高等代数北大版第章习题参考答案
第六章线性空间
1.设,N M ?证明:,M N M M N N ==I U 。
证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I
。又因,M N M ?I 故
M N M =I 。再证第二式,任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论哪一种情形,都有,
N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M
N N =U 。
2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =,)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。
证),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形,于是.L M x N M x I I ∈∈或所以
)()(L M N M x I Y I ∈,由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之,若)()(L M N M x I Y I ∈,则.L M x N M x I I ∈∈或在前一情形,,,N x M x ∈∈因此
.L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形,因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ,得
),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ?
于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
若x M N L M N L ∈∈∈U
I I (),则x ,x 。 在前一情形X x M
N ∈U ,X M L ∈U 且,x M N ∈U 因而()I U (M L )
。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形,x ,x 因而且,即X (M N )(M L )所以
()(M L )(N L )故 (L )=()(M L )即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:
1) 次数等于n (n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;
2) 设A 是一个n ×n 实数矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量乘法; 3) 全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4) 平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
0k a =o ;
7) 集合与加法同6),数量乘法定义为:
k a a =o ;
8) 全体正实数r ,加法与数量乘法定义为:
a b ab ⊕=,k k a a =o ;
解1)否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式,例如
523n n x x ++--=()()。
2)令V={f (A )|f (x )为实数多项式,A 是n ×n 实矩阵} 因为
f (x )+
g (x )=
h (x ),kf (x )=d (x ) 所以
f (A )+
g (A )=
h (A ),kf (A )=d (A )
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条,故v 构成线性空间。
3)矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质,只需证明对称矩阵(上三角矩阵,反对称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明: 当A ,B 为反对称矩阵,k 为任意一实数时,有
'''(A+B )
=A +B =-A-B=-(A+B ),A+B 仍是反对称矩阵。 KA KA K A KA ''==-=-()()()
,所以kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4)否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5)不难验证,对于加法,交换律,结合律满足,(0,0)是零元,任意(a ,b )的负元是(-a ,2
a -
b )。对于数乘:
即),(),(),()(b a l b a k b a l k οοο⊕=+。
=)])(2
)
1((),([221212121
a a k k a a
b b k a a k +-+
+++, =)2)1(,()2)1(,(2
2222111a k k kb ka a k k kb ka -+⊕-+
=)2
)1(2)1(,(2122
2221121a a k a k k kb a k k kb ka ka +-++-++
=)2)1(2)1()(),((212122
221212121a a k a a k a k k a k k a a b b k a a k -+-++-++++
=))(2
)1()(),((2
2221212121a a k k a a b b k a a k +-+
+++, 即=⊕),(),(2211b a b a k ο),()(221,1b a k b a k οο⊕,所以,所给集合构成线性空间。 6)否,因为.01αα
≠=ο。
7)否,因为)()()(,2,)(ααααααααααοοοοοοl k l k l k l k +≠+=+=+=+所以, 所给集合不满足线性空间的定义。
8)显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的,满足
所以,所给集合+
R 构成线性空间。
4在线性空间中,证明:1)00=k 2)βαβαk k k -=-)(。
证1)00))(()1()())((0==-+=-+=-+=-+=ααααααααk k k k k k k k 。
2)因为()(),()k k k k k k k αββαββααβαβ-+=-+=-=-所以。
5证明:在实函数空间中,1,t t 2cos ,cos 2式线性相关的。
证因为1cos 22cos 2-=t t
,所以1,t t 2cos ,cos 2式线性相关的。
6如果)(),(),(321x f x f x f 是线性空间][x P 中三个互素的多项式,但其中任意两个都不互素,那么他
们线性无关。
证若有不全为零的数321,,k k k 使0)()()(332211=++x f k x f k x f k ,
不妨设,01≠k 则)()()(31
3212
1x f k k x f k k x f --
=,这说明)(),(32x f x f 的公因式也是)(1x f 的因式,即)(),(),(321x f x f x f 有非常数的公因式,这与三者互素矛盾,所以)(),(),(321x f x f x f 线性无关。
7在4P 中,求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。设
1))1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321=--=--=--==ζεεεε;
2))1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321=--====ζεεεε。
解1)设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=,则????
???=+--=-+-=--+=+++1
121
d c b a d c b a d c b a d c b a ,
可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为4
1,41,41,45-=-===
d c b a
。 2)设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=,则????
???=-+=-=+++=++1
0300
2d b a d b d c b a c b a ,
可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为0,1,0,1=-===d c b a 。
8求下列线性空间的维数于一组基:1)数域P 上的空间P n n ?;2)P n n ?中全体对称(反对称,上三角)
矩阵作成的数域P 上的空间;3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空
间,其中A=,00000012?
