新编北师大版2020年春七年级数学下册期末复习一整式的乘除
新北师大版七年级数学下册第一章《整式的乘除》单元复习题含答案解析 (49)
一、选择题（共10题）1.如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为56，面积之和为58，则长方形ABCD的面积为( )A．98B．49C．20D．102.已知a+b+c=1，a2+b2−c2+2c=3，则ab的值为( )A．1B．−1C．2D．−23.计算(x−y)2n−1⋅(y−x)4的值是( )A．(x−y)2n+3B．(y−x)2n+3C．−(x−y)2n+3D．−(y−x)2n−54.如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张，现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b5.若x+y=2，x2+y2=4，则x2018+y2018的值是( )A．4B．20182C．22018D．420186.PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( )A．0.25×10−5B．0.25×10−6C．2.5×10−5D．2.5×10−67.若(x+2)是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于( )A．−6B．6C．−9D．98.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b），再沿黑线剪开，如图（1）所示，然后拼成一个梯形，如图（2）所示．根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是 ( )A ． a 2−b 2=(a +b )(a −b )B ． (a +b )2=a 2+2ab +b 2C ． (a −b )2=a 2−2ab +b 2D ． a 2−b 2=(a −b )29. 已知 a 1，a 2，⋯，a 2020 都是正数，如果 M =(a 1+a 2+⋯+a 2019)(a 2+a 3+⋯+a 2020)，N =(a 1+a 2+⋯+a 2020)(a 2+a 3+⋯+a 2019)，那么 M ，N 的大小关系是 ( ) A ． M >N B ． M =N C ． M <N D ．不确定10. 在数学中，为了书写简便，18 世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如记 ∑k n k=1=1+2+3+⋯+(n −1)+n ，∑(x +k )n k=3=(x +3)+(x +4)⋯+(x +n )；已知 ∑[(x +k )(x −k +1)]nk=2=3x 2+3x −m ，则 m 的值是 ( ) A ． −40B ． 20C ． −24D ． −20二、填空题（共7题）11. 若代数式 x 2+4x +3 可以表示为 (x −1)2+a (x −1)+b 的形式，则 a +b = ．12. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了(a +b )n (n =1,2,3,4,⋯) 的展开式的系数规律（按 n 的次数由大到小的顺序）：11(a +b )1=a +b 121(a +b )2=a 2+2ab +b 21331(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 314641(a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4⋯⋯请依据上述规律，写出 (x −2)2018 展开式中含 x 2017 项的系数是 ．13. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了(a +b )n （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应着 (a +b )2=a 2+2ab +b 2 展开式中各项的系数；第五行的五个数 1，4，6，4，1，恰好对应着 (a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4 展开式中各项的系数，等等．请观察图中数字排列的规律，求出代数式 x +y +z 的值为 ．111121133114641151010511615x y z114.已知x2−2x−3是多项式3x3+ax2+bx−3的因式（a，b为整数），则a=，b=．15.如果9m+3×27m+1÷34m+7=81，那么m=．16.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．根据上面的规律，(a+b)4的展开式中各项系数最大的数为；式子75+5×74×(−5)+10×73×(−5)2+10×72×(−5)3+5×7×(−5)4+(−5)5的值为．17.计算：(a+b−c)(a−b−c)=．三、解答题（共8题）18.解答下列问题．(1) 计算(m+3n)(m−3n)−(m−3n)2；(2) 已知(a+b)2=7，(a−b)2=4，求ab的值．19.计算下列各题：(1) 你能求出(a−1)(a99+a98+a97+⋯+a2+a+1)的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．(a−1)(a+1)=；(a−1)(a2+a+1)=；(a−1)(a3+a2+a+1)=；⋯由此我们可以得到：(a−1)(a99+a98+a97+⋯+a+1)=．(2) 利用（1）的结论，完成下面的计算：2199+2198+2197+⋯+22+2+1．20.已知(x3)n+2=(x n−1)4，其中n为正整数，求(n3)4的值．21.计算：(1) 3a⋅(−a2)+a4÷a；(2) (2x−y)(x+3y)；(3) (a−b+1)(a−b−1)；22.乘法公式的探究及应用．(1) 如图①，可以求出阴影部分的面积是；（写成两数平方差的形式）(2) 如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是；（写成多项式乘法的形式）(3) 比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用式子表达）；(4) 运用你所得到的公式，计算：(2m+n−p)⋅(2m−n+p)．23.已知(x2+nx+3)(x2−3x+m)的展开式中不含x2和x3项，求m，n的值．24.解答下列问题．(1) 如图甲，从边长为a的正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证因式分解公式成立的是；(2) 根据下面四个算式：52−32=(5+3)×(5−3)=8×2；112−52=(11+5)×(11−5)=16×6=8×12；152−32=(15+3)×(15−3)=18×12=8×27；192−72=(19+7)×(19−7)=26×12=8×39．请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；(3) 用文字写出反映（2）中算式的规律，并证明这个规律的正确性．25.乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1) 观察图2，请你写出下列三个代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系．(2) 若要拼出一个面积为(a+2b)(a+b)的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片张．(3) 根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】设 AB =DC =x ，AD =BC =y ， 由题意得：{2×4x +2×4y =56,2x 2+2y 2=58,化简得：{x +y =7, ⋯⋯①x 2+y 2=29. ⋯⋯②将 ① 两边平方再减去 ② 得：2xy =20． ∴xy =10．【知识点】完全平方公式2. 【答案】B【解析】 ∵a 2+b 2−c 2+2c =3， ∴a 2+b 2−2=c 2−2c +1=(1−c )2， ∵a +b +c =1， ∴a +b =1−c ， ∴(a +b )2=(1−c )2， ∴(a +b )2=a 2+b 2−2，展开得 a 2+b 2+2ab =a 2+b 2−2， ∴ab =−1．【知识点】完全平方公式3. 【答案】A【知识点】同底数幂的乘法4. 【答案】A【解析】大正方形的面积 S =4a 2+b 2+4ab =(2a +b )2． ∴ 大正方形的边长为 2a +b ． 选A ．【知识点】完全平方公式5. 【答案】C【解析】 ∵x +y =2，∴(x +y )2=x 2+2xy +y 2=4， ∵x 2+y 2=4， ∴4+2xy =4， ∴xy =0， ∴x =0 或 y =0，当 x =0 时，y =2，∴x 2018+y 2018=02018+22018=22018， 当 y =0 时，x =2，∴x 2018+y 2018=22018+02018=22018． 【知识点】完全平方公式6. 【答案】D【知识点】负指数科学记数法7. 【答案】A【解析】 ∵4x 2+5x +m =(x +2)(4x +n )=4x 2+(8+n )x +2n ， ∴8+n =5，m =2n ， ∴n =−3，m =−6． 【知识点】多项式乘多项式8. 【答案】A【知识点】平方差公式9. 【答案】A【解析】设 S =a 2+a 3⋯+a 2019， M −N=(a 1+a 2+⋯+a 2019)(a 2+a 3+⋯+a 2020)−(a 1+a 2+⋯+a 2020)(a 2+a 3⋯+a 2019)=(a 1+S )(S +a 2020)−(a 1+a 2020+S )S=a 1S +a 1a 2020+a 2020S +S 2−a 1S −a 2020S −S 2=a 1a 2020.∵a 1，a 2，⋯，a 2020 都是正数， ∴a 1a 2020>0， ∴M >N ．【知识点】多项式乘多项式10. 【答案】B【解析】根据题意可知： ∵ 二次项的系数为 3， ∴n =4，∴∑[(x +k )(x −k +1)]n k=2=(x +2)(x −1)+(x +3)(x −2)+(x +4)(x −3)=3x 2+3x −m,整理得：x 2+x −2+x 2+x −6+x 2+x −12=3x 2+3x −20=3x 2+3x −m ， 则 m =20． 故选：B ．【知识点】多项式乘多项式二、填空题（共7题） 11. 【答案】 14【解析】 (x −1)2+a (x −1)+b =x 2−2x +1+ax −a +b=x 2+(a −2)x +1+b −a =x 2+4x +3,∴{a −2=4,1+b −a =3, 解得 {a =6,b =8,∴a +b =14． 【知识点】完全平方公式12. 【答案】 −4036【解析】 (x −2)2018 展开式中含 x 2017 项的系数， 由 (x −2)2018=x 2018−2018⋅x 2017⋅2+⋯−22018， 可知，展开式中第二项为 −2018⋅x 2017⋅2=−4036x 2017， ∴(x −2)2018 展开式中含 x 2017 项的系数是 −4036． 