由｜OM ｜=r 得22)21(t +-=23,得t=±2. ∴所求圆的方程为(x+21)2+(y ±2)2=49. (Ⅱ)设直线AB 的方程为y=k(x+1)(k ≠0), 代入22x +y 2=1,得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0. ∵直线过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根， 记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点N(x 0,y 0),则x 1+x 2=22214k k +,x 0=21(x 1+x 2)=-22212k k +,y 0=k(x 0+1)=122+k k , ∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y-y 0=-k1(x-x 0),令y=0得 x G =x 0+ky 0=-1212122222222+-=+++k k k k k k =-21+2412+k . ∵k ≠0,∴-21＜x ＜0. ∴点G 横坐标的取值范围为(-21,0). 评述：直线和圆锥曲线的位置关系，从代数的角度看转化为一个二元一次方程与一个二元二次方程组组成的解的研究，对于消之后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式Δ，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简单.对于动态问题，注意“动中求静”.【例4】(2005湖北高考，21理)设A 、B 是椭圆3x 2+y 2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. (1)确定λ的取值范围,并求直线AB 的方程;(2)试判断是否存在λ,使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由. (1)解法一：依题意,可设直线AB 的方程为y=k(x-1)+3,代入3x 2+y 2=λ,整理得(k 2+3)x 2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0. ① 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则x 1、x 2是方程①的两个不同根.∴Δ=4［λ(k 2+3)-3(k-3)2］>0, ② 且x 1+x 2=3)3(22+-k k k .由N(1,3)是AB 的中点,得221x x +=1, ∴k(k-3)=k 2+3.∴k=-1,代入②得λ>12,即λ的取值范围是(12,+∞). 于是,直线AB 的方程为y-3=-(x-1), 即x+y-4=0.解法二：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则有3x 12+y 12=λ,322x +22y =λ.∴3(x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0. 依题意x 1≠x 2, ∴k AB =-2121)(3y y x x ++.∵N(1,3)是AB 的中点, ∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=6,k AB =-1. 又N(1,3)在椭圆内, ∴λ>3×12+32=12,即λ的取值范围是(12,+∞). ∴直线AB 的方程为y-3=-(x-1), 即x+y-4=0.(2)解法一：∵CD 垂直平分AB,∴直线CD 的方程为y-3=x-1, 即x-y+2=0.代入椭圆方程,整理得4x 2+4x+4-λ=0. ③ 设C(x 3,y 3)、D(x 4,y 4),CD 的中点为M(x 0,y 0),则x 3、x 4是方程③的两根. ∴x 3+x 4=-1,且x 0=243x x +=-21,y 0=x 0+2=23,即M(-21,23). |CD|=2|x 3-x 4|=)3(2-λ. ④ 将直线AB 的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x 2-8x+16-λ=0. ⑤ 同理可得|AB|=2|x 1-x 2|=)12(2-λ. ⑥∵当λ>12时,)3(2-λ>)12(2-λ,∴|AB|<|CD|.假设存在λ>12,使得A 、B 、C 、D 四点共圆,则CD 为圆的直径,点M 为圆心. 点M 到直线AB 的距离为d=2232|42321|=-+-. ⑦ 于是,由④⑥⑦和勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d 2+(2||AB )2=29+23212-=-λλ=|2CD |2.故当λ>12时,A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心,2||CD 为半径的圆上.解法二：由解法一及λ>12, 又∵CD 垂直平分AB, ∴直线CD 的方程为x-y+2=0.代入椭圆方程整理得4x 2+4x+4-λ=0. ③ 将直线AB 的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x 2-8x+16-λ=0. ⑤ 解③和⑤得 x 1,2=2122-±λ,x 3,4=231-±-λ.不妨设A(1+2112-λ,3-2112-λ)、C(231---λ,233--λ)、D(231-+-λ,233-+λ),∴CA =(23123-+-+λλ,21233---+λλ),DA =(23123---+λλ,21233----λλ).可计算得CA ·DA =0.∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点, ∴A 、B 、C 、D 四点共圆. 评述：本题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. 链接·提示本题可用勾股定理证AC⊥AD;也可由A、B、C、D四点共圆⇔△ACD为直角三角形,A 为直角⇔|AN|2=|NC|·|DN|.同学们不妨一试.。
名师导学2018届高三数学理二轮复习课件：专题5第15讲直线与圆锥曲线的位置关系问题 精品
(2)当 a＝0 时，即得到一个一次方程，l 与 E 相交， 且只有一个交点，此时，若 E 为双曲线，则直线 l 与 双曲线的渐近线平行；若 E 为抛物线，则直线 l 与抛 物线的对称轴平行．
关 于 y 的 形 式 ， 其 弦 长 公 式 为 |PQ| ＝
1＋k12· （y1＋y2）2－4y1y2.
3．已知弦 PQ 的中点，研究 PQ 的斜率和方程，即
中点弦问题 (1)PQ 是椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的一条弦，中点 M 的
坐标为(x0，y0)，则 PQ 的斜率为－ba22yx00.运用点差法求 PQ 的斜率，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，P、Q 都在椭圆上，所 以xxaa221222＋ ＋bbyy212222＝＝11，，两式相减得x21－a2 x22＋y21－b2y22＝0，
(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求 直线 l 方程的一般式．
【解析】(1)由已知 b＝4，且ac＝ 55，即ac22＝15， ∴a2－a2b2＝15，解得 a2＝20，∴椭圆方程为2x02＋1y62 ＝1； 由 4x2＋5y2＝80 与 y＝x－4 联立，
消去 y 得 9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝490， ∴所求弦长|MN|＝ 1＋12|x2－x1|＝409 2；
以
上
两
式
相
减
得
（x1＋x2）（x1－x2） 2∴kMN＝yx11－－yx22＝－45·xy11＋＋xy22＝－45·－64＝65，
故直线 MN 的方程为 y＋2＝65(x－3)，即 6x－5y －28＝0.
2018年高考数学一轮复习课件第60讲-直线与圆锥曲线的位置关系
即ac2－a c＝|M2cQ|，解得|MQ|＝2a，
所以ac2＝4 2a＝4
，解得ac＝ ＝21 ，故椭圆方程为x42＋y32＝1.
20180101
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(2)证明：直线 PQ 的方程为bya2－－22aa＝－x－c－ac2ac2， 即 y＝acx＋a， 将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0， 解得 x＝－c，则 y＝ba2， 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点．
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4．过抛物线y2＝5x上一点P(5，－5)与抛物线仅有一
个公共点的直线有( B )
A．1条
B．2条
C．3条
D．1条或3条
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解析：因为点 P 在抛物线上，故直线与抛物线相切或与 对称轴平行时各有 1 条，共 2 条，故选 B.
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故Q(ac2，2a)．
由题设知，ac2＝4 2a＝4
，解得ca＝＝12 ，
20故18椭01圆0方1 程为x42＋中y3华2＝书1.文馆编辑 14
(方法二)设直线 x＝ac2与 x 轴交于点 M， 由条件知，P(－c，ba2)，
因为△PF1F2∽△F2MQ， 所以||FP2FM1||＝||FM1FQ2||，
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解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由题设，x1＋x2＝－2，y1＋y2＝1，
又xx442221＋＋yy1222＝＝11
，两式相减，得x21－4 x22＋y12－y22＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0， 故 k＝yx11－－yx22＝－4yx11＋＋yx22＝－4×－12＝12.