???
?
??ωω231i
+-=ω。
解1)n
n P
?的基是{
),,...,2,1,}(n j i E ij =且2dim()n n
P
n ?=。
2)i)令?????
??
?
?
????=...
............1............1.........
...
ij F ,即,1==ji
ij a a 其余元素均为零,则
{}nn n n F F F F F ,...,,...,,...,222,111是对称矩阵所成线性空间n M 的一组基,所以n M 是2
)1(+n n 维的。
ii)令?????
??
?
?
?-?
??=...
............1............1.........
...
ij G ,即),(,1j i a a ji
ij ≠=-=其余元素均为零,则
{}n n n n G G G G G ,1223,112,...,,...,,...,-是反对称矩阵所成线性空间n S 的一组基,所以它是2
)1(-n n 维
的。 iii)
{}nn n n E E E E E ,...,,...,,...,222,111是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是2
)1(+n n 维的。
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2,且对于任一正实数a ,可经2线性表出,即.2)(log 2οa a =,所以此线性空间是一维的,且2是它的一组基。
4)因为231i +-=ω,13=ω,所以?????+=+===2
3,13,3,12q n q n q
n n
ωωω,
于是E A A =????? ??=????? ?
?=111,1322
ωω,而??
???+=+===23,13,3,2q n A q n A q n E A n
。
9.在4
P 中,求由基,1ε,,,,432εεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵,并求向量ξ在所指基下的坐标。设
)()()()()??????????????====1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,114
321
εεεε,()()
()()?
????
??===-=3,1,6,61,2,3,50,1,3,01,1,1,24321ηηηη,
()4321,,,x x x x =ξ在4321,,,ηηηη下的坐标; )()()()()???
????????
???--=-=-=-=1,0,1,11,1,2,11,1,1,110,2,12432
1εεεε,()()()
()
???????=-==-=2,1,3,12,1,1,22,2,1,01,0,1,24321ηηηη, ()0,0,0,1=ξ在,1ε,,,432εεε下的坐标; )()()()()???
????????
???--=--=--==1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,13432
1εεεε,()
()()
()
???????--====1,1,1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,14321ηηηη, ()1,0,0,1-=ξ在4321,,,ηηηη下的坐标;
解)1(4321,,,ηηηη)=(,1ε,,,432εεε)??
??
?
?
?
?
?-310112116331
6502
=(,1ε432,,εεε)A 这里A 即为所求由基,1ε,,,432εεε到4321,,,ηηηη的过渡矩阵,将上式两边右乘得1-A ,
得(,1ε432,,εεε)=(4321,,,ηηηη)1-A ,
于是
=ξ(,1ε432,,εεε)??????? ??4321x x x x =(4321,,,ηηηη)1-A ????
??
? ??4321x x x x ,
所以在基下的坐标为
1-A ??????
?
??4321x x x x ,
这里1-A =?
?
??
??????? ??------
-2726319127
732003
1272331942719111
3194。
)2令)1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1(4321====e e e e 则 (,1ε432,,εεε)=(43,21,,e e e e )????
??? ??-----1110011112121111
=(43,21,,e e e e )A ,
(4321,,,ηηηη)=(43,21,,e e e e )??
?
?
?
?
?
?
?-222111203111
1202=(43,21,,e e e e )B ,
将(43,21,,e e e e )=(,
1ε432,,εεε)1-A 代入上式,得 (4321,,,ηηηη)=(,1ε432,,εεε)1-A B ,
这里
1-A =?
????????
??
??-----
--138********
3131134133132134133131135135136133133
,1-A B=??
?
?
?
?
?
??01001110
10111001,
且B A
1
-即为所求由基,1ε,,,432εεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵,进而有
()0,0,0,1=ξ=(43,21,,e e e e )??????? ??0001=(,1ε432,,εεε)1-A ????
??
?
??0001
=(,1ε432,,εεε)???
???
????
?
??--133132135133,
所以ξ在,
1ε432,,εεε下的坐标为??? ??--133,132,13
5,133
。
)343,21,,e e e e 同)2,同理可得
A=,1111111111111111???????
??------B=???
?
??
?
??-10111030111
101
2
1
1-A =4
1,111111*********
1????
??
? ??------ 则所求由,
1ε432,,εεε到4321,,,ηηηη的过渡矩阵为
1-A B=??????????
? ??------410
4
14141043414321414141214743。 再令1ηξa =+b 2η+c 3η+d 4η,即
()()()??
?
?
?
?
?
??--=?
?????
? ??=111000111312
10
1
1,,,,,,0,0,0,14321d c b a d c b a ηηηη,
由上式可解得ξ在下的坐标为4321,,,ηηηη下的坐标为
()=d c b a ,,,??