【知识点】完全平方公式13. 【答案】 41【解析】根据图表的特征，可得 x =10+10=20，y =10+5=15，z =5+1=6，故 x +y +z =20+15+6=41． 【知识点】完全平方公式14. 【答案】 −5 ； −11【解析】设另一个因式是：mx +n ，则 (x 2−2x −3)(mx +n )=mx 3+(n −2m )x 2+(−3m −2n )x −3n =3x 3+ax 2+bx −3.则：{m =3,n −2m =a,−3m −2n =b,−3n =−3,解得：{m =3,n =1,a =−5,b =−11.故答案为：−5，−11． 【知识点】多项式乘多项式15. 【答案】 2【知识点】单项式除以单项式16. 【答案】6；32【解析】根据题意得：(a+b)4的展开式中各项系数分别为1，4，6，4，1，即最大的数为6；75+5×74×(−5)+10×73×(−5)2+10×72×(−5)3+5×7×(−5)4+(−5)5 =(7−5)5=32.【知识点】完全平方公式17. 【答案】a2−2ac+c2−b2【知识点】平方差公式三、解答题（共8题）18. 【答案】(1) 原式=m 2−9n2−m2+6mn−9n2=6mn−18n2.(2) ∵(a+b)2=7，(a−b)2=4，∴ab=14×[(a+b)2−(a−b)2]=14×3=34．【知识点】完全平方公式、平方差公式19. 【答案】(1) a2−1；a3−1；a4−1；a100−1(2)2199+2198+2197+⋯+22+2+1=(2−1)×(2199+2198+2197+⋯+22+2+1) =2200−1.【解析】(1) (a−1)(a+1)=a2−1，(a−1)(a2+a+1)=a3+a2+a−a2−a−1=a3−1，(a−1)(a3+a2+a+1)=a4+a3+a2+a−a3−a2−a−1=a4−1，(a−1)(a99+a98+⋯+a+1)=a100−1．【知识点】简单的代数式求值、合并同类项、多项式乘多项式20. 【答案】1012．【知识点】幂的乘方21. 【答案】(1) 原式=−3a3+a3=−2a3．(2) 原式=2x2+6xy−xy−3y2=2x2+5xy−3y2．(3) 原式=(a−b)2−1=a2−2ab+b2−1．【知识点】多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式、单项式乘单项式、同底数幂的除法22. 【答案】(1) a2−b2(2) a−b；a+b；(a+b)(a−b)(3) (a+b)(a−b)=a2−b(4) 原式=[2m+(n−p)]⋅[2m−(n−p)] =(2m)2−(n−p)2=4m2−(n2−np−np+p2)=4m2−n2+2np−p2.【知识点】平方差公式23. 【答案】(x2+nx+3)(x2−3x+m)=x4−3x3+mx2+nx3−3nx2+mnx+3x2−9x+3m =x4+(−3+n)x3+(m−3n+3)x2+(mn−9)x+3m.∵展开式中不含x2和x3项，∴−3+n=0，m−3n+3=0，解得m=6，n=3，∴m，n的值分别为6，3．【知识点】多项式乘多项式24. 【答案】(1) a2−b2=(a+b)(a−b)(2) 72−52=8×3；92−32=8×9等．(3) 规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．设m，n为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，则(2m+1)2−(2n+1)2=4(m−n)(m+n+1)．当m，n同是奇数或偶数时，m−n一定为偶数，∴4(m−n)一定是8的倍数；当m，n一偶一奇时，则m+n+1一定为偶数，∴4(m+n+1)一定是8的倍数．∴任意两个奇数的平方差是8的倍数．【知识点】平方差公式25. 【答案】(1) (a+b)2=a2+b2+2ab(2) 3(3) ∵(a+b)2=a2+b2+2ab，a+b=5，a2+b2=13，∴25=13+2ab，∴ab=6．答：ab的值为6．【解析】(1) 大正方形的面积可以表示为：(a+b)2，或表示为：a2+b2+2ab；因此有(a+b)2=a2+b2+2ab．(2) ∵(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2，∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张．【知识点】完全平方公式、多项式乘多项式、公式的变形11。
2024北师大版数学七年级下册第一章《整式的乘除》复习课教案
2024北师大版数学七年级下册第一章《整式的乘除》复习课教案一. 教材分析《整式的乘除》是北师大版数学七年级下册第一章的内容，本章主要让学生掌握整式的乘法和除法运算。
通过本章的学习，学生能够理解整式乘除的概念，掌握整式乘除的法则，并能熟练进行整式的乘除运算。
二. 学情分析学生在学习本章之前，已经掌握了整数和分数的运算，对运算有一定的基础。
但是，对于整式的乘除运算，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生理解整式乘除的概念，掌握整式乘除的法则。
2.培养学生进行整式乘除运算的能力，提高运算速度和准确性。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.整式乘除的概念和法则。
2.整式乘除运算的技巧和策略。
五. 教学方法采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等教学方法，通过实例和练习，让学生在实践中学习和掌握整式的乘除运算。
六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习整数和分数的运算，引导学生进入整式的乘除运算。
2.呈现（10分钟）讲解整式乘除的概念和法则，通过PPT课件和实例，让学生直观地理解和掌握。
3.操练（10分钟）让学生进行整式乘除的运算练习，教师进行指导和讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些具有代表性的练习题，让学生进一步巩固整式乘除的运算。
5.拓展（5分钟）引导学生思考整式乘除运算的技巧和策略，提高运算速度和准确性。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生明确学习的目标和重点。
7.家庭作业（5分钟）布置一些整式乘除的练习题，让学生课后进行巩固和提高。
8.板书（5分钟）板书本节课的重点内容和运算法则，方便学生复习和记忆。
教学过程每个环节所用的时间：导入：5分钟呈现：10分钟操练：10分钟巩固：10分钟拓展：5分钟小结：5分钟家庭作业：5分钟板书：5分钟总共：50分钟七年级下册第一章《整式的乘除》复习课教案一. 教材分析本章主要让学生掌握整式的乘法和除法运算。
2020北师大版七年级数学整式的乘除期末复习培优练习题2(附答案)
2020北师大版七年级数学整式的乘除期末复习培优练习题2（附答案）1．下列各式计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．1025a a a ÷=C ．428(a )a -=D ．444(2ab)8a b =2．已知：()()22x 1x 32x px q +-=++，则p ，q 的值分别为（ ）A ．5，3B ．5，−3C ．−5，3D ．−5， −33．下列运算中，正确的是（ ）A ．235()a a -=-B ．3515a a a ⋅=C ．23246()a b a b -=D ．623a a a += 4．下面计算正确的是（ ）A ．23a b +＝5abB ．23a a +＝5aC ．323(2)a b -＝968a b -D ．32a a ⋅＝6a 5．下列各式计算正确的是( )A ．a 6÷a 2＝a 3B ．(﹣2a 3)2＝4a 6C ．2a 2﹣a 2＝2D ．(a +b )2＝a 2+b 2 6．下列运算正确的是( ).A ．m 2·m 3=m 6B ．(-a 3)2=a 6C ．ab 2·3a 2b=3a 2b 2D ．-2a 6÷a 2=-2a 3 7．已知()22349x m x +-+是完全平方公式，则m 的值是（ ）A ．4-或3-B ．10-或4C ．10D ．4-或108．下列运算正确的是（ ）A ．a 5+a 5＝a 10B ．（a 2）3＝a 5C ．a 2•a 3＝a 5D ．（2a 2）3＝6a 6 9．下列运算正确的是（ ）A ．623x x x ÷=B ．()2233x x =C ．()325x x =D ．235x x x ? 10．下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3＝a 6B ．（a 2）3＝a 5C ．﹣a 2•ab ＝﹣a 3bD ．a 5÷a 3＝211．计算：1022﹣204×104+1042的结果为________.12．(1)①(－a)3÷(－a 2)＝_______，②a 10÷(a 5÷a 2)＝_______；(2)①x n ＋1÷x 2n －3＝_______，②8m ＋1÷4m ＝_______13．计算：(x 2-x+1)(x+1)=______.14．计算：(－2x 2y 3)2÷312x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝________． 15．（______________）23x x ÷-=+（）16．（1）()()104ab ab -÷-=______；（2）()221210x x x -÷÷=______.17．计算（a 2）3=________.18．计算：()()2121x x -+-=______.19．若2m a =，8n b =，n 为正整数，则392m n +=____（用含a 、b 的式子表示）． 20．计算=____． 21．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到()()2a b a b ++=2232a ab b ++．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知12a b c ++=，47ab bc ac ++=，求222a b c ++的值；（3）小明同学打算用x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张相邻两边长为分别为a 、b 的长方形纸片拼出了一个面积为 ()()5874a b a b ++长方形，那么他总共需要多少张纸片？22．