2018大二轮高考总复习理数课件：解答题7 第1课时 直线
x2 y2 1．(2017· 潍坊实验中学模拟)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)，其短轴的一个端 点与两个焦点构成面积为 3的正三角形，过椭圆 C 的右焦点作斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，线段 AB 的中点为 P． (1)求椭圆 C 的标准方程； |DP| (2)过点 P 垂直于 AB 的直线与 x 轴交于点 D，试求 |AB| ．
(2017· 宁夏大学附中二模)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)， 过点 C(－2,0)的直线 → → l 交抛物线于 A，B 两点，坐标原点为 O，OA· OB＝12. (1)求抛物线的方程； (2)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程．
[ 思路点拨] (1)设 l∶x＝my－2，代入 y2＝2px，可得根与系数的关系，再利用
第一课时
直线与圆锥曲线位置关系、范围与最值问题
02
高考考点多维解读
基本考点——直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线与圆锥曲线公共点的2种常用方法 (1) 代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x ， y 的方程组，消去 y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
→ → OA· OB＝12，可得 x1x2＋y1y2＝12，代入即可得出． (2)由(1)可得 y2－4my＋8＝0.设 AB 的中点为 M，可得|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋ y2)－4＝4m2－4，又|AB|＝ 1＋m2|y1－y2|＝ 1＋m216m2－32，联立解出 m 即可得 出．
(2)由 (1)(*)化为 y2－4my＋8＝0． y1＋y2＝4m，y1y2＝8． 设 AB 的中点为 M， 则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，① 又|AB|＝ 1＋m2|y1－y2|＝ 1＋m216m2－32，② 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2， 解得 m2＝3，m＝± 3． ∴直线 l 的方程为 x＋ 3y＋2＝0 或 x－ 3y＋2＝0．
2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第九章 平面解析几何 9.8 直线与圆锥曲线的位置关系
．直线与圆锥曲线的位置关系．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线公共点；相切时，直线与圆锥曲线有公共点；相交时，直线与椭圆有公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线：＋＋＝与二次曲线：(，)＝，由消元，如果消去后得：＋＋＝，()当≠时，①Δ＞，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线；②Δ＝，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线；③Δ＜，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线．()注意消元后非二次的情况，即当＝时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．当圆锥曲线是双曲线时，直线与双曲线的渐近线的位置关系是；当圆锥曲线是抛物线时，直线与抛物线的对称轴的位置关系是．()直线方程涉及斜率要考虑其不存在的情形．．直线与圆锥曲线相交的弦长问题()直线：＝＋与二次曲线：(，)＝交于，两点，设(，)，(，)，由得＋＋＝(≠)，则＋＝，＝，＝．()若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算．．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．()利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．()点差法：若直线与圆锥曲线有两个交点，，一般地，首先设出(，)，(，)，代入曲线方程，通过作差，构造出＋，＋，，，从而建立中点坐标和斜率的关系．无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论．自查自纠．无一个两个()①相交②相切③相离()平行或重合平行或重合．()＝()过抛物线＝的焦点作一条直线与抛物线交于，两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线( ) ．有且只有一条．有且只有两条．有且只有三条．有且只有四条解：因为垂直于轴且过焦点的弦长为＝，令(，)，(，)，则＝＋＋，所以＝>，故这样的直线有且只有两条．故选.椭圆＋＝的离心率为，点(，)是圆＋＋＝的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )．＋＝．＋＝．＝．＝解：依题意得＝，圆心坐标为(，)，圆心(，)与点的连线的斜率为＝，故所求直线的斜率为，所以所求直线的方程是＝()，即＋＝.故选.直线过抛物线＝的焦点，且与抛物线交于(，)，(，)两点，则( )．＝．＝．＝．＝解：由题意知抛物线的焦点为(，)，设直线的方程为＝，联立得＝，又，为直线与抛物线的交点，故＝，则＝)＝＝.故选.已知椭圆：＋＝(>>)，(，)为其右焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，则椭圆的方程为．解：由题意得解得所以椭圆的方程为＋＝.故填＋＝.设抛物线＝的焦点为，经过点(，)的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，则＋＝．解：设(，)，(，)，由题意知＋＝，且＝，＝，两式相减整理得＝＝，所以直线的方程为＋＝，即＝，所以＋＝＝＝，又由抛物线定义得＋＝＋＋＝.故填.类型一弦的中点问题()已知一直线与椭圆＋＝相交于，两点，弦的中点坐标为(，)，则直线的方程为．解法一：根据题意，易知直线的斜率存在，设通过点(，)的直线的方程为＝()＋，代入椭圆方程，整理得(＋)＋()＋()＝.设，的横坐标分别为，，则＝＝，解之得＝.故直线的方程为＝()＋，即＋＝.解法二：设(，)．因为中点为(，)，所以点坐标是(，)．将，点的坐标代入方程＋＝，得＋＝，①及()＋()＝，化简为＋＋＝.②①②，得＋＝，化简为＋＝.同理可推出()＋()＝.因为(，)与(，)都满足方程＋＝，所以＋＝即为所求．解法三：设(，)，(，)是弦的两个端点，代入椭圆方程，得＋＝，①＋＝，②))①②，得(＋)()＋(＋)()＝.因为(，)为弦的中点，所以＋＝，＋＝.所以()＋()＝.所以＝＝.故方程为＝()，即＋＝.故填＋＝.()设为抛物线：＝的焦点，过点(，)的直线交抛物线于，两点，点为线段的中点．若＝，则直线的斜率等于．解：设(，)，(，)，直线的方程为＝(＋)，联立得＋()＋＝，由解得∈(，)∪(，)，＋＝＝＋，＋＝(＋)＋＝，设(，)，则＝＝＋，＝＝，即，又(，)，所以＝＝，解得＝±.故填±.【点拨】()本题的三种解法很经典，各有特色，解法一思路直接，但计算量大，解法三计算简捷，所列式子“整齐、美观，对称性强”，但消去，，，时，要求灵活性高，整体意识强．()本题易错点：缺少对“直线与抛物线相交于，两点”这一几何条件的检验，即解得∈(，)∪(，)．()()过点(，)作斜率为的直线与椭圆：＋＝(>>)相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于．解：设(，)，(，)，则)＋)＝，)＋)＝，两式相减得＋＝，变形得＝，即＝，＝，＝＝＝.故填.()已知双曲线＝上存在两点，关于直线＝＋对称，且的中点在抛物线＝上，则实数的值为．解：设(，)，(，)，的中点(，)，则()＝，①()＝，②＋＝，③＋＝，④))由②①得()(＋)＝()(＋)，显然≠.。
2018届高考数学大二轮复习 专题六 解析几何 第2讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题复习
专题六 第二讲A 组1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是导学号 52134729( C )A ．(12，2)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(12，1)[解析] 由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C ．2．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为导学号 52134730( B )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝152x[解析] 依题意，设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，所以|MF |＝2p ，即x ＋p2＝2p ，解得x ＝3p2，y ＝3p ．又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4.所以抛物线方程为y 2＝8x ．3．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝ 导学号 52134731( D )A ．m 2－a 2B ．m －aC ．12(m －a ) D ． (m －a )[解析] 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 在双曲线的右支上，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，故|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．4．(文)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为导学号 52134732( D )A ．73B ．54C ．43D ．53[解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a ，b 的关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53，故选D ．(理)(2016·天津卷，6)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为导学号 52134733( D )A ．x 24－3y 24＝1B ．x 24－4y 23＝1C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝1[解析] 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12， 故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D ．5．(文)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为导学号 52134734( B )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4.故选B ．(理)(2016·浙江卷，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则导学号 52134735( A )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1[解析] 由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，所以e 1e 2>1.故选A ． 6．(2016·全国卷Ⅱ，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为导学号 52134736( A )A ． 2B ．32C ． 3D ．2[解析] 设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2，所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A ． 