2.2 有限长杆的热传导问题
热传导方程的热传导问题
热传导方程的热传导问题热传导问题是物理学中的一个基本问题。
在工程领域中，热传导是一个非常重要的现象，它在我们生活和工作的方方面面都起着至关重要的作用。
因此，了解热传导的基本原理以及相关的方程是非常有必要的。
热传导方程是描述热传导现象的基本方程。
它描述了材料内部热量的传递过程以及温度随时间的变化情况。
热传导方程最早由法国数学家及物理学家让·巴普蒂斯特·约瑟夫·福里埃提出，他是热力学和热传导学的奠基人之一。
热传导方程的一般形式为:$$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k\nabla T) + Q$$其中，$\rho$是物质密度，$c$是热容量，$k$是热导率，$T$是温度，$t$是时间，$Q$是热源项。
方程的左边表示物体内部的热量变化率，右边的第一项$\nabla \cdot (k\nabla T)$表示热量的传递过程，它的物理意义是热量从高温区域传递到低温区域。
右边的第二项$Q$表示内部热源项，比如热电效应、放热反应等。
热传导问题是指研究材料内部的温度分布以及热量传递的问题。
在实际应用中，我们经常需要求解热传导方程以得到温度分布和热量传递情况。
这种求解过程是热传导问题的关键，求解的方法可以归纳为以下两种：1. 解析方法解析方法主要是指根据不同的边界条件和初始条件，直接求解热传导方程的解析解。
这种方法的优点是比较简单，可以方便地得到解析解，且解析解具有一定的通用性。
例如，对于一个杆状物体，设其长度为$L$，初始温度分布为$T_0$，一端恒温为$T_1$，另一端绝热，即$t=0$时，$T(x,0)=T_0$，$T(0,t)=T_1$，$T(L,t)=T_0$。
则最终的温度分布为:$$T(x,t)=T_m + \sum_{n=1}^{\infty} 2T_0n \frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin\frac{n\pi x}{L}\exp\left(-\frac{k(n\pi/L)^2}{\rho c}t\right)$$其中，$T_m=(T_0+T_1)/2$为杆状物体的平均温度。
微分方程数值解实验二_热传导方程的有限差分数值模拟
微分方程数值解实验报告专业 信息与计算科学 班级 0703 姓名 老武 学号 2007060*** 协作队员 实验日期2010 年 10 月成绩评定 教师签名 批改日期 题目 热传导方程的有限差分数值模拟一、 问题提出一根长为L 的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。
其热传导系数为k ，比热为c ，线密度为ρ。
求细杆内温度变化的规律。
二、 模型建立设杆长方向为x 轴，考虑杆上从x 到x+△x 的一段。
其质量为△m=ρ△x ，热容量为c △m 。
设杆中的热流沿x 轴正向，热流强度为q(x,t)，热量为Q(x,t),温度分布为 u(x,t)。
△x 内细杆吸收热量的来源只有热传导(无热源)。
由热传导的Fourier 定律,有),(),(t x ku t x q x -= (1)由能量守恒定律，在△t 内细杆[x,x+ △x]上的能量有Q u m c ∆=∆∆即t t x x q t x q u x c ∆∆+-=∆∆)],(),([ρ于是有),(),(t x q t x u c x t -=ρ (2)结合(1)和(2)得xx t u a u 2= (3)其中 ρc k a /2=三、 求解方法使用古典显格式：)2(111n m n m n m n m n m U U U U U -+++-+=τ其中 22/h k a =τ (k 和h 分别为时间与空间方向的步长，取k=0.005，h=0.1使得2/1/2≤h k )取 12=a L=1，细杆各处的初始温度为 )sin(x π，两端截面上的温度为0。
Matlab 程序如下：%古典显格式clc;x0=0:0.1:1t=0:0.005:0.1;n=length(t)Un=sin(pi*x0)for i=1:nun=[];u=[];for r=1:11u1=exp(-pi^2*t(i))*sin(pi*x0(r));u=[u u1];endufor j=2:10Un1=Un(j)+0.5*(Un(j+1)-2*Un(j)+Un(j-1));un=[un Un1];endun=[0 un 0]e=abs(u-Un)Un=un;End四、 输出结果表一：数值模拟结果 n m U n t m x 0 0.005 0.010 0.015 0.020 … 0.995 (1e-004) 1.000(1e-004) 0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 0.0000 0.3090 0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0.9511 0.8090 0.5878 0.3090 0.0000 0.0000 0.2939 0.5590 0.7694 