高一数学(必修一)《第五章 三角函数》练习题及答案解析-人教版
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-附答案
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-附答案1. 与610°角终边相同的角表为 .2.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d = ,其中t ∈［0,60］.3.设0≤α＜2π,若sin α＞3cos α,则α的取值范围是 .4.化简:)2sin()2(sin )tan()2cos()cos()(sin 32πααπαππααππα--•+•+--•+•+= .5. ①在(0,2π)上递减； ②以2π为周期；③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）.6.将函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的图象先向左平移3π,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .7.函数y =|sin x |的一个单调增区间是8.函数f （x ）=sin x +2|sin x |，x ∈［0，2π］的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .9.关于函数f (x )=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π433x ,有下列命题： ①其最小正周期为π32；②其图象由y =2sin3x 向左平移43个单位而得到； ③在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,12ππ上为单调递增函数，则其中真命题为 （写出你认为正确答案的序号）.10.若动直线x =a 与函数f (x )=sin x 和g (x )=cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 . 11.已知f (x )=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx (ω＞0),f ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π,且f (x )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛3,6ππ上有最小值，无最大值，则ω= .12.函数y =|sin x |cos x -1的最小正周期为 .13 求下列函数的定义域：（1）y =lgsin(cos x )=(2)y =x x cos sin -= .14.已知x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ，若方程m cos x -1=cos x +m 有解，则参数m 的取值范围为 .15.下面有五个命题：①终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2πk ,k ∈Z }. ②在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.③把函数y =3sin(2x +3π)的图象向右平移6π得到y =3sin2x 的图象. ④函数y =sin(x -2π)在［0,π］上是减函数. 其中，真命题的编号是 .16.已知342sin ,cos 552m m m m πθθθπ--⎛⎫==<< ⎪++⎝⎭，则θcot =17.已知定义在[]4,3t t -上的奇函数当0>x 时，x x x f aa 1log log )(-=（其中01a <<），若m 满足()240f m m -≥，则实数m 的取值范围为18.是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a cos x +85a -23在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.参考答案1.与610°角终边相同的角表示为 .答案 k ·360°+250°(k ∈Z )2.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d = ,其中t ∈［0,60］. 答案 10sin 60t π 3.设0≤α＜2π,若sin α＞3cos α,则α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,3ππ 4.化简:)2sin()2(sin )tan()2cos()cos()(sin 32πααπαππααππα--•+•+--•+•+= . 答案 15. ①在(0,2π)上递减； ②以2π为周期；③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）.答案 y =-sin x6.将函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的图象先向左平移3π,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .答案 y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 7.函数y =|sin x |的一个单调增区间是 （写出一个即可）.答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ8.函数f （x ）=sin x +2|sin x |，x ∈［0，2π］的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .答案 1＜k ＜39.关于函数f (x )=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π433x ,有下列命题： ①其最小正周期为π32；②其图象由y =2sin3x 向左平移43个单位而得到；③在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,12ππ上为单调递增函数，则其中真命题为 （写出你认为正确答案的序号）. 答案 ①③10.若动直线x =a 与函数f (x )=sin x 和g (x )=cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 . 答案 211.已知f (x )=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx (ω＞0),f ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π,且f (x )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛3,6ππ上有最小值，无最大值，则ω= .答案 314 12.函数y =|sin x |cos x -1的最小正周期为 .答案 2π13 求下列函数的定义域：（1）y =lgsin(cos x );(2)y =x x cos sin -.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cos x )＞0.∵-1≤cos x ≤1,∴0＜cos x ≤1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x |-2π+2k π＜x ＜2π+2k π,k ∈Z }. 方法二 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM ≤1∴OM 只能在x 轴的正半轴上∴其定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+-k k x k x ,2222|ππππ. （2）要使函数有意义，必须使sin x -cos x ≥0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2π］上y =sin x 和y =cos x 的图象，如图所示.在［0，2π］内，满足sin x =cos x 的x 为4π，45π，再结合正弦、余弦函数的周期是2π 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+k k x k x ,24524|ππππ. 方法二 利用三角函数线如图MN 为正弦线，OM 为余弦线要使sin x ≥cos x ,即MN ≥OM则4π≤x ≤45π（在［0，2π］内）. ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x k x ,24524|ππππ 方法三 sin x -cos x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ≥0 将x -4π视为一个整体，由正弦函数y =sin x 的图象和性质 可知2k π≤x -4π≤π+2k π 解得2k π+4π≤x ≤45π+2k π,k ∈Z . 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x kx x ,24542|πππ. 14.已知x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ，若方程m cos x -1=cos x +m 有解，则参数m 的取值范围为 . 解 由m cos x -1=cos x +m 得cos x =11-+m m ,作出函数y =cos x 的图象（如图所示） 由图象可得21≤11-+m m ≤1,解得m ≤-3. 15.下面有五个命题：①终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2πk ,k ∈Z }.②在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ③把函数y =3sin(2x +3π)的图象向右平移6π得到y =3sin2x 的图象. ④函数y =sin(x -2π)在［0,π］上是减函数. 其中，真命题的编号是 .18.是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a cos x +85a -23在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.解 y =1-cos 2x +a cos x +85a -23 =218542cos 22-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a x 当0≤x ≤2π时，0≤cos x ≤1 若2a ＞1,即a ＞2,则当cos x =1时 y max =a +a 85-23=1,∴a =1320＜2(舍去). 若0≤2a ≤1，即0≤a ≤2,则当cos x =2a 时 y max =218542-+a a =1,∴a =23或a =-4(舍去). 若2a ＜0,即a ＜0时,则当cos x =0时 y max =2185-a =1,∴a =512＞0(舍去). 综上所述,存在a =23符合题设.。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷含答案解析(41)
人教A 版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷8（共22题）一、选择题（共10题）1. 将函数 f (x )=sin2xcosθ+2cos 2xsinθ−sinθ(−π2<θ<π2) 的图象向右平移 φ(φ>0) 个单位长度后得到函数 g (x ) 的图象，若 f (x )，g (x ) 的图象都经过点 P (0,√32)，则 φ 的值可以是( ) A ．5π3B ．5π6C ． π2D ． π62. 已知 cos (α+β)cosβ+sin (α+β)sinβ=45，α 是第四象限角，则 tan (α−π4) 等于 ( )A ． −7B ． −17C ． 17D ． 73. 已知函数 f (x )=Asin (ωx +φ)（其中 A >0，ω>0，∣φ∣<π）的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是 ( )A ． f (x )=2sin (2x +π6) B ．函数 f (x ) 的最小正周期为 πC ．函数 f (x ) 的图象关于点 (−π12,0) 对称D．函数f(x)的图象关于x=π2直线对称4.cos24∘cos36∘−sin24∘sin36∘的值为( )A．0B．12C．√32D．−125.cos20∘+cos60∘+cos100∘+cos140∘的值为( )A．−12B．12C．√32D．√226.已知α∈(π4,π)，若sin2α=45，则cosα=( )A．−2√55B．2√55C．−√55D．√557.函数y=cos(k4x+π3)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )A．10B．11C．12D．138.设函数f(x)=12sin(ωx+φ)，x∈R，其中ω>0，∣φ∣<π．若f(5π8)=12，f(11π8)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )A．ω=13，φ=−11π24B．ω=23，φ=π12C．ω=13，φ=7π24D．ω=23，φ=−11π129.已知sinα+cosα=−3√55，则sin2α的值为( )A．−25B．25C．−45D．4510.若一弓形的弧所对的圆心角是π3，弓形的弦长是2cm，则弓形的面积是( )A．(2π3−√3)cm2B．(4π3−√3)cm2C．(2π3−√32)cm2D．(π3−√32)cm2二、填空题（共6题）11. 已知 α 为第四象限角，那么 α2的终边在 ；α3的终边在 ；2α 的终边在 ．12. 函数 y =3−2cos (x +π4) 的最大值为 ，此时 x = ．13. 函数 f (x )=∣∣∣cosx−sinx cosx cosx ∣∣∣的图象相邻的两对称轴之间的距离是 ．14. 如图，A ，B 为某市的两个旅游中心，海岸线 l 可看做一条直线，且与 AB 所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以 AB 为直径的半圆上选定一点 P ，修建 PA ，PB ，PQ 三段公路，其中 PQ ⊥l ，AB =20 km ，两平行直线 AB 与 l 之间的距离为 20 km ，公路 PA 和 PB 段的造价均为 6 千万元/km ，公路 PQ 段的造价为 5 千万元/km ，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为 千万．15. 若函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0) 的最小正周期为 π，将 y =f (x ) 的图象向左平移 π6 个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值为 ．16. 函数 y =tan2x 的最小正周期为 ．三、解答题（共6题） 17. 已知函数 f (x )=(1+1tanx)sin 2x −2sin (x +π4)⋅sin (x −π4)． (1) 若 tanα=2，求 f (α) 的值． (2) 若 x ∈[π12,π2)，求函数 f (x ) 的值域．18. 判断下列函数的奇偶性．(1) y =−2sin2x ； (2) y =∣sinx∣；(3) y =3cosx +1； (4) y =tanx −1．19. 已知函数 f (x )=−x 2+mx +1，g (x )=2sin (ωx +π6)．(1) 若函数 y =f (x )+2x 为偶函数，求实数 m 的值；(2) 若 ω>0，g (x )≤g (2π3)，且函数 g (x ) 在 [0,π2] 上是单调函数，求实数 ω 的值； (3) 若 ω=1，若当 x 1∈[1,2] 时，总有 x 2∈[0,π]，使得 g (x 2)=f (x 1)，求实数 m 的取值范围．20. 已知 tanα，tanβ 是方程 x 2−3x −3=0 的两个实数根，求 sin (2α+2β) 的值．21. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,∣φ∣<π2) 的一段图象如图所示．(1) 求 f (x ) 的解析式．(2) 求 f (x ) 的单调增区间，并指出 f (x ) 的最大值及取到最大值时 x 的集合． (3) 把 f (x ) 的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．22. 已知 cosα=−13，α∈(π2,π)．(1) 求 sinα，tanα 的值； (2) 求 sin2α 的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】易得f (x )=sin2xcosθ+2cos 2xsinθ−sinθ=sin2xcosθ+cos2xsinθ=sin (2x +θ), 因为函数 f (x ) 的图象过点 P (0,√32)，−π2<θ<π2，所以 θ=π3，所以 f (x )=sin (2x +π3)．根据題意，得 ⋅g (x )=sin [2(x −φ)+π3]， 所以 sin (π3−2φ)=√32， 所以 φ 可以为5π6．