高二下册期中考试文科数学试题及答案(苏科版)

高二数学(文科)

参考公式：

样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2

=

1

n

∑

i =1

n

(x i

－x

-)2 ，其中x -＝1n ∑i =1

n

x i .

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．． 1．已知复数z ＝1＋2i ，则复数

1

z

在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限．

2．某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号是 ▲ ．

3．交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控，并从速度在50~90

km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，

得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70

km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．

4．已知如图是一位篮球运动员在6场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．

6．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．

7

环的概率为 ▲ ．8．在区间[－1，2]上随机取一个实数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ▲ ．

(

第5题) (第4题)

S ←0 For I From 1 To 7 step 2

S ←S + I End For

Print S 507090速度(km/h)

0.010.020.03

0.04

12 4 7 7 90 1

9．执行如图所示的伪代码，当输入a ，b 的值分别为1，3时，最后输出的a 的值为 ▲ ．

10．为了计算2×4×6×8×10的值，(菱

形框)中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是 ▲ ． 11．根据如图所示的流程图，若输入值x ∈[0，3]，则输出值y 的取值范围是 ▲ ．

12．已知函数f 0(x )= cos x ，f 1(x )=f 0′(x )，f 2(x )=f 1′(x )，…，f n +1(x )=f n ′(x )，…，其中n ∈N ，则f 19(π

3

)=

▲ .

13．对于非零实数a ，b ，c ，以下四个命题都成立：

①(a ＋b )2＝a 2＋2a ?b ＋b 2

； ②若a ?b ＝a ?c ，则b ＝c ； ③(a +b )?c =a ?c + b ?c ； ④(a ?b )?c =a ?(b ?c )； 那么类比于此，对于非零向量→

a ，→

b ，→

c ，相应命题仍然成立的所有序号是 ▲ ．

14．设函数f (x ) = 1

2x + 2

，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－2015)+ f (－2014)+

f (－2013)+…+ f (2014)+f (2015)+ f (2016)的值为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤．

15．已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2．

(1)求z 1；

(2)复数z 1z 2是纯虚数时，比较｜z 1｜与｜z 2｜的大小．

16

(2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分 层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？ 17. (本题满分14分)

（第

11题）

(1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；

(2)已知关于x 的一元二次方程x 2－2bx ＋c 2

＝0，其中b 是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c 是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率．

18．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1·a n －2·a n ＋1＝0 (n ∈N *

).

(1)求1a 2－1 ，1a 3－1 ，1

a 4－1 的值；

(2)求{a n }的通项公式．

19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为

6

3

，且过点A (0，1)，

(1)求椭圆的方程；

(2)过点A 作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M ，N (M ，N 不与点A 重合) ．直线MN 是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由．

20．已知函数f (x )= ln x

x

．

(1)当e ≤x ≤e 2

时，求函数f (x )的最小值；

(2)已知函数g (x )＝2x －ax (x －1)

ln x

，且f (x )g (x )≤0恒成立，求实数a 的值；

(3)某同学发现：存在正实数m 、n (m ＜n )，使m n =n m

，试问：他的发现是否正确?若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m 的取值范围，而不需要解答过程．

高二数学(文科)参考答案和评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．四 2．19 3．75 4．325 5．16 6．2 7．0.3 8．1

3

9．5

10．I≤10或I<11或I≤11或I<12或I<10.5，等 11．[1，7] 12．

3

2

13．①③ 14．1008 2

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15．(1)1－i ；……………………………………………………………………………………6分

(2) z 2＝－2＋i ，…………………………………………………………………………10分 ｜z 1｜＝2，

｜z 2｜＝22，……………………………………………………………………………12分 ｜z 1｜＜｜z 2｜．…………………………………………………………………………14分 16．(1)100－(16＋24＋20＋10)＝30或100×0.3=30，………………………………………3分

1－(0.24＋0.3＋0.20＋0.10)＝0.16或16÷100=0.16；…………………………………6分 (没有任何过程，最多得4分)

(2)6

60

＝0.1，………………………………………………………………………………8分 30×0.1＝3，所以第三组参加考核的人数是3；………………………………………10分 类似地，第四组，第五组参加考核的人数分别是2，1．……………………………14分 17．(1)设事件A 为“这2只球颜色不同”； -----……………………-----------------1分

基本事件共6个：(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，(黄1, 黄2)， 事件A 包含5个基本事件(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，----4分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------5分

所以，事件A 发生的概率P (A )＝5

6

． ----------------------7分

(2)设事件B 为“方程x 2－2bx ＋c 2

＝0无实根”； ------------------……………---8分

当Δ＝4b 2－4c 2＝4(b 2－c 2)＜0，即b ＜c 时，方程x 2－2bx ＋c 2

＝0无实根．

基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示b 的取值，第二个数表示c 的取值．--…………--4分

事件B 包含3个基本事件(0,1)，(0,2)，(1,2)，--…………………………………---11分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------12分

所以事件B 发生的概率P (A )＝312＝1

4

． ----------------------14分

(第(1)小题，有一点过程且结果正确，得7分；第(2)小题，至少交待清楚三个数据12，3和1

4

的由来才

能得7分)

18．(1)由a n ＋1a n ＝2·a n －1得a n ＋1＝2－1

a n

，…………………………………………………2分

代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 1a 2－1＝32，1a 3－1＝52，1a 4－1＝72

，………………………………………………………6分 (2)猜想：{1

a n －1

}是等差数列．

证明：由a n ＋1·a n ＝2·a n －1变形，得

(a n ＋1－1)·(a n －1)＝－(a n ＋1－1)＋(a n －1)，

即1a n ＋1－1－1a n －1

＝1在n ∈N *

时恒成立， 所以{1

a n －1

}是等差数列．………………………………………………………………12分

由

1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12

＋n －1， 变形得a n －1＝2

2n －1，…………………………………………………………………14分

所以a n ＝2n ＋1

2n －1为数列{a n }的一个通项公式．…………………………………………16分

19．(1) x 2

3

＋y 2＝1；……………………………………………………………………………4分

5分

7分

9分

12分

15分

16分

m ，

20．(1) f (x )定义域为(0，+∞)，f ′ (x )＝1－ln x

x

2

． 令f ' (x )＝1－ln x

x

2

＝0，则x =e ．

当e ≤x ≤e 2时，函数f (x )单调减，所以，函数f (x )的最小值为f (e 2) =2e －2

．…4分 (2)f (x ) g (x )≤0恒成立，即2ln x －ax ＋a ≤0在x >0时恒成立．

令h (x ) = f (x ) g (x )，则h ′(x )＝2－ax

x

，x >0.

若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；

若a >0，当x ∈(0，2

a

)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；

当x ∈(2

a

，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. ………………………………………6分

所以，若a ≤0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立. ……………………………………………………………………………………………8分

若a >2，则当x ∈(2

a

，1)时，f (x )单调递减，f (x )>f (1)＝0，不合题意，………………10分

若0

a

)时，f (x )单调递增，f (x )>f (1)＝0，不合题意，……………12分

若a ＝2，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0符合题意. 故a ＝2．…………………………………………………………………………………14分 (3)正确，m 的取值范围是1＜m ＜e ．…………………………………………16分 理由如下，研究函数图像，f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减．

又∵当x →+∞时，f (x )→0．∴总存在正实数m ，n 且1＜m ＜e ＜n ，使得f (m )=f (n )，即ln m m = ln n

n

，

即m n =n m

．