0.9045 0.9511 0.9045 0.7694 0.5590 0.2939 0.0000 0.0000 0.2795 0.5317 0.7318 0.8602 0.9045 0.8602 0.7318 0.5317 0.2795 0.0000 0.0000 0.2658 0.5056 0.6959 0.8181 0.8602 0.8181 0.6959 0.5056 0.2658 0.0000 0.0000 0.2528 0.4809 0.6619 0.7781 0.8181 0.7781 0.6619 0.4809 0.2528 0.0000 … … … … … … … … … … … 0.0000 0.1422 0.2706 0.3724 0.4378 0.4603 0.4378 0.3724 0.2706 0.1422 0.00000.0000 0.1353 0.2573 0.3542 0.4164 0.4378 0.4164 0.3542 0.2573 0.1353 0.0000表二：真实值 n m U _n t m x 00.005 0.010 0.015 0.020 … 0.995 (1e-004) 1.000 (1e-004) 0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 0.0000 0.3090 0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0.9511 0.8090 0.5878 0.3090 0.0000 0.0000 0.2941 0.5595 0.7701 0.9053 0.9518 0.9053 0.7701 0.5595 0.2941 0.0000 0.0000 0.2800 0.5325 0.7330 0.8617 0.9060 0.8617 0.7330 0.5325 0.2800 0.0000 0.0000 0.2665 0.5069 0.6977 0.8202 0.8624 0.8202 0.6977 0.5069 0.2665 0.0000 0.0000 0.2537 0.4825 0.6641 0.7807 0.8209 0.7807 0.6641 0.4825 0.2537 0.0000 … … … … … … … … … … … 0.0000 0.1679 0.3194 0.4396 0.5168 0.5434 0.5168 0.4396 0.3194 0.1679 0.00000.0000 0.1598 0.3040 0.4184 0.4919 0.5172 0.4919 0.4184 0.3040 0.1598 0.0000误差1e = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02e ＝1.0e-003 *0 0.2451 0.4663 0.6418 0.7545 0.7933 0.7545 0.6418 0.4663 0.2451 0.00003e ＝ 0 0.0005 0.0009 0.0012 0.0014 0.00150.0014 0.0012 0.0009 0.0005 0.0000e＝0 0.0007 0.0013 0.0017 0.0020 0.0022 40.0020 0.0017 0.0013 0.0007 0.0000e＝0 0.0008 0.0016 0.0022 0.0026 0.0027 50.0026 0.0022 0.0016 0.0008 0.0000……….e＝1.0e-005 *2000 0.2567 0.4883 0.6721 0.7901 0.83080.7901 0.6721 0.4883 0.2567 0.0000e＝1.0e-005 *2010 0.2455 0.4670 0.6427 0.7555 0.79440.7555 0.6427 0.4670 0.2455 0.0000五、结果分析在同一个时间下，细杆内的温度分布为：细杆内中间的温度最高，往两边逐渐下降到0，并且温度值关于x=0.5这条直线对称。
热传导方程的混合问题PPT课件
2
(
n l
a
l
(2.23)
M
n
l
b
2
e(
n a l
)2
t0
)2 t0收敛,所以级数(2.22)和
n1
(2.23)在区域 0 x lt 0内闭一致收敛且绝对收敛. 从而级数(2.21)
是逐项可微的.由(2.22)和(2.23)立即得到 ut a2uxx 0 其次证明由(2.21)所确定的函数 u(xt)满足定解条件.关于初始条件,
《偏微分方程教程》 第五章 抛物型方程
1
§2 热传导方程的混合问题
【知识点提示】 半直线上的热传导方程，有限区间上的热传导方程， 热的反射，分离变量法。
【重、难点提示】 求解齐次和非齐次热传导方程的混合问题。
【教学. 目的】 熟练地掌握热的反射求解半直线上的热传导方程， 分离变量法求解有限区间上的热传导方程。
uut(
a2uxx
x 0) (
0 x)
ux (0t) 0
0 x t 0 0 x t 0
与引理5.3相对应,我们有如下结果.