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】A【知识点】两角和与差的正切、两角和与差的余弦3. 【答案】D【解析】由题意 A =2，最小正周期为 T =4×(2π3−5π12)=π，B 正确； 所以 ω=2ππ=2，又 2sin (2×2π3+φ)=−2，φ+4π3=2kπ+3π2,k ∈Z ，又 ∣φ∣<π，所以 φ=π6，所以 f (x )=2sin (2x +π6)，A 正确； f (−π12)=2sin [2×(−π12)+π6]=0，所以 (−π12,0) 是 f (x ) 的一个对称中心，C 正确．f(π2)=2sin(2×π2+π6)=−1≠±2，D错．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】B【知识点】两角和与差的余弦5. 【答案】B【解析】原式=(cos20∘+cos140∘)+cos100∘+cos60∘=2cos80∘cos60∘+cos100∘+cos60∘=cos80∘−cos80∘+cos60∘=12.【知识点】积化和差与和差化积公式6. 【答案】D【解析】因为α∈(π4,π)，若sin2α=45=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1，所以tanα=2或tanα=12（不合题意，舍去），故α∈(π4,π2)，则cosα=1secα=√1+tan2α=√55．故选D．【知识点】二倍角公式7. 【答案】D【解析】T=2πk4=8πk≤2，所以k≥4π，又k∈N∗，所以k最小为13．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【知识点】二倍角公式10. 【答案】A【解析】由已知得弓形弧所对应的扇形的半径为2cm，则S扇=12×π3×22=2π3(cm2)，故S弓=2π3−√3×2×12=(2π3−√3)(cm2)．【知识点】弧度制二、填空题（共6题）11. 【答案】第二或第四象限；第二、第三或第四象限；第三或第四象限，也可在y轴的负半轴上【解析】由于α为第四象限角，所以270∘+k⋅360∘<α<360∘+k⋅360∘(k∈Z)．（1）135∘+k⋅180∘<α2<180∘+k⋅180∘(k∈Z)，当k=2n时，135∘+2n⋅180∘<α2<180∘+2n⋅180∘(n∈Z)，α2的终边在第二象限．当k=2n+1时，135∘+(2n+1)⋅180∘<α2<180∘+(2n+1)⋅180∘(n∈Z)，即315∘+2n⋅180∘<α2<360∘+2n⋅180∘(n∈Z)，α2的终边在第四象限．所以α2的终边在第二或第四象限．（2）90∘+k⋅120∘<α3<120∘+k⋅120∘(k∈Z)，当k=3n时，90∘+n⋅360∘<α3<120∘+n⋅360∘(n∈Z)，α3的终边在第二象限．当k=3n+1时，210∘+n⋅360∘<α3<240∘+n⋅360∘(n∈Z)，α3的终边在第三象限．当k=3n+2时，330∘+n⋅360∘<α3<360∘+n⋅360∘(n∈Z)，α3的终边在第四象限．所以α3的终边在第二、第三或第四象限．（3）540∘+2k⋅360∘<2α<720∘+2k⋅360∘(k∈Z)，180∘+(2k+1)⋅360∘<2α<360∘+(2k+1)⋅360∘(k∈Z)，所以2α的终边在第三或第四象限，也可在y轴的负半轴上．【知识点】任意角的概念12. 【答案】5；3π4+2kπ(k∈Z)【解析】函数y=3−2cos(x+π4)的最大值为3+2=5，此时x+π4=π+2kπ，k∈Z，即x=3π4+2kπ(k∈Z)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】 π2【解析】函数f (x )=∣∣∣cosx −sinx cosx cosx ∣∣∣=cos 2x +sinxcosx=cos2x+12+sin2x2=√22sin (2x +π4)+12,所以函数的最小正周期为 π， 所以函数 f (x )=∣∣∣cosx−sinx cosx cosx ∣∣∣的图象相邻的两对称轴之间的距离是 π2．【知识点】二阶行列式、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】 222【解析】根据题意，设 ∠PAD =θ，则 0≤θ≤π2，过点 P 作 PD ⊥AB ，则 P ，D ，Q 三点共线，设这三段公路总造价为 y ，又由 AB =20 km ，则 AP =20cosθ km ，BP =20sinθ km ，则 PD =20cosθsinθ km ， 又由两平行直线 AB 与 l 之间的距离为 20 km ，则 PQ =(20−20cosθsinθ) km ，则 y =6×(20sinθ+20cosθ)+5×(20−20cosθsinθ)=120(sinθ+cosθ)+100(1−sinθcosθ)， 设 sinθ+cosθ=t ，则 t =√2sin (θ+π4)，则有 1≤t ≤√2， 则 sinθcosθ=t 2−12，则 y =120t +100(1−t 2−12)=120t +100(3−t 22)=−50t 2+120t +150，1≤t ≤√2，分析可得：t =65 时，y 取得最大值，且 y max =222． 【知识点】三角函数模型的应用15. 【答案】 π6【解析】因为函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0) 的最小正周期为 π， 所以 ω=2，所以 f (x )=sin (2x +φ)，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位后，可得y=sin(2x+π3+φ)的图象，因为所得图象关于y轴对称，所以π3+φ=kπ+π2，k∈Z，即φ=kπ+π6，k∈Z，所以φ的最小正值为π6．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换16. 【答案】π2【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sin(x+π4)cos(x+π4)=1−cos2x2+12sin2x+sin(2x+π2)=12+12(sin2x−cos2x)+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12.由tanα=2，得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45，cos2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α=1−tan2α1+tan2α=−35．所以f(α)=12(sin2α+cos2α)+12=35．(2) 由（1），得f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=√22sin(2x+π4)+12．由x∈[π12,π2)，得2x+π4∈[5π12,5π4)，所以−√22<sin(2x+π4)≤1，所以0<f(x)≤√2+12，所以函数f(x)的值域是(0,√2+12]．【知识点】二倍角公式、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】(1) 奇函数． (2) 偶函数． (3) 偶函数． (4) 非奇非偶函数．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正切函数的性质、正弦函数的性质、余弦函数的性质19. 【答案】(1) 设 ℎ(x )=f (x )+2x ，则 ℎ(x )=−x 2+(m +2)x +1 由于 ℎ(x ) 是偶函数，所以对任意 x ∈R ，ℎ(−x )=ℎ(x ) 成立． 即 −(−x )2+(m +2)(−x )+1=−x 2+(m +2)x +1 恒成立． 即 2(m +2)x =0 恒成立，所以 m +2=0，解得 m =−2． 所以所求实数 m 的值是 m =−2．(2) 由 g (x )≤g (2π3) 得2π3⋅ω+π6=2kπ+π2，k ∈Z ，即 ω=3k +12(k ∈Z )．当 x ∈[0,π2] 时，ωx +π6∈[π6,ωπ2+π6](ω>0)，因为 y =sinx 在区间 [π6,π2] 的单调递增，所以 ωπ2+π6≤π2，再由题设得 0<ω<23，所以 ω=12．(3) 设函数 f (x ) 在 [1,2] 上的值域为 A ，g (x ) 在 [0,π] 上的值域为 B ， 由题意和子集的定义，得 A ⊆B ． 当 x ∈[0,π] 时，x +π6∈[π6,7π6]，g (x )∈[−1,2]．所以当 x ∈[1,2] 时，不等式 −1≤−x 2+mx +1≤2 恒成立． 由 m ≤x +1x ，x ∈[1,2] 恒成立，得 m ≤2； 由 m ≥x −2x ，x ∈[1,2] 恒成立，得 m ≥1．综上，实数 m 的取值范围为 [1,2]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的奇偶性20. 【答案】 2425．【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式21. 【答案】(1) 由函数的图象可得 A =3，34T =34×2πω=4π−π4，解得 ω=25， 再根据五点法作图可得 25×π4+φ=2kπ，k ∈Z ，由 ∣φ∣<π2，则令 k =0，所以 φ=−π10，所以 f (x )=3sin (25x −π10)．(2) 令 2kπ−π2≤25x −π10≤2kπ+π2，k ∈Z ， 求得 5kπ−π≤x ≤5kπ+3π2，故函数的增区间 [5kπ−π,5kπ+3π2]，k ∈Z ， 函数的最大值为 3，此时，25x −π10=2kπ+π2，即 x =5kπ+3π2，k ∈Z ，即 f (x ) 的最大值为 3，及取到最大值时 x 的集合为 {x ∣∣ x =5kπ+3π2,k ∈Z}． (3) 设把 f (x )=3sin (25x −π10) 的图象向左少平移 m 个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数，则由 25(x +m )−π10=25x +π2，求得 m =32π， 把函数 f (x )=3sin (25x −π10) 的图象向左平移 32π 个单位，可得 y =3sin (25x +π2)=3cos 25x 的图象．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) 因为 cosα=−13，且 α∈(π2,π)， 所以 sinα=√1−cos 2α=2√23， tanα=sinαcosα=2√23−13=−2√2；(2) sin2α=2sinαcosα=2×2√23×(−13)=−4√29．【知识点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷含答案解析(35)
人教A 版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1. 函数 f(x)=sin (2x −π4)−2√2sin 2x ( ) A ．在区间 [−3π8,π8] 上单调递增B ．在区间 [π8,5π8] 上单调递增 C ．在区间 [−3π8,π8] 上单调递减D ．在区间 [−π4,π4] 上单调递减2. 已知 sin (α+π6)=45，则 sin (2α+5π6) 等于 ( )A ． 35B ． 2425C ． 725D ． −7253. ∘√1−sin20∘等于 ( ) A ．√32B ．√33C ． √2D ．√224. 已知 ω>13，函数 f (x )=sin (2ωx −π3) 在区间 (π,2π) 内没有最值，给出下列四个结论： ① f (x ) 在 (π,2π) 上单调递增； ② ω∈[512,1124]；③ f (x ) 在 [0,π] 上没有零点； ④ f (x ) 在 [0,π] 上只有一个零点． 其中所有正确结论的序号是 ( ) A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．①②④5. 设函数 y =x 3与 y =(12)x−2的图象的交点为 (x 0,y 0)，则 x 0 所在的区间是 ( )A ． (0,1)B ． (1,2)C ． (2,3)D ． (3,4)6. 下列命题中，错误的是 ( ) A ．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 B ． 1 度的角是周角的1360，1 弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180∘ 一定等于 π 弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关7. 已知 a =log 0.32，b =20.1，c =sin789∘，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ． a <b <c B ． a <c <b C ． c <a <b D ． b <c <a8. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π) 的部分图象如图所示，函数 g (x )=f (x +π8)，则下列结论正确的是 ( )A ． f (x )=2sin (x +π4)B ．函数 f (x ) 与 g (x ) 的图象均关于直线 x =−π4x 对称C ．函数 f (x ) 与 g (x ) 的图象均关于点 (−π4,0) 对称 D ．函数 f (x ) 与 g (x ) 在区间 (−π3,0) 上均单调递增9. 已知曲线 C 1:y =cosx ，C 2:y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 ( )A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6个单位长度，得到曲线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线 C 2C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线 C 2D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线 C 210. 已知函数 y =tanωx 在区间 (−π2,π2) 内单调递减，则 ( ) A ． 0<ω≤1 B ． −1≤ω<0 C ． ω≥1 D ． ω≤−1二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )=sin (3x +φ)(−π2<φ<π2) 的图象关于直线 x =π4 对称，则 φ= ．12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)，此时圆上一点 P 的位置在 (0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于 (2,1) 时，P 的坐标为 ．13. 若 sinα=13，且 α 为第二象限，则 cos (π2+α)= ，tan (π−α)= ．14. 形如 ∣∣∣ab cd ∣∣∣ 的式子叫做行列式，其运算法则为 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc ，则行列式 ∣∣∣sin15∘√2cos15∘√2∣∣∣ 的值是 ．15. 11−tan15∘−11+tan15∘= ．16. 已知 tan (α+β)=23，tan (β−π4)=−1，则 tan (α+π4)= ．三、解答题（共6题）17. 已知函数 f (x )=(2+2tanx )cos 2x ．(1) 求函数 f (x ) 的定义域及最小正周期； (2) 求函数 f (x ) 的单调增区间．18.已知函数f(x)=√3cos(π2−x)cos(2π−x)−cos2x．(1) 求函数f(x)的单调递增区间．(2) 若θ∈[0,π2]，f(θ2+π3)=310，求tan(θ+π4)的值．19.用五点法作出函数y=2sin(12x+π6)在一个周期上的大致图象．20.已知函数y=f(x)的定义域D，值域为A．(1) 下列哪个函数满足值域为R，且单调递增？（不必说明理由）① f(x)=tan[(x−12)π]，x∈(0,1)，② g(x)=lg(1x−1)，x∈(0,1)．(2) 已知f(x)=log12(2x+1)，g(x)=sin2x，函数f[g(x)]的值域A=[−1,0]，试求出满足条件的函数f[g(x)]一个定义域D；(3) 若D=A=R，且对任意的x,y∈R，有∣f(x−y)∣=∣f(x)−f(y)∣，证明：f(x+y)=f(x)+f(y)．21.已知f(x)=2cosx(sinx−√3cosx)+√3．(1) 求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 求函数f(x)在区间[−π2,0]的取值范围．22.函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=√1−sinx+√1+sinx的性质，并在此基础上填写下表，作出f(x)在区间[−π,2π]上的图象．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】因为f(x)=sin(2x−π4)−2√2sin2x=√22sin2x−√22cos2x−2√2⋅1−cos2x2=√22sin2x+√22cos2x−√2=sin(2x+π4)−√2.所以当2x+π4∈[−π2,π2]时，即x∈[−3π8,π8]时，f(x)单调递增．