高二文科数学期末试题

吴忠回中2012－2013学年第一学期期末考试

高二数学（文科）试卷

考试时间：120分钟 满分：150分 命题人 ：王少华

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）

1.某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人 进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应 该抽取多少人（ ）

A ．8，15，7

B ．16，2，2

C ．16，3，1

D ．12，3，5 2.下列说法中正确的是( )

A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真. B.“b a >”与“c b c a +>+”不等价.

C.“若022=+b a ，则b a ,全为0”的逆否命题是“若b a ,全不为0，则022≠+b a ”.

D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真.

3.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”

4.一元二次不等式2

20ax bx ++>的解集是11

(,)23

-，则a b +的值是（ ）

A . -14 B. -10 C. 14 D. 10 5.等差数列{}n a 中，若99=S ，则=+64a a （ ）

A.0

B.1 C .2 D.3 6.在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）

A ． 6030或

B ． 6045或

C ． 60120或

D ．

15030或 7.下列结论中正确的是( )

① a ＞b ＞0，d ＞c ＞0?a c ＞b

d

， ② a ＞b ，c ＞d ?a －c ＞b －d ，

③ a c 2＞b

c 2?a ＞b ， ④ a ＞b ?a n ＞b n (n ∈N ，n ＞1)．

A ．①②③

B ．②③④

C ．①③

D ．①③④

8．有下列四个命题

① 命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行,同位角不相等”. ② “1=x ”是“2

430x x -+=”的充分必要条件. ③ 若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.

④ 对于命题p ：0x R ?∈，200220x x ++≤, 则?p ：x R ?∈， 2

220x x ++>. 其中正确是 ( )

A. ①②

B. ①④

C. ②③

D. ③④

9.已知正数x 、y 满足4x ＋9

y

＝1，则xy 有( )

A ．最小值12

B ．最小值144

C ．最大值12

D ．最大值144

10.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.

5

4 B .

5

3 C.

5

2 D.

51

11.设y x ,满足约束条件??

?

??≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(,>>+=b a by ax z 的最大值为12，

则23

a b

+的最小值为( ). A .625 B.38 C. 3

11 D. 4

12.若椭圆两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆方程是( )

A. x 225＋y 29＝1

B.x 228＋y 2

12＝1

C. x 236＋y 220＝1

D.x 220＋y 2

4＝1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知递增的等差数列{}n a 满足2

1321,4a a a ==-，则_____n a =

14．在等比数列}{n a ，16221=+a a ，1843=+a a ，则=+54a a ．

15. 若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为 . 16.已知三角形ABC 的面积4

2

22c

b a s -+=，则C ∠的大小是 .

吴忠回中2012－2013学年第一学期期末考试

高二数学（文科）答案卷

13．__ 14． 15． 16． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

17．（本小题满分10分）已知p ：01662

≥++-x x ，q ： 04422≤-+-m x x ()0>m （1）若p 为真命题，求实数x 的取值范围．（2）若p 为q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．

18．（本小题满分12分）已知A 、B 两个盒子中分别装有标记为1、2、3、4的大小相同的四个小球，甲从A 盒中等可能地取出1个球，乙从B 盒中等可能地取出1个球． （1）用有序数对()j i ,表示事件“甲抽到标号为i 的小球，乙抽到标号为j 的小球”，求取出的两球标号之和为5的概率； （2）甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜． 你认为此规则是否公平？请说明理由．

19．（本小题满分12分）在ABC ?中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a -c ）cosB=b cosC (1)求角B 的大小；(2) a +c =5，b =7，求ABC ?的面积。

20．（本小题满分12分）某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/秒钟和200元/秒钟．规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

21．（本小题满分12分）设,4,221==a a 数列}{n b 满足：n n n a a b -=+1，221+=+n n b b ． （1）求1b 、2b ；（2）求证数列}2{+n b 是等比数列（要指出首项与公比）； （3）求数列}{n a 的通项公式．

22. （本小题满分12分）如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：

)0(1

2

22

2>>=+

b a b

y a

x 的左、右两个焦点，A 、B 为

两个顶点，已知椭圆C 上的点)2

3,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积.