(2.4) (2.5)
5
引理5.4 对Cauchy问题(1.1),(1.2),若初始数据 (x)的偶函数,即 (x x0) (x0 x) 则Cauchy问题(1.1),(1.2)的解对任意的时间 t 在点 (x0t) 处有ux (x0t) 0
在定理的假设下
( x)
n1
Ansin
n
l
x
0 xl
是一致且绝对收敛的.根据阿贝尔(Abel)判别法, 这个级数的项
与单调下降且一致有界的序列
e
(
n l
a
)2
有限元习题及答案
有限元习题及答案有限元习题及答案有限元方法是一种常用的数值计算方法，用于求解各种工程和科学问题。
在学习有限元方法的过程中，练习习题是非常重要的，可以帮助学生巩固所学的知识，并提高解决实际问题的能力。
本文将介绍一些有限元习题及其答案，希望对学习有限元方法的同学有所帮助。
习题一：一维热传导问题考虑一个长度为L的一维杆，其两端固定，杆上的温度满足以下热传导方程：∂²T/∂x² = 0，其中T为温度，x为位置。
已知杆的两端温度分别为T1和T2，求解杆上的温度分布。
解答一：根据热传导方程，可以得到温度分布的一般解为T(x) = Ax + B，其中A和B为常数。
根据边界条件，可以得到方程组：T(0) = B = T1T(L) = AL + B = T2解方程组可得A = (T2 - T1) / L，B = T1。
因此，温度分布为T(x) = ((T2 - T1) / L) * x + T1。
习题二：二维弹性问题考虑一个矩形薄板，其长为L，宽为W，材料的弹性模量为E，泊松比为ν。
已知薄板的边界上施加了一定的边界条件，求解薄板上的位移场。
解答二：对于二维弹性问题，可以使用平面应力假设，即假设薄板内部的应力只有两个分量σx和σy，并且与z轴无关。
根据平面应力假设和胡克定律，可以得到位移场的偏微分方程：∂²u/∂x² + ν * (∂²u/∂y²) + (1 - ν) * (∂²v/∂x∂y) = 0∂²v/∂y² + ν * (∂²v/∂x²) + (1 - ν) * (∂²u/∂x∂y) = 0其中u和v分别为位移场在x和y方向上的分量。
边界条件根据具体情况给定。
通过数值方法，如有限元方法，可以求解位移场的近似解。
习题三：三维流体力学问题考虑一个三维流体力学问题，流体在一个封闭容器内流动，容器的形状为一个长方体，已知流体的速度场和压力场的初始条件，求解流体的运动状态。
热传导的数学模型与应用
热传导的数学模型与应用热传导是研究热传输过程的一种方法，它基于物质的热运动，描述了热能在空间中沿着温度梯度传导的过程。
在现实世界中，热传导的应用广泛，例如工程传热、地质传热等。
本文将介绍热传导的数学研究领域及其在应用中的一些方法和技术。
一、一维热传导的数学模型考虑一根长为L的均匀导热杆，其温度分布随时间的变化可以描述为以下偏微分方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，u表示温度，k是杆的热导率。
这个方程是著名的热传导方程，它描述了热传导现象的基本规律。
对于一维的情况，我们可以设计一些边界条件来求解这个方程。
例如，假设杆的两端分别接触两个热库，温度分别为$u_0$和$u_L$，则可以给出如下的边界条件：$$u(0,t)=u_0,\quad u(L,t)=u_L$$此外，还需确定初始条件，即$t=0$时的温度分布：$$u(x,0)=f(x)$$为了求解这个问题，我们可以采用变量分离法或者傅里叶变换等数学工具求解上述偏微分方程，进而得到温度分布随时间的变化规律。
这个问题在工程中有很多应用，例如热传导计算、材料热处理等。
二、二维热传导的数学模型对于二维的情况，即热传导在一个平面上进行时，我们需要引入两个空间变量$x,y$，此时热传导方程变为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\left(\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$同样地，我们还需要给出边界条件和初始条件。
例如，假设平面上存在一个温度分布为$u(x,y,0)=f(x,y)$的初始温度分布，则边界条件可以取如下形式：$$u(x,0,t)=u(x,L,t)=u(0,y,t)=u(W,y,t)=0$$其中，L和W分别表示平面的长度和宽度。