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】D【解析】因为sin(2α+5π6)=sin(2α+π3+π2)=cos(2α+π3)=cos[2(α+π6)]=1−2sin2(α+π6),所以sin(2α+5π6)=1−2×(45)2=−725．【知识点】二倍角公式3. 【答案】D【解析】∘√1−sin20∘=∘√1−cos70∘=∘√2sin235∘=∘√2sin35∘=∘√2sin35∘=√22.【知识点】二倍角公式4. 【答案】A【解析】因为函数f(x)=sin(2ωx−π3)在区间(π,2π)内没有最值，所以 2kπ−π2≤2ωπ−π3<4ωπ−π3≤2kπ+π2 或 2kπ+π2≤2ωπ−π3<4ωπ−π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得 k −112≤ω≤k2+524 或 k +512≤ω≤k2+1124，k ∈Z ． 又 T =2πω≥2π，且 ω>13，所以 13<ω≤1．令 k =0 可得 ω∈[512,1124]，且 f (x ) 在 (π,2π) 上单调递减． 所以①错误，②正确．当 x ∈[0,π] 时，2ωx −π3∈[−π3,2πω−π3]，且 2πω−π3∈[π2,7π12]，所以 f (x ) 在 [0,π] 上只有一个零点， 所以③错误，④正确． 所以正确结论的序号是②④． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】B【解析】 y =x 3与 y =(12)x−2的图象的交点的横坐标 x 0 即方程 x 3=(12)x−2的根，即函数f (x )=x 3−(12)x−2的零点．又 f (1)=1−(12)−1=−1<0，f (2)=23−(12)0=7>0，所以 f (x ) 的零点在 (1,2) 内，即 x 0∈(1,2)． 【知识点】指数函数及其性质6. 【答案】D【解析】根据角度制和弧度制的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关．故选D ． 【知识点】弧度制7. 【答案】B【解析】 a =log 0.32<0，b =20.1>1，c =sin789∘=sin69∘⇒0<c <1． 所以 b >c >a ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质8. 【答案】D【解析】由函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π) 的部分图象可得 A =2，T2=5π8−π8，即 T =π，则 ω=2πT=2，又函数图象过点 (π8,2)，则 2×π8+φ=2kπ+π2， 即 φ=2kπ+π4，k ∈Z ，又 0<φ<π，即 φ=π4，即 f (x )=2sin (2x +π4)，则 g (x )=2sin [2(x +π8)+π4]=2cos2x ． 对于选项A ，显然错误；对于选项B ，函数 g (x ) 的图象关于直线 x =kπ2，k ∈Z 对称，即B 错误；对于选项C ，函数 f (x ) 的图象关于点 (kπ2−π8,0)，k ∈Z 对称，即C 错误； 对于选项D ，函数 f (x ) 的增区间为 [kπ−3π8,kπ+π8]，k ∈Z ，函数 g (x ) 的增区间为 [kπ−π2,kπ]，k ∈Z ， 又 (−π3,0)⊆[kπ−3π8,kπ+π8]，k ∈Z ，(−π3,0)⊆[kπ−π2,kπ]，k ∈Z ，即D 正确． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【解析】易知 C 1:y =cosx =sin (x +π2)，把曲线 C 1 上的各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，得到函数 y =sin (2x +π2) 的图象，再把所得函数的图象向左平移 π12 个单位长度，可得函数 y =sin [2(x +π12)+π2]=sin (2x +2π3) 的图象，即曲线 C 2，故选D ．【知识点】三角函数的图象变换10. 【答案】B【知识点】正切函数的性质二、填空题（共6题） 11. 【答案】 −π4【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】 (2−sin2,1−cos2)【解析】根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长，点 P 旋转 了 21=2 弧度，此时点 P 的坐标为x P =2−cos (2−π2)=2−sin2，y P =1+sin (2−π2)=1−cos2，所以 P (2−sin2,1−cos2)．另解 1：根据题意可知滚动制圆心为 (2,1) 时的圆的参数方程为 {x =2+cosθ,y =1+sinθ, 且 ∠PCD =2，θ=3π2−2，则点 P 的坐标为 {x =2+cos (3π2−2)=2−sin2,y =1+sin (3π2−2)=1−cos2,即 P (2−sin2,1−cos2)．【知识点】弧度制13. 【答案】 −13 ；√24【解析】由诱导公式可知，cos (π2+α)=−sinα， 因为 sinα=13，所以 cos (π2+α)=−sinα=−13， 由 sin 2α+cos 2α=1，sinα=13，且 α 为第二象限， 所以 cosα=−2√23， tan (π−α)=−tanα=−sinαcosα=√24． 【知识点】同角三角函数的基本关系、诱导公式14. 【答案】 −1【知识点】两角和与差的正弦15. 【答案】√33【解析】原式=2tan15∘(1−tan15∘)(1+tan15∘)=2tan15∘1−tan215∘=tan30∘=√33.【知识点】二倍角公式16. 【答案】5【解析】tan(α+π4)=tan[(α+β)−(β−π4)]=tan(α+β)−tan(β−π4)1+tan(α+β)tan(β−π4)=23+11+23×(−1)=5.【知识点】两角和与差的正切三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为f(x)=2cos2x+2⋅sinxcosx⋅cos2x，所以f(x)=2⋅1+cos2x2+2sinxcosx，所以f(x)=1+cos2x+sin2x=√2sin(2x+π4)+1，所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π．要使tanx有意义，则x≠kπ+π2，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x∣∣ x≠kπ+π2,k∈Z}．(2) 令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−3π4≤2x≤2kπ+π4，k∈Z，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z．所以f(x)单调递增区间是[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】(1) 由题设可知：f (x )=√3cos (π2−x)cos (2π−x )−cos 2x=√3sinxcosx −1+cos2x 2=√32sin2x −12cos2x −12=sin (2x −π6)−12, 令 2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，即 2kπ−π3≤2x ≤2kπ+2π3，k ∈Z ， 解得 kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，故函数 f (x ) 的单调递增区间为 [kπ−π6,kπ+π3]，k ∈Z ．(2) 故 f (θ2+π3)=sin (θ+2π3−π6)−12=cosθ−12=310， 所以 cosθ=45，又 θ∈[0,π2]，故 sinθ=√1−cos 2θ=35，tanθ=sinθcosθ=34， 故 tan (θ+π4)=1+tanθ1−tanθ=7．【知识点】两角和与差的正切、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】略【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】(1) f (x )=tan [(x −12)π]，x ∈(0,1) 满足； g (x )=lg (1x −1)，x ∈(0,1) 不满足． (2) 因为 f [g (x )]=log 12(2sin2x +1)∈[−1,0]， 所以 2sin2x +1∈[1,2]，即 sin2x ∈[0,12]，所以 2x ∈[2kπ,kπ+π6]∪[2kπ+5π6,2kπ+π]，k ∈Z ．所以 x ∈[kπ,kπ+π12]∪[kπ+5π12,kπ+π2]，k ∈Z ， 满足条件的 D =[0,π12]（答案不唯一）．(3) 假设存在 a ，b 使得 f (a +b )≠f (a )+f (b )．又有 ∣f (a )∣=∣f (a +b )−f (b )∣，∣f (b )∣=∣f (a +b )−f (a )∣，所以 −f (a )=f (a +b )−f (b )，−f (b )=f (a +b )−f (a )，结合两式：f (a )=f (b )，f (a +b )=0，所以 ∣f (b )−f (−a )∣=∣f (a +b )∣=0，故 f (−a )=f (b )=f (a )． 由于 f (a +b )≠f (a )+f (b ) 知：f (a )≠0．又 ∣∣f (a 2)∣∣=∣∣f (a )−f (a 2)∣∣⇒f (a 2)=12f (a )． 类似地，由于 f (−a )≠0，∣∣f (−a 2)∣∣=∣∣f (−a )−f (−a 2)∣∣， 得 f (−a 2)=12f (−a )=12f (a )． 所以 ∣f (a )∣=∣∣f (a 2)−f (−a 2)∣∣=0，与 f (a )≠0 矛盾，所以原命题成立． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的单调性、抽象函数21. 【答案】(1) 由题意，化简得f (x )=2cosxsinx −√3(2cos 2x −1)=sin2x −√3cos2x=2sin (2x −π3).所以函数 f (x ) 的最小正周期为 π，因为 y =sinx 的减区间为 [2kπ+π2,2kπ+3π2]，k ∈Z ， 由 2kπ+π2≤2x −π3≤2kπ+3π2，得 kπ+5π12≤x ≤kπ+11π12， 所以函数 f (x ) 的单调递减区间为 [kπ+5π12,kπ+11π12]，k ∈Z ．(2) 因为 x ∈[−π2,0]， 所以 2x −π3∈[−4π3,−π3]， 所以 −2≤2sin (2x −π3)≤√3， 所以函数 f (x ) 在区间 [−π2,0] 上的取值范围是 [−2,√3]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】因为1−sinx≥0且1+sinx≥0在R上恒成立，所以函数的定义域为R；因为f2(x)=(√1−sinx+√1+sinx)2=2+2∣cosx∣，所以由∣cosx∣∈[0,1]，f2(x)∈[2,4]可得函数的值域为[√2,2]；因为f(x+π)=√1+sinx+√1−sinx=f(x)，所以函数的最小正周期为π．因为当x∈[0,π2]时，f(x)=√1−sinx+√1+sinx=2cos x2，在[0,π2]上为减函数；当x∈[π2,π]时，f(x)=√1−sinx+√1+sinx=2sin x2，在[π2,π]上为增函数．所以f(x)在[kπ−π2,kπ]上递增，在[kπ,kπ+π2]上递减(k∈Z)．因为f(−x)=f(x)且f(π2−x)=f(π2+x)，所以f(x)在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线x=kπ2对称．因此，可得如下表格：【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(45)
1 人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷5 （共22题）
一、选择题（共10题） 1. 已知一个扇形所在圆的半径为 1，圆心角为 60∘，则 ( ) A．该扇形圆心角弧度数为 1 B．该扇形弧长为 π3
C．该扇形面积为 2π3 D．该扇形周长为 2π3
2. 函数 𝑦=3cos(2𝑥−π8) 的一个对称中心是 ( )
A． (
π8,0) B． (5π16,0) C． (3π8,0) D． (7π
16,0)
3. 函数 𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,−π2<𝜑2) 的部分图象如图所示，则 𝜔，𝜑 的值分别是
( )
A． 2，−π3 B． 2，−π6 C． 4，−π6 D． 4，π3 4. 已知函数 𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−π6)，若方程 𝑓(𝑥)=35 的解为 𝑥1，𝑥2(0<𝑥1<𝑥2
−
𝑥2)= ( ) A． −35 B． −45 C． −√23 D． −√33
5. 函数 𝑓(𝑥)=sin(𝑥−π4) 的图象的一条对称轴是 ( ) 2
A． 𝑥=π4 B． 𝑥=π2 C． 𝑥=−π4 D． 𝑥=−π2 6. 若角 𝛼 的终边落在直线 𝑥+𝑦=0 上，则 sin𝛼√1−sin2𝛼+√1−cos2𝛼cos𝛼 的值等于 ( ) A． 0 B． −2 C． 2 D． −2 或 2
7. 已知 sin𝛼=35，𝛼∈(0,
π2)，则 cos(7π
4+𝛼) 等于 ( )
A． 4√25 B． 7√210 C． −4√25 D． −7√210
8. 若一个扇形的半径变为原来的 12，弧长变为原来的 32 倍，则此扇形的圆心角变为原来的 ( ) A． 3 倍 B． 2 倍 C． 12 D． 13
9. 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) A． π6 B． π3 C． 3 D． √3
高一数学(必修一)《第五章-正弦函数、余弦函数的图象》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 正弦函数、余弦函数的图象》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中02πϕ<<）的图象经过1(,)42P π，则ϕ的值为（ ） A ．512π B ．3πC ．4π D ．6π2．已知函数()cos f x x x =和()()g x f x '=，则（ ）． A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为(0,1)3．设函数()2121log 2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，，的最小值为1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， B ．12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， C ．12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， D ．[)1-+∞， 4．已知函数()22πcos sin 2f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象先向右平移π12个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的对称轴方程为（ ） A ．()ππ+Z 12x k k =∈ B ．()ππZ 6x k k =-∈ C ．()ππZ 212k x k =-∈ D ．()ππ+Z 212k x k =∈ 5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，则()()e 1xf x x =+，则下列结论中错误的是（ ）A ．当0x >时，则()()e 1xf x x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,R x x ∀∈，都有()()122f x f x -<6．设集合{}{}2log 2,P x x Q y y x P =<=∈∣∣，则P Q =（ ） A ．{34}xx <<∣ B ．{34}xx <∣ C ．{04}xx <<∣ D ．{05}xx <∣ 7．已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=（ ） A ．2- B ．0C ．2D ．48．函数()cos xf x xπ=在区间[]4,4-上的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．二、解答题9．已知函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)用五点法画出函数()f x 的大致图像，并写出()f x 的最小正周期； (2)写出函数()f x 在R x ∈上的单调递减区间； (3)将()y f x =图像上所有的点向右平移3π个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍，得到()y g x =的图像，求()y g x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．10．