全等三角形中辅助线的添加

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全等三角形培优专题之常见辅助线的作法

全等三角形培优专题之常见辅助线的作法证明三角形全等是初中几何的基础和重点，也是中考必考知识点之一。

小伙伴们一定要认真学习并要全面掌握三角形全等的证明！但在证明三角形全等时很多时候需添加辅助线，对学习几何证明不久的小伙伴们而言往往是难点。

下面介绍证明三角形全等时常用的辅助线作法，供小伙伴们学习时参考。

辅助线作法一：中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．【模型举例】【学力训练】1、如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，BE与AD交于点F，若AE＝EF，求证：AC＝BF.2、如图所示，△ABC（AB≠AC）中，点D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC.求证：AE平分∠BAC.3、如图，△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证：BE＋CF＞EF．辅助线作法二：截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．【模型举例】【学力训练】1、如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC、∠BCA的平分线AD、CE交于点O，猜想OE与OD的大小关系和AC与AE、CD的关系，并说出你的理由．2、如图所示，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB．求证：AC＋CD＝AB．3、如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于点F．求证：AE＝BE＋DF．辅助线作法三：利用角的平分线对称构造全等当题目中涉及角平分线时，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法．【模型举例】【学力训练】1、如图所示，AD平分∠BAC，AB＞AC，BD＝CD．求证：∠B＋∠C＝180°．2、如图，已知BM，CN是△ABC的两条角平分线，相交于点P．求证：P点也在∠BAC的角平分线上．3、如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC于G且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC的延长线于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝a，AC＝b，求AE、BE的长．辅助线作法四：作平行线当三角形问题中有相等的角（特别是有角平分线时）或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件．【模型举例】【学力训练】1、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，在AB上截取BD，在AC的延长线上截取CE，且使CE＝BD，连接DE交BC于F，求证：DF＝EF．2、如图，已知在△ABC内，∠BAC＝60°，∠C＝40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．。

全等三角形证明中辅助线的作用和作法

Ｂ：２Ｃ．
．
．
ＡＥＡＡＦＢＭＡ．
・
解题研究・
求证：Ｂ＋Ｄ＝ＣＡＢＡ．
中。＿－（１－１初版７Ｉ７２１￥１ｊ幺０期・中）ｑ
。．
’
ＡＣ＝Ａ＝ＢＥ．ＢＡＣＢ＝ＡＢＣ
‘
．
．
‘ ．．
ＦＢ＝ＥＢ．ＦＢＣ＝ＥＢＣ
求证：Ｅ＝ＡＡ
图４图５图６
分析
线段Ｄ所在的两个三角形明显不全Ｅ，
等，因而需添加辅助线改变他们其中之一所在的三角形
的形状．以考虑① 过Ｄ作Ｄ ∥Ａ所ＧＣ交ＢＣ于Ｇ（图如
５；过Ｅ作Ｅ ∥Ａ）② ＧＢ交ＢＣ的延长线于Ｇ如图６。（）
１８
中。截・（１年１初版７７２１第１期・中）０
・解题研究．
全等三角形证明中辅助线的作用和作法
４０３武汉市华中科技大学同济附中王凯旋３００
在全等三角形的证明中，要求存在两个形状相同、大小相同的三角形；应该如何添加辅助线？且这些辅助线有什么作用？笔者经过研究全等三角形的证明，发现辅助线的作用主要体现在以下三个方面，现与大家共同
变所证线段之一的长短，而构造全等三角形，从完成问题的解决．
‘
．
Ｅ：
，
Ｅ＝Ｆ，
在ＡＢＥＡ和ＡＦＡ中ＪＡ＝Ｍ／ＢＥ
Ｆ，
【：．ＡＡＢＭ