7．(2017·甘肃一诊)如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B 、A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为导学号 52134737( A )A ．7B ．4C ．233D ． 3[解析] 本题主要考查双曲线的离心率．依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，根据等边三角形，可知∠F 1BF 2＝120°，应用余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2·2a ·4a ·12＝4c 2，整理得c a＝7，故选A ．8．(2017·河北邯郸一模)已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为点N ，若MF →·MN →<0，则x 0的取值范围是导学号 52134738( A )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－1,1)[解析] 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F (0，12)．根据题意，可知N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝(－x 0，12－y 0)，MN →＝(0，－y 0)，所以MF →·MN →＝－y 0(12－y 0)<0，即0<y 0<12.因为点M 在抛物线上，所以有0<x 202<12.又x 0≠0，解得－1<x 0<0或0<x 0<1.故选A ．9．(2017·福建厦门一模)已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,23)，当△APF 的周长最大时，△APF 的面积等于导学号 52134739(B )A ．1134B ．2134C ．114D ．214[解析] 由椭圆x 29＋y 25＝1知a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，Rt △AOF 中，|OF |＝2，|OA |＝23，则|AF |＝4.设椭圆的左焦点为F 1，则△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a －|PF 1|＝4＋6＋|PA |－|PF 1|≤10＋|AF 1|(当且仅当A ，P ，F 1三点共线，P 在线段AF 1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF 1的方程为x －2＋y23＝1，与椭圆的方程为5x 2＋9y2－45＝0联立并整，得32y 2－203y －75＝0，解得y P ＝－538(正值舍去)，则△APF 的周长最大时，S △APF ＝12|F 1F |·|y A －y P |＝12×4×|23＋538|＝2134.故选B ．10．(2017·福建漳州八校联考)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2又分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为导学号 52134740( C )A ．52B ．4C ．92D ．9[解析] 由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，① 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1， ② 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.③ ①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22， ④将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2，∴4e 21＋e 22＝4c2a 21＋c 2a 22＝a 21＋a 222a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92， 当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号．故选C ．11．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为__－2__.导学号 52134741[解析] 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即PA 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2．12．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝__12__.导学号 52134742[解析] 取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF |1＋|GF |2)＝4a ＝12．13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的顶点、焦点分别为点A ，F ，抛物线上的一点P 到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为d 1，则以F 为圆心，|AF |为半径的圆上一点的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小距离为导学号 52134743[解析] 本题关键在于数形结合，作PM ⊥l 交l 于点M ，作FN ⊥l 交l 于点N ，由图形转化线段之间的关系：|PM |＋|PF |≥|FN |，d 1＋d 2＝|PM |＋|PF |－r ≥|FN |－r ．焦点即圆心F (1,0)，r ＝|AF |＝1，要求d 1＋d 2的最小值，只需求点P 到直线l 的距离与到圆心的距离的和的最小值，如图，作PM ⊥l 交l 于点M ，作FN ⊥l 交l 于点N .由图知|PM |＋|PF |≥|FN |，|FN |＝|1－0＋3|12＋－2＝42＝22，所以d 1＋d 2＝|PM |＋|PF |－r ≥|FN |－r＝22－1．14．(2017·山东莱芜一模)已知圆G ：x 2＋y 2－22x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M (m,0)(m >a )，倾斜角为2π3的直线l 交椭圆于C ，D 两点，若点N (3,0)在以线段CD 为直径的圆E 的外部，则m 的取值范围是__(72，3)__.导学号 52134744[解析] ∵圆G ：x 2＋y 2－22x －2y ＝0与x 轴，y 轴交点为(22，0)和(0,2)， ∴c ＝22，b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝12， ∴椭圆方程为x 212＋y 24＝1，设直线l 的方程为y ＝－3(x －m )(m >23)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 212＋y 24＝1得10x 2－18mx ＋9m 2－12＝0．由Δ＝324m 2－40(9m 2－12)>0， 可得－2303<m <2303，∴23<m <2303．设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， x 1＋x 2＝9m 5，x 1·x 2＝9m 2－1210，NC →·ND →＝(x 1－3，y 1)·(x 2－3，y 2)＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝4x 1x 2－(3m ＋3)(x 1＋x 2)＋9＋3m 2>0． 化简得2m 2－9m ＋7>0，解得m >72．∴m 的取值范围是(72，2303)．B 组1．(2017·天津卷，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为导学号 52134745( D )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1[解析] 根据题意画出草图如图所示(不妨设点A 在渐近线y ＝b ax 上)．由△AOF 的边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2． 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b ax 上， ∴b a＝tan 60°＝3．又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1．故选D ．2．(2017·陕西质检)已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 与C 交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为导学号 52134746( B )A ．12B ．32C ．1D ．2[解析] 因为直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0，y 2＝2px 得，x 2－3px＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x ＋x 2＝3p ，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32． 故选B ．3．(2017·沈阳质检)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA →·PB →的值是导学号 52134747( A )A ．－38B ．316C ．－38D ．不能确定[解析] 令点P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|PA |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos 2∠AOx ＝－cosπ3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·(－12)＝34×(－12)＝－38．故选A ．4．(2017·南昌三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为导学号 52134748( D )A ．2＋2B ．5＋1C ．3＋1D ．2＋1[解析] 本题考查抛物线的性质、双曲线的离心率．由题意得点F 的坐标为(p2，0)．又因为AF ⊥x 轴，所以点A 的横坐标为p2，因为点A 为抛物线与双曲线的交点，不妨设点A 位于第一象限，则y A ＝2px A ＝p ，即点A 的坐标为(p2，p )，又因为点F 为双曲线与抛物线的相同的焦点，所以c ＝p2，则点A 的坐标为(c,2c )，代入双曲线的方程得c 2a 2－4c 2b2＝1，结合c2＝a 2＋b 2，化简得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，解得双曲线的离心率e ＝ca＝2＋1.故选D ．5．(2017·唐山高三统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝导学号 52134749( B )A ．12B ．－12C ．－14D ．－2[解析] 本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线的斜率．设AB 的中点为G ，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1x 224＋y222＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x 24＝－y 1－y 2y 1＋y 22，整理得x 1＋x 2y 1＋y 2＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12．又G (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12.故选B ．6．(2017·唐山统考)焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是__x 25－y 220＝1__.