已知函数()22sin sin 363f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()2g x f x a =-在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点()123123,,x x x x x x <<（i ）求实数a 的取值范围； （ii ）求()123sin 2x x x +-的值.11．某实验室某一天的温度（℃）随时间()t h 的变化近似地满足函数关系：()sin1212f t k t t ππ=-[)0,24t ∈ R k ∈ 已知早上6时，则实验室温度为9℃．(1)求函数()f t 的解析式； (2)求实验室这一天中的最大温差；(3)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪个时间段实验室需要降温? 12．已知函数222()log log (4),()log ()f x x x g x x a =--=+． (1)求()f x 的定义域，并证明()f x 的图象关于点(2,0)对称；(2)若关于x 的方程()()f x g x =有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围． 13．已知函数32()1f x x ax bx =+++在点(1,(1))P f 处的切线方程为420x y --=． (1)求函数()f x 的单调区间(2)若函数()()g x f x m =-有三个零点，求实数m 的取值范围．三、填空题14．函数()2log 2cos 1y x =+的定义域是______.15．已知函数()22sin sin 2f x x x =的最大值为3，则实数a 的值为______.16．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为______．四、多选题17．已知函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A ．2ω=B ．3πϕ=C ．()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．若123x x π+=，则()()12f x f x =参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据给定条件，结合特殊角的三角函数值求解作答.【详解】依题意，1()sin()cos 422f ππϕϕ=+==，而02πϕ<<，所以3πϕ=.故选：B 2．【答案】B【分析】利用导数求得()g x ，然后根据三角函数的对称性、单调性、特殊值等知识求得正确答案.【详解】()()'1sin 2sin 2g x f x x x x x ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭4π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ππ4π3π2sin 2sin 26632g ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()g x 图像的一条对称轴是π6x =，B 选项正确，A 选项错误. ()g x 的最小正周期2πT =，半周期π2T= 5π5π5ππ663⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，所以区间5π5π,66⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的单调区间，C 选项错误. ()()4πππ02sin 2sin π2sin 0,1333g ⎛⎫==+=-= ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：B3．【答案】A【分析】分段讨论最小值即可.【详解】由于函数()2121log 2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，，的最小值为1- 当12x ≥时，则()211log 122f x f ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭当12x ≤时，则()112f x a >-+≥-，解得12a ≥-故选: A ． 4．【答案】D【分析】整理可得()1cos2f x x =+，根据平移整理得()πcos 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合余弦函数得对称轴()ππZ 62k k x -=∈求解．【详解】()222πcos sin 2cos 1cos 22f x x x x x ⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭由题意可得()cos 2cos 2ππ126g x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭则()ππZ 62k k x -=∈，解得()ππ+Z 212k x k =∈故选：D ． 5．【答案】A【分析】由奇函数求出0x >的解析式即可判断A 选项；解方程求出零点即可判断B 选项；解分段函数不等式即可判断C 选项；求导确定单调性得出函数图象，即可判断D 选项.【详解】对于A ，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，则0x -< ()()()e 1xf x x f x --=-+=-则()()()e 1e 1x xf x x x --=--+=-，A 错误；对于B ，易得()00f =，当0x <时，则()()e 10x f x x =+=，可得1x =-；当0x >时，则()()e 10xf x x -=-=可得1x =，则函数()f x 有3个零点，B 正确；对于C ，由()()()e 1,00,0e 1,0x x x x f x x x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，当0x <时，则由()()e 10xf x x =+<得1x <-；当0x >时，则由()()e 10xf x x -=-<得01x <<，则()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 正确；对于D ，当0x <时，则()()e 1x f x x =+，()()e 2xf x x '=+当2x <-时，则()0f x '<，()f x 单减，此时()0f x <；当20x -<<时，则()0f x '>，()f x 单增()10f -=，0x →时，则()1f x →；2x =-时，则()f x 有极小值()212e f -=-； 结合函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()f x 的图象结合图象知，()f x 的值域为()1,1-，则12,R x x ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 正确. 故选：A. 6．【答案】A【分析】由集合交集的定义计算即可.【详解】由2log 2x <解得04x <<，所以{|04}P x x =<<所以2(0,16)x ∈(3,5)和{|35}Q y y =<< 所以{|34}P Q x x =<<. 故选：A. 7．【答案】C【分析】结合函数的奇偶性、对称性和周期性求得正确答案. 【详解】()f x 是奇函数()()22f x f x -=+，即()f x 关于2x =对称()()()()()()42222f x f x f x f x f x +=++=-+=-=- ()()()()()()8444f x f x f x f x f x +=++=-+=--=所以()f x 是周期为8的周期函数.()()()()()()00,12,3212112f f f f f f ===+=-==()()()()4222200f f f f =+=-== ()()()()()52323112f f f f f =+=-=-=-=- ()()()()()6242422f f f f f =+=-=-=- ()()()74332f f f =+=-=- ()()800f f ==所以()()()()()()()()123456780f f f f f f f f +++++++= 由于202225286=⨯+ 所以(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=()()()()()()1234562f f f f f f +++++=.故选：C 8．【答案】C【分析】先判断函数奇偶性排除A ，再结合特殊值法和零点个数可选出正确答案. 【详解】易知函数cos ()xf x x π=是奇函数，图象关于原点对称，可以排除A ；在原点右侧附近，函数()f x 值大于0，排除D ；函数cos ()x f x x π=在区间[4,4]-上有零点1357,,,2222±±±±，共计8个，排除B.仅有C 符合上述要求. 故选：C.9．【答案】(1)图象见解析 T π=；(2)5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3)()max 2g x = ()min 2g x =-； 【分析】（1）根据“五点法”列表，即可做出函数图象，再根据周期公式求出周期； （2）根据正弦函数的性质计算可得；（3）根据三角函数的变换规则得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围，求出43x π-的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；（1）解：因为2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 列表如下：函数图象如下：函数()f x 的最小正周期22T ππ==． （2）解：令222,Z232k x k k πππππ-+≤+≤+∈解得5,Z 1212k x k k ππππ-+≤≤+∈ 所以函数的单调递减区间为5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（3）解：将()y f x =图像上所有的点向右平移3π个单位长度得到2sin 22sin 2333y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 再2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变得到()2sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以54,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 41,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()[]2,2g x ∈-当432x ππ-=，即524x π=时()max 2g x =，当3432x ππ-=，即1124x π=时()min 2g x =-；10．【答案】(1)()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)（i ）⎡⎤⎣⎦；（ii 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得到()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；根据正弦型函数单调性的求法可求得单调递增区间； （2）（i ）令43t x π=-，将问题转化为2sin y t =与y a =在,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有3个不同的交点，利用数形结合的方式即可求得a 的取值范围；（ii ）由（i ）中图像可确定233t t π+=，312t t π-=由此可得1232t t t π+-=-，整理可得123212x x x π+-=-，由两角和差正弦公式可求得sin12π-的值，即为所求结果.（1）()22sin cos 2cos 13263f x x x x ππππ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭2222sin cos 2sin 2233333x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin 22sin 2333x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ∴令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）（i ）由（1）得：()2sin 43g x x aπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则4,233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦设43t x π=-，则()g x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点等价于2sin y t =与y a =在,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有3个不同的交点；作出2sin y t =在,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如下图所示由图像可知：当0a ≤≤时，则2sin y t =与y a =恰有3个不同的交点∴实数a 的取值范围为⎡⎤⎣⎦；（ii ）设2sin y t =与y a =的3个不同的交点分别为()123123,,t t t t t t << 则233t t π+= 312t t π-= ()123323232224t t t t t t t t πππ∴+-=-+-=+-=-即1232444333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得：1238443x x x π+-=-123212x x x π∴+-=-()123sin 2sin sin sin cos cos sin 12464646x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫∴+-=-=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12==.11．【答案】(1)()102sin 123f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ (2)最大温差为4℃ (3)10时至18时【分析】(1)将6t =代入求出k 值即可得解.(2)在[)0,24t ∈时，则求出函数()f t 的最大值与最小值即可得解. (3)解关于t 的三角不等式()11f t >即可作答.(1)因1()sin )2sin()12212123f t k t t k t ππππ=-+=-+则当6t =时，则()2sin(6)9123f t k ππ=-⨯+=，解得10k =所以()f t 的解析式为()102sin()123f t t ππ=-+.(2)因024t ≤<，则731233t ππππ≤+<，得1sin()1123ππ-≤+≤t ，当1232t πππ+=，即2t =时，则()f t 取最小值8当31232t πππ+=，即14t =时，则()f t 取最大值12，即实验室这一天中的最高温度为12℃，最低温度8℃所以最大温差为4℃. (3)依题意，当()11f t >时，则实验室需要降温由()102sin 11123f t t ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，得1sin 1232t ππ⎛⎫+<-⎪⎝⎭ 而当024t ≤<，即731233t ππππ≤+<时，则则有71161236t ππππ<+<，解得1018t <<所以在10时至18时实验室需要降温.12．【答案】(1)定义域为()0,4，证明见解析；(2)10a -<<.【分析】（1）根据解析式有意义可求函数的定义域，可证()()40f x f x +-=，从而得到()f x 的图象关于点(2,0)对称.（2）根据根分布可求参数的取值范围.（1）由题设可得040x x >⎧⎨-<⎩，故04x <<，故()f x 的定义域为()0,4而()()2222()4log log (4)log 4log 0f x f x x x x x +-=--+--=故()f x 的图象关于点(2,0)对称.（2）因为()()f x g x =有两个不同的实数解 故4x x a x=+-在()0,4上有两个不同的实数解 整理得到：2(3)40x a x a +--=在()0,4上有两个不同的实数解设()2(3)4h x x a x a =+--，则()()()2004030423160h h a a a >⎧⎪>⎪⎪-⎨<<⎪⎪⎪-+>⎩ 故240164(3)4030421090a a a a a a ->⎧⎪+-->⎪⎪-⎨<<⎪⎪++>⎪⎩，解得10a -<<. 13．【答案】(1)单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (2)22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，列出方程组求得()321f x x x x =+-+，得到()2321f x x x '=+-，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到()321g x x x x m =+-+-，结合条件列出不等式组，即得.