初二数学上册三角形全等辅助线添加6道真题

初二数学上册三角形全等辅助线添加6道真题三角形全等性质，怎么证明三角形全等？是初中数学里的一个基础常用知识点，重点，也是一个难点。

在后面的几何学习中，经常需要用到三角形全等的知识来解决问题。

所以，熟练掌握三角形全等的性质和判定定理，显得尤为重要。

直接根据条件和图形，可以证明两个三角形全等的题型，估计大多数同学都能做出来。

但是有些题目和图形，需要添加辅助线，很多同学就显得有些艰难。

证明三角形全等，怎么添加辅助线？这6道真题解析抓紧掌握！这6道题，题目不难，但是包括了几种常用的添加辅助线的类型和方法，同学们举一反三，多思考多总结。

第1题，连接AC和AD，构造两个全等三角形，对应边相等得到一个等腰三角形。

根据等腰三角形的三线合一的性质，证明出结论。

第2题，等腰直角三角形，斜边上的中点，一般连接斜边的中线，得到三条边相等，得几个45°角相等。

这是这一类题型的辅助线添加的方法。

第3题，这个辅助线的作法和倍长法有点类似，但若只是倍长，就找不到角相等。

那么做平行线，就有内错角相等，再根据题意的其他条件，得出两个三角形全等。

第4题，要求证明BD平分∠ABC，第一想到的是角平分线的性质的逆定理。

过点D做角两边的垂线，构造两个三角形全等，得到点到角两边的距离相等。

如果这道题，要求大家换一个思路添加辅助线，同学们认真思考一下，看要怎么证明？比如在NC上截取NE=BM。

第5题，这类证明一条线段等于几条线段之和的题型，就是想办法添加辅助线，进行相等的线段进行代换，把几条线段放到一条线段上。

那么线段相等，一般就是需要构造三角形全等。

第6题，就是我们最常见的倍长中线法，构造三角形全等。

这个倍长中线的辅助线添加方法，在很多的题型中，都用得到。

对于很多学生来说，数学成绩一直是困扰他们的最大难题。

其中，几何、代数的出现，更是难上加难。

尤其是几何这块，可以说是很多学生永远都迈不过去的槛。

事实上，初中数学知识点虽然很多，但都比较简单。

全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用D C BAED F CB A的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

全等三角形(常见辅助线)

连结AD
A
构造全等三角形
BCBiblioteka MNDⅠ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，
OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
Ⅳ.中线延长一倍
1.AD是△ABC的中线求，证：AD 1 ( AB AC) 2
延长AD到点E，使DE=AE，
A
连结CE.
C B
D
E
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
2.如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
延长BE和CD交于点F
AM+AN+MN+6
B
C
13+6
C
D
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD 构造两个等腰三角形
Ⅰ.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
Ⅰ.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
1
2
若A A =6cm,求△ABC的周长.
12
AB+AC+BC
A1
M
A1 B+ A2 C+BC

添加辅助线构造全等三角形证题

证明：延长ＡＢ到点Ｅ，使ＢＥ：ＢＤ，连接ＥＤ．
因为ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ（已知），
（等量代换）．图所以ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ：ＡＣ＋ＤＣ
七、作平行线构造全等三角形
例题：如图８所示，在ＡＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｅ在ＡＣ的．
（ＳＡＳ），从而ＡＢ＝ＣＥ，使要证明的问题转化为 △ＡＣＥ的三边关
系．
四、延长特殊线段构造全等三角形例如：图４，ＡＤ是
ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＣ．
ｃ的平分线，厶日＝２Ｃ，求证：
证明：延长中线ＡＤ到ＤＥ，使ＤＥ＝ＡＤ并连接ＣＥ，则Ｅ＝
ＤＣ＝０Ｃ
ＣＤ＝ＣＤ
所以ＡＢＡＤＡＤＣ８
所以Ａ＝Ｃ（全等三角形的对应角相等）二、延长中线构造全等三角形例如：已知如图２，ＡＡＢＣ中，Ｄ是中线，求证：ＡＢ＋
ＡＣ＞２，４Ｄ．
所以 △ＣＯＤＡＣ０Ｄ（ＳＳＳ）
图２
所以２Ｅ＝２Ｃ（等量代换）
所以Ｅ＝ｅ
曰
ＤＣ
所以ＡＢ＝ＣＥ（全等三角形的对应边相等）在△ＡＣＥ中，ＣＥ＋ＡＣ＞ＡＥ（三角形两边之和大于第三边）所以ＡＢ＋ＡＣ＞ＰＡＤ（等量代换）三、连接图形中的特殊点构造全等三角形
一
、
连接特殊图形的对角线构造全等三角形
例如：已知如图１，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＢ，求证：Ａ＝ｅ