导学号 52134750[解析] 设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1．7．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__94__.导学号 52134751[解析] 易知直线AB 的方程为y ＝33(x －34)，与y 2＝3x 联立并消去x ，得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94.S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×34y 1＋y 22－4y 1y 2＝3827＋9＝94． 8．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.导学号 52134752(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．[解析] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |及|AB |＝4得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1， 又∵△ABF 2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8． ∴|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5．(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， 由椭圆定义知：|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ， 在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，∴(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0， ∴a ＝3k ，于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2∴F 2A ⊥AB ，F 2A ⊥AF 1， ∴△AF 1F 2是等腰直角三角形， 从而c ＝22a ，所以椭圆离心率为e ＝c a ＝22． 9．(2017·贵阳检测)设点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最小值为0.导学号 52134753(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，作F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 分别交直线l 于M ，N 两点，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．[解析] 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式．11 (1)设P (x ，y )，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1a 2x 2＋1－c 2， x ∈[－a ，a ]，由题意得，1－c 2＝0，c ＝1，则a 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1． (2)将直线l 的方程l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，由直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0，化简得：m 2＝2k 2＋1．设d 1＝|F 1M |＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|F 2N |＝|k ＋m |k 2＋1． ①当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1－d 2|＝|MN |·|tan θ|，∴|MN |＝1|k |·|d 1－d 2|， ∴S ＝12·1|k |·|d 1－d 2|·(d 1＋d 2)＝2|m |k 2＋1＝4|m |m 2＋1＝4|m |＋1|m |， ∵m 2＝2k 2＋1，∴当k ≠0时，|m |>1，|m |＋1|m |>2， 即S <2． ②当k ＝0时，四边形F 1MNF 2是矩形，此时S ＝2．∴四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2．。
2018高考数学文全国大一轮复习检测：第八篇 平面解析
第7节直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·呼和浩特一模)设直线y=kx与椭圆+=1相交于A,B两点,分别过A,B向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于( A ) (A)± (B)± (C)± (D)±2解析:将直线与椭圆方程联立,化简整理得(3+4k2)x2=12,(*)因为分别过A,B向x轴作垂线,垂足恰为椭圆的两个焦点,故方程的两个根为±1,代入方程(*),得k=±.故选A.2.已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若·=0,则m等于( B )(A) (B) (C) (D)0解析:由题意可得8x2-20x+8=0,解得x=2或x=,则A(2,2),B(,-).点M(-1,m),由·=0,可得(3,2-m)·(,--m)=0.化简2m2-2m+1=0,解得m=.故选B.3.(2016·吉林模拟)过抛物线y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则+等于( D )(A)2 (B)4 (C) (D)解析:抛物线y2=4x,可知2p=4,设直线l1的倾斜角为θ(θ为锐角),则l2的倾斜角为+θ,AB,CD为过焦点的弦,|AB|=,|CD|==,所以+=+==.故选D.,抛物线W:y2=4x与圆C:(x-1)2+y2=25交于A,B 两点,点P为劣弧上不同于A,B的一个动点,与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q,则△PQC的周长的取值范围是( C )(A)(10,14) (B)(12,14) (C)(10,12) (D)(9,11)解析:抛物线的准线l:x=-1,焦点(1,0),由抛物线定义可得|QC|=x Q+1,圆(x-1)2+y2=25的圆心为C(1,0),半径为5,可得△PQC的周长=|QC|+|PQ|+|PC|=x Q+1+(x P-x Q)+5=6+x P,由抛物线y2=4x及圆(x-1)2+y2=25可得交点的横坐标为4,即有x P∈(4,6),可得6+x P∈(10,12),故△PQC的周长的取值范围是(10,12).故选C.5.(2016·长沙模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a等于( A )(A) (B) (C)3 (D)9解析:因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,所以点M(1,m)(m>0)到其准线的距离为5,得1+=5,p=8.所以抛物线方程为y2=16x,所以M(1,±4),因为m>0,所以取M(1,4),因为双曲线-y2=1的左顶点为A(-,0),所以AM的斜率为,双曲线-y2=1的渐近线方程是y=±x,由已知得=,解得a=.故选A.6.(2016·郑州模拟)已知直线l:y=k(x-2)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,点M(-2,4)满足·=0,则|AB|等于( D )(A)6 (B)8 (C)10 (D)16解析:由抛物线C:y2=8x可得焦点F(2,0),直线y=k(x-2)过抛物线的焦点,代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2).所以x1+x2=,x1x2=4.所以y1+y2=,y1y2=-16,因为M(-2,4),所以=(x1+2,y1-4),=(x2+2,y2-4),·=(x1+2,y1-4)·(x2+2,y2-4)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-4(y1+y2)+16=0,整理得k2-2k+1=0,解得k=1,所以x1+x2=12,x1x2=4.|AB|=·=·=16,故选D.7.(2016·广州模拟)若双曲线-=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为.解析:双曲线的左焦点坐标为(-,0),抛物线y2=2px的准线方程为x=-,所以-=-,p>0,解得p=4.答案:48.(2016·南京模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)与椭圆+=1(a>b>0)有相同的焦点F,P是两曲线的公共点,若|PF|=p,则此椭圆的离心率为.解析:如图所示,因为抛物线y2=2px(p>0)与椭圆+=1(a>b>0)有相同的焦点F,所以=c.由题意知|PF|=p=,所以c=,所以5ac=3(a2-c2),化为3e2+5e-3=0,又0<e<1.所以e=.答案:9.(2016·上海黄浦区一模)已知点M(m,0),m>0和抛物线C:y2=4x.过C的焦点F的直线与C交于A,B两点,若=2,且||=||,则m= .解析:由题意可知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),因为=2,可得2(x2-1,y2)=(1-x1,-y1),可得y2=-,x2=,解得x 1=2,y1=±2.由||=||,可得|m-1|=,解得m=.答案:10.(2016·四川宜宾模拟)如图,已知圆G:x2+y2-2x-y=0,经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F及上顶点B,过圆外一点M(m,0)(m>a)倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点.(1)求椭圆的方程;(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围. 解:(1)x2+y2-2x-y=0过点F,B,所以F(2,0),B(0,),故椭圆的方程为+=1.(2)直线l:y=-(x-m)(m>),消y得2x2-2mx+(m2-6)=0,由Δ>0⇒-2<m<2,又m>⇒<m<2,设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=m,x1x2=,y1y2=x1x2-(x1+x2)+,=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=,因为F在圆E的内部,所以·<0⇒0<m<3,又<m<2⇒<m<3.即m的取值范围是(,3).11.(2016·沈阳四模)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,曲线C是以坐标原点为顶点,以F2为焦点的抛物线,自点F1引直线l交曲线C于P,Q两个不同的点,点P关于x轴的对称点记为M,设=λ.(1)写出曲线C的方程;(2)若=μ,试用λ表示μ;(3)若λ∈2,3],求|PQ|的取值范围.解:(1)曲线C的方程是y2=4x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(x1,-y1),因为=λ,所以所以=λ2,又=4x 1,=4x2,所以x1=λ2x2代入①得λ2x2+1=λx2+λ,所以λx2(λ-1)=λ-1,由题意λ≠1,所以则=(x1-1,-y1)=(λ-1,-λy2)=-λ(-1,y2),=-λ(x2-1,y2)=-λ,即=-λ,故μ=-λ.(3)由③④知x1x2=1,所以=16x 1x2=16,又y1y2>0,所以y1y2=4,所以|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2+y1y2)=+++-2(x=λ2++4(λ+)-10=(λ+)2+4(λ+)-12=(λ++2)2-16,又2≤λ≤3,所以≤λ+≤,所以≤|PQ|2≤,所以≤|PQ|≤.即|PQ|的取值范围是,].