?
?
?----23,42
1,21ηξa =。
10.继第9题1)求一非零向量ξ,它在基,1ε432,,εεε与4321,,,ηηηη下有相同的坐标。
解设ξ在两基下的坐标为()
4,321,,x x x x ,则
ξ=(,1ε432,,εεε)??????? ??4321x x x x =(4321,,,ηηηη)????
??
?
??4321x x x x 。
又因为
(4321,,,ηηηη)=(,1ε432,,εεε)??
??
?
?
?
?
?-310112116331
6502
=(,1ε432,,εεε)A , 所以
??????? ??4321x x x x =A ??????? ??4321x x x x ?(A-E )????
??
?
??4321x x x x =0。 又
01
01
111321,02
101
1
11163216501
≠-=-=
-且E A ,
于是只要令就有,4c x -=
??
?
??=+=++-=++c
x x c x x x c x x x 263231321321, 解此方程组得
()4,32
1
,,x x x
x =()c c c c -,,,(c 为任意非零常数),
取c 为某个非零常数0c ,则所求ξ为
40302010εεεεξc c c c -++=。
11.证明:实数域作为它自身的线性空间与第3题8)中的空间同构。 证因为它们都是实数域上的一维线性空间,故同构。
12.设12,V V 都是线性空间V 的子空间,且12V V ?,证明:如果1V 的维数与2V 的维数相等,那么
12V V =。
证设dim(1V )=r ,则由基的扩充定理,可找到1V 的一组基,,.....,21r a a a ,因21V V ?,且它们的唯数相等,故,,.....,21r a a a ,也是2V 的一组基,所以1V =2V 。
13.n
n P
A ?∈。
1)证明:全体与可交换的矩阵组成的一个子空间,记做C (A ); 2)当A=E 时,求C (A );
3)当A=????
?
?
? ??n ......
....................21时,求C (A )的维数和一组基。 证1)设与A 可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D 属于C(A),可得 A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A ,
故B+D ∈C(A)。若k 是一数,B )(A C ∈,可得 A (kB )=k(AB)=k(BA)=(kB)A , 所以kB ∈C(A)。故C(A)构成n
n P
?子空间。
2)当A=E 时,C (A )=n
n P
?。
3)设与A 可交换的矩阵为B=(ij b ),则B 只能是对角矩阵,故维数为n,nn E E E ,...,2211即为它的一组基。
14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。 解若记
A=S E +=???
?? ??+????? ??113000000100010001,
并设B=???
??
??22
2
111
c b a c b a c b a 与A 可交换,即AB=BA ,则SB=BS 。且由 SB==????? ??????? ??22
2111
113000000c b a c b a c b a
????
?
??++++++212
12
1333000
00
c c c b b b a a a , BS=????
? ??22
2
111
c b a c b a c b a ????? ??113000000=????
?
??22
2111333c c c c c c c c c
, 可是01==c c ,
又??
?=++=++2
212
21333c b b b c a a a ,
即??
?++=--=+-212
2
12333b b b c a a a c ,
该方程组的系数矩阵的秩为2,所以解空间的维数为5。取自由未知量a,2c ,并 令b=1,其余为0,得2c =3,a=3; 令1a =1,其余为0,得2c =3,a=3
1
-; 令1b =1,其余为0,得2c =1,a=1; 令2a =1,其余为0,得2c =0,a=3
1-; 令2b =1,其余为0,得2c =1,a=1;
则与A 可交换的矩阵为
B=????
? ??22
2
11
00c b a b a b a , 其中,a,2c 可经b,2121,,,b b a a 表示,所求子空间的一组基为
????? ??300000013,??????? ??-0000010031,?????
??100010001,??????
? ??-0010000031,?????
?
?110000001, 且维数为5。
15.如果,0321=++γβc c a c 且031≠c c ,证明:L ()β,a =L ()γβ,。 证由031≠c c ,知,01≠c 所以a 可
γβ,经线性表出,即βα,可经γβ,线性表出,同理,
γ
β,也可经βα,线性表出。故L ()β,a =L ()γβ,。
16.在4
P 中,求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设
1)()???????=--===)1,1,1,1()0,3,1,1()1,0,2,1(1,3,1,24321a a a a ,()???????-=-=--=-=)
1,3,5,1()1,3,5,4()1,3,1,1(1,3,1,24321a a a a 。
解1)4321,,,a a a a 的一个极大线性无关组421,,a a a ,因此421,,a a a 为L ()4321,,,a a a a 的一组基,且的维数是3。
2)4321,,,a a a a 的一个极大线性无关组为21,a a ,故21,a a 是L ()4321,,,a a a a 的一组基,且维数为2。
17.在4
P 中,由齐次方程组 确定的解空间的基与维数。 解对系数矩阵作行初等变换,有 所以解空间的维数是2,它的一组基为
??? ??-=0,1,38,911a ,??