大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观察发现的，历史上许多大家，都是天才的观察家化归就是将面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题的数学方法，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法如多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算： 21512326445 246184 123615615()232133203x x x x x x ++++⋅--32230x x x x-+⋅ 23333x x x -- 330x - 请用以上方法解决下列问题：（1）计算：()322310(2)x x x x +--÷-；（2）若关于x 的多项式43225x x ax b +++能被二项式2x +整除，且a ，b 均为自然数，求满足以上条件的a ，b 的值及相应的商.23．已知32m =5，3n =10.(1)求32m+n 的值；(2)求32m-n 的值.24．化简或求值（1）若A=-2a 2+ab-b 3，B=a 2-2ab+b 3，求A -2B 的值．（2）先化简，再求值：5x 2y-3xy 2-7（x 2y- xy 2），其中x=2,y=-1．25．已知的值. 26．小马虎在计算多项式乘以－2xy 2时将符号抄错，算成加上－2xy 2，得到的答案是2x 2y －5xy 2－12xy ＋1.请帮助小马虎算出正确的结果．27．已知x n －2·(x n )3＝x 2，求代数式(2n 2－3n ＋1)的值．28．先化简，再求值：2(x+4)2-(x+5)2-(x+3)(x-3)，其中x=-2.29．化简（1）2222443a b ab ba a b -+-（2）()()22222232y xy x y xy y -+---30．计算(-2xy 2)2•xy=______．参考答案1．C【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．【详解】A 、a 2•a 3=a 5，故此选项错误；B 、a 10÷a 2=a 8，故此选项错误；C 、（-a 4）2=a 8，正确；D 、（2ab ）4=16a 4b 4，故此选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了直接利用同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．D【解析】【分析】此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p 、q 的值．【详解】由于()()2x 1x 3+-=2x 2-6x+x-3=2 x 2-5x-3=22x px q ++， 则p=-5,q=-3,故答案选D.【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．3．C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则对B 进行判断；根据幂的乘方与积的乘方法则对A 、C 进行判断；根据合并同类项对D 进行判断．解：A 、()326a a -=-，所以A 选项不正确；B 、358a a a ⋅=，所以B 选项不正确；C 、()22346a b a b -=，所以C 选项正确；D 、62a a +，6a 与2a 不是同类项，不能合并，所以D 选项不正确．故选C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，解题关键是熟练掌握以上法则．4．C【解析】【分析】根据合并同类项法则，积的乘方、同底数幂乘法法则逐一判断即可得答案.【详解】A.2a 和3b 不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意，B.a 2和a 3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意，C.(-2a 3b 2)3=-8a 9b 6，故该选项计算正确，符合题意，D.a 3·a 2=a 5，故该选项计算错误，不符合题意，故选C.【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则、积的乘方及同底数幂乘法法则是解题关键. 5．B【解析】【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．完全平方公式：（a ±b ）2＝a 2±2ab +b 2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．A．a6÷a2＝a4，A错误；B．(﹣2a3)2＝4a6，B正确；C.2a2﹣a2＝a2，C错误；D．(a+b)2＝a2+b2+2ab，D错误；故选B．【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂乘除法法则、幂的乘方法则、完全平方公式是解题的关键．6．B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式的乘法、单项式的除法逐项计算即可.【详解】A. m2·m3=m5，故不正确；B. (-a3)2=a6，正确；C. ab2·3a2b=3a3b3，故不正确；D. -2a6÷a2=-2a4，故不正确；故选B.【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式；单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．7．D【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征即可求出m的值．【详解】∵关于x 的代数式x 2＋2（m−3）x ＋49是完全平方公式，∴2（m−3）＝±2×7，解得：m ＝10或−4．故选D.【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．C【解析】【分析】分别根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法法则以及积的乘方逐一判断即可．【详解】解：a 5+a 5＝2a 5，故选项A 不合题意；（a 2）3＝a 6，故选项B 不合题意；a 2•a 3＝a 5，故选项C 符合题意；（2a 2）3＝8a 6，故选项D 不合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．9．D【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法和除法法则分别求出每个式子的值，再判断即可．【详解】A. 624x x x ÷=，故是错误的；B ．()2239x x =，故是错误的；C ．()326x x =，故是错误的；D ．235x x x ⋅=，计算正确，故是正确的；故选：D.考查了合并同类项法则、幂的乘方、单项式乘以单项式、完全平方公式等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．10．C【解析】【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【详解】解：（A）原式＝a5，故A错误；（B）原式＝a6，故B错误；（D）原式＝a2，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型. 11．4【解析】【分析】原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．【详解】原式=（102-104）2=（-2）2=4，故答案为：4【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．12．a a7x4－n2m＋3【解析】【分析】根据a m÷a n=a m-n,( a m) n=a mn,即可解题.【详解】解：(1)①(－a)3÷(－a2)＝－(a)3÷(－a2)＝a，②a10÷(a5÷a2)＝a10÷a3＝a7(2)①x n＋1÷x2n－3= x n＋1-（2n－3）＝x4－n，②8m＋1÷4m＝23（m+1）÷22m＝23m+3-2m＝2m＋3【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法,属于简单题,熟悉运算法则,转变成同底数是解题关键. 13．x3+1【解析】【分析】根据多项式乘多项式的法则(先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加)进行计算即可.【详解】(x2-x+1)(x+1) x3+x2-x2-x+x+1=x3+1.故答案是：x3+1.【点睛】考查了多项式乘多项式的计算，解题关键熟记其计算法则：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.14．－8xy5【解析】【分析】根据有理数运算规则，应该先乘方，再算除法。
第一章 整式的乘除(考点讲解)-2020-2021学年七年级数学下册期末复习考点评测(北师大版)
第一章 整式的乘除【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【考点总结】考点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.考点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式m n ，m n ，n a mn ，m n >()010.a a =≠mc mb ma c b a m ++=++)(c b a m ,,,多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：考点三、乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【例题讲解】类型一、幂的运算例1、计算下列各题：（1） （2）（3） （4）【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++22()()a b a b a b +-=-a b ，()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-2334(310)(10)⨯⨯-2332[3()][2()]m n m n +-+26243(2)(3)xy x y -+-63223(2)(3)[(2)]a a a ---+-【答案与解析】解：（1）． （2） ．（3） ．（4） ．【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．【训练】当，＝4时，求代数式的值． 【答案】 解：. 类型二、整式的乘除法运算例2、 解不等式：（x ﹣6）（x ﹣9）﹣（x ﹣7）（x ﹣1）＜7（2x ﹣5）【答案与解析】解：原不等可化为：x ﹣15x+54﹣x +8x ﹣7＜14x ﹣35，整理得：﹣21x ＜﹣82，解得：x ＞． 则原不等式的解集是x ＞． 【总结升华】此题考查了多项式乘多项式，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 例3、已知，求的值．