能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·西安模拟)椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0)和F2(1,0),若该椭圆C与直线x+y-3=0有公共点,则其离心率的最大值为( C )(A) (B) (C) (D)解析:由题意,c=1,所以e==,所以a越小e越大,而椭圆与直线相切时,a最小,设椭圆为+=1(m>1),把直线x+y-3=0代入,化简整理可得(2m-1)x2+6mx+10m-m2=0,由Δ=0,解得m=5,于是a=,e==.故选C.13.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是( B )(A) (B) (C) (D)解析:由题意可知,抛物线的准线方程为x=-1,A(-1,0),过P作PN垂直直线x=-1于N,由抛物线的定义可知|PF|=|PN|,连接PA,当PA是抛物线的切线时,有最小值,则∠APN最大,即∠PAF最大,就是直线PA的斜率最大,设PA的方程为y=k(x+1),由得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,由Δ=(2k2-4)2-4k4=0,解得k=±1,所以∠NPA=45°,==cos∠NPA=.故选B.14.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点,若=3,则k= .解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),因为=3,所以y1=-3y2,因为e=,则设a=2t,c=t,则b=t,t>0,所以x2+4y2-4t2=0,(*)设直线AB方程为x=sy+t,代入(*)式中消去x,可得(s2+4)y2+2sty-t2=0,所以y1+y2=-,y1y2=-,-2y 2=-,-3=-,解得s2=,k=.答案:15.(2016·太原一模)已知椭圆M:+=1(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左、右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)求椭圆方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值. 解:(1)因为F(-1,0)为椭圆的焦点,所以c=1,又b2=3,所以a2=4,所以椭圆方程为+=1.(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1,所以直线方程为y=x+1,和椭圆方程联立消掉y,得到7x2+8x-8=0,所以Δ=288,x1+x2=-,x1x2=-,所以|CD|=|x 1-x2|=×=.(3)当直线l无斜率时,直线方程为x=-1,此时D(-1,),C(-1,-),△ABD,△ABC面积相等,|S1-S2|=0,当直线l斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),设C(x3,y3),D(x4,y4),和椭圆方程联立消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)>0,方程有两不同的根,且x3+x4=-,x3x4=,此时|S1-S2|=×2×2||y3|-|y4||=2|y3+y4|=2|k(x4+1)+k(x3+1)|=2|k(x4+x3)+2k|==≤==(k=±时等号成立),所以|S 1-S2|的最大值为.16.(2016·太原二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,设P为椭圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点),当|-|<时,求实数t取值范围. 解:(1)由题意知e==,所以e2===.即a2=2b2.又因为以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,所以b==1,所以a2=2,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意知直线AB的斜率存在. 设AB:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),由得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,k2<,x1+x2=,x1·x2=,因为+=t,所以(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),所以x==,y==k(x1+x2)-4k]=,因为点P在椭圆上,所以+2×=2,所以16k2=t2(1+2k2).因为|-|<,所以|x 1-x2|<,所以(1+k2)(x1+x2)2-4x1·x2]<,所以(1+k2)-4·]<,所以(4k2-1)(14k2+13)>0,所以k2>.所以<k2<,因为16k2=t2(1+2k2),所以t2==8-∈(,4),所以-2<t<-或<t<2,所以实数t的取值范围为(-2,-)∪(,2).好题天天练C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( A )(A)m>n且e1e2>1(B)m>n且e1e2<1(C)m<n且e1e2>1(D)m<n且e1e2<1解题关键:利用焦点重合找出m,n之间的关系,建立关于e1e2的表达式判断.解析:因为椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合, 所以满足c2=m2-1=n2+1,即m2-n2=2>0,所以m2>n2,则m>n,排除C,D,c2=m2-1<m2,c2=n2+1>n2,则c<m,c>n,e1=,e2=,则e1·e2=·=,则(e1·e2)2=()2·()2=·===1+=1+=1+>1,所以e1e2>1.故选A.2.(2016·贵州模拟)已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x2-x1的最小值是( A )(A)2 (B)2 (C)4 (D)3解题关键:利用直线与圆相切,与双曲线左、右两支相交求出k的范围,利用韦达定理建立x2-x1关于k的关系式.解析:因为l与圆相切,所以原点到直线的距离d==1,所以m2=1+k2.由得(1-k2)x2-2mkx-(m2+1)=0,因为直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支交于两点,所以所以k2<1,由于x1+x2=,所以x2-x1===,因为0≤k2<1,所以当k2=0时,x 2-x1取最小值2.故选A.。
高考数学二轮复习重点模块练：解析几何(7)直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系1、以12(),1,0,0()1F F -为焦点且与直线30x y -+=有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是（ ）A.2212019x y +=B.22198x y +=C.22154x y += D.22132x y += 2、已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为120︒的直线与抛物线C交于,A B 两点，若,AF BF 的中点在y 轴上的射影分别为,M N ，且MN =线C 的准线方程为（ ） A.1x =-B.2x =-C.32x =-D.3x =-3、已知P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，且在x 轴上方，12,F F 分別是双曲线的左、右焦点，1212F F = ，直线2PF 的斜率为-12PF F △的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A.3B.24、过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线交C 于A B ，两点，若33AF BF ==，则p =（ ） A. 3B. 2C.32D. 15、已知12F F ，分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点A 是椭圆上位于第一象限内的一点，O 为坐标原点，222OA OF OF ⋅=u u u r u u u u r u u u u r ，则直线OA 的方程是（ ）A.12y x =B.y x =C.y =D.y x =6、圆C 的圆心在拋物线24y x =上，且圆过抛物线24y x =的焦点，则圆C 上的点到直线6y =-距离的最小值为（ ）A.9516B.254C.5D.727、过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为45°的直线交抛物线于,A B 两点，以,AF BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点,M N ，则MNF △的面积为（ ）B. C.18、设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线2a x c=分别交于,A B 两点，F 为该双曲线的右焦点，若6090AFB ︒<∠<︒，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.B.)+∞C.D.9、已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点(2,M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则||:||NF FM 等于（ ）A ．1:3B ．1:C ．D ．1:210、已知直线30x -=分別与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在椭圆2222x y +=上，则ABP △面积的取值范围是（ ）A.[33B.[]44C.[0,]4D.[4411、已知抛物线22y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，其中第一象限内的交点为A ，则AFBF=__________. 12、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ，直线l 与双曲线22123x y -=的两条渐近线分别交于,A B 两点，AB =，则p 的值为______． 13、已知点P 为直线:2l x =-上任意一点，过点P 作抛物线22(0)y px p =>的两条切线，切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x ⋅为定值，此定值为______.14、椭圆22143y x +=的左、右焦点分别为12,F F ，过椭圆的右焦点2F 作一条直线l 交椭圆于,P Q 两点，则1F PQ △内切圆面积的最大值是________.15、已知抛物线()21:20C x py p =>和圆()222:12C x y ++=，倾斜角为45°的直线1l 过1C 的焦点，且1l 与2C 相切. （1）求p 的值；（2）动点M 在1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在点A 处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+uuu r uuu r uuu r，求证:点N 在定直线上，并求该定直线的方程.答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：设椭圆方程为()2222111x y a a a +=>-， 由22221130x y a a x y ⎧+=⎪-⎨⎪-+=⎩， 得22224()()216100a x a x a a -+-+=， 由0∆≥，得a ，1c e a a ==≤a =， 故椭圆方程为22154x y +=.故选C.2答案及解析： 答案：D解析：设,AF FB 的中点分别为,,D E 则2AB DE =，由题得8sin 3DE ==，所以8DE =，所以16AB =， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121216,16x x p x x p ++=∴+=-，联立直线和抛物线的方程得22223,3504)2y pxx px p py x ⎧=⎪∴-+=⎨=-⎪⎩， 所以516,63pp p -=∴=， 所以抛物线的准线方程为3x =-. 故选D.3答案及解析： 答案：B解析：设(,)P x y ，0y >，12PF F △的面积12162432S y F F y ===，则43y =.又2(6,0)F ，直线PF 的斜率4343=-，则5x =，所以(5,43)P .