?
??=1,0,37,922a 。
18.求由向量12,αα生成的子空间与由向量12,ββ生成的子空间的交的基与维数,设
1)()()??
?-==1,1,1,10,1,2,121a a ()
()
??
?-=-=7,3,1,11,0,1,221ββ; 2)()()???==1,1,0,10,0,1,121a a ()()??
?==0,1,1,01,1,0,02
1ββ; 3)()
???
??--==--=)1,1,0,1()1,1,1,3(2,1,2,13
21a a a ()()???--=--=3,7,2,15,6,5,221ββ。
解1)设所求交向量1k =γ1α2k +2α1l =1β2l +2β,
则有1k 1α2
k +2α1l -1β2l +2β0=,
即??????
?=--=-+=+++=---0
703020221222121212121l l k l k k l l k k l l k k ,
可算得7
11
3
0111
1
1212
11------=
D 0=,且0
1
1
112
2
11--0≠, 因此方程组的解空间维数为1,故交的维数也为1。任取一非零解(,
,21k k ,1l )2l =)1,3.,4,1(--,得
一组基)4,3,2,5(421-=+-=ααγ,
所以它们的交L )(γ是一维的,γ就是其一组基。 2)设所求交向量1k =γ1α2
k +2α1l =1β2l +2β,
则有???????=-=--=-=+0
000122122
121l k l l k l k k k ,
因方程组的系数行列式不等于0,故方程组只有零解,即,02121====l l k k 从而 交的维数为0。
3)设所求交向量为1k =γ1α2
k +2α1l =1β2l +2β,
即???????=-+-+-=++++-=--+=+--+0
35207602520232132121321212121321l l k k k l l k k k l l k k l l k k k , 由
03
1127
1
1
1201
2
1131
≠------知解空间是一维的,因此交的维数是1。令,11=l ,可得02=l ,
因此交向量12211βββγ=
+=l l 就是一组基。
19.设1V 与2V 分别是齐次方程组n n n x x x x x x x =====+++-12121...,0...的解空间,证明:
.21V V P n ⊕=
证由于0...21=+++n x x x 的解空间是你n -1维的,其基为
)1,...,0,0,1(),...,0,...,1,0,1(),0,...,0,1,1(121-=-=-=-n ααα而由n n x x x x ====-121...
知其解空间是1维的,令,1=n x 则其基为).1,...,1,1(=β且βααα,,...,,121-n 即为n
P 的一组基,从而
.21V V P n +=又)dim ()dim ()dim (21V V P n +=,故.21V V P n ⊕=。
20.证明:如果,,1211121V V V V V V ⊕=+=那么21211V V V V ⊕⊕=。 证由题设知,21211V V V V ++=因为,21V V V ⊕=所以
)dim ()dim ()dim (21V V V +=,又因为,12111V V V ⊕=所以
故)dim ()dim ()dim ()dim (21211V V V V ++=,即证21211V V V V ⊕⊕=。 21. 证明:每一个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的直和。
证设n ααα,...,,21是n 维线性空间V 的一组基。显然)(),...,(),(21n L L L ααα都是V 的一维子空间,
且),...,,()(...)()(2121n n L L L L αααααα=+++=V ,又因为
)dim ())(dim (...))(dim ())(dim (21V L L L n =+++ααα,
故)(...)()(21n L L L V ααα⊕⊕⊕=。
22.证明:和
∑=s
i i
V
1
是直和的充分必要条件是∑-=1
1
i j j
i V
V I
{0}(2,...,)i s ==。
证必要性是显然的。这是因为}0{1
1
1
=?∑∑≠-=j j
i i j j
i
V
V V
V I
I
,所以
∑-=1
1
i j j
i V
V I
}0{=。
充分性设
∑=s
i i
V
1
不是直和,那么0向量还有一个分解s ααα+++=...021,
其中(1,2,...,)j j V j s α∈=。在零分解式中,设最后一个不为0的向量是),(s k k ≤α则
k k αααα++++=-121...0,即k k αααα-=+++-121...,
因此,1
1
,k k k j j
k V V
∈∈
∑-=αα,这与}0{1
1
=∑-=k j j
k V
V I
矛盾,充分性得证。
23.再给定了空间直角坐标系的三维空间中,所有自原点引出的向量天添上零向量构成
一个三维线性空间R 3
。
1) 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间?
