2018高考理科数学一轮复习 抛物线
抛物线课件-2025届高三数学一轮复习
A. 2
B. 3
[解析]
2
C. 4
2
D. 8
由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以 ＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝ ， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1
S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜
2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2
α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋
高考理科第一轮复习课件(8.6抛物线)
|PF|=
p _______ 2 x 0
|PF|=
p 2 ______ y0
|PF|=
p 2 _______ y0
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹
一定是抛物线.( )
(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且
(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时， 关键是将抛物线方程化成标准方程. (2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助 解.
【变式训练】(1)(2013·蚌埠模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的
准线与圆x2+y2-6x-7=0 相切，则p的值为( (A)
1 2
) (D)4
16
≨准线方程为y= - 1 .
32
5.线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，若|AB|＝4，则弦AB的 中点到直线x+ 1 =0的距离等于____________.
2
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2) 则|AB|=x1+x2+ 1 =4,
≨x1+x2= 7 ,弦AB的中点的横坐标为 x1 x 2 7 .
1 2
答案：y2=-8x或x2=-y
【拓展提升】 1.求抛物线的标准方程的方法及流程 (1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数 只有p，所以只需一个条件确定p值即可. (2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方 程时，需先定位，再定量.
2.确定及应用抛物线性质的关键与技巧
图形.
p ，结论显然成 2 立；当AB斜率存在时，设AB的方程为y=k(x- p ),与 2
理科数学公开课优质课件精选抛物线复习课
执教教师：XXX
本节主要包括2个知识点： 1.抛物线的定义及其应用； 2.抛物线的标准方程及性质.
突破点(一) 抛物线的定义及其应用
抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的_距__离__ _相__等__的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的_焦__点__，直 线l叫做抛物线的_准__线__.
AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.
答案：D
4. [考点二] 若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交
抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△
PAB的面积的最小值为________．
解析：由题意得F(1,0)，直线AB的方程为y＝x－1.由
点 M 向抛物线 x2＝4y 的准线 l：y＝
－1 引垂线，垂足为 M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|， 结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心 C(－1，5)到 y＝－1 的距离再减去圆 C 的半径，即等于 6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的
3. [考点一]已知抛物线 y2＝2x 的弦 AB 的中点的横坐标为32，则
|AB|的最大值为
()
A．1
B．2 C．3
D．4
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2
＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋
|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋
|BF|≥|AB|，即|AB|≤4，当且仅当直线
p 1－cos
θ
，|BF|＝
p 1＋cos
； θ
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝
2p sin2θ
(其中θ为直线AB的倾斜角)，
西安昆仑中学高三理科数学第一轮复习讲义共81课时第54课时-抛物线
课题：抛物线教学目标：理解抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的几何性质。
教学重点： 抛物线的定义、四种方程及几何性质；四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，抛物线的几何性质的应用.（一） 主要知识及主要方法：1.（课本115P ）P （0p >）的几何意义是抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）.2.（课本115P ）抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径.通径的长为2p ,通径是过焦点最短的弦.（二）典例分析：问题1.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：()1过点P ()3,2-；()2焦点在直线240x y --=上；()3顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点()3,M m -到焦点的距离等于5；()4顶点在原点，对称轴为x 轴且截直线210x y -+=问题2．()1在抛物线24y x =上找一点M ，使MA MF+最小，其中()3,2A ，()1,0F ，求M 点的坐标及此时的最小值；()2已知抛物线22y x =和定点103,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，抛物线上有一动点P ，P 到点A 的距离为1d ，P 到抛物线准线的距离为2d ，求12d d +的最小值及此时P 点的坐标.问题3．()1(05全国Ⅱ)抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 .A 2 .B 3 .C 4 .D 5()2（07海南）已知抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有.A 123FP FP FP += .B 222123FPFP FP += .C 2132FP FP FP =+ .D 2213FPFP FP =g()3定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线2y x =上移动，求线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值.()4(06全国Ⅰ)抛物线2y x =-的点到直线4380x y +-=距离的最小值是.A 43.B 73.C 85.D 3问题4．（98全国）直线1l 和2l 相交于点M ，12l l ⊥，点1N l ∈.以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等.若AMN △为锐角三角形，17AM =，3AN =，且6BN =.建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.问题5．(05全国Ⅲ) 设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线22y x =上，l 是AB的垂直平分线。
高考数学复习考点知识专题讲解课件48---抛物线
＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
答案：B
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3．若抛物线 y2＝4x 的准线为 l，P 是抛物线上任意一点，则 P 到准线 l 的距离与
P 到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离之和的最小值是( )
A．2
B．153
C．154
D．3
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题型二 抛物线的几何性质 例 3 (1)(2020·兰州双基过关考试)抛物线 y2＝2px(p＞0)上横坐标为 6 的点到此抛
物线焦点的距离为 10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A．4
B．8
C．16
D．32
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解析：设抛物线的准线方程为 x＝－p2(p＞0)，则根据抛物线的性质有|PF|＝p2＋6 ＝10，解得 p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为 8. 答案：B
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6．已知抛物线 C 与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C
的方程是( )
A．y2＝±2 2x
B．y2＝±2x
C．y2＝±4x
D．y2＝±4 2x
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解析：由已知可知双曲线的焦点为(－ 2，0)，( 2，0)． 设抛物线方程为 y2＝±2px(p>0)，则p2＝ 2， 所以 p＝2 2，所以抛物线方程为 y2＝±4 2x.故选 D.