（1）由题可得2()32f x x ax b '=++ 由题意得(1)22(1)324f a b f a b =++=⎧⎨=++='⎩解得1,1a b ==-所以322()1,()321f x x x x f x x x =+-+=+-'由()0f x '>得1x <-或13x > 由()0f x '<得113x -<< 所以()f x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； （2）因为322()()1,()()321g x f x m x x x m g x f x x x =-=+-+='-=+-'由（1）可知，()g x 在1x =-处取得极大值，在13x =处取得极小值 ()g x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 依题意，要使()g x 有三个零点，则(1)0103g g ->⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩ 即()1201220327g m g m ⎧-=->⎪⎨⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得22227m <<，经检验，(2)10,(2)110g m g m -=-<=+> 根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点所以m 的取值范围为22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭． 14．【答案】222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ） 【分析】根据对数函数的性质可得2cos 10x +>，再由余弦函数的图象与性质即可求解.【详解】由题意可得2cos 10x +>，解得1cos 2x >- 作出cos y x =的图象，如下：由图象可得2222,33k x k k Z ππππ-<<+∈ 所以函数的定义域为222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）. 故答案为： 222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ） 15．【答案】±1【分析】先化简函数的解析式得()()21f x x ϕ++13=即得解.【详解】由题得()()22sin sin 21cos 2sin 221f x x x x x x ϕ==-++，其中tan ϕ=所以()f x 13=解得1a =±.故答案为：±1.16．【答案】1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【分析】找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.【详解】如下图，作出简图，由题意知，[)45,x x π∈，设函数()f x 的最小正周期为T因为06x πω=-，则40077210443T x x x ππωω+=+⋅== 500223226x x T x ππωω=+=+⋅= 结合[)45,x x π∈有103ππω≥且236ππω<，解得1023,36ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．故答案为：1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭17．【答案】AD 【分析】由图知22T π=即可求ω；根据()012f π-=且(0)0f >求ϕ；代入验证并结合正弦函数的单调性判断在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调性；由213x x π=-代入解析式，利用诱导公式转化函数式判断()()12f x f x =是否成立. 【详解】由图知：5()212122T πππ=--=，而2T πω=，可得2ω=，A 正确； ∴()()2sin 2f x x ϕ=+，又()2sin()0126f ππϕ-=-+=且(0)2sin 0f ϕ=>，有6k πϕπ=+ k Z ∈ 又ϕπ< ∴0k =，即6π=ϕ，B 错误； 综上，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则22[,]633x πππ+∈-，显然()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，C 错误； 若123x x π+=，则213x x π=-，故2115()()2sin(62)3f x f x x ππ=-=-12sin(2)56x ππ=+-112sin()()26x f x π=+= D 正确.故选：AD。
高中数学必修一第五章三角函数单元测试（1）（含答案解析）
⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(66)
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1.sin2cos3tan4的值为( )A．0B．负数C．正数D．不存在2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2017)的值等于( )A．√2B．2+2√2C．√2+2D．√2−23.已知f(x)=sinx−cosx，则f(π12)的值是( )A．−√62B．12C．−√22D．√224.在直角坐标系xOy中，已知角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y=3x上，则sin(3π2−2θ)=( )A．45B．−45C．−35D．125.sin750∘的值为( )A．−√32B．√32C．−12D．126.若tan28∘tan32∘=m，则tan28∘+tan32∘=( )A．√3m B．√3(1−m)C．√3(m−1)D．√3(m+1)7.已知函数f(x)=cosx−∣sinx∣，那么下列命题中假命题是( )A．f(x)是偶函数B．f(x)在[−π,0]上恰有一个零点C．f(x)是周期函数D．f(x)在[−π,0]上是增函数8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，若f(m)≤f(x)≤f(π12)对任意实数x恒成立，且∣∣m−π12∣∣的最小值为π2，则φ等于( )A．π6B．π4C．π3D．2π39.已知sin(π6−x)=12，则sin(19π6−x)+sin2(−2π3+x)=( )A．14B．34C．−14D．−1210.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A．[kπ−14,kπ+34]，k∈Z B．[2kπ−14,2kπ+34]，k∈ZC．[k−14,k+34]，k∈Z D．[2k−14,2k+34]，k∈Z二、填空题（共6题）11.已知ω>0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2√3，则ω=．12.若2sin(α+π6)=3cosα，则tanα=；cos2α=．13.cos(−α)tan(7π+α)sin(π+α)=．14.若函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，∣φ∣<π2，x∈R，两相邻的对称轴的距离为π2，f(π6)为最大值，则函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．15.cos(−2π3)=．16.使函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y轴对称的θ=．三、解答题（共6题）17.请回答：(1) 已知θ是第四象限角，试判断tan(sinθ)⋅tan(cosθ)的符号；(2) 若sin(cosθ)⋅cos(sinθ)>0，试判断角θ的终边的位置．18.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？(1) y=∣sinx∣；(2) y=1−cos2x；(3) y=−3sin2x；(4) y=1+2tanx．19.已知tan2α=2tan2β+1，求证：sin2β=2sin2α−1．20.对于集合A={θ1,θ2,⋯,θn}和常数θ0，定义：μ=cos2(θ1−θ0)+cos2(θ2−θ0)+⋯+cos2(θn−θ0)n为集合A 相对θ0的“余弦方差”．(1) 若集合A={π3,π4}，θ0=0，求集合A相对θ0的“余弦方差”；(2) 求证：集合A={π3,2π3,π}相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值，并求此定值；(3) 若集合A={π4,α,β}，α∈[0,π)，β∈[π,2π)，相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值，求出α，β．21.已知函数y=3tan(xa −π3)+b，x∈[0,π3]是增函数，值域为[−2√3,0]，求a，b的值．22.已知函数f(x)=√2sin2x+√2cos2x，x∈R．(1) 求f(3π8)的值；(2) 求f(x)的最小正周期；(3) 求f(x)的最大值及取得最大值的x的集合．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】因为 π2<2<3<π<4<32π， 所以 sin2>0，cos3<0，tan4>0， 所以 sin2cos3tan4<0． 【知识点】任意角的三角函数定义2. 【答案】A【解析】由图可知 A =2，φ=2kπ，k ∈Z ，T =8，所以 2πω=8，即 ω=π4，所以 f (x )=2sin π4x ．因为周期为 8，且 f (1)+f (2)+⋯+f (8)=0，所以 f (1)+f (2)+⋯+f (2017)=f (1)=2sin π4=√2．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质3. 【答案】C【解析】因为 f (x )=sinx −cosx =√2sin (x −π4)， 所以 f (π12)=√2sin (π12−π4)=√2sin (−π6)=−√22． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】A【解析】因为角 θ 终边落在直线 y =3x 上， 所以 tanθ=3，cos 2θ=110，所以 sin (3π2−2θ)=−cos2θ=−(2cos 2θ−1)=45．【知识点】二倍角公式5. 【答案】D【解析】 sin750∘=sin (2×360∘+30∘)=sin30∘=12． 【知识点】诱导公式6. 【答案】B【解析】tan28∘+tan32∘=tan(28∘+32∘)(1−tan28∘tan32∘) =tan60∘(1−tan28∘tan32∘)=√3(1−m).【知识点】两角和与差的正切7. 【答案】D【解析】对于A，函数f(x)=cosx−∣sinx∣，定义域为R，且满足f(−x)=cos(−x)−∣sin(−x)∣=cosx−∣sinx∣=f(x)，所以f(x)为定义域R上的偶函数，A正确；对于B，x∈[−π,0]时，sinx≤0，f(x)=cosx−∣sinx∣=cosx+sinx=√2sin(x+π4)，且x+π4∈[−3π4,π4]，f(x)在[−π,0]上恰有一个零点是−π4，B正确；对于C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数f(x)是最小正周期为2π的周期函数，C正确；对于D，x∈[−π,0]时，f(x)=√2sin(x+π4)，且x+π4∈[−3π4,π4]，f(x)在[−π,0]上先减后增，D错误．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】A【解析】sin(π6−x)=12，则sin(19π6−x)+sin2(−2π3+x)=sin(3π+π6−x)+sin2[−π2−(π6−x)]=−sin(π6−x)+cos2(π6−x)=−sin(π6−x)+1−sin2(π6−x)=−12+1−(12)2=14.故选：A．【知识点】同角三角函数的基本关系、诱导公式10. 【答案】D【解析】由题图可得函数的周期为2×(54−14)=2，所以2πω=2，解得ω=π，所以f(x)=cos(πx+φ)，再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+φ=π2，解得φ=π4，故f(x)=cos(πx+π4)，令2kπ≤πx+π4≤2kπ+π，k∈Z，可得2k−14≤x≤2k+34，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[2k−14,2k+34]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】π2【解析】易知函数y=sinx和y=cosx的图象的交点坐标为(π4+2k1π,√22)，(5π4+2k2π,−√22)，k1,k2∈Z，因为ω>0，所以函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点坐标为(1ω(π4+2k1π),√2)，(1ω(5π4+2k2π),−√2)，k1,k2∈Z，取其中三点A(π4ω,√2)，B(5π4ω,−√2)，C(π4ω+2πω,√2)，从而∣AB∣2=(πω)2+(2√2)2=(πω)2+8，∣AC∣2=(2πω)2．（i）当(2πω)2≥(πω)2+8，即0<ω≤√64π时，距离最短的两个交点的距离为∣AB∣，依题意得(πω)2+8=(2√3)2，解得ω=π2，显然π2∈(0,√64π]，故ω=π2符合题意；（ii）当(2πω)2<(πω)2+8，即ω>√64π时，距离最短的两个交点的距离为∣AC∣，依题意得2πω=2√3，解得ω=√3，而√3∉(√64π,+∞)，故ω=√3不符合题意．综上所述，ω=π2．【知识点】正弦函数的图象、余弦函数的图象12. 【答案】2√33；−17【解析】因为2sin(α+π6)=3cosα，所以2(sinαcosπ6+cosαsinπ6)=3cosα，所以√3sinα+cosα=3cosα，所以√3sinα=2cosα，所以tanα=2√33，又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α=47．所以cos2α=1−2sin2α=1−2×47=−17．【知识点】二倍角公式13. 【答案】−1【知识点】诱导公式14. 【答案】[0,π6]和[2π3,π]【解析】由已知T2=π2，解得T=π，所以ω=2，又f(π6)为最大值，可得φ=π6+2kπ，k∈Z，由∣φ∣<π2得φ=π6，所以函数f(x)=sin(2x+π6)，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，当k=0时，x∈[−π3,π6]，当k=1时，x∈[2π3,7π6]，所以f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为[0,π6]和[2π3,π]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】−12【知识点】诱导公式16. 【答案】kπ5+π10,k∈Z【解析】因为函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y轴对称，所以f(−x)=f(x)恒成立．所以3sin(−2x+5θ)=3sin(2x+5θ)，所以sin(−2x+5θ)=sin(2x+5θ)，所以−2x+5θ=2x+5θ+2kπ（舍去）或−2x+5θ+2x+5θ=2kπ+π(k∈Z)，即10θ=2kπ+π，故θ=kπ5+π10(k∈Z)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为θ是第四象限角，所以−1<sinθ<0，0<cosθ<1，则sinθ可看作第四象限角，cosθ可看作第一象限角，所以tan(sinθ)<0，tan(cosθ)>0，所以tan(sinθ)⋅tan(cosθ)<0．(2) 因为−π2<−1≤sinθ≤1<π2，所以cos(sinθ)>0，要使sin(cosθ)⋅cos(sinθ>0)，则必有sin(cosθ)>0，又因为−π2<−1≤cosθ≤1<π2，所以0<cosθ≤1，所以θ为第一、四象限角或角θ终边在x轴的非负半轴上．【知识点】任意角的三角函数定义18. 【答案】(1) 偶函数．(2) 偶函数．(3) 奇函数．(4) 非奇非偶函数．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】由tan2α=2tan2β+1，可得tan2β=12(tan2α−1)，即sin2βcos2β=12(sin2αcos2α−1)，故有sin2β1−sin2β=12×(sin2α1−sin2α−1)=12×2sin2α−11−sin2α.整理得sin 2β1−sin2β=sin2α−121−sin2α，即sin2β(1−sin2α)=(1−sin2β)(sin2α−12)，展开化简，得12sin2β=sin2α−12，即sin2β=2sin2α−1．【知识点】同角三角函数的基本关系20. 