2) 设有过原点的三条直线,这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间,,,321L L L
问32121,L L L L L +++能构成哪些类型的子空间,试全部列举出来;
3)就用该三维空间的例子来说明,若U,V,X,Y 是子空间,满足U+V =X ,X ?Y ,是否一定有
Y Y U Y V =+I I 。
解1)终点所在的平面是过原点的平面,那么所有这些向量构成二维子空间;但终点在
不过原点的平面上的向量不构成子空间,因为对加法不封闭。 2)21L L +;
(1)直线1l 与2l 重合时,是21L L +一维子空间; (2)1l 与2l 不重合时,时21
L L +二维子空间。
321L L L ++:
(1) ,1l 32,l l 重合时,321L L L ++构成一维子空间;
(2) ,1l 32,l l 在同一平面上时,321L L L ++构成二维子空间; (3)
,1l 32,l l 不在同一平面上时,321L L L ++构成三维子空间。
3) 令过原点的两条不同直线1l ,2l 分别构成一维子空间U 和V ,X =U +V 是二维子空间,在
1l ,2l 决定的平面上,过原点的另一条不与1l ,2l 相同的直线3l 构成一维子空间Y ,显然},0{},0{,==?V Y U Y X Y I I 因此}0{)()(=⊕V Y U Y I I ,
故)()(V Y U Y Y I I ⊕=并不成立。
二.补充题参考解答
1.1)证明:在P[x]n 中,多项式))...()()...((111n i i i x x x x f αααα----=+- (i =1,2,…,n )是一组基,其中n ααα,...,,21是互不相同的数;
2)在1)中,取n ααα,...,,21是全体n 次单位根,求由基1,1
,...,-n x x 到基n f f f ,...,,21的过渡
矩阵。
证1)设0...2211=+++n n f k f k f k ,将1α=x 代入上式,得
0)(,0)(...)()(1111312≠====ααααf f f f n ,
于是1k =0。同理,将n x x αα==,...,2分别代入,可得
0...32====n k k k ,
所以n f f f ,...,,21线性无关。而P[x]n 是n 维的,故n f f f ,...,,21是P[x]n 的一组基。
2)取n ααα,...,,21为全体单位根,,...,.,11
2
-n ε
εε则
121 (11)
1-++++=--=n n x x x x x f ,
1223212...1-----+++++=--=n n n n n n x x x x x x f εεεεε
,
...........................................................
1
2121
...1----++++=--=n n n n n n x x x x x f εεεε
,
故所求过渡矩阵为?
?
?
??
??
?
??------1 (1)
11
...1.........
.........1 (112)
2
42
21n n n n n n εεεεεεεεε。 2.设n ααα,...,,21是n 维线性空间V 的一组基,A 是一个n ×s 矩阵,且
A n s ),...,,(),...,,(2121αααβββ=,
证明:),...,,(21s L βββ的维数等于A 的秩。
证只需证s βββ,...,
,21的极大线性无关组所含向量的个数等于A 的秩。设
???????
?
??=ns nr
n s r
a a a
a a a A ..............
.......
......11111,
且≤=r r A rank ,)(min(,)n s 。不失一般性,可设A 的前r 列是极大线性无关组,由条件得
?????
????+++=+++=+++=n
ns s s s n nr r r r n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ.....................................................................................................2211221112211111, 可证r βββ,...,
,21构成r βββ,...,,21,s r ββ,...,1+的一个极大线性方程组。事实上,设
0...2211=+++r r k k k βββ,
于是得0)...(...)...()...(1112221111111=+++++++++n r r n r r r r a k a k a k a k a k a k ααα,
因为n ααα,...,,21线性无关,所以???
??=+++=+++0
.............................................
(221)
11212111r nr n n r r k a k a k a k a k a k a , 该方程组的系数矩阵秩为,r 故方程组只有零解0...21====r k k k ,于是r βββ,...,,21
线性无关。
其次可证:任意添一个向量j β后,向量组r βββ,...,
,21,j β一定线性相关。事实上,
设0...2211=++++j j r r k k k k ββββ,于是???