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【思维升华】 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有 关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关 问题的重要途径． (2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方 向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方 程．
2018高考数学文科一轮复习讲义 13.3 第三节 抛物线
第三节 抛物线【考点点知】知己知彼，百战不殆抛物线是圆锥曲线中一种比较重要的曲线，新课标要求：掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．所以复习时文理应不同对待，文科主要注重对基本知识、基本题目的复习，而理科还应加深理解，作适当的加深训练．考点一: 抛物线1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.2.方程y 2=±2px ,x 2=±2py (p >0)叫做抛物线的标准方程，有四种形式.3.抛物线y 2=2px (p >0)的焦点坐标是)0,2(p ,它的准线方程是2px -=,它的开口方向向右.4.抛物线y 2=－2px (p >0)的焦点坐标是)0,2(p-,它的准线方程是2p x =,它的开口方向向左.5.抛物线x 2=2py (p >0)的焦点坐标是)2,0(p ,它的准线方程是2py -=,它的开口方向向上.6.抛物线x 2=－2py (p >0)的焦点坐标是)2,0(p -,它的准线方程是2py =,它的开口方向向下.7.抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的点M (x 0，y 0)与焦点F 的距离｜MF ｜＝02x p+. 8.抛物线y 2＝－2px （p ＞0）上的点M （x 0，y 0）与焦点F 的距离｜MF ｜＝02x p-. 9.抛物线x 2＝2py （p >0）上的点M （x 0，y 0）与焦点F 的距离｜MF ｜＝02y p+. 10.抛物线x 2=－2py (p >0)上的点M （x 0,y 0）与焦点F 的距离|MF |=02y p-.考点二: 抛物线的几何性质1.已知抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则抛物线上的点(x ,y )的横坐标x 的取值范围是 x ≥0.2.抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.3.在抛物线y 2＝2px （p ＞0）中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为),2(),,2(p pp p -，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例 1.(基础·2006连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为1-=x ，l AM ⊥，垂足为M ，若12AO AM =+，则点A 的轨迹是 ( )A ． 椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆思路透析:作直线13:2l x =-,设点A 到直线13:2l x =-的距离为d , 由已知12AO AM =+,可得AO d =,即点A 的轨迹为抛物线,故应选C.点评:直接利用抛物线的定义可得结论.抛物线的定义,平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.例2.(基础·2007广东卷理科11)在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 .思路透析:抛物线22y px = (0p >)的焦点坐标为(,02p ). ∵12OA k =, 线段OA 的中点坐标为(1, 12), 线段OA 的垂直平分线的斜率12OAk k =-=-, ∴线段OA 的垂直平分线方程为12(1)2y x -=--, 其与x 轴的交点坐标为5(,0)4, ∴524p =, 故抛物线的准线方程为524p x =-=-,即54x =-. 点评:本题考查了应用基本量法求抛物线的标准方程,考查了考生对圆锥曲线基础知识的基本方法的掌握.新高考圆锥曲线中档题的设置仍然集中于对圆锥曲线的标准方程的研究或对其简单的性质的探讨.部分考生将抛物线的焦点坐标设为(,0)p ,而使方程求解出现错误,属基础知识掌握不牢.对于圆锥曲线中的基本量、基本量的关系、特殊点的坐标要注意理解与记忆.例3.(综合·2007宁夏卷理科6文科7)已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ， 点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =·思路透析:如图所示,由抛物线的定义可得,112233||,||,||222p p pFP x FP x FP x =+=+=+ ∵1322x x x +=,∴121212||||22p p FP FP x x x x p +=+++=++332()2||2px FP =+=, 故应选C.点评:部分考生忽视了抛物线的定义在解题中的应用,而直接利用两点间的距离求解与转化,另外对于命题的结论缺乏猜想意识,转化不成功而随意选择一个结论.对于圆锥曲线中涉及焦点弦或焦半径等问题,一定要首先联想应用定义法求解,将线段的长度运算转化为一维的坐标运算,降低运算量.例4.(综合·2007山东卷理科13文科9)设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为（ ）A ．214pB ．2C ．6p D ．1336p 思路透析:如右图所示,过点A 作AA 1⊥l 于点A 1,则AA 1=AF,∴点A 的横坐标1||||22A p p x AA FA =-=-,又FA与x 轴正半轴夹角为600,∴点A 的横坐标0||||cos602A F p FA x x FA +=+=,∴||||22p p FA FA +-= ,解之得||2FA p =,则点A 的坐标为A 00(||cos 60,||sin 60)2p FA FA +, 即A(32p ),∴||2OA p == . 故应选B.点评:不少考生将直线FA 的方程求出,代入抛物线方程,求得了两个交点A,忽视了对向量夹角位置关系的判断.处理抛物线焦半径时要注意抛物线定义的巧妙应用,从中几何图形中去挖掘几何量的定值与定点位置关系研究.例5.(创新探究·2007黄冈模)已知直线L 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A （－1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程.．思路透析: 由题意设抛物线C 的方程为y 2＝2px （p >0），且x 轴和y 轴不是所求直线，又L 过原点，因而可设L 的方程为y =kx （k ≠0），设A ′B ′分别是A 、B 关于L 的对称点．