数学物理方程课后参考答案第二章
第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xuk t s x u k t s x u k dQ x x x x ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l kxu k t u c --∂∂=∂∂ρ或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
第六章热传导方程
2. 差分解 uin 1 uin / t a 2 uin1 - 2uin uin1 / x 2 n 1 n 1 u u 0; 0 I 0 ui x L / 2 1 / 2;
%ex5021; (p142) % 一维有限长细杆热传导的差分解； clear; N=100; II=50; a=10; L=10; dx=L/II; dt=1*10^-4; C=a^2*dt/dx^2; x=dx*(0:II); T=dt*(0:N); I=2:II; u=zeros(N+1,II+1); u(1,:)=abs(x-L/2)<1/2; %初始温度 figure(1); h=plot(x,u(1,:),'linewidth',5);set(h,'erasemode','xor'); for n=1:N; u(n+1,1)=0; u(n+1,II+1)=0; u(n+1,I)=u(n,I)+C*(u(n,I+1)-2*u(n,I)+u(n,I-1)); set(h,'ydata',u(n+1,:));drawnow; pause(0.001); end; figure(2); mesh(x,T(1:5:N+1)',u(1:5:N+1,:));
%ex504; (p145) % 非奇次方程的输运问题的差分解； clear; N=500; K=100; L=1; a2=50; b=5; dx=L/K; dt=10^-6; C=a2*dt/dx^2; B=b*dt/dx/2; x=dx*(0:K); T=dt*(0:N); J=2:K; u=zeros(N+1,K+1); u(1,:)=(x-1/2).^2; %初始温度 figure(1); =plot(x,u(1,:),'linewidth',5);set(h,'erasemode','xor'); for n=1:N; u(n, 1)=0; u(n,K+1)=0; %边界条件 u(n+1,J)=u(n,J) +C*(u(n,J+1)+u(n,J-1)- 2*u(n,J))… -B*(u(n,J+1)-u(n,J-1)); set(h,'ydata',u(n+1,:)); drawnow; pause(0.01); end; figure(1); mesh(x,T(1:10:N+1)',u(1:10:N+1,:)); figure(2); subplot(2,1,1); plot(x,u(1,:)'); title('初始分布(t=0)'); subplot(2,1,2); plot(x,u(N+1,:)');title('末分布');
有限元第12章 热传导问题
第12章热传导问题1. 引言2. 稳态热传导问题33. 瞬态热传导问题一般格式直接积分法模态叠加法解的稳定性与时间步长选择44. 热应力的计算1.1 典型加工方法中的传热问题焊接汽车各个典型部件的加工方法注塑冲压铸造1.1典型加工方法中的传热问题焊接注塑铸造锻压1.1 典型加工方法中的传热问题注塑1.1 典型加工方法中的传热问题焊接1.1 典型加工方法中的传热问题铸造1.1 典型加工方法中的传热问题锻压冷冲热冲1.1 典型加工方法中的传热问题⏹传热问题广泛出现在材料加工领域⏹温度场与宏观力学性能和微观组织变化关系密切1.2 温度场基本方程微分方程边界条件初始条件1.2 温度场基本方程退化为二维问题1.2 温度场基本方程退化为稳态问题稳态热传导问题以前各章所讨论的弹性静力学问题相同，采用C0型插值函数的有限单元进行离散以后，可以直接得到有限元求解方程。