又1(6,0)F -，由双曲线定义可得2212211(43)a PF PF =-=+22(1)(43)1376--+=-=，则3a =，所以双曲线的离心率2ce a==.故选B.4答案及解析： 答案：C解析：如图，分别过点,A B 作准线l 的垂线11,AA BB ，垂足分别为11,A B ，过点B 作1BD AA ⊥于D ，BD 交x 轴于E .由已知条件及抛物线定义得， 11||||1,||||3BB BF AA AF ====，所以||312AD =-=，在Rt ABD △中，因为||4,||2AB AD ==，所以30ABD ∠=︒，所以11||||22EF BF ==，所以焦点F 到准线的距离为13122+=，即32p =.故选C.5答案及解析： 答案：B解析：设(,)(0,0)A A A A A x y x y >>，因为2(,0)F c ，所以22(,)(,0)A A A OA OF x y c cx c ⋅=⋅==u u u r u u u u r，所以A x c =，将A x c =代入椭圆方程，得22221c y a b +=，解得2A b y a=，故2222OAb b ac a k c ac ac-===.又e =，所以c =，所以22OAa k ⎫-⎪⎪=，故直线OA的方程是y .故选B.6答案及解析： 答案：A解析：设圆C 的圆心为2(,4)a a ，半径为r ，由抛物线的焦点为1(0,)16，准线方程116y =-，可得21416r a =+.所以圆C 与抛物线的准线相切，与直线6y =-相离，所以圆C 上的点到直线6y =-的距离的最小值为221954641616a a +--=.故选A.7答案及解析： 答案：D解析：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知直线AB 的方程为1y x =-.因为以,AF BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点,M N ，可知1211,22OM y ON y ==，则2112MN y y =-，将直线AB 的方程代入24y x =，整理得2440y y --=，由一元二次方程根与系数的关系得21214,4y y y y +=⋅=-，所以21y y -===，则2112MN y y =-=MNF △的面积为11122MN FO ⋅=⨯=故选D.8答案及解析： 答案：C解析：由题意，不妨设,A B 分别位于第一、四象限.∵双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，∴与直线2a xc =交于,A B 两点的坐标分别为22(,),(,)a ab a ab A B c c c c-，则,A B 两点关于x 轴对称.∵6090AFB ︒<∠<︒1BF k <<21ab c a c c<<-1a b <<，∴222113a c a<<-，∴2113e <-<2e <<，故选C.9答案及解析： 答案：D解析：抛物线24y x =的焦点F 为(1,0)，则直线MF的斜率为1=则有:1)l y x =-，联立方程组241)y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得1(,2N ，由于抛物线的准线方程为1x =-． ∴由抛物线的定义可得，13||122NF =+=， ||213MF ∴=+=，||:||1:2NF FM ∴=，故选D ．10答案及解析： 答案：B解析：由题意知，(3,0),A B，则AB = 又点P 在椭圆2212x y +=上，所以设,sin )P θθ，所点P到直线30x +-=的距离d== 当πsin()14θ+=-时，max d =则ABP △面积的最大值max 12S ==；当πsin()14θ+=时，min d =ABP △面积的取值范围是.故选B.11答案及解析：解析：设()11,A x y ，()22,B x y ，因为抛物线22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线AB 的方程为12y x ⎫=-⎪⎭，与22y x =联立消去x 得2103y y --=，因为点A 在第一象限，所以1y =2y =， 因此11223AF y yBF y y ===-.12答案及解析：解析：抛物线22(0)y px p =>的准线为:2pl x =-，双曲线22123x y -=的两条渐近线方程为y =，可得,,22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AB p p ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭p =13答案及解析： 答案：4解析：将题目转化为点P 为直线:2l x =-上任意一点，过点P 作抛物线22(0)x py p =>的两条切线，切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，求12y y ⋅的问题.设点(,2)P t -，抛物线方程化为22x y p=，求导得x y p '=，则在点A 处的切线斜率为1x p ，切线方程为12()x y x t p +=-，将点211(,)2x A x p 代入，得21112()2x x x t p p +=-，化简得211202x tx p p --=.同理22202x tx p p-=，则12,x x 为方程2202x tx p p --=的两根，即124x x p =-，所以22212122216444x x p y y p p ===.14答案及解析： 答案：9π16解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且1F PQ △的周长是定值8，所以只需求1F PQ △面积的最大值. 设直线l 的方程为1x my =+，联立221431y x x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，得22(34690)m y my ++-=， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 则122634m y y m ++＝-，122934y y m +＝-， 于是1121212F PQS F F y y =⋅-==△设21m t +=，则1t ≥，即1F PQ S =△. 因为()19g t t t=+在[)1,+∞上为单调递增函数，所以()()110g t g ≥＝， 所以13F PQ S ≤△，所以内切圆半径12384F PQS r =≤△， 因此1F PQ △内切圆面积的最大值是9π16.15答案及解析：答案：（1）由题意知，设直线1l 的方程为2p y x =+. 由已知得圆()222:12C x y ++=的圆心2()10C -,，半径r Q 直线1l 与圆2C 相切，∴圆心2C 到直线1l 的距离d ===6p =或2p =- (舍去).6p ∴=.（2）由（1）知抛物线1C 的方程为212x y =， 所以设(),3M m -，212x y ∴=，6x y '=，设11()A x y ,，则以A 为切点的切线2l 的斜率16x k =. ∴切线2l 的方程为()11113y x x x y =-+.令0x =，又动点A 在1C 上，得切线2l 交y 轴的点B 的坐标为1(0)y -,. 11()3MA x m y ∴=-+uuu r ,，1()3MB m y =--+uuu r,，()12,6MN MA MB x m ∴=+=-uuu r uuu r uuu r，()1,3ON OM MN x m ∴=+=-uuu r uuu r uuu r.设点N 的坐标为()x y ,，则3y =， ∴点N 在定直线3y =上.。
专题05 解析几何解(综合提升篇)-2019年高考专题复习 Word版含解析
【背一背重点知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即(,)0Ax By CF x y++=⎧⎨=⎩消去y后得ax2＋bx＋c＝0．通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示．2（I）圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．（II）圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1－x2|·|y1－y2|．（抛物线的焦点弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝22sin pθ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 【讲一讲提高技能】1．利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．例1．【炎德英才大才大联考湖南师大2017届高三上学期第3次月考，20】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,0,10F F -，，点A 在椭圆C 上． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M N 、时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(Ⅰ)2212x y +=；(Ⅱ)点Q 不在椭圆上．【解析】(Ⅱ)椭圆C上不存在这样的点Q，证明如下：设直线l的方程为2=+，y x t2．利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)时，则|AB|＝·|x 1－x 2|＝|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．例2．【广西陆川县中学2017届高三上学期12月考，20】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆C 经过点1,A ⎛ ⎝⎭．直线:l y x m =+与椭圆C 交于不同的,A B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若AOB ∆的面积为1（O 为坐标原点），求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=；（2）2y x =±．【解析】试题分析：（I ）根据题意可以得到,,a b c 的方程组，解方程可以求出,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；（2）将直线y x m =+与椭圆联立得到2258440x mx m ++-=，设出()()1122,,,A x y B x y ，利用韦达定理表示弦长AB =d =，利用面积公式即可得到方程，解得m ．试题解析：（1）∵离心率2c e a ==，∴2234c a =，得224a b =，①∵椭圆C 经过点1,A ⎛ ⎝⎭，∴221314a b +=，② 联立①②，解得224,1a b ==∴椭圆C 的方程为2214x y +=．3．利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的．点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换．例3【山东省实验中学2017届高三第一次诊，20】已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点(1,0)F，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点(,0)T t，使得QP TP PQ TQ⋅=⋅？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y+=（2）1(0,)4t∈直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++ ， ……………9分 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++， ……………10分 因为2(0,)k ∈+∞， 所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈．……………12分 所以线段OF 上存在点(,0)T t 使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈．……………13分 【练一练提升能力】1．【重庆巴蜀中学2017届高三12月考，20】已知椭圆C ：22221(a b 0)x y a b+=>>的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交于椭圆M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．