【答案】(1) 依题意：μ=cos2(π3−0)+cos2(π4−0)2=14+122=38．(2) 由“余弦方差”定义得：μ=cos2(π3−θ0)+cos2(2π3−θ0)+cos2(π−θ0)3，则分子=(cosπ3cosθ0+sinπ3sinθ0)2+(cos2π3cosθ0+sin2π3sinθ0)2+(cosπcosθ0+sinπsinθ0)2=(12cosθ0+√32sinθ0)2+(−12cosθ0+√32sinθ0)2+cos2θ0=12cos2θ0+32sin2θ0+cos2θ0=32.所以 μ=323=12为定值，与 θ0 的取值无关．(3) μ=cos 2(π4−θ0)+cos 2(α−θ0)+cos 2(β−θ0)3，分子=(cos π4cosθ0+sin π4sinθ0)2+(cosαcosθ0+sinαsinθ0)2+(cosβcosθ0+sinβsinθ0)2=(12cos 2θ0+12sin 2θ0+sinθ0cosθ0)+(cos 2αcos 2θ0+sin 2αsin 2θ0+2sinθ0cosθ0sinαcosα)+(cos 2βcos 2θ0=(12+cos 2α+cos 2β)cos 2θ0+(12+sin 2α+sin 2β)sin 2θ0+(1+sin2α+sin2β)sinθ0cosθ0=1+cos2θ02(12+cos 2α+cos 2β)+1−cos2θ02(12+sin 2α+sin 2β)+12(1+sin2α+sin2β)sin2θ0=cos2θ02(cos 2α+cos 2β−sin 2α−sin 2β)+sin2θ02(1+sin2α+sin2β)+12(12+cos 2α+cos 2β)+12(12+sin 2α=cos2θ02(cos2α+cos2β)+sin2θ02(1+sin2α+sin2β)+12(12+cos 2α+cos 2β)+12(12+sin 2α+sin 2β)=32+12sin2θ0⋅(1+sin2α+sin2β)+12cos2θ0⋅(cos2α+cos2β).要使 μ 是一个与 θ0 无关的定值，则 {cos2α+cos2β=0,1+sin2α+sin2β=0,因为 cos2α=−cos2β，所以 2α 与 2β 终边关于 y 轴对称或关于原点对称． 又 sin2α+sin2β=−1，得 2α 与 2β 终边只能关于 y 轴对称， 所以 {sin2α=sin2β=−12,cos2α=−cos2β.又 α∈[0,π)，β∈[π,2π)， 则当 2α=76π 时，2β=236π；当 2α=116π 时，2β=196π．所以 α=712π，β=2312π 或 α=1112π，β=1912π． 故 α=712π，β=2312π 或 α=1112π，β=1912π 时，相对任何常数 θ0“余弦方差”是一个与 θ0 无关的定值．【知识点】任意角的三角函数定义、二倍角公式、同角三角函数的基本关系21. 【答案】a =2，b =√3【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) f (3π8)=√2×√22−√2×√22=0.(2) 因为f(x)=2(√22sin2x+√22cos2x)=2(cosπ4sin2x+sinπ4cos2x)=2sin(2x+π4).所以最小正周期为T=2π2=π．(3) 因为f(x)=2(√22sin2x+√22cos2x)=2(cosπ4sin2x+sinπ4cos2x)=2sin(2x+π4).所以当2x+π4=2kπ+π2(k∈Z)时，即x=kπ+π8(k∈Z)时，函数f(x)的最大值为2，f(x)取得最大值的x的集合为{x∣ x=kπ+π8(k∈Z)}．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质11。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷含答案解析(2)
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.cos2π3=( )A．−12B．12C．√32D．−√322.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称，那么∣φ∣的最小值为( )A．π6B．π4C．π3D．π23.已知函数f(x)=2sinxcosx，则f(x)的周期是( )A．π2B．πC．2πD．4π4.下列角中终边与330∘相同的角是( )A．30∘B．−30∘C．630∘D．−630∘5.已知α∈(0,π)，且3cos2α−8cosα=5，则sinα等于( )A．√53B．23C．13D．√596.已知tanα=2，那么sin2α的值是( )A．−45B．45C．−35D．357.在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点(−3,4)，则cosθ=( )A．45B．35C．−35D．−458.与角−390∘终边相同的最小正角是( )A．−30∘B．30∘C．60∘D．330∘9.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s=3cos(√gl t+π3)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l为( )A．gπcm B．g2πcm C．gπ2cm D．g4π2cm10.sin163∘sin223∘+sin253∘sin313∘=( )A．−12B．12C．−√32D．√32二、填空题（共6题）11.已知cos(π6−α)=13，则cos(5π6+α)=，sin(2π3−α)=．12.已知tan(π4+α)=12，则sin2α−cos2α1+cos2α=．13.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点和点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M坐标为(1,√3)，则tan(α+π4)=．14.若cosα=13，则sin(α−π2)=．15.已知函数y=Asin(ωx+φ)在同一个周期内，当x=π9时，y max=12；当x=49π时，y min=−12．则函数解析式为．16.角θ的终边经过点P(4,y)，且sinθ=−35，则tanθ=．三、解答题（共6题）17.已知函数f(x)=(1+1tanx )sin2x−2sin(x+π4)⋅sin(x−π4)．(1) 若tanα=2，求f(α)的值．(2) 若x∈[π12,π2)，求函数f(x)的值域．18.化简下列各式：(1) sin7π2+cos5π2+cos(−5π)+tanπ4；(2) a 2sin810∘−b 2cos900∘+2abtan1125∘．19. 已知锐角 α，β，且 tanα=2，cosβ=513，求：(1) sin2α； (2) tan (2α−β)．20. 利用公式 C (α−β) 求 cos15∘ 的值． 21. 若 1−tanα1+tanα=4+√5．求 cot (π4+α) 的值．22. 已知 sinα=−23，α∈(π,3π2)，cosβ=34，β∈(3π2,2π)，求 cos (β−α) 的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【知识点】任意角的三角函数定义2. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质3. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】B【知识点】任意角的概念5. 【答案】A【知识点】二倍角公式6. 【答案】B【解析】因为 tanα=2， 所以 sin2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanα1+tan 2α=45．【知识点】二倍角公式7. 【答案】C【知识点】任意角的三角函数定义8. 【答案】D【解析】依题意得 −390∘+360∘=−30∘，−30∘+360∘=330∘． 【知识点】任意角的概念9. 【答案】D【解析】因为周期 T =√gl，所以 √g l=2πT=2π，则 l =g 4π2cm ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】B【解析】sin163∘sin223∘+sin253∘sin313∘=sin17∘(−sin43∘)−cos17∘(−cos43∘) =cos(17∘+43∘)=cos60∘=12.【知识点】两角和与差的余弦二、填空题（共6题）11. 【答案】−13；13【知识点】诱导公式12. 【答案】−56【知识点】二倍角公式13. 【答案】−2−√3【解析】因为点P(1,√3)是角α终边上一点，所以tanα=√3，所以tan(α+π4)=tanα+11−tanα=√3+11−√3=−2−√3．【知识点】两角和与差的正切14. 【答案】−13【知识点】诱导公式15. 【答案】y=12sin(3x+π6)【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】−34【解析】因为角θ的终边经过点P(4,y)，所以sinθ=√42+y2=−35⇒y=−3，所以tanθ=−34．【知识点】任意角的三角函数定义三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sin(x+π4)cos(x+π4)=1−cos2x2+12sin2x+sin(2x+π2)=12+12(sin2x−cos2x)+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12.由tanα=2，得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45，cos2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α=1−tan2α1+tan2α=−35．所以f(α)=12(sin2α+cos2α)+12=35．(2) 由（1），得f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=√22sin(2x+π4)+12．由x∈[π12,π2)，得2x+π4∈[5π12,5π4)，所以−√22<sin(2x+π4)≤1，所以0<f(x)≤√2+12，所以函数f(x)的值域是(0,√2+12]．【知识点】二倍角公式、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】(1) 原式=sin3π2+cosπ2+cosπ+1 =−1+0−1+1=−1.(2) 原式=a2sin90∘−b2cos180∘+2abtan45∘=a2+b2+2ab=(a+b)2.【知识点】诱导公式19. 【答案】(1) 因为tanα=2，所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=2×222+1=45.(2) 因为 tanα=2，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=2×21−22=−43． 因为 cosβ=513，且 β 为锐角，所以 sinβ=√1−cos 2β=√1−(513)2=1213，所以 tanβ=sinβcosβ=1213513=125，所以tan (2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=−43−1251+(−43)×125=5633.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式20. 【答案】√6+√24．【知识点】两角和与差的余弦21. 【答案】 4+√5．【知识点】两角和与差的正切22. 【答案】√7−3√512．【知识点】两角和与差的余弦。
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高一数学(必修一)《第五章 三角函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．为了得到函数()()5sin 212f x x π=-的图象，可以将函数()sin 2g x x =图象上所有的点（ ） A ．向右平移512π个单位长度 B ．向左平移512π个单位长度 C ．向右平移524π个单位长度 D ．向左平移524π个单位长度 2．下列图像中，符合函数sin 2()1cos xf x x=-的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数()()πcos 2sin 06f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位长度后得到函数()y g x =的图像，则（ ）A ．()g x xB ．()g x x =C ．()π26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2g x x4．函数sin y x =-在[0,2]π上的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．5．要想得到正弦曲线，只需将余弦曲线（ ） A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移π个单位 D ．向左平移π个单位6．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的(0)m m >倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的(0)n n >倍，横坐标不变，得到如图所示的函数()f x 的部分图象，则,,m n ϕ的值分别为（ ）A ．22,2,3m n πϕ===B ．12,2,23m n πϕ===C ．2,2,3m n πϕ===D ．1,2,23m n πϕ===7．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M 3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23和π4 B ．2和π3 C ．2和π2 D ．103和π28．已知函数()π()cos 002f x A x A ωϕωϕ=+>><（，，）的部分图象如图所示，若先将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象；再把()g x 图象上所有点向左平行移动2π3个单位长度，得到函数()h x 的图象，则当2π[π,]3x ∈-时，则函数()h x 的值域为（ ）A ．[-2，0]B ．[-1，0]C ．[0，1]D ．[0，2]9．已知函数()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 的图像关于直线π4x =对称10．将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ）A ．32B ．2C ．3D ． 11．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C A π=-，则ba的取值范围是（ ）A ．2)B ．C ．D ．4)12．已知函数()4sin sin ,(0)33f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，将其图象沿x 轴向左平移(0)m m >个单位，所得图象关于直线3x π=对称，则实数m 的最小值为（ ）A ．6πB ．3π C ．34π D ．4π 13．已知函数3()2sin 242f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数52cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度14．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈()()cos f x A x B ωϕ=++的模型波动（()f x 的单位：千元，x 为月份，112x ≤≤且*x ∈N ）．已知3月出厂价最高，为9千元，7月出厂价最低，为5千元，则()f x 的解析式为（ ） A ．()ππ2sin 744f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()9si 44πn πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()πn 74f x x =+D ．()π2sin 744πf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭15．函数()sin cos f x x x =+的图象可以由函数()sin cos g x x x =-的图象（ ）A ．向右平移π4单位得到B ．向左平移π4单位得到C ．向右平移π2单位得到D ．向左平移π2单位得到16．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于()g x 的说法正确的是（ ） A ．图象关于直线3x π=-对称 B ．图象关于6x π=对称 C ．图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称17．将偶函数()()()2cos 2(0π)f x x x ϕϕϕ=+-+<<的图象向右平移π6个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的一个单调递减区间为（ ） A ．ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π7π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π5π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭二、解答题18．已知函数()()3sin 2f x x πϕϕ=+∈-，（，2π）函数关于4x π=对称.(1)求()f x ϕ的值及的解析式；(2)用五点法在下列直角坐标系中画出()f x 在744ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象；(3)写出()f x 的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量x 的取值集合． 19．不画图，说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得出： （1）1π8sin 48y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1πsin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.20．已知函数()cos()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之(1)求()f x 的解析式；(2)若已知三点坐标1,0A ，1,12B f πα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭和()1,2C f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭．若//AB AC ，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin cos αα+的值．21．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为4，且满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求()f x 的解析式； (2)求方程()102f x +=在区间[]22-,上所有解的和.22．已知函数1cos 2y x x =+，说明此函数是由sin y x =如何变换而来的. 23．已知函数()2sin f x x ω=，其中常数0>ω． (1)若函数()y f x =的最小正周期为2π，求ω的值；(2)若()y f x =是2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的严格增函数，求ω的取值范围；(3)当2ω=时，则将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[],(,?R,)a b a b a b ∈<且满足：()y g x =在[],a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[],a b中，求b a -的最小值．三、填空题24．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有______．（填序号）①方程()()3π0,2f x g x x ⎫⎛⎫+=∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为7π12；②不等式()()g x f x ≥ππ5ππ,3262k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ k ∈Z③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于7π24x =对称． 25．将函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与函数()f x 的图象重合，则ω的最小值为______.26．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 的图象关于原点对称，则ϕ的一个取值为_________．27．已知数列{}n a 满足()1111n n a n N a *+=-∈+，11a =.若从四个条件：①A =；②2ωπ=；③3πϕ=；④12B =中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列{}n a 的通项n a 表示为sin()0,||2A n B πωϕωϕ⎛⎫++>< ⎪⎝⎭的形式，则n a =___________.四、多选题28．已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+-（0A >，0ϕπ<<），若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=-，则下列结论不正确的是（ ）A ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称B ．函数()g x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将函数()1y f x =+的图象向左平移12π个单位长度可得到函数()g x 的图象 D ．函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦29．将函数()2sin(2)6f x x π=-的图像向左平移6π个单位后，得到函数()g x 的图像，则下列结论中正确的是（ ）A ．()2sin 2g x x =B ．()g x 的图象关于点(,0)12π-中心对称C ．()g x 的图象关于3x π=-对称D ．()g x 在区间[,]66ππ-上单调递增参考答案与解析1．C【分析】由条件根据函数 y ＝A sin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 【详解】因为()()()55sin 2sin 21224f x x x ππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦所以应将函数()sin 2g x x =的图象上所有的点向右平移524π个单位长度. 故选：C. 2．A【分析】根据函数的奇偶性及函数值验证选项即可得出答案. 【详解】由()sin 21cos x f x x =-知 ()()sin 21cos xf x f x x--==-- ()f x ∴是奇函数，选项B 错误；()sin 2101cos1f =>-， ()()()sin 2ππ01cos πf --==--所以选项C 和选项D 错误，选项A 正确. 故选：A. 3．A【分析】先将()f x )6x πω+，根据最小正周期求出ω，再根据正弦函数的图像平移得到答案.【详解】因为()ππcos 2sin 66f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，所以2ω=．将()π26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位长度后得到函数()ππ2266y g x x x⎡⎤⎛⎫==++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像． 故选：A. 4．D【解析】利用五点法找到特殊点3(0,0),,1,(,0),1,(2,0)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由此判断选项即可【详解】根据五点法找出五个特殊点,分别为3(0,0),,1,(,0),1,(2,0)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,然后描点并用光滑的曲线连接 故选:D【点睛】本题考查正弦型函数的图像,考查五点法作图的应用 5．A【分析】由诱导公式及函数图象平移规则即得.【详解】因为cos sin()2y x x π==+所以将余弦曲线向右移2π个单位可得sin()sin 22y x x ππ=-+=．故选：A ． 6．D【分析】由图象求得()f x 的表达式，然后由图象变换得结论．【详解】设()()sin (0,0,)f x A x A ωαωαπ=+>><，由函数图象，知52,212122T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以2,2T Tππω===.所以()()2sin 2f x x α=+. 又函数图象过点5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以52sin 2212πα⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭.所以532,62k k ππαπ+=+∈Z ，解得22,3k k παπ=+∈Z . 因为απ<，所以23πα=.所以()22sin 22sin233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以1,2,23m n πϕ===.故选：D. 7．C【分析】由f （x ）是偶函数及0≤φ≤π可得φπ2=.由图象关于点M 3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，结合ω＞1及余弦函数的图象与性质可求ω. 【详解】解：由f （x ）是偶函数 φ＝k ππ2+ k ∈Z ∵0≤φ≤π，∴当k ＝0时，则φπ2=. ∴f （x ）＝sin （ωx π2+）＝cos ωx ∵f （x ）图象上的点关于3π,04M ⎛⎫⎪⎝⎭对称∴3π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3πcos 04ω=，故3π4ω=k ππ2+ k ∈Z即()2213k ω=+ k ∈Z . ∵f （x ）在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，可得π12ππ22ωω≤⋅=，即ω≤2. 又∵()2213k ω=+ k ∈Z ω＞1∴当k ＝1时可得ω＝2． 故选：C ． 8．D【分析】由图可求出函数的周期πT =，从而可求出2ω=，由图可得2A =，然后将点13,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数中可求出ϕ的值，进而可求得函数解析式，根据三角函数图象变换规律求出()h x ，再由2ππ,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出3262πππx -≤+≤，再由余弦函数的性质可求得()h x 的值域. 【详解】由题意得313341234T πππ=-=，∴πT = 2π2T ω== 当13π12x =时，则ππ132212x k ωϕϕ+=⨯+= ()Z k ∈ ∴()132ππZ 6k k ϕ=-∈π2ϕ<，，令1k =可得π6ϕ=-又易知2A =，故()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由三角函数图象的变换可得1π1π()2cos(2)2cos()4626g x x x =⨯-=-所以()1212cos 2cos 23626πππh x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵2ππ3x -≤≤，∴3262πππx -≤+≤ ∴1π10cos 26x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故函数()g x 的值域为[]0,2.故选：D 9．C【分析】根据三角函数图象性质结合选项一一判断即可．【详解】由()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对A 项()f x 的最小正周期为2π，故A 错；对B 项()f x ，故B 错；对C.项当3π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则有πππ442x -<-<，因为sin y x =在ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增所以()f x 在区间3π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；对D.项，当π4x =时，则有πππ0444f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =不是()f x 的对称轴，故D 错．故选：C 10．B【分析】先求出()g x ，又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数，则ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤，即可求出ω最大值.【详解】函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数 所以ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤解得2ω≤，故ω的最大值为2.11．C【分析】根据题意可得2B A =，由锐角三角形可求出A 的范围，再由正弦定理及余弦函数的值域即可求解. 【详解】3C A =-π sin sin 22cos ,sin sin b B A A a A A∴=== 2(0,),2B A =∈π3(0,)2C A =-∈ππ(,)64A ∴∈ππcos A ∴∈ba∴∈. 故选：C 12．A【分析】由已知，先对函数()f x 进行化简，根据最小正周期为π，求解出ω，然后根据题意进行平移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线π3x =对称，建立等量关系即可求解出实数m 最小值.【详解】解：()ππ114sin sin 4sin sin 3322f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111cos 231cos 24sin 42cos 2124242x x x x x ωωωωω⎡⎤⎫-+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=⋅-⋅=--⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即()2cos21f x x ω=--，由其最小正周期为π，即22ππω=，解得1ω= 所以()2cos21f x x =--将其图象沿x 轴向左平移m （0m >）个单位，所得图象对应函数为()()2cos212cos 221y x m x m =-+-=-+- 其图象关于3x π=对称，所以2π2π,Z 3m k k +=∈，所以 ππ,Z 32k m k =-+∈ 由0m >，实数m 的最小值为π6.故选：A. 13．D【分析】根据()f x 是奇函数可求得4πϕ=-，利用诱导公式得52cos 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得【详解】因为()f x 是奇函数，所以3,Z 4k k πϕπ-=∈，即3,Z 4k k πϕπ=+∈ 因为2πϕ<，所以4πϕ=-，所以()()2sin 22sin 2f x x x π=-=-因为52cos 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以可把函数52cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度.故选：D. 14．D【分析】先根据最值，求出,A B ，求出最小正周期，进而求出2ππ4T ω==，代入特殊点坐标求出π4ϕ=-，求出正确答案.【详解】解：由题意得95A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得27A B =⎧⎨=⎩，又最小正周期为()2738⨯-=所以2ππ4T ω==，所以()π2sin 74f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将()3,9代入，解得3π2sin 794ϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则3ππ242πk ϕ+=+ Z k ∈π2π,Z 4k k ϕ=-+∈因为π2ϕ<，所以当0k =时，则π4ϕ=-符合题意 综上：()π2sin 744πf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故选：D 15．D【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数图像变换的性质进行求解即可.【详解】因为()sin cos )4g x x x x π=--，()sin cos ))442f x x x x x πππ=+=+=-+所以函数()sin cos g x x x=-向左平移2π单位得到函数()sin cos f x x x =+的图像 故选：D 16．C【分析】根据三角函数图象的平移变换可得()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数对称轴、对称中心的定义与验证法依次判断选项即可.