全等三角形中做辅助线的技巧

做三角形辅助线图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.由角平分线想到的辅助线：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1．如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,C D=BC 。

求证：∠ADC+∠B=180图1-1O ABD EFC图1-2ADBCEF图2-1ABCDEF（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

专题训练(五) 证明三角形全等四种添加辅助线的方法-教育文档

专题训练(五)证明三角形全等四种添加辅助线的方法►方法一直接连线构造全等三角形1．如图5－ZT－1所示，AB＝AD，BC＝DC.求证：∠ABC＝∠ADC.图5－ZT－12．如图5－ZT－2，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，AF⊥CD.求证：F是CD 的中点．图5－ZT－23．如图5－ZT－3，AC，BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝DB.求证：∠ABO＝∠DCO.图5－ZT－3►方法二倍长中线构造全等三角形4．如图5－ZT－4，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝4，AC＝8，求中线AD的取值范围．图5－ZT－45．如图5－ZT－5，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.(提示：等腰三角形的两底角相等)图5－ZT－5►方法三作垂直构造全等三角形6．如图5－ZT－6，四边形ABCD中，BC＜BA，AD＝CD，BD平分∠ABC.求证：∠A ＋∠C＝180°.图5－ZT－67．如图5－ZT－7，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM 上移动，两直角边与OA，OB分别交于点C，D，PC与PD相等吗？试说明理由．图5－ZT－7►方法四翻折构造全等三角形8．如图5－ZT－8所示，BE平分∠ABC，E为AD的中点，且BC＝BA＋CD.求证：CE平分∠BCD.图5－ZT －89．2019·南京二模命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)．已知：如图5－ZT －9，△ABC 中，∠B ＝∠C.求证：AB ＝AC.三名同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC 的平分线AD ，可证△ABD ≌△ACD ，得AB ＝AC ；小亮的方法：作BC 边上的高AD ，可证△ABD ≌△ACD ，得AB ＝AC ；小莉的方法：作BC 边上的中线AD.(1)请你写出小刚与小亮的方法中△ABD ≌△ACD 的理由：________________；(2)请你按照小莉的思路完成命题的证明．图5－ZT －9详解详析1．证明：连接AC ，在△ABC 与△ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC ，(SSS )∴∠ABC ＝∠ADC .2．证明：如图，连接AC ，AD .在△ABC 和△AED 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED ，(SAS )∴AC ＝AD .∵AF ⊥AD ，∴∠AFC ＝∠AFD ＝90°.在Rt △ACF 和Rt △ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，AF ＝AF ， ∴Rt △ACF ≌Rt △ADF ，(HL )∴CF ＝DF ，∴F 是CD 的中点．3．证明：连接BC .在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB ，(SSS )∴∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝∠DBC ，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DCB －∠ACB ，即∠ABO ＝∠DCO .4．[解析] 通过作辅助线，把AB ，AD ，AC 转化到同一个三角形中，如图，证△ADB ≌△EDC ，推出EC ＝AB ，在△ACE 中，利用三角形的三边关系求解．解：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE .∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD .在△ADB 和△EDC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△EDC ，(SAS )∴EC ＝AB ＝4，∴AC －EC ＝AC －AB ＝8－4＝4，AC ＋EC ＝AC ＋AB ＝12.在△ACE 中，根据三角形的三边关系，得4<AE <12.