【答案】(I)22162x y +=；(II)2)y =-． 【解析】（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(x 2)y k =-，点11(x ,y )A ，22(x ,y )B ．33(x ,y )M ，33N(x ,y )--，由221,62(x 2),x y y k ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)x 121260k k x k +-+-=． 所以21221213k x x k +=+，因为121224(x 4)13ky y k x k -+=+-=+． 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k-++．因此直线OD 方程为30(k 0)x ky +=≠．考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．2．【重庆巴蜀中学2017届高三上学期期中，20】（本小题满分12分）已知椭圆222:1x E y a+=（常数1a >），过点(),0A a -且以t 为斜率的直线与椭圆E 交于点B ，直线BO 交椭圆E 于点C （O 坐标原点）．（1）求以t 为自变量，ABC ∆的面积()S t 的函数解析式；（2）若12,,12a t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求()S t 的最大值．【答案】（1）()()22220,11a tS t t a a t =>>+；（2）2．【解析】试题分析：（1）首先设出直线AB 的方程，然后联立椭圆的方程求得点B 的纵坐标，由此利用三角形的面积公式得到()S t 的函数解析式；（2）首先结合（1）得出当2a =时，()S t 的解析式，然后利用基本不等式求出最大值．试题解析：（1）设直线AB 的方程为：()y t x a =+，由()2221y t x a x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222120a t y aty +-=，∴0y =或2221at y a t =+，则点B 的纵坐标为2221B aty a t =+， ∴()()222220,11ABC AOBB a tS t S S OA y t a a t ∆∆====>>+ ．（2）当2a =时，()2881414t S t t t t==++，∵1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴144t t t t +≥=， 当且仅当114,t 2t t ==时，上式等号成立，∴()882144S t t t=≤=+，即()S t 的最大值()max 2S t =．3．【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，20】（本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率12e =，过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于,M N 两点，过点2F 且与l 垂直的直线与圆22:2150C x y x ++-=交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）⎡⎣（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设l 的方程()()()()11221,0,,,,y k x k M x y N x y =-≠，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，所以()212212143k MN x k +=-=+，过点()21,0F 且与l 垂直的直线()1:1m y x k=--，圆心()1,0C -到m，所以PQ ==． 故四边形MPNQ面积12S MN PQ ==可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(．当l 与x 轴垂直时，其方程为1,3,8x MN PQ ===，四边形MPNQ 面积为12，综上，四边形MPNQ面积的取值范围为⎡⎣．轨迹与轨迹方程【背一背重点知识】 1．曲线与方程的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x ，y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求轨迹方程的基本步骤：（1）建系设点：建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）列出关于动点的几何等量关系是：写出适合条件的p （M ）的集合P={M|p(M)}；（3）坐标化:用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x ，y)=0；（4）化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式；（5）检验：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，同时检验前后化简的等价性．3．求轨迹方程的基本方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法等． 【讲一讲提高技能】 1．直接法求轨迹方程当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程，称之直接法．例1．【湖北孝感2017届高三上学期第一次统考，20】（本小题满分12分）双曲线()222:103x y C a a +=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂直的直线交双曲线C 于A B 、两点，1F AB ∆的面积为12，抛物线()2:20E y px p =>以双曲线C 的右顶点为焦点． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）如图，点(),02P P t t ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上一点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线于点M ，连接PO 并延长交抛物线于点N ，求证：直线MN 过定点．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()1,0P t t -≠，则2,4t M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线PO 的方称为y tx =-，代入抛物线E 的方程有：244,N tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭当24t ≠时，22244444MNt t t k t t t +==--，∴直线MN 的方程为：22444t t y t x t ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，即()2414t y x t =--，∴此时直线MN 过定点()1,0，当24t =时，直线MN 的方称为：1x =，此时仍过点()1,0即证直线MN 过定点．【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现． 2．定义法求轨迹方程如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．例2．【河北石家庄2017届高三第一次质检，20】（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动直线l '垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l '于点P ，设点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）以曲线C 上的点()()000,0P x y y >为切点作曲线C 的切线1l ，设1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，且1l 恰与以定点()(),02M a a >为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求ABF ∆与PAM ∆面积的比．【答案】（1）24y x =；（2）14． 【解析】（2）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则 ．由，得，即由，得到．∴，……………………6分解法二：由，当时，，以为切点的切线的斜率为以为切点的切线为即，整理………………6分令则，令则，………………7分点到切线的距离(当且仅当时，取等号)． ∴ 当时，满足题意的圆的面积最小．………………9分∴，．，．……………11分∴．△与△面积之比为．………………12分3．相关点法求轨迹方程相关点法：用动点Q 的坐标x ，y 表示相关点P 的坐标x 0、y 0，然后代入点P 的坐标（x 0，y 0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法． 例3．【广东省惠州市2017届第二次调研考试数学（理）试题】（本小题满分12分） 已知点()1,0A ，点P 是圆C:()2218x y ++=上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线C P 交于点E ．（Ⅰ）求点E 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅱ）设()11,x y P ，()22Q ,x y ，则将直线与椭圆的方程联立得：2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，得：()222214220kx kmx m +++-=，0∆>，2221m k <+………①122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+…………………6分 原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部∴Q 0OP ⋅O <即12120x x y y +<……7分而()()2212122221m k y y kx m kx m k -=++=+∴2222222202121m m k k k --+<++……9分即22223k m +<∴223m <，且满足①式m 的取值范围是⎛ ⎝⎭…12分 4．交轨法求轨迹方程求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法．例4．【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）数学（理）试题】（本小题满分12分）以边长为4的等比三角形ABC 的顶点A 以及BC 边的中点D 为左、右焦点的椭圆过,B C 两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点D 且x 轴不垂直的直线l 交椭圆于,M N 两点，求证直线BM 与CN 的交点在一条直线上．【答案】（1）22196x y +=（2）x =（II ） ① 当MN 不与x 轴重合时，设MN的方程为x my =+B，2)C -联立椭圆与直线MN 2223180x y x my ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩消去x 可得22(23)120m y ++-=，即12223y y m -+=+，1221223y y m -=+ 设11(,)M x y ，22(,)N x y 则BM：2y x -=- ①5．参数法求轨迹方程当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一变数t 的关系，得(),(),x g t x t ϕ=⎧⎨=⎩再消去参变数t ，得到方程(,)0f x y =，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法．例 5．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．).44,4()2,2()(21222121kk k y y x x ++-=++=+=设点P 的坐标为),,(y x 则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y kk x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方 程为.0422=-+y y x 【练一练提升能力】1．【河北武邑中学2017届高三上学期第四次调研，21】已知椭圆2222:1x y C a b+=，()0a b >>的离⎛ ⎝⎭． (Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设与圆223:4O x y +=相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程．【答案】（1）2213x y +=；（2，此时直线方程1y =±．【解析】AB ===2=≤当且仅当2219kk=，即k=时等号成立11222OABS AB r∆∴=⨯≤⨯，OAB∴∆，此时直线方程1y x=±．2．【河南南阳一中2017届高三上学期第4次月考，20】如图，已知点A是离心率为2的椭圆C：22221(0)y xa ba b+=>>上的一点，的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．【答案】（1）22142y x+=；（2）证明见解析．【解析】。