??=++++=++++0
.............................................0 (221)
111212111j nj r nr n n j j r r k a k a k a k a k a k a k a k a , 其系数矩阵的秩为r 此,r βββ,..., ,21是s βββ,...,,21的极大线性无关组。从而),...,,(21s L βββ的维数等于A 的秩,即 等于)(A rank 。 3.设f ),...,,(21n x x x 是一秩为n 的二次型,证明:有n R 的一个 )(2 1 s n -维子空间1V (其中为符号差),使对任一),...,,(21n x x x 1V ∈,有f ),...,,(21n x x x =0。 证设f ),...,,(21n x x x 的正惯性指数为p ,负惯性指数为q ,则p+q=n 。于是存在可逆矩阵,C ,Y = CX ,使f ),...,,(21n x x x 2 2122 1 ......q p p p y y y y ++---++=, 由 )(21s n -=)(21 q p n --=?? ?≥<时 当时当q p q q p p ,,。 下面仅对p 将Y=CX 展开,有方程组???????????=++=++=++=++++++++q p n n q p q p p n n p p p n pn p n n y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c ,11,1,111,1111 1111..............................................................................., 任取???????===''21)0,...,0,1,..., 0,1,0,...,0(.................................)0,...,1,0,0,...,1,0()' 0,...,0,1,0,...,0,1(p εεε, 则p εεε,...,,21线性无关,将p εεε,...,,21分别代入方程组,可解得p ααα,...,,21,使得 211,αεαC C =p p C εαε==,...,2,且p ααα,...,,21线性无关。 下面证明p 维子空间L (p ααα,...,,21)即为所要求得1V 。事实上,对任意 L X ∈0(p ααα,...,,21),设p p k k k X ααα+++=...22110,代入Y CX =得 ' 21212211221100)0,...,0,,...,,,,...,(......p p p p p p k k k k k k k k k C k C k C k CX Y =+++=+++==εεεααα故 0 (2) 21221' 00=---++==p p k k k k AX X f 即证1V =L (p ααα,...,,21)。 4.设1V ,2V 是线性空间V 的两个非平凡的子空间,证明:在V 中存在α,使 21,V V ∈∈αα同时成立。 证因为1V ,2V 非平凡的子空间,故存在1V ∈ α,如果2V ∈α,则命题已证。设2V ∈α 则一定存在2V ∈ β,若1V ∈β,则命题也得证。下设1V ∈β,于是有21,V V ∈∈αα及 1V ∈β,2V ∈ β,因而必有21,V V ∈+∈+βαβα。事实上,若1V ∈+βα,又 1V ∈β,则由1V 是子空间,必有1V ∈α,这与假设矛盾,即证∈+βα1V ,同理可证 2V ∈+βα,证毕。 5.设s V V V ,...,,21是线性空间V 的s 个非平凡的子空间,证明V 中至少有一向量α不属于s V V V ,...,,21中的任何一个。 证采用数学归纳法。当n=2时,由上题已证命题成立。 现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立,即在V 中至少存在一个向量不属于 121,...,,-s V V V 中任意一个,如果s V ∈α,则命题已证。 若s V ∈α,对,P ∈?向量s V k ∈+βα ,且对P 中s 不同的数,,...,,21s k k k 对应的s 个 向量)....2.1(s i k =+βα中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间).1....2.1(-=s i V i 换句话说,上述S 个向量)....2.1(s i k =+βα中至少有一个向量不属于任意一个非平凡子空间 ( 1.2....1)i V i s =-,记为00i k γαβ=+,易见0γ也不属于s V 。即证命题对s 个非平凡的子空间 也成立。即证。 第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算,这些运算满足一定的运算法则,则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数,且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的,即对K 内任意两个数a 、b (a 可以等于b ),必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时,,且当,,则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例: 复数域C ;实数域R ;有理数域Q ;Gauss 数域:Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q },其中i =1-。 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素0≠∈a K a ,且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10, 。 进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。 最后,∈?n m ,Z 0>, K n m ∈,K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?;把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \。 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即{}A a a f A f ∈=|)()(。 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1.求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ,我们使用如下记号: 高等代数(北大第三版)答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注: 答案分三部分,该为第二部分,其他请搜索,谢谢! 12.设A 为一个n 级实对称矩阵,且0'A X X , 0>'B X X , 因此 ()0>'+' =+'BX X AX X X B A X , 于是()X B A X +'必为正定二次型,从而B A +为正定矩阵。 14.证明:二次型()n x x x f ,,,21Λ是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 高等代数(北大*第三版)答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注: 答案分三部分,该为第三部分,其他请搜索,谢谢! 第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。 第七章线性变换 1.?判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1)?在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2)?在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3)?在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4)?在P 3中,A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=; 5)?在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6)?在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7)?把复数域上看作复数域上的线性空间,A ξξ=。 8)?在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是,例如取a=1,k=I ,则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是,因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y , 第五章 二次型 1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果。 1)323121224x x x x x x ++-; 2)2 3322221214422x x x x x x x ++++; 3)3231212 2216223x x x x x x x x -+--; 4)423243418228x x x x x x x x +++; 5)434232413121x x x x x x x x x x x x +++++; 6)4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++; 7)4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1)已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=, 先作非退化线性替换 ?????=-=+=3 32122 11y x y y x y y x (1) 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 22333142y y y y ++--=, 再作非退化线性替换 ??? ????==+=3 3223 1121 21z y z y z z y (2) 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=, 最后将(2)代入(1),可得非退化线性替换为 ???? ?????=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x (3) 于是相应的替换矩阵为 ???????? ? ?-=??????? ??????? ??-=10021121210 2110001021021100011011T , 且有 ???? ? ??-='100040001AT T 。 