∵AE ＝2AD ，∴2<AD <6.5．证明：延长CE 到点F ，使EF ＝CE ，连接FB .∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝EB .在△AEC 和△BEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EB ，∠AEC ＝∠BEF ，CE ＝EF ，∴△AEC ≌△BEF ，(SAS )∴∠A ＝∠EBF ，AC ＝BF .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF .∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD ，又∵AB ＝AC ，AC ＝BF ，∴BF ＝BD .在△CBF 和△CBD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BD ，∠CBF ＝∠CBD ，CB ＝CB ，∴△CBF ≌△CBD ，(SAS )∴CD ＝CF ＝CE ＋EF ＝2CE .6．证明：如图，过点D 作DE ⊥BA 于点E ，DF ⊥BC 交BC 的延长线与点F . ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠DBF .∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠BED ＝∠BFD ＝90°.在△DBE 和Rt △DBF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BED ＝∠BFD ，∠DBE ＝∠DBF ，BD ＝BD ，∴△DBE ≌△DBF ，(AAS )∴DE ＝DF .在Rt △DEA 和Rt △DFC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △DEA ≌Rt △DFC ，(HL )∴∠A ＝∠DCF .∵∠BCD ＋∠DCF ＝180°，∴∠A ＋∠BCD ＝180°.7．解：PC 与PD 相等．理由如下：过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F .∵OM 平分∠AOB ，∴∠POE ＝∠POF .在△OPE 与△OPF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠OEP ＝∠OFP ，∠POE ＝∠POF ，OP ＝OP ，∴△OPE ≌△OPF ，(AAS )∴PE ＝PF .∵∠AOB ＝90°，∠PEO ＝∠PFO ＝90°，∴∠EPF ＝90°，∴∠EPC ＋∠CPF ＝90°.又∵∠CPD ＝90°，∴∠CPF ＋∠FPD ＝90°，∴∠EPC ＝∠FPD ＝90°－∠CPF .在△PCE 与△PDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠PEC ＝∠PFD ，PE ＝PF ，∠EPC ＝∠FPD ，∴△PCE ≌△PDF ，(ASA )∴PC ＝PD .8．[解析] 在BC 上截取BF ＝BA .根据SAS 证明△BAE ≌△BFE ，再证明△CEF ≌△CED 即可．证明：如图，在BC 上截取BF ＝BA ，连接EF .∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠FBE .在△BAE 和△BFE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BF ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△BAE ≌△BFE ，(SAS )∴AE ＝FE .∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE ＝FE .又∵BC ＝BA ＋CD ，BA ＝BF ，∴CD ＝CF .在△CED 和△CEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CF ，DE ＝FE ，CE ＝CE ，∴△CED ≌△CEF ，(SSS )∴∠FCE ＝∠DCE ，即CE 平分∠BCD .9．解：(1)AAS(2)证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F . ∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD .在△BDE 和△CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BED ＝∠CFD ＝90°，∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△BDE ≌△CDF ，(AAS )∴BE ＝CF ，DE ＝DF .在Rt △AED 和Rt △AFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt△AED≌Rt△AFD，(HL)∴AE＝AF，∴AE＋BE＝AF＋CF，即AB＝AC.。