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A级 1．(2017·湖北省七市(州)联考)双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b>0)的离心率为3，左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|＝2，则双曲线的方程为( )
A.x22－y2＝1 B．x2－y22＝1 C．x2－y23＝1 D．x23－y2＝1 解析： ∵∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，∴|PF1|＝|PQ|，而|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PQ|－|PF2|＝2a，即|F2Q|＝2＝2a，解得a＝1.又e＝ca＝3⇒c＝3⇒b2＝c2
－a2＝2，∴双曲线的方程为x2－y22＝1.故选B. 答案： B 2．(2017·云南省第一次统一检测)抛物线M的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，准线与曲线E：x2＋y2－6x＋4y－3＝0只有一个公共点，设A是抛物线M上一点，若
OA→·AF→＝－4，则点A的坐标是( ) A．(－1,2)或(－1，－2) B．(1,2)或(1，－2) C．(1,2) D．(1，－2)
解析： 设抛物线M的方程为y2＝2px(p>0)，则其准线方程为x＝－p2.曲线E的方程可
化为(x－3)2＋(y＋2)2＝16，则有3＋p2＝4，解得p＝2，所以抛物线M的方程为y2＝4x，F(1,0)．设Ay204，y0，则OA→＝y204，y0，AF→＝1－y204，－y0，所以OA→·AF→＝y2041－y204－y20＝－4，解得y0＝±2，所以x0＝1，所以点A的坐标为(1,2)或(1，－2)，故选B. 答案： B
3．(2017·成都市第二次诊断性检测)如图，抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|＝|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为点E，G，则|EG|的最小值为________． 解析： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则|EG|＝y4－y3＝12y2－2y1.因为
AB为抛物线y2＝4x的焦点弦，所以y1y2＝－4，所以|EG|＝12y2－2×－4y2＝12y2＋8y2
≥212y2×8y2＝4，当且仅当12y2＝8y2，即y2＝4时取等号，所以|EG|的最小值为4. 答案： 4 4．(2017·郑州市第二次质量预测)已知双曲线C2与椭圆C1：x24＋y23＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C2的离心率为________． 解析： 设双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由题意知a2＋b2＝4－3＝1，由
x24＋y23＝1
x2a2－y2b2＝1
，解得交点的坐标满足 x2＝4a2y2＝31－a2，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，
以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S＝4|xy|＝44a2·31－a2＝83·a2·1－a2≤83·a2＋1－a22＝43，当且仅当a2＝1－a2，即a2＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x212－y212＝1，离心率e＝2.
答案： 2 5．(2017·郑州市第二次质量预测)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切． (1)求圆心M的轨迹方程； (2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点． 解析： (1)由题意得，点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y＝－1的距离，由
抛物线的定义知圆心M的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p＝2. ∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y. (2)证明：设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则C(－x2，y2)，
联立得 x2＝4y，y＝kx－2⇒x2－4kx＋8＝0，∴ x1＋x2＝4k，x1x2＝8. kAC＝y1－y2x1＋x2＝x214－x224x1＋x2＝x1－x24，直线AC的方程为y－y1＝x1－x24(x－x1)． 即y＝y1＋x1－x24(x－x1)＝x1－x24x－x1x1－x24＋x214＝x1－x24x＋x1x24， ∵x1x2＝8，∴y＝x1－x24x＋x1x24＝x1－x24x＋2，即直线AC恒过点(0,2)． 6．(2017·惠州市第三次调研考试)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A1，22在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直
线y＝53上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM→＝NQ→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 解析： (1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
因为A1，22在椭圆C上，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝22， 因此a＝2，b2＝a2－c2＝1，故椭圆C的方程为x22＋y2＝1. (2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y＝2x＋t，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Px3，53，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，
由 y＝2x＋tx22＋y2＝1消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0， 所以y1＋y2＝2t9，且Δ＝4t2－36(t2－8)>0， 故y0＝y1＋y22＝t9，且－3由PM→＝NQ→得x1－x3，y1－53＝(x4－x2，y4－y2)， 所以有y1－53＝y4－y2，y4＝y1＋y2－53＝29t－53. (也可由PM→＝NQ→知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也
为线段PQ的中点，所以y0＝53＋y42＝t9，可得y4＝2t－159) 又－3与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线． B级 1．(2017·新疆第二次适应性检测)已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过
点P作l的垂线，垂足为点Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→. (1)求动点P的轨迹G的方程； (2)点F关于原点的对称点为M，过点F的直线与G交于A，B两点，且AB不垂直于x轴，直线AM交曲线G于点C，直线BM交曲线G于点D. ①证明直线AB与直线CD的倾斜角互补； ②直线CD是否经过定点？若经过定点，求出这个定点，否则，说明理由． 解析： (1)设点P(x，y)，则Q(－1，y)，
由F(1,0)及QP→·QF→＝FP→·FQ→，得 (x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)， 化简得y2＝4x，所以动点P的轨迹G的方程为y2＝4x. (2)由题易知点F关于原点的对称点为M(－1,0)， 设过点F的直线AB的方程为x＝ny＋1(n≠0)，
联立方程得 x＝ny＋1，y2＝4x消去x，得y2－4ny－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－4. 设直线AM的方程为x＝my－1，
联立方程得 x＝my－1，y2＝4x消去x，得y2－4my＋4＝0， 设C(x3，y3)，则y1y3＝4，即y3＝4y1， 易得Ay214，y1，C4y21，4y1，同理可得By224，y2，D4y22，4y2.
①∵kAB＝y1－y2y214－y224＝4y1＋y2，kCD＝4y1－4y24y21－4y22＝y1y2y1＋y2＝－4y1＋y2， ∴kAB＋kCD＝0， 设直线AB，CD的倾斜角分别为α，β，则tan α＝tan (π－β)，
又0∴α＝π－β，即α＋β＝π. ∴直线AB与直线CD的倾斜角互补． ②易知直线CD的方程y＝－4y1＋y2x－4y21＋4y1， 令y＝0，得x＝y1＋y2y1＋4y21＝y21＋y1y2＋4y21＝y21y21＝1， ∴直线CD过定点(1,0)． 2．(2017·东北四市高考模拟)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为22，P为椭圆C上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积恒为－12. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB
的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是－14，0，求|AB|的取值范围． 解析： (1)由已知得2a＝22，a＝2， 设点P(x0，y0)，x0≠±a且x0≠0，点A1为椭圆C的左顶点，
∵kOM＝kPA1，∴kPA2×kOM＝kPA2×kPA1＝y0x0－a×y0x0＋a＝y20x20－a2，
又P(x0，y0)在椭圆上，∴x20a2＋y20b2＝1， ∴kPA2×kOM＝－b2a2＝－12，∴b2a2＝12，∴b2＝1， ∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1.
(2)设直线l：y＝k(x＋1)，联立直线与椭圆方程，得 y＝kx＋1x22＋y2＝1， 消去y，得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－4k22k2＋1，x1x2＝2k2－22k2＋1 ∴y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝2k2k2＋1. 记AB的中点为Q，则Q－2k22k2＋1，k2k2＋1， ∴直线QN的方程为y－k2k2＋1＝－1kx＋2k22k2＋1＝－1kx－2k2k2＋1， ∴N－k22k2＋1，0，由已知得－14<－k22k2＋1<0，