【详解】由题意得，()sin 2sin 2366g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴132g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，162g π⎛⎫= ⎪⎝⎭和13g π⎛⎫= ⎪⎝⎭故A ，B ，D 错误，又5012g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴()g x 图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称．故选：C ． 17．C【分析】根据辅助角公式，结合偶函数的性质求出ϕ值，再根据余弦函数图象的变换规律求出函数()g x 的解析式，最后根据余弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】()()()π2cos 22sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫+-+=+- ⎪⎝⎭.因为函数()f x 是偶函数，所以()()ππ2ππ623k k k k ϕπϕ-=+∈⇒=+∈Z Z 因为0πϕ<<，所以2π3ϕ=，所以()2ππ2sin 22cos 236f x x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 因为函数()f x 的图象向右平移π6个单位，得到()y g x =的图象所以()ππ2cos 22cos 263y g x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()π2π22ππ3k x k k ≤-≤+∈Z 时，则函数()g x 单调递减 即当()π2πππ63k x k k +≤≤+∈Z 时，则函数()g x 单调递减 当0k =时，则函数()g x 在π2π63x ≤≤时单调递减. 故选：C 18．(1)4πϕ=()3sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)详见解析(3)单调递增区间是,23244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ k Z ∈最小值为3-，取得最小值的x 的集合52,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据函数的对称轴，列式,42k k Z ππϕπ+=+∈，求ϕ；（2）利用“五点法”列表，画图；（3）根据三角函数的性质，即可求解. (1)因为函数关于直线4x π=对称，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈,4k k Z πϕπ=+∈，因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以4πϕ=所以()3sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)首先根据“五点法”，列表如下：(3) 令22242k x k πππππ-≤+≤+解得32244k x k ππππ-≤≤+ k Z ∈ 所以函数的单调递增区间是,23244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ k Z ∈ 最小值为3-令3242x k πππ+=+，得524x k ππ=+ k Z ∈ 函数取得最小值的x 的集合52,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 19．（1）答案见解析；（2）答案见解析【分析】（1）根据先平移，再进行横坐标伸缩变换，最后进行纵坐标伸缩变换求解即可； （2）根据先平移，再进行横坐标伸缩变换，最后进行纵坐标伸缩变换求解即可； 【详解】解：（1）将正弦曲线sin y x =上的所有点向右平移8π个单位长度得到函数sin 8y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将它图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数1πsin 48y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将它的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的8倍，横坐标不变得到函数1π8sin 48y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.（2）将正弦曲线sin y x =上的所有点向左平移7π个单位长度得到函数sin 7y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将它图象上所有点的横坐标缩短为原来的13倍，纵坐标不变，得到函数πsin 37y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将它的图象上所有点的纵坐标缩小为原来的13倍，横坐标不变得到函数1πsin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.20．(1)()sin f x x =-【分析】（1）由题意设最高点为()1,1x ，相邻最低点为()2,1x -，则12||2Tx x -=，由三角函数的图象及已知可得222()22T+=，解得T ，利用周期公式可求ω，由(0)cos 0f ϕ==，结合范围0ϕπ<<，可求ϕ的值，即可得解()f x 的解析式．（2）由（1）利用诱导公式化简三点坐标，利用向量平行的坐标表示可得1cos sin 2αα=，进而利用三角函数恒等变换即可求解sin cos αα+的值． （1）解：设最高点为()1,1x ，相邻最低点为()2,1x -，则122T x x -=由三角函数的图象及已知，可得2242T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22444T π+=+，解得2T π=，由2T πω=，可得1ω=所以()cos()f x x ϕ=+因为函数()cos()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为奇函数 所以(0)cos 0f ϕ==，得2k πϕπ=+Z k ∈又0ϕπ<<，所以2ϕπ=于是()cos()sin 2f x x x π=+=-（2）21．(1)()cos 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1-【分析】（1）由()f x 的最小正周期为4求得ω，由1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 的图象的对称中心，并结合02πϕ<<，求出ϕ的值及()f x 的解析式（2）由()102f x +=，得1cos 242x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得546x k =+或1146x k =-和k ∈Z ，再由[]2,2x ∈-，可求出x 的值，从而可求得它们的和. （1）因为()f x 的最小正周期为4，所以242ππω==.因为()f x 满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称所以1cos 022πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以()42k k ππϕπ+=+∈Z ，即()4k k πϕπ=+∈Z又02πϕ<<，所以4πϕ=.()f x 的解析式为()cos 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2） 由()11cos 02242f x x ππ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭ 得1cos 242x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以22243x k ππππ+=+或22243x k ππππ+=-k ∈Z 解得546x k =+或1146x k =- k ∈Z因为[]2,2x ∈-，所以方程的解集为115,66⎧⎫-⎨⎬⎩⎭所以所有解的和为511166-=-.22．sin y x =向左平移6π个单位【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，然后根据左右平移变换即可求出结果.【详解】因为1cos sin 26y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 根据三角函数的图象变换，将函数sin y x =向左平移6π个单位，即可得到sin()6y x π=+的图象.23．(1)1 (2)304ω<≤ (3)433π【分析】(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最小正周期为2πω；(2)依题意可得42232ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解之即可；(3)由条件根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得()g x 的解析式，令()0g x =，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[a ，*]()m a m N π+∈恰有21m +个零点，所以在区间[a ，14]a π+是恰有29个零点，从而在区间(14a π+，]b 至少有一个零点，即可得到a ，b 满足的条件．进一步即可得出b a -的最小值．(1) 解：22ππω=，∴1ω＝(2)解：由0ω＞，根据题意有42232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，，解得304ω≤＜(3)另一方面，在区间5[12π，514]312πππ++恰有30个零点因此b a -的最小值为431433πππ+=． 24．③【分析】根据图象分别确定,A T ，结合五点作图法可最终求得()f x 解析式，再根据三角函数平移变换求得()g x ；对于①，直接代入()f x ，()g x解析式，结合三角恒等变换化简方程为sin 212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合x 范围求得方程的根即可；对于②，()()ππ2sin 2sin 2π33tan 2ππ32sin 2cos 263x x g x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===-≥ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ2π332k x k +≤-<+和k ∈Z ，解得ππ5ππ,32122k k x ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，k ∈Z 故②错误； 对于③，因为()7π7ππ4ππ2sin 22sin 22sin 2126633f x x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()y f x =与()y g x =图象关于7π24x =对称，故③正确． 故答案为：③ 25．12【分析】由题意，利用图像平移变换法则得到π6为函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个周期，从而得到12kω=()*N k ∈，可得ω的最小值.【详解】将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后所得图象与()f x 的图象重合，故π6为函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个周期即2ππ6k ω=()*N k ∈，则12k ω=()*N k ∈，故当1k =时，则ω取得最小值12. 故答案为：12 26．4π 【分析】根据平移后的可得函数()cos(22)g x x ϕ=+，根据题意可得(0)0g =可得22k πϕπ=+，取一值即可得解.【详解】将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度 可得()cos(22)g x x ϕ=+，由函数()g x 的图象关于原点对称 可得(0)cos(2)0g ϕ== 所以22k πϕπ=+ 42k ππϕ=+当0k =时，则4πϕ=.故答案为：4π 27134n ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭或134n ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 【分析】由递推关系推出n a 的通项公式，发现n a 周期为2，求出w π=，则排除②，再根据，1a ，2a 的取值，求出14B =，排除④，分别讨论①和③作为条件时是否成立，得到最终的表达式. 所以数列{}n a 周期为2，即22T wπ==，解得w π=，则②不能作为条件，此时sin()n a A n B πϕ=++ 有sin()11sin(2)2A B A B πϕπϕ++=⎧⎪⎨++=-⎪⎩ 解得14B =，则④不能作为条件，此时1sin()4n a A n πϕ=++当①作为条件时，则1)4n a n πϕ=++，11)14a πϕ++=此时sin ϕ=3πϕ=-代入n a 成立，故①可作为条件，此时1)34n a n ππ=-+ 当③作为条件时，则1sin()34n a A n ππ=++，则11sin()134a A n ππ=++=，此时A =n a 成立，故③可作为条件，此时1)34n a n ππ=++. 故答案为：1)34n a n ππ=-+或1)34n a n ππ=++.【点睛】思路点睛：（1）本题在求出数列{}n a 的通项公式后，先根据周期性和特殊值确定ω和B 的值，排除部分选项，然后逐一讨论其他选项是否成立； （2）三角函数中解析式的确定，一般由周期确定ω，由特殊值确定ϕ，由最值确定A ，由对称中心确定B .28．ABD【分析】根据三角函数的图象求得,A ϕ的值，得出函数()f x ，进而求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】根据函数()y f x =的图象，可知2A =当0x =时，则满足()02f =-，则2cos 12ϕ-=-，即1cos 2ϕ=- 因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，可得()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 对于A 中，当12x π=-时，则112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，可得函数()g x 的图象不关于直线12x π=-对称，所以A 项错误；对于B 中，当12x π=时，则12g π⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x 的图象不关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以B 项错误； 对于C 中，因为()212cos 23y f x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭232sin 232x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦52sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将其图象向左平移12π个单位，可得函数522sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，所以C 项正确； 对于D 中，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以223323,x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦-，所以当222,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，即[0,]12x π∈时，则()g x 单调递减，所以D 项错误．故选：ABD29．BCD 【分析】进行平移可得()2sin(2)6g x x π=+，根据三角函数的性质，逐项分析判断即可得解. 【详解】2sin 2()2sin(2)666()x g x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦，故A 错误； 令12x π=-可得()2sin 0012g π-==，故B 正确； 令3x π=-可得()2sin()232g ππ-=-=-，故C 正确； [,]66x ππ∈-，所以2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦易知sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单增，所以()g x 在,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单增，故D 正确.故选：BCD。