全等三角形培优专题训练如何添加辅助线

全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：①线段和角的等量关系②线段和角的和差倍分关系③直线与直线的平行或垂直等位置关系 5、如图，已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB.试判断AP 与AQ 的关系，并证明.6、如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD ，求证：BE ⊥AC7、如图,在△ABC 中,AB ＝AC,AD ＝AE,∠BAC ＝∠DAC ＝90°. ⑴当点D 在AC 上时,如图①,线段BD,CE 有怎样的数量和位置关系?证明你猜想的结论.⑵将图①中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α角(0°＜α＜90°) ，如图②，线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系？问明理由.B②B辅助线作法之连接法在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.1、如图，△ABC 的两条高BD ，CE 相交于点P ，且PD ＝PE. 证明∶AC ＝AB2、如图，AB 交CD 于点O ，AD 、CB 的延长线相交于点E ，且OA ＝OC ，EA ＝EC.∠A ＝∠C 吗？点O 在∠AEC 的平分线上吗？辅助线作法之倍长中线法在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.1、△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，求中线AD 的取值范围.2、在△ABC 中，D 是边BC 上的一点，且CD ＝AB ，∠BAD ＝∠BDA ，AE 是△ABD 的中线. 求证∶AC ＝2AEAEBB辅助线作法之截长补短法截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条相等.补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等.1、已知AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上.求证：AB＝AC＋BD2、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝½（AB＋AD）.求证∶∠B＋∠D＝180°辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形1、如图，在△ABC中，AC＝½AB，AD平分∠BAC，且AD＝BD求证：CD⊥AC练习题1、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证:AM平分∠DABBAB2、如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC,BE 平分∠ABC,CE ⊥BE.求证:CE ＝12 BD3、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ＝CD求证：∠B ＝∠C4、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB ＝10cm ，则△DBE 的周长是多少？5、AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为多少？B。

完整版)全等三角形常用辅助线做法

完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。

下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。

一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。

具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。

要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。

具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。

由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。

显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。

在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。

另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

要证明CD=AD+BC。

因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。

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实用标准文档文案大全全等三角形中辅助线的添加一.教学容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二．知识要点： 1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接……；（2）作平行线：过点……作……∥……；（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；（4）作中线：取……中点……，连接……；（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。（6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型：

（1）

△ABC中AD是BC边中线

EDA

方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE 实用标准文档文案大全 FEDCB

方式2：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE NDCB

方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD

（2）

由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出 BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD （3）角分线，分两边，对称全等要记全角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）

（4） ①旋转：实用标准文档文案大全

方法：延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ）

结论：①MN=BM+DN ②ABCCMN2 ③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM ②翻折：

思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.（∠B+∠D=0180且AB=AD）（5）手拉手模型 ①△ABE和△ACF均为等边三角形

结论：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA平分∠EOF 拓展：实用标准文档

文案大全

条件：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）、AD=BE （2）、∠ACB=∠AOB （3）、△PCQ为等边三角形（4）、PQ∥AE （5）、AP=BQ （6）、CO平分∠AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （（7），（8）需构造等边三角形证明）

②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形

结论：（1）、BE=CD （2）BE⊥CD ③ABEF和ACHD均为正方形

结论：（1）、BD⊥CF （2）、BD=CF 变形一：ABEF和ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，

求证：①T为FD的中点. ②.ADFABCSS 方法一：

方法二：实用标准文档文案大全

方法三：

变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：AN⊥BC

④当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=n360180.

PFEDIHGBCA 21PGFEDKJIHACB 四、典型例题：实用标准文档

文案大全 EDFCB

DCBA考点一：倍长中线（或类中线）法：核心母题已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值围是_________.

练习： 1、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. EDCBA

3、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。

4、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．实用标准文档文案大全

5、如图，D是AB的中点，∠ACB=90°,求证：2CD=AB.

6、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE。

7、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。 FE

CAB

D实用标准文档文案大全 8、已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分BAC。

9、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

10、已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

第 1 题图 ABFDEC

DCBAEMME

BCD实用标准文档文案大全变式1：已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

变式:2：已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM. （1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为；（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.

NMDECAB MECBAD 变式3：四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，90BEF，BEEF，连接DF，G为 DF的中点，连接EG，CG，EC。

图② M D B A C E 图① M D

A C E 实用标准文档

文案大全（1）如图24-1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及ECGC的值；

（2）将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转（090），若1BE，2AB，当E，F，D三点共线时，求DF的长及∠ABF的度数。

考点二：截长补短法：核心母题如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC．

练习：

1、① 如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.

(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；

A C D

E F

B 图24-1 图24-2

A C D

E F

A B C D

备用图