吴忠回中2012－2013学年高二年级第一学期期末考试

文科数学答案

13．21n - 14．6± 15． x 2

25＋y

2

9

＝1(y ≠0) 16 045

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17. 本小题满分10分已知p ：01662

≥++-x x

，q ： 0442

2

≤-+-m x x ()0>m

（1）若p 为真命题，求实数x 的取值范围．

（2）若p 为q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．

18（本小题满分12分）已知A 、B 两个盒子中分别装有标记为1、2、3、4的大小相同的四个小球，甲从A 盒中等可能地取出1个球，乙从B 盒中等可能地取出1个球．

（1）用有序数对()j i ,表示事件“甲抽到标号为i 的小球，乙抽到标号为j 的小球”，求取出的 两球标号之和为5的概率；

（2）甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜． 你认为此规则是否公平？请说明理由． 18解：（1）设“取出的两球标号之和为5”为事件M ，则甲、乙二人抽到的小球的所有情况有：

、、、、

、

、

、

、

、

、（3,3）、

、

、

、、，共16种不同情况，且每种情况均等可能出现，又事件M 包含的情况有：、

、

、

，共4种情况，

由古典概型概率公式有

()41

16

4==

M P 答：取出的两球标号之和为5的概率为

4

1. ……6分

（2）甲抽到的小球的标号比乙大，有

、、、、、，共6种情况，

故甲胜的概率83166==甲

P ，又事件甲胜与事件乙胜是对立事件，所以乙获胜的概率为

8

583-1==乙P ．因为8

5

83

≠，所以此游戏不公平． ……12分

19．（本小题满分12分）在ABC ?中，设角A 、B 、

C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a -c ）cosB=b cosC (1)求角B 的大小；(2) a +c =5，b =7，求ABC ?的面积。

19. 解：（1） C b B c a cos cos )2(=-，C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-∴ ，

即)sin(cos sin cos sin cos sin 2C B B C C B B A +=+=

.sin cos sin 2,A B A C B A =∴=++π ………3分 0sin 0≠∴<

1cos =∴B .

3

0π

π=

∴<

（2）由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=， 3

π

=

B ，

又7,5=

=+b c a ，∴ac = 6………8分

.2

332

3

62

1sin 2

1=

?

?=

=

∴?B ac S ABC ………12分

20．（本小题满分12分）某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/秒钟和200元/秒钟．规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问

该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 20. 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 秒钟和y 秒钟，总收益为z 元，由题意得 3005002009000000.x y x y x y +??

+???

≤，≤，≥，≥ ………3分

目标函数为30002000z x y =+．………5分 二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +??

+???

≤，≤，≥，≥

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行 域． ………8分

如图：作直线:300020000l x y +=，

即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．

联立30052900.x y x y +=??+=?

，解得100200x y ==，．

∴点M 的坐标为(100200)，

． ………10分 max 30002000700000z x y ∴=+=（元）

答：该公司在甲电视台做100秒钟广告，在乙电视台做200秒钟广告，公司的收益最大，最大

收益是70万元．………12分

21．设,4,221==a a 数列}{n b 满足：n n n a a b -=+1，221+=+n n b b ．

（1）求1b 、2b ；（2）求证数列}2{+n b 是等比数列（要指出首项与公比）； （3）求数列}{n a 的通项公式．

21．解：（1）2121=-=a a b ，62212=+=b b ；…………4分 （2）),2(222211+=+?+=++n n n n b b b b ,22

21=+++n n b b

又42121=-=+a a b ,

∴ 数列}2{+n b 是首项为4，公比为2的等比数列．…………8分

（3）222

421

1-=??=+∴+-n n n n b b ， .221-=-∴-n

n n a a …………10分

令),1(,,2,1-=n n 叠加得)1(2)222(232--+++=-n a n

n ,

22)2222(3

2

+-++++=∴n a n

n .22

221

2)12(21

n n n n

-=+---=

+…………12分

22、如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：

)0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知

椭圆C 上的点)2

3,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C 的方程；

（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积. 解（1）由题设知：2a = 4，即a = 2--------------1分 将点)23

,1(代入椭圆方程得

1)(2

12

2

232

=+

b

，解得b 2 = 3

∴c 2 = a 2－b 2 = 4－3 = 1 ， ------------3分 故椭圆方程为

13

4

2

2

=+

y

x

--------------4分

（2）由（Ⅰ）知)3,0(),0,2(B A -，

2

3=

=∴AB PQ k k ， ∴PQ 所在直线方程为)

1(2

3-=

x y ---------------6分

由???????=+-=134

)1(23

22

y x x y 得 093482=-+y y ---------------------------------8分

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则8

9,2

32121-

=?-

=+y y y y --------10分

2

218944

34)(212

2121=

?

+=

-+=

-∴y y y y y y --------------------------11分

.2

212

2122

12

121211=

?

?=

-?=

∴?y y F F S PQ F -------------------------12分