瞬态热传导问题，在空间域有限元离散后，得到的是一阶常微分方程组，不能对它直接求解。
如何进行求解，原则上和下—章将讨论的动力学问题类同，可以采用模态叠加法或直接积分法。
热能传递的三种基本方式：1.2 温度场基本方程热能传递的三种基本方式：热对流：是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷、热流体相互掺混所导致的热量传递过程。
热对流仅能发生在流体中。
包括自然对流与强制对流，前者是由于流体冷、热各部分的密度不同而引起的；括自然对流与强制对流前者是于流体冷热各部分的密度不同而引起的；后者是由于水泵、风机或其他压差作用所造成的。
Th q ∆=牛顿冷却公式为表面换热系数，不仅取决于流体物性，以及表面形状等，还与流体速度有密切关系。
h1.2 温度场基本方程1.2 温度场基本方程热能传递的三种基本方式：热辐射：物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。
物体会因各种原因发出辐射能，其中因热的原因而发出辐射能的现象称为热辐射。
Stefan-Boltzmann定理其中为热力学温度（K），为环境温度，为Stefan-Boltzmann常量i i it)理想黑体其值等于般量。
数理方程参考答案4第四章 积分变换法
若 在 点连续，则
1
定义
设函数 f ( x) 在 (−∞, +∞) 上的任意有限区间上满足狄利克雷条件，在 (−∞, +∞) 上绝
对可积，则称广义积分
为
的傅里叶变换，或者称为 定义 称
的像函数。通常记为
，或
。
为
的傅里叶逆变换，或者称为 傅里叶变换及其逆变换的基本性质
的像原函数。记为
.
性质 1（线性性质） 傅里叶变换及其逆变换都是线性变换，即
其中 ， 是任意常数。 性质 2（相似性质） 对于任意实常数 ，有 . 性质 3（位移性质）对于任意实常数 ，有 , 性质 4（微分性质）设 ， 的傅里叶变换存在，则 . 一般地，若 , ,…, 的傅里叶变换存在，则 . 性质 5（乘多项式性质）设 的傅里叶变换存在，则
2
.
. 性质 6 (积分性质) . 性质 7 (对称性质) . 定义 于所有的 设函数 和 是 上定义的函数。 如果广义积分 对
2 ∂ 2u 2 ∂ u a − = 0 (−∞ < x < +∞, t > 0), ∂t 2 ∂x 2 ∂u u| ψ ( x). ( x), = = t =0 ϕ ∂t t =0
的解为
二维拉普拉斯方程的边值问题
∂ 2u ∂ 2u = 0 ( −∞ < x < +∞, y > 0), ∂x 2 + ∂ y2 u | = f ( x ), x =0 u = 0. |xlim |→+∞ 的解为
2
s2
例3 解
求函数 F ( p ) = 因为
p 的拉普拉斯逆变换 p − 2 p +5
热传导方程
解析解 程序ex502
D=k*pi/L; E=b/(2*a2); w=(x-L/2).^2.*exp(-E*x).*sin(D*x); An=2/L*trapz(w)*dx; u=u+An*exp(-(D^2*a2-E^2)*T+E*X).*sin(D*X); end; figure(1); mesh(x,t,u); figure(2); subplot(2,1,1); plot(X,u(1,:),'r'); title('初始分布 t=0');
subplot(2,1,2); plot(X,u(41,:),'b');title('末分布
2 差分解法 从而得到：
%ex504; (p145) % 非奇次方程的输运问题的差分解； clear; N=500; K=100; L=1; a2=50; b=5; dx=L/K; dt=10^-6; C=a2*dt/dx^2; B=b*dt/dx/2; x=dx*(0:K); T=dt*(0:N); J=2:K; u=zeros(N+1,K+1); u(1,:)=(x-1/2).^2; %初始温度 figure(1); =plot(x,u(1,:),'linewidth',5);set(h,'erasemode','xor'); for n=1:N; u(n, 1)=0; u(n,K+1)=0; %边界条件