【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到的值即可代2334(310)(10)⨯⨯-323343(10)(10)=⨯⨯18192710 2.710=⨯=⨯2332[3()][2()]m n m n +-+36263()(2)()m n m n =⋅+⋅-⋅+661227()4()108()m n m n m n =+⋅+=+26243(2)(3)xy x y -+-6661233612(1)2(1)3x y x y =-⋅⋅+-⋅612612612642737x y x y x y =-=63223(2)(3)[(2)]a a a ---+-6662232366(1)2(1)3()(1)(2)a a a =-⋅--⋅⋅+-⋅6666649649a a a a =--=-41=a b 32233)21()(ab b a -+-333223363636611771()()45628884a b ab a b a b a b ⎛⎫-+-=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭2282218221312326834m n ax y x y x y ÷=(2)n m n a +-mn a 、、入求值．【答案与解析】解：由已知，得，即，，，解得，，．所以． 【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到的值. 【训练】（1）已知，求的值．（2）已知，，求的值． （3）已知，，求的值． 【答案】解：（1）由题意，知．∴ ．∴ ，解得．（2）由已知，得，即．由已知，得． ∴ ，即．∴ ∴ ． （3）由已知，得．由已知，得． ∴ ． 类型三、乘法公式例4、对任意整数，整式是否是10的倍数？为什么？【答案与解析】解：∴，是10的倍数，∴ 原式是10的倍数．312326834m n ax y x y x y ÷=31268329284312m n n ax y x y x y x y +=⋅=12a =39m =2812n +=12a =3m =2n =22(2)(23212)(4)16n m n a +-=⨯+-=-=mn a 、、1227327m m -÷=m 1020a =1105b =293a b ÷23m=24n =322m n -312(3)327m m -÷=3(1)2333m m --=3323m m --=6m =1020a =22(10)20a =210400a =1105b =211025b =221101040025a b ÷=÷2241010a b -=224a b -=22222493333381a b a b a b -÷=÷===23m =3227m =24n =2216n =32322722216m n m n -=÷=n (31)(31)(3)(3)n n n n +---+(31)(31)(3)(3)n n n n +---+22222(3)1(3)919n n n n =---=--+22101010(1)n n =-=-210(1)n -【总结升华】要判断整式是否是10的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数10．【训练】解下列方程(组)：【答案】解： 原方程组化简得，解得． 例5、已知，，求： (1)；(2)【思路点拨】在公式中能找到的关系. 【答案与解析】解：(1)∴，，∴ (2)∴，，∴. 【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.(31)(31)(3)(3)n n n n +---+22(2)(4)()()32x y x y x y x y ⎧+-+=+-⎨-=-⎩2332x y x y -=⎧⎨-=-⎩135x y =⎧⎨=⎩3a b +=4ab =-22a b +33a b +()2222a b a ab b +=++22,,a b ab a b ++222222a b a ab b ab +=++-()22a b ab =+-3a b +=4ab =-()22232417a b +=-⨯-=333223a b a a b a b b +=+-+()()()2a a b b a b a b =+-+-()()22a b a ab b =+-+()()2[3]a b a b ab =++-3a b +=4ab =-()332333463a b ⎡⎤+=-⨯-=⎣⎦。
新北师大版七年级数学下册第一章《整式的乘除》单元复习题含答案解析 (37)
一、选择题（共10题）1. 在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和 b （a >b ）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部分的面积为 S 1，图 2 中阴影部分的面积为 S 2，当 AD −AB =2 时，S 2−S 1 的值为 ( )A ． 2aB ． 2bC ． 2a −2bD ． −2b2. 已知 (2x +m )2=4x 2+nx +9，则 n 的值为 ( ) A ． ±6 B ． ±12 C ． ±18 D ． ±363. 设 a =999999，b =119990，则 a ，b 的大小关系是 ( ) A ． a =b B ． a >b C ． a <bD ．以上三种都不对4. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，（如 8=32−12，16=52−32，则 8，16 均为“和谐数”），在不超过 220 的正整数中，所有的“和谐数”之和为 ( ) A ． 3014 B ． 3024 C ． 3034 D ． 30445. 任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n =s ×t （s ，t 是正整数，且 s ≤t ），如果 p ×q 在 n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 p ×q 是 n 的最佳分解，并规定：F (n )=pq ．例如 18 可以分解成 1×18，2×9，3×6 这三种，这时就有 F (18)=36=12，给出下列关于 F (n ) 的说法：① F (2)=12，② F (48)=13；③ F (n 2+n )=n n+1；④若 n 是一个完全平方数，则 F (n )=1，其中正确说法的个数是 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 16. 计算：[6(a −b )6+3(a −b )2]÷3(a −b )2 的值是 ( ) A ． 2(a −b )3+1 B ． 2(a −b )3 C ． 2(a −b )4+1D ． 2(a −b )47. 为了书写简便，18 世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”．例如：∑k n k=1=1+2+3+⋯+(n −1)+n ，∑(x +k )n k=5=(x +5)+(x +6)+(x +7)+⋯+(x +n )．已知：∑[(x +k )(x −nk=3k +1)]=4x 2+4x +m ，则 m 的值为 ( ) A ． 40B ． −68C ． −40D ． −1048. 如图所示的是用 4 个全等的小长方形与 1 个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为 144，小正方形的面积为 4，若分别用 x ，y (x >y ) 表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是 ( )A ． x 2+y 2=100B ． x −y =2C ． x +y =12D ． xy =359. 若一个正方形的面积为 (a +1)(a +2)+14，则该正方形的边长为 ( )A ． a −2B ． a +32C ． a +2D ． a +5210. 如图 1，把一个长为 2m ，宽为 2n (m >n ) 的长方形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小长方形，最后按图 2 那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是 ( )A ． 2mB ． (m +n )2C ． (m −n )2D ． m 2−n 2二、填空题（共7题）11. 如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第 1 个正方形需要 4 个小正方形，拼第 2 个正方形需要 9 个小正方形 ⋯，按这样的方法拼成的第 (n +1) 个正方形比第 n 个正方形多 个小正方形．12.若代数式x2+2x−7可以表示为(x−2)2+a(x−2)+1的形式，则a=．13.用平方差公式计算：10002499×501+1=10002( +1)( −1)+1=10002( )2−1+1=．14.若x+1x =√8，则x−1x=．15.计算：(12+13+⋯+12019)(1+12+13+⋯+12018)−(1+12+13+⋯+12019)(12+13+⋯+12018)=．16.当m+n=1时，代数式(3mm2−mn +1m−n)⋅(m2−n2)的值为．17.已知x+y=1，xy=−2，则式子(1−x)(1−y)的值为．三、解答题（共8题）18.阅读理解题阅读材料：两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是；将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）．比如47×43，它们的乘积的前两位是4×(4+1)=20，它们乘积的后两位是7×3=21．所以47×43=2021；再如62×68，它们乘积的前两位是6×(6+1)=42，它们乘积的后两位是2×8=16，∴62×68=4216．又如21×29，2×(2+1)=6，不足两位，就将6写在百位；1×9=9，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以21×29=609．该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性：设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为10a+(10−b)．两数相乘可得：(10a+b)[10a+(10−b)]=100a2+10a(10−b)+10ab+b(10−b)=100a2+100a+b(10−b)=100a(a+1)+b(10−b).（注：其中a(a+1)表示计算结果的前两位，b(10−b)表示计算结果的后两位．）问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如44×73，77×28，55×64等．(1) 探索该类乘法的速算方法，请以44×73为例写出你的计算步骤．(2) 设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为．设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为．