2)已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++, 由配方法可得 ()()() 233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322212x x x x +++=, 于是可令 ?????=+=+=33 3222112x y x x y x x y , 则原二次型的标准形为 ()2221321,,y y x x x f +=, 且非退化线性替换为 ?????=-=+-=33 322321122y x y y x y y y x , 相应的替换矩阵为 ???? ? ??--=100210211T , 第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。 4) 由定义,知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα , α== β== 第一章 多项式 一 、习题及参考解答 1. 用)(x g 除)(x f ,求商)(x q 与余式)(x r : 1)123)(,13)(2 2 3 +-=---=x x x g x x x x f ; 2) 2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。 解 1)由带余除法,可得9 2926)(,9731)(--=-= x x r x x q ; 2)同理可得75)(,1)(2 +-=-+=x x r x x x q 。 2.q p m ,,适合什么条件时,有 1)q px x mx x ++-+3 2 |1, 2)q px x mx x ++++2 4 2 |1。 解 1)由假设,所得余式为0,即0)()1(2 =-+++m q x m p , 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+3 2|1。 2)类似可得???=--+=--0 10 )2(2 2m p q m p m ,于是当0=m 时,代入(2)可得1+=q p ;而当022=--m p 时,代入(2)可得1=q 。 综上所诉,当?? ?+==10q p m 或???=+=2 12 m p q 时,皆有q px x mx x ++++2 42|1。 3.求()g x 除()f x 的商()q x 与余式: 1)5 3 ()258,()3f x x x x g x x =--=+; 2)3 2(),()12f x x x x g x x i =--=-+。 解 1) 432()261339109()327 q x x x x x r x =-+-+=-; 2) 2()2(52)()98q x x ix i r x i =--+=-+。 高等代数北大版第章习 题参考答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第六章 线 性空 间 1.设,N M ?证明:,M N M M N N ==。 证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式,任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪一种情形,都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =,)()()(L M N M L N M =。 证),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形,于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈,由此得)()()(L M N M L N M =。反之,若 )()(L M N M x ∈,则.L M x N M x ∈∈或在前一情形,,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形,因而,,L x M x ∈∈x N L ∈,得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈(),则x ,x 。 在前一情形X x M N ∈,X M L ∈且,x M N ∈因而()(M L )。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形,x ,x 因而且,即X (M N )(M L )所以 ()(M L )(N L )故 (L )=()(M L ) 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1)次数等于n (n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2)设A 是一个n ×n 实数矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量乘法; 一个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算, 这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数,且 K 对复数的加、减、乘、 四则运算 是封闭的,即对K 内任 两个数a 、 b ( a 可 以等于b ), 必有 b K , ab K ,且当b 0时,a/b K ,则称 K 为一个数域。 1.1典型的数域举例: 复数域C ;实数域R ;有理数域 Q ; Gauss 数域:Q (i) = { a b i | a, b € Q},其中 i = ?. 1 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素 K ,且 a 0。于是 进而 最后, m, n Z 巴K 。这就证明了 n K 。证毕。 1.1.3 集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集, 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则 f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定 若a a'代都有f (a) 第一章代数学的经典课题 § 1若干准备知识 1.1.1代数系统的概念 个代数系统。 1.1.2数域的定义 定义(集合的交、并、差)设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集,记作A B ;把A 下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集,记做A B 。 的元素(记做f(a)),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 B, f (a). 如果f(a) b B ,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的 子集称为A 在f 下的像,记做 f (A),即 f (A) f(a)| a A 。 f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ,使得f(a) b ,则称f 为满射。 1.1.4 求和号与求积号 1 ?求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ,我们使用如下记号: 第一学期第一次课 如果f 既是单射又是满射,则称 f 为双射,或称一一对应。 第七章 线性变换 1. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1) 在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2) 在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3) 在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4) 在P 3 中,A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=; 5) 在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6) 在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7) 把复数域上看作复数域上的线性空间, A ξξ=。 8) 在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是,例如取a=1,k=I ,则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是,因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y , 第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间,ε1,ε2,ε3是它的一组基,f是V上的 一个线性函数,已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数,所以有 f (ε1)+ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)=4,f (ε2)=-7,f (ε3)=-3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).=X 1 f (ε1)+X2 f (ε2)+X3 f (ε3) =4 X 1 -7 X 2 -3 X 3 2、设V及ε1,ε2,ε3同上题,试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)=f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数,则由题设有 f (ε1)+ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)=-1,f (ε2)=2,f (ε3)=1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1,ε2,ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时,就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ) = X 1 f (ε1)+X2 f (ε2)+X3 f (ε3) =-X 1+2 X 2 + X 3 3、设ε1,ε2,ε3是线性空间V的一组基,f1,f2,f3是它的对偶基,令α1=ε1-ε3,α2=ε1+ε2-ε3,α3=ε2+ε3 试证:α1,α2,α3是V的一组基,并求它的对偶基。 证:设 (α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)A 由已知,得 A= 110 011 111????????