（a，b表示1∼9的正整数）(3) 请针对问题（1），（2）的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出．如：100a(a+1)+b(10−b)的运算式．19.两个多项式x2+x+2与ax+b的乘积中不出现常数项，且二次项系数为1，求a，b的值．20.数学的趣味无处不在，在学习数学的过程中，小明发现了有规律的等式：(x2−1)÷(x−1)=x+1；(x3−1)÷(x−1)=+x2+x+1；(x4−1)÷(x−1)=x3+x2+x+1；(x5−1)÷(x−1)=x4+x3+x2+x+1；……(1) 从计算过程中找出规律，可知：① (x8−1)÷(x−1)=；② =x n−1+x n−2+⋯+x3+x2+x+1．(2) 计算：2n+2n−1+⋯+x3+x2+x+1（结果用含的式子表示）(3) 对于算式：2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)(364+1)+1①计算出算式的值（结果用乘方表示）；②直接写出结果的个位数字是几？21.探索题：(x−1)(x+1)=x2−1，(x−1)(x2+x+1)=x3−1，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1，(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1．(1) 观察以上各式并猜想：① (x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=；② (x−1)(x n+x n−1+x n−2+⋯+x3+x2+x+1)=．(2) 请利用上面的结论计算：① (−2)50+(−2)49+(−2)48+⋯+(−2)+1；②若x1007+x1006+⋯+x3+x2+x+1=0，求x2016的值．22.解答下列问题．(1) 按下表已填写的完成表中的空白处代数式的值：(a−b)2a2−2ab+b2 a=4,b=24a=−1,b=316a=−2,b=−5(2) 比较表中两代数式计算结果，请写出你发现(a−b)2与a2−2ab+b2有什么关系？(3) 利用你发现的结论，求20172−4034×2015+20152．23.先化简，再求值：(x+3)(x−3)−2x(x+3)+(x−1)2，其中x=−12．24.阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题．在学习完全平方公式时，老师提出了这样一个问题：同学们，你们能判断代数a2−2a+2的最小值吗？小明作出了如下的回答：在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把它找出来．a2−2a+2=a2−2⋅a⋅1+12+1=(a−1)2+1，∵完全平方式是非负的，∴它一定大于等于0，余下的1为常数，∴有a2−2a+2=(a−1)2+1≥1．∴a2−2a+2的最小值是1，当且仅当a−1=0即a−1时取得最小值．其中，我们将代数式a2−2a+2改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方，利用配方求解下列问题：(1) 记S=(x+3)2+4，求S的最小值，并说明x取何值时S最小．(2) 已知a2+b2+6a−8b+25=0，求a，b的值．(3) 记T=a2+2ab+3b2+4b+5，求T的最小值，并说明a，b取何值时T最小．25.观察下列等式：(a−b)(a+b)=a2−b2，(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3，(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4−b4，⋯利用你的发现的规律解决下列问题：(1) (a−b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=（直接填空）．(2) (a−b)(a n−1+a n−2b+a n−3b2+⋯+ab n−2+b n−1)=（直接填空）．(3) 利用（2）中的结论求62019+62018+⋯+62+6+1的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a) =(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a),S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a),∴S2−S1=AB(AD−a)(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a) =(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=2b.【知识点】多项式乘多项式2. 【答案】B【解析】因为(2x+m)2=4x2+4mx+m2=4x2+nx+9，所以4m=n，m2=9，所以m=±3，n=±12，故选B．【知识点】完全平方公式3. 【答案】A【解析】a÷b=999999÷119990=999999×990119=99999×119=1；∵a÷b=1；∴a=b．【知识点】同底数幂的除法4. 【答案】B【解析】由(2n+1)2−(2n−1)2=8n≤220，解得n≤27.5，则在不超过220的正整数中，所有“和谐数”之和为：32−12+52−32+⋯+552−532=552−12=3025−1=3024．故选：B．【知识点】平方差公式5. 【答案】B【解析】∵2=1×2，∴1×2是2的最佳分解，∴F(2)=12，即①正确；∵48=1×48，48=2×24，48=3×16，48=4×12，48=6×8，∴6×8是48的最佳分解，∴F(48)=68=23，即②错误；∵n2+n=n(n+1)，∴F(n2+n)=nn+1，即③正确；若n是一个完全平方数，则设n=a×a（a是正整数），∴F(n)=aa=1，即④正确；综上所述，①③④正确，共三个．【知识点】单项式乘多项式6. 【答案】C【知识点】多项式除以单项式7. 【答案】B【知识点】多项式乘多项式8. 【答案】A【解析】由题意可得(x+y)2=144，(x−y)2=4，∴x+y=12，x−y=2，故BC错误；∴x=7，y=5，∴xy=35，故D错误；∴x2+y2=84≠100，故A正确．【知识点】完全平方公式9. 【答案】B【解析】(a+1)(a+2)+14=a2+3a+94=(a+32)2，故正方形的边长为：a+32．【知识点】完全平方公式10. 【答案】C【知识点】完全平方公式二、填空题（共7题）11. 【答案】2n+3【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4=22，第2个正方形需要9个小正方形，9=32，第3个正方形需要16个小正方形，16=42，⋯，∴第n+1个正方形有(n+1+1)2个小正方形，第n个正方形有(n+1)2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多(n+2)2−(n+1)2=2n+3个小正方形．【知识点】用代数式表示规律、完全平方公式12. 【答案】6【解析】(x−2)2+a(x−2)+1 =x2−4x+4+ax−2a+1 =x2+(a−4)x+5−2a,∵代数式x2+2x−7可以表示为(x−2)2+a(x−2)+1的形式，∴5−2a=−7，解得a=6．【知识点】完全平方公式13. 【答案】500；500；500；4【知识点】平方差公式14. 【答案】±2【知识点】完全平方公式15. 【答案】12019【解析】设12+13+⋯+12019=a，12+13+⋯+12018=b，则(1 2+13+⋯+12019)(1+12+13+⋯+12018)−(1+12+13+⋯+12019)(12+13+⋯+12018)=a⋅(1+b)−(1+a)⋅b =a+ab−b−ab=a−b.代入12+13+⋯+12019=a，12+13+⋯+12018=b，则原式=12+13+⋯+12019−(12+13+⋯+12018)=12019.【知识点】单项式乘多项式16. 【答案】4【知识点】分式的混合运算17. 【答案】−2【知识点】多项式乘多项式、简单的代数式求值三、解答题（共8题）18. 【答案】(1) ∵4×7+4=32，4×3=12，∴44×73=3212．(2) 10a+a；10b+(10−b)(3) 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字也是a，则该数可表示为10a+a，设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+(10−b)（a，b表示1到9的整数）．两数相乘可得：(10a+a)[10b+(10−b)]=100ab+10a(10−b)+10ab+a(10−b)=100ab+100a+a(10−b)=100a(b+1)+a(10−b).【解析】(2) 十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为10a+a，另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+(10−b)．【知识点】多项式乘多项式、有理数的乘法、简单列代数式19. 【答案】(x2+x+2)(ax+b)ax3+bx2+ax2+bx+2ax+2bax3+(b+a)x2+(b+2a)x+2b2b=0b=0b+a=1a=1∴a=1，b=0．【知识点】多项式乘多项式20. 【答案】(1) x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1；(x n−1)÷(x−1)．(2) 由（1）知，(x n−1)÷(x−1)=x n−1+x n−2+⋯+x3+x2+x+1，所以(x n+1−1)÷(x−1)=x n+x n−1+x n−2+⋯+x3+x2+x+1，当x=2时，(2n+1−1)÷(2−1)=2n+2n−1+2n−2+⋯+x3+x2+x+1=2n+1−1，所以原式=2n+1−1．(3) ①2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)(364+1)+1=(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)(364+1)+1 =3128−1+1=3128;② ∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729个位数字是按3，9，7，1循环的；∴128÷4=32，即3128个位数字是第32组末位数，为1．故答案为：x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1；(x n−1)÷(x−1)．【解析】(1) ① (x8−1)÷(x−1)=x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1；② (x n−1)÷(x−1)=x n−1+x n−2+⋯+x3+x2+x+1．【知识点】用代数式表示规律、平方差公式21. 【答案】(1) ① x7−1；② x n+1−1(2) ①(−2)50+(−2)49+(−2)48+⋯+(−2)+1=[(−2)51−1]÷(−2−1)=251+13.②因为x1007+x1006+⋯+x3+x2+x+1=0，所以(x−1)(x1007+x1006+⋯+x3+x2+x+1)=x1008−1=0，所以x1008=1，所以x2016=(x1008)2=12=1．【知识点】多项式乘多项式22. 【答案】(1) 填表如下：(a−b)2a2−2ab+b2 a=4,b=244a=−1,b=31616a=−2,b=−599(2) 由表格可知，(a−b)2=a2−2ab+b2．(3) 由（2）中的等式可知：20172−4034×2015+20152=20172−2×2017×2015+20152=(2017−2015)2= 4.【知识点】简单的代数式求值、用代数式表示规律、完全平方公式23. 【答案】(x+3)(x−3)−2x(x+3)+(x−1)2 =x2−9−2x2−6x+x2−2x+1=−8x−8.当 x =−12 时，原式=−8×(−12)−8=4−8=−4.【知识点】平方差公式、完全平方公式24. 【答案】(1) ∵(x +3)2≥0，∴(x +3)2+4≥4，即：S ≥4，∴S 最小=4，∴x +3=0⇒x =−3，故当 x =−3 时，S 最小=4．(2) a 2+b 2+6a −8b +25=0，a 2+6a +32−32+b 2−8b +42−42+25=0，(a 2+6a +32)+(b 2−8b +42)−32−42+25=0，(a +3)2+(b −4)2=0，又 ∵(a +3)2≥0，(b −4)2≥0，要使 (a +3)2+(b −4)2=0，∴(a +3)2 与 (b −4)2 同时为 0，∴{a +3=0,b −4=0⇒{a =−3,b =4.(3) T =a 2+2ab +3b 2+4b 2+5=a 2+2ab +b 2+2b 2+4b +2×22−2×22+5=(a +b )2+2(b 2+4b +22)−2×22+5=(a +b )2+2(b +2)2−3.∵(a +b )2≥0，2(b +2)2≥0，∴T =(a +b )2+2(b +2)2−3≥−3，∴T 最小=−3，此时 a +b =0 且 b +2=0⇒a =2，b =−2，故当 a =2，b =−2 时，T 最小=−3．【知识点】有理数的乘方、完全平方公式25. 【答案】(1) a 5−b 5(2) a n −b n(3) 由(a−b)(a n−1+a n−2b+a n−3b2+⋯+ab n−2+b n−1)=a n−b n，得：62019+62018+⋯+62+6+1，可转化为(6−1)(62019+62018+⋯+62+6+1)=62020−1，∴62019+62018+⋯+62+61+1=(62020−1)×15(62020−1).=15【解析】(1) 由规律可得原式(a−b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=a5−b5．(2) 由规律可得原式(a−b)(a n−1+a n−2b+a n−3b2+⋯+ab n−2+b n−1)=a n−b n．【知识点】多项式乘多项式。
七年级数学下册第一章整式的乘除小结与复习课件(新版)北师大版
(abc)n anbncn (其中n为正整数)
练习：计算下列各式。
(2xyz)4 , ( 1 a2b)3, (2xy2 )3, (a3b2 )3 2
第五页，共21页。
4、同底数(dǐshù)的幂相除
法则(fǎzé)：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
数学(shùxué)符号 表示：
（其中m、n为正整数）
3、已知代数式3y2-2y+6的值为8，则代数式 1.5y2-y+1的值为（ ）
A 1 B 2B C 3 D 4
第十八页，共21页。
4请你观察图形，依据图形面积间的关系(guān
xì)，不需要添加辅助线，便可得到两个你非常
熟悉的公式，这两个公式分别是
和
。
第十九页，共21页。
5、若（x2+mx+8）（x2-3x+n）展开(zhǎn kāi)后不含x2项 和x3项，求m、n的值
第一章 整式(nɡ shì)的乘除
第一页，共21页。
（一）整式(zhěnɡ shì)的乘法
1、同底数的幂相乘 2、幂的乘方
3、积的乘方
4、同底数的幂相除
5、单项式乘以单项式 6、单项式乘以多项式 7、多项式乘以多项式
8、平方差公式(gōngshì) 9、完全平方公式 (gōngshì)
（二）整式(zhěnɡ shì)的除法
1、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式
第二页，共21页。
（一）整式的乘法
1、同底数(dǐshù)的幂
相法乘则：同底数(dǐshù)的幂相乘，底数(dǐshù)不变，
指数相加。 数学符号(fúhào) 表示：
（其中m、n为正整数）
am • an amn
北师大版七年级数学下册全册试卷及答案(含单元期中期末全套)【2020】
七年级数学下册——第一章整式的乘除（复习）单项式整式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式第1章整式的乘除单元测试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每小题四个答案中只有一个是正确的，请把正确的答案选出来！1.下列运算正确的是（）A. 954aaa=+ B. 33333aaaa=⋅⋅C. 954632aaa=⨯ D. ()743aa=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-20122012532135.2（）A. 1- B. 1 C. 0 D. 19973.设()()Ababa+-=+223535，则A=（）A. 30abB. 60abC. 15abD. 12ab4.已知,3,5=-=+xyyx则=+22yx（）A. 25. B 25- C 19 D、19-5.已知,5,3==ba xx则=-bax23（）A、2527B、109C、53D、526. .如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四 种表示该长方形面积的多项式：①(2a +b )(m +n ); ②2a (m +n )+b (m +n ); ③m (2a +b )+n (2a +b ); ④2am +2an +bm +bn ， 你认为其中正确的有A 、①②B 、③④C 、①②③D 、①②③④ （ ）7．如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A 、 –3B 、3C 、0D 、18．已知.(a+b)2=9，ab= －112 ，则a ²+b 2的值等于（ ）A 、84B 、78C 、12D 、6 9．计算（a －b ）（a+b ）（a 2+b 2）（a 4－b 4）的结果是（ ） A ．a 8+2a 4b 4+b 8B ．a 8－2a 4b 4+b 8C ．a 8+b 8D ．a 8－b 810.已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为 （ ）A 、Q P >B 、Q P =C 、Q P <D 、不能确定二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是将最简洁最正确的答案填在空格处！ 11.设12142++mx x 是一个完全平方式，则m =_______。
2020--2021学年北师大版七年级数学下册《第1章整式的乘除》期末复习(附答案)
2021学年北师大版七年级数学下册《第1章整式的乘除》期末复习能力达标训练（附答案）1．计算﹣6a3b2÷2a2b的结果是（）A．﹣3ab2B．﹣3ab C．3ab D．3ab22．若x m y n÷x3y＝4x2y，则m，n满足（）A．m＝6，n＝1B．m＝6，n＝0C．m＝5，n＝0D．m＝5，n＝2 3．小亮在计算（6x3y﹣3x2y2）÷3xy时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是（）A．2x2﹣xy B．2x2+xy C．4x4﹣x2y2D．无法计算4．计算：﹣3a6b2c÷9a2b的结果是（）A．﹣a3b2c B．﹣3a4bc C．﹣3a3b2c D．﹣a4bc5．在下列运算中，正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣6C．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2D．（2x﹣y）（2x+y）＝2x2﹣y26．化简（﹣a）2a3所得的结果是（）A．a5B．﹣a5C．a6D．﹣a67．若（x﹣1）0＝1成立，则x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x≠0D．x≠18．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．ab﹣b2＝b（a﹣b）9．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值为（）A．9B．6C．3D．﹣310．计算（25x2+15x3y﹣5x）÷5x（）A．5x+3x2y B．．5x+3x2y+1C．5x+3x2y﹣1D．5x+3x2﹣111．若x+y＝3且xy＝1，则代数式（1+x）（1+y）的值等于（）A．﹣1B．1C．3D．512．若5x＝18，5y＝3，则5x﹣2y＝．13．若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是．14．一个矩形的面积为m2+8m，若一边长为m，则其邻边长为．15．现规定一种运算：a※b＝ab+a﹣b，其中a，b为实数，则a※b+（b﹣a）※b＝．16．若（x﹣3）（x2+px+q）的结果不含x2和x项，则p+q＝．17．我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2﹣1），即1，原算式的值不变，而且还使整个算式是能用乘法公式计算．即：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝232﹣1．请用上述方法算出（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）（532+1）的值为．18．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为．19．若（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，求（2a+b+1）（2a﹣b﹣1）﹣（a+2b）（﹣2b+a）+2b的值．20．先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，y＝．21．先化简，再求值：（a+2b）（a﹣2b）+（a+2b）2+（2ab2﹣8a2b2）÷2ab，其中a＝1，b ＝2．22．先化简，再求值：（x﹣5）（x+1）+（x+2）2，其中x＝﹣2．23．