-?? 因为A≠0,所以α1,α2,α3是V的一组基。设g1,g2,g3是α1,α2,α3得对偶基,则 (g1,g2,g3)=(f1,f2,f3)(Aˊ)1- =(f1,f2,f3) 011 112 111 -???? - ????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V是一个线性空间,f1,f2,…fs是V*中非零向量,试证:?α∈V,使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证:对s采用数学归纳法。 当s=1时,f1≠0,所以?α∈V,使fi(α)≠0,即当s=1时命题成立。 假设当s=k时命题成立,即?α∈V,使fi(α)=αi≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1 k+(α)≠0,则命题成立,若f 1 k+ (α)=0,则由f 1 k+ ≠0知,一定?β∈V 使f 1 k+ (β)=b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0,使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ =+,则γ∈V,且 高等代数北大版习题参 考答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8- 第 七章 线性变换 1. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1) 在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2) 在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3) 在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4) 在P 3 中,A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=; 5) 在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6) 在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7) 把复数域上看作复数域上的线性空间, A ξξ=。 8) 在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 第 九章欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α,),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下,n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε,)0,,1,0(2Λ=ε,…,)1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1)),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2)),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3)),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4)∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε,)0,,1,0(2Λ=ε,…,)1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。 4) 由定义,知 ∑ =j i j i ij y x a ,),(βα, α== β== 故柯西—布湿柯夫斯基不等式为 2.在4 R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义),设: 1))2,3,1,2(=α,)1,2,2,1(-=β, 2))3,2,2,1(=α,)1,5,1,3(-=β, 3))2,1,1,1(=α,)0,1,2,3(-=β。 解1)由定义,得 012)1(32112),(=?+-+?+?=βα, 所以 2,π βα>= <。 2)因为 1813521231),(=?+?+?+?=βα, 1833222211),(=?+?+?+?=βα, 3633221133),(=?+?+?+?=βα, 22 36 1818,cos = >= <βα, 所以 4,π βα>= <。 3)同理可得 3),(=βα,17),(=αα,3),(=ββ,773,cos >= <βα, 所以 773cos ,1 ->=<βα。 3.β αβα-=) ,(d 通常为 βα,的距离,证明; 第六章 线性空间 1.设,N M ?证明:,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式,任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形,都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =,)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则 .L N x M x ∈∈且在后一情形,于是 .L M x N M x ∈∈或所 以 ) ()(L M N M x ∈,由此得 )()()(L M N M L N M =。反之,若)()(L M N M x ∈,则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形,,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形,因而,,L x M x ∈∈x N L ∈,得),(L N M x ∈故 ),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈(),则x ,x 。 在前一情形X x M N ∈, X M L ∈且,x M N ∈因而()(M L )。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形,x ,x 因而且,即X (M N )(M L )所以 ()(M L )(N L )故 (L )=()(M L ) 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1) 次数等于n (n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2) 设A 是一个n ×n 实数矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量 乘法; 第三章 线性方程组 1. 用消元法解下列线性方程组: 1234123451234512345 1 23453541 3221 1)23 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=??++-+=-??-+--=??-++-=??++-+=-? 124512345 123451234523213322)234527 99616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??--+-=??-+-+=??-+-+=? 12342341242342344 3 3)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=??-+=-?? +++=??-++=-? 12341234 1 234123434570233204)411131607230 x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??+-+=??-++=-? 12341234 123 4123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=?? +-+=-??-+-=? 1234123412341234 123231 321 6)23122215522 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=??++-=??+++=??++-=??++=? 解 1)对方程组得增广矩阵作行初等变换,有 13 540113 540 1132 21100321212111305 431214111307451212 1 11101 4 8 12--????????----? ?? ?????→------? ?? ?-----????????-----???? 1021 011001 0100321 20002120020000020000000000000000111 00100 00--????????---? ?? ?????→→--? ?? ?????????---???? 因为 第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于 A 是正定矩阵,因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A = 。 4) 由定义,知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα , α== β== 第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。 第 七章 线性变换 1. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1) 在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2) 在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3) 在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4) 在P 3中,A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=; 5) 在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6) 在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7) 把复数域上看作复数域上的线性空间, A ξξ=。 8) 在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是,例如取a=1,k=I ,则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程
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