计算：（1）（﹣4x2）﹣（1+2x）（8x﹣2）（2）（﹣2x﹣y）（y﹣2x）﹣（2x+y）2（3）先化简再求值：（12x3y2+x2y﹣x2y3）÷（﹣2x2y）﹣[2（x﹣y）]2，其中x＝﹣，y ＝324．先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣（x﹣3y）（x+3y）+4（xy﹣y2），其中x＝﹣2，y＝1．25．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝，（﹣2，﹣32）＝；②若，则x＝．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．参考答案1．解：﹣6a3b2÷2a2b＝﹣3ab，故选：B．2．解：∵x m y n÷x3y＝4x2y，∴m﹣3＝2，n﹣1＝1，解得：m＝5，n＝2．故选：D．3．解：正确结果为：原式＝6x3y÷3xy﹣3x2y2÷3xy＝2x2﹣xy，错误结果为：原式＝6x3y÷3xy+3x2y2÷3xy＝2x2+xy，∴（2x2﹣xy）（2x2+xy）＝4x4﹣x2y2，故选：C．4．解：﹣3a6b2c÷9a2b＝﹣a4bc．故选：D．5．解：A、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项错误；B、（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6，故本选项错误；C、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故本选项正确；D、（2x﹣y）（2x+y）＝4x2﹣y2，故本选项错误；故选：C．6．解：（﹣a）2a3＝a2•a3＝a5．故选：A．7．解：由题意可知：x﹣1≠0，x≠1故选：D．8．解：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．9．解：∵a﹣b＝3，∴a＝b+3，∴a2﹣b2﹣6b＝（b+3）2﹣b2﹣6b＝b2+6b+9﹣b2﹣6b＝9．故选：A．10．解：（25x2+15x3y﹣5x）÷5x＝5x+3x2y﹣1．故选：C．11．解：（1+x）（1+y）＝x+y+xy+1，则当x+y＝3，xy＝1时，原式＝3+1+1＝5．故选：D．12．解：原式＝＝＝＝2．故答案是：2．13．解：∵x2+mx+16是一个完全平方式，∴x2+mx+16＝（x±4）2，＝x2±8x+16．∴m＝±8，故答案为：±8．14．解：∵矩形面积为m2+8m，一边长为m，∴邻边长为：（m2+8m）÷m＝m+8，故答案为m+8．15．解：a※b+（b﹣a）※b，＝ab+a﹣b+b（b﹣a）+b﹣a﹣b，＝b2﹣b．16．解：原式＝x3﹣3x2+px2﹣3px+qx﹣3q＝x3+（p﹣3）x2+（q﹣3p）x﹣3q，根据题意，令p﹣3＝0，q﹣3p＝0，解得：p＝3，q＝9，∴p+q＝12，故答案为：12．17．解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）（532+1）＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）（532+1）＝×（564﹣1）＝．故答案为：．18．解：根据题意可得，四边形ABCD的面积＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；代入a+b＝10，ab＝20，可得：四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．故答案为：20．19．解：（x﹣2）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx﹣2x2﹣2ax﹣2b＝x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x﹣2b，∵（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，∴a﹣2＝0且b﹣2a＝0，解得：a＝2、b＝4，（2a+b+1）（2a﹣b﹣1）﹣（a+2b）（﹣2b+a）+2b＝（2a）2﹣（b+1）2﹣（a2﹣4b2）+2b＝4a2﹣b2﹣2b﹣1﹣a2+4b2+2b＝3a2+3b2﹣1，当a＝2、b＝4时，原式＝3×22+3×42﹣1＝12+48﹣1＝59．20．解：原式＝（x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2﹣5y2）÷2x＝（﹣2x2+2xy）÷2x＝﹣x+y，当x＝﹣2，y＝时，原式＝2．21．解：原式＝a2﹣4b2+a2+4ab+4b2﹣4ab+b＝2a2+b，∵a＝1，b＝2，∴原式＝2a2+b＝4．22．解：（x﹣5）（x+1）+（x+2）2＝x2+x﹣5x﹣5+x2+4x+4＝2x2﹣1，当x＝﹣2时，原式＝8﹣1＝7．23．解：（1）（﹣4x2）﹣（1+2x）（8x﹣2）＝﹣4x2﹣8x+2﹣16x2+4x＝﹣20x2﹣4x+2；（2）（﹣2x﹣y）（y﹣2x）﹣（2x+y）2＝4x2﹣y2﹣4x2﹣4xy﹣y2＝﹣2y2﹣4xy；（3）（12x3y2+x2y﹣x2y3）÷（﹣2x2y）﹣[2（x﹣y）]2＝﹣6xy+y2﹣4x2+8xy﹣4y2＝2xy﹣4x2﹣y2﹣，当，y＝3时，原式＝2×（﹣）×3﹣4×（﹣）2﹣×32﹣＝﹣36．24．解：原式＝4x2+y2﹣4xy﹣（x2﹣9y2）+4xy﹣4y2＝4x2+y2﹣4xy﹣x2+9y2+4xy﹣4y2＝3x2+6y2，当x＝﹣2，y＝1时，原式＝3×（﹣2）2+6×12＝12+6＝18．25．解：（1）①因为53＝125，所以（5，125）＝3；因为（﹣2）5＝﹣32，所以（﹣2，﹣32）＝5；②由新定义的运算可得，x﹣4＝，因为（±2）﹣4＝＝，所以x＝±2，故答案为：①3，5；②±2；（2）因为（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，所以4a＝5，4b＝6，4c＝30，因为5×6＝30，所以4a•4b＝4c，所以a+b＝c．。
2020春北师大版七年级下册数学习题课件：第1章 整式的乘除 (共23张PPT) (1)
答案:6x2y
20.先化简,再求值:y(x+y)+(x+y)(x-y)-x2,其中 x=-2,y=������������. 解:原式=xy+y2+x2-y2-x2=xy. 当 x=-2,y=������������时,原式=-2×������������=-1. 21.若 x2+xy=3,xy+y2=-2,求(x+y)2 的值.
【例 3】下列式子正确的是( A )
A.(-0.2)-2=25
C.
-������
-������
=-8
B.
-
������ ������
-������=-������������
D.
-
������ ������
-������=-������������������
知识要点 2 整式的乘法
【例 4】计算-3a·2b,正确的结果是( A )
解:原式=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab, 当 a=2,b=-������������时,原式=4+1=5.
1.下列等式不成立的是( D )
A.(ab)2=a2b2 C.(a-b)2=(b-a)2
B.a5÷a2=a3 D.(a+b)2=(-a+b)2
2.芝麻可以作为食品和药物,均被广泛使用,经测算,一粒芝麻
知识要点4 科学记数法表示较小的数
【例9】英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中
分离出石墨烯,荣获了诺贝尔物理学奖,石墨烯的理论厚度仅
0.000 000 000 34米,将这个数用科学记数法表示为( C )
A.0.34×10-9
2020年春北师大版数学七年级下册第一章整式的乘除1.2幂的乘方与积的乘方(第2课时)教案设计
1.2幂的乘方与积的乘方（第 2 课时积的乘方）教课目的1．认识积的乘方的运算法例，并能解决一些实质问题．2．经历研究积的乘方的运算法例的过程，进一步领会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．教课要点会进行积的乘方的运算．教课难点明确幂的乘方与积的乘方的异同．课时安排1课时教课过程导入新课【创建情境，讲堂引入】（ 1）若已知一个正方体的棱长为2× 103 cm,你能计算出它的体积是多少吗？体积 ??= (2 ×103 ) 3 .察看发现：底数是 2 和 103的乘积，固然 103是幂，但从整体来看，它是积的乘方 .（2）问题引入如何计算 ( 2 ×103 ) 3？积的乘方如何运算呢 ?研究新知【教师发问】填空，看看运算过程用到哪些运算律？从运算结果看能发现什么规律？（1）（ab）2＝（ ab）·（ ab）＝（ a·a）·（b·b）＝a（） b（） .（2）（ab）3＝＝＝a（） b（） .【学生活动】先独立思虑，再与伙伴沟通（1）（ab）2＝（ ab）·（ ab）＝（ a·a）·（b·b）＝a（ 2）b（2）.（2）（ab）3＝（ ab）·（ ab）·（ab）（乘方的意义）＝（ aaa）·（bbb）（乘法互换律、联合律）＝a（3） b（3）.（同底数幂相乘的法例）猜想：积的乘方 (ab)n = a n b n (n 为正整数 ) .【教师发问】你能证明 (ab)n = a n b n (n 为正整数 )吗？【学生活动】先独立达成，再与伙伴沟通，积极回答．（ab）n＝(ab)g(ab)gL g(ab)144444442 44444443n个 ab＝(agagL ga )g(bgbgL gb)144442 44443 14442 44443n个 a n个 b＝a n b n.【思虑总结】 ( 学生总结，老师评论 )积的乘方的运算法例：(ab)n = a n b n (n 为正整数 )，语言表述：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别__乘方，再把所得的幂_相乘 _.【示例展现】计算：(1)(3x)2； (2)(－2b)5；(3)(－2xy)4；(4)(3a2)n.解： (1) (3x)2＝9x2.(2) (－2b)5＝－ 32b5.(3) (－ 2xy)4＝ 16x4y4.(4) (3a2)n＝ 3n a2n.【合作研究，解决问题】【小组议论】在解答下边题目的过程中思虑(abc)n应当怎么计算？【例】(1)( 2 a b 2)3；(2)(a n b 3n )2＋ (a 2b 6)n ；(3)[(3a 2)3＋(3a 3)2] 2；9920181002019(4) 100× 99；(5)0.12515× (23)15.【互动研究 】(引起学生思虑 ) 先确立运算次序， 再依据积的乘方法例计算．解： (1)原式＝ 23 a 3 (b 2)3=8a 3 b 6.(2)原式＝ a 2n b 6n ＋ a 2n b 6n ＝2a 2n b 6n .(3)原式＝ (27a 6＋9a 6)2＝(36a 6)2＝1296a 12.99 100 2018× 100 100 100 (4)原式＝ 100× 99 99 ＝1× 99 ＝ 99 .(5)原式＝115×815＝1× 8 15＝1.88【互动总结 】(学生总结，老师评论 )(1)运用积的乘方法例进行计算时，注意每个因式都要乘方，特别是字母的系数不要漏乘方．(2)在积的乘方中，底数可以是单项式，也能够是多项式．(3)积的乘方的推行： (abc)n = a n b n c n （ n 为正整数）．讲堂练习1．计算 (x 2y)2 的结果是 ( )A ．x 6y B ．x 4y2C ．x 5yD ．x 5y 2． n n · n 2 不等于 ( )2 (a ) (a )n ＋2 nn 2 n A ．(a )B ．(a·a )． 2 2n 3 · n －1 nC an ＋anD ．(a)(a )3．计算：(1)－ 4xy 2·(xy 2)2·(－ 2x 2)3；(2)(－a 3b 6)2＋ (－a 2b 4 )3；2 20183 2019(3) 3× 2.4. 假如（ a n ·b m ·b)3=a 9b 15，求 m ， n 的值 .参照答案1. B2.C3. 解： (1)原式＝－ 4xy 2·x 2y 4·(－8x 6)＝ 32x 9y 6.(2)原式＝ a 6b 12－a 6b 12＝ 0.2×3 2018 3(3)原式＝ 3 2 ×23＝2.4. 解： ∵（ a n ·b m ·b)3 =a 9b 15,（a n ）3·（ b m ）3·b 3=a 9b 15,a 3n ·b 3m ·b 3=a 9b 15 ,a 3n ·b 3m+3=a 9b 15,3n=9 ，3m+3=15， n=3，m=4.讲堂小结积的乘内容：积的乘方等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.字母表示：nn n (n 是正整数).方法例 逆用：(ab)a bn nn是正整数 ).a b (ab)(n部署作业教材习题 1.3 第 1,2,5 题板书设计积的乘方1. 积的乘方的运算法例：(ab)n= a n b n(n为正整数)，语言表述：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 .2.(1)运用积的乘方法例进行计算时，注意每个因式都要乘方，特别是字母的系数不要漏乘方． (2) 在积的乘方中，底数能够是单项式，也能够是多项式．3.积的乘方的推行： (abc)n = a n b n c n（n 为正整数） .。
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期末复习(一) 整式的乘除
01 知识结构
本章知识属于中考必考内容，难度较低，单独考查时，考查内容主要包括：同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘
方，整式的化简等，与其他知识结合考查时，常与因式分解、分式的化简等知识结合起来考查．
02 典例精讲
【例1】 (遵义中考)如图，从边长为(a＋1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a－1)cm的正方形(a>1)，剩余部
分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则该长方形的面积为(C)
A．2 cm2 B．2a cm2
C．4a cm2 D．(a2－1)cm2
【思路点拨】 由拼成的长方形(不重叠无缝隙)的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积可解决．
【方法归纳】 解答与整式运算的应用有关的题关键是通过建立整式运算模型，把实际问题转化为整式运算问题来
解．
【例2】 (茂名中考)先化简，后求值：a2·a4－a8÷a2＋(a3)2，其中a＝－1.
【思路点拨】 原式第一项利用同底数幂的乘法法则计算，第二项利用同底数幂的除法法则计算，最后一项利用幂
的乘方运算法则计算，合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】 原式＝a6－a6＋a6＝a6.
当a＝－1时，原式＝1.
【方法归纳】 此题考查了整式的混合运算——化简求值，涉及的知识有：同底数幂的乘、除法法则，幂的乘方以
及合并同类项法则，熟练掌握各种法则是解本题的关键．
【例3】 (宁波中考)先化简，再求值：(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3.
【思路点拨】 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a
的值代入计算即可求出值．
【解答】 原式＝1－a2＋a2－4a＋4＝－4a＋5.
当a＝－3时，原式＝－4×(－3)＋5＝17.
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【方法归纳】 此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：平方差公式、完全平方公式、去括号法则以及合并同
类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
【例4】 利用乘法公式计算：
(1)59.6×60.4； (2)1022.
【思路点拨】 在(1)中，因为59.6＋60.42＝60，所以59.6×60.4＝(60－0.4)×(60＋0.4)，根据平方差公式即可
简便计算；在(2)中，因为1022＝(100＋2)2，根据完全平方公式即可简便计算．
【解答】 (1)59.6×60.4＝(60－0.4)×(60＋0.4)＝3 600－0.16＝3 599.84.
(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋400＋4＝10 404.
【方法归纳】 在有理数的乘法或乘方计算中，当数值不易计算时，应考虑是否能利用乘法公式进行简便计算．
03 整合集训
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．计算：a2·a4＝(A)
A．a6 B．a8 C．2a6 D．a2
2．人体内某种细胞的形状可近似看作球状，它的直径是0.000 001 56 m，这个数据用科学记数法可表示为(A)
A．1.56×10－6 m B．1.56×10－5 m
C．156×10－5 m D．1.56×106 m
3．计算|－8|－(－12)0的结果是(B)
A．－7 B．7 C．712 D．9
4．(南充中考)下列运算正确的是(A)
A．3x－2x＝x B．2x·3x＝6x
C．(2x)2＝4x D．6x÷2x＝3x
5．下列计算中，正确的是(D)
A．a0＝1 B．32÷3－2＝1
C．m6÷m2＝m3 D．3－2＝19
6．计算(－3)100×(－13)101等于(C)
A．－1 B．1 C．－13 D.13
7．下列计算错误的有(D)
①(2x＋y)2＝4x2＋y2；
②(3b－a)2＝9b2－a2；
③(－3b－a)(a－3b)＝a2－9b2；
④(－x－y)2＝x2＋2xy＋y2；
⑤(x－12)2＝x2－2x＋14.
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．(临沂中考)请你计算：(1－x)(1＋x)，(1－x)(1＋x＋x2)，…，猜想(1－x)·(1＋x＋x2＋…＋xn)的结果是(A)
A．1－xn＋1 B．1＋xn＋1
C．1－xn D．1＋xn
9．若(x＋y)2＝9，(x－y)2＝5，则xy的值为(B)
A．－1 B．1 C．－4 D．4
10．已知a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是(D)
A．6 B．2m－8
C．2m D．－2m
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．若(5a＋3b)2＝(5a－3b)2＋A，则A＝60ab.
12．若102·10n－1＝106，则n的值为5.
13．把(6×105)2的结果用科学记数法表示为3.6×1011.
14．若(x＋3)(x－4)＝ax2＋bx＋c，则a＝1，b＝－1，c＝－12．
15．一个长方形的面积是(x2－9)平方米，其长为(x＋3)米，用含有x的整式表示它的宽为(x－3)米．
三、解答题(共50分)
16．(10分)计算：
(1)(x＋5)(x－5)－x(x＋25)；
解：原式＝x2－25－x2－25x
＝－25－25x.
(2)(x－y)2－(8x2y2－4xy3)÷4xy.
解：原式＝x2－2xy＋y2－2xy＋y2
＝x2－4xy＋2y2.
17．利用乘法公式计算：
(1)51×49；
解：原式＝(50＋1)×(50－1)
＝2 500－1
＝2 499.
(2)1 9992.
解：原式＝(2 000－1)2
＝2 0002－4 000＋1
＝3 996 001.
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18．(10分)小操找来一张挂历纸包数学课本．已知课本长为a厘米，宽为b厘米，厚为c厘米，小操想将课本封面
与封底的每一边都包进去2厘米．问小操应在挂历纸上剪下一块多大面积的长方形？
解：需要在挂历纸上剪下一块长为(2b＋c＋4)厘米，宽为(a＋4)厘米的长方形．
所以面积为(2b＋c＋4)·(a＋4)
＝2ab＋ac＋4a＋8b＋4c＋16(平方厘米)．
19．(8分)某同学在计算一个多项式乘以－3x2时，因抄错运算符号，算成了加上－3x2，得到的结果是x2－4x＋1，
那么正确的计算结果是多少？
解：这个多项式是(x2－4x＋1)－(－3x2)＝4x2－4x＋1，
正确的计算结果是(4x2－4x＋1)·(－3x2)＝－12x4＋12x3－3x2.
20．(10分)数学课上，老师出了这样一道题：先化简，再求值：(2x＋y)(2x－y)－(2x－y)2＋2y2，其中xy＝2 017.
小亮一看，题中没有给出x和y的值，只给出了xy的值，所以小亮认为根据题中条件不可能求出题目的值．你认
为小亮的说法正确吗？请说明理由．
解：不正确．理由如下：
因为(2x＋y)(2x－y)－(2x－y)2＋2y2
＝4x2－y2－4x2＋4xy－y2＋2y2
＝4xy.
所以，当xy＝2 017时，原式＝4×2 017＝8 068.
21．(14分)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法
则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数
由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展
开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的系数等等．
(1)根据上面的规律，写出(a＋b)5的展开式；
(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.
解：(1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.
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(2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1.