A ′（x ′，y ′）关于y =kx 对称于A （－1，0）则12,11(22111222+-+-'⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=⋅-'-=+''k k k k A y k x k x y同理B ′［1)1(8,116222+-+k k k k ］ 又A ′、B ′在抛物线C 上，所以（122+-k k ）2＝2p ·1122+-k k由此知k ≠1，即p ＝1242-k k , ［1)1(842--k k ］2＝2p ·1162+k k ，由此得p ＝k k k )1()1(2222+-,从而k k k k k )1()1(21222242+-=-，整理得k 2－k －1＝0 所以251,25121-=+=k k , ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=5522511p k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=-=)(05522512舍p k 所以直线l 方程为y ＝251+x ，抛物线方程为y 2＝554x ． 点评:本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想，考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力.例6.(创新探究·2007湖北理,19)在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2=2px (p >0)相交于A 、B 两点.（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点， 求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.思路透析:解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N (0,-p ),可设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，直线AB的方程为y =kx +p ,与x 2=2py 联立得⎩⎨⎧+==.22p kx y py x 消去y 得x 2-2pkx -2p 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2pk ,x 1x 2=-2p 2. 于是21221x x p S S S ACN BCN ABN -⋅=+=∆∆∆ ＝21221214)(x x x x p x x p -+=-＝.228422222+=+k p p k p p222min 0p S k ABN ==∴∆）时，（当.(Ⅱ)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y =a ,AC 的中点为为直与AC t O ,'径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则）点的坐标为（2,2,11py x O PQ H O +'⊥' 2121)(2121p y x AC P O -+==' ＝22121p y +. ,221211p y a p y a H O --=+-=' 222H O P O PH '-'=∴=21221)2(41)(41p y a p y ---+ ＝),()2(1a p a y pa -+-22)2(PH PQ =∴=.)()2(42⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-a p a y p a令02=-p a ，得p PQ pa ==此时,2为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =， 即抛物线的通径所在的直线. 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得22222122122128414)(11p k p k x x x x k x x k AB +⋅+=-+⋅+=-+=＝.21222+⋅+k k p 又由点到直线的距离公式得212kp d +=.从而，,2212212212122222+=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅=∆k p k pk k p AB d S ABN .22max 02p S k ABN ==∴∆）时，（当 得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-.0tan 2222,0θaz y a x a ay ax （Ⅱ）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得).(1)2(4))((4,0))((121112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---∆=----＝则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P (x 2,y 2),Q (x 4,y 4),则有.)()2(2)()2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-=令p PQ pa p a ===-此时得,2,02为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =.即抛物线的通径所在的直线.点评:本题以直线与抛物线的位置关系为背景, 将解析几何中的各数学思想方法交汇在一起, 属于思想方法的交汇, 其解题方法的多样性是本题的一大特色, 其每一问均有超过三种以上的解法, 且每一问题在难度上逐渐递进, 从多方位多角度考察了考生分析问题解决问题的能力,解析过程中注意参数的合理转化, 简化了运算的过程及计算量,也体现了设而不求的解几思想.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.(2)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算.(3)抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.(4)求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化.2.学以致用:(1)抛物线y =x 2的准线方程是A. 4y +1=0B. 4x +1=0C. 2y +1=0D. 2x +1=0(2)抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ．43B ．75C ．85D ．3(3)在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 .(4)已知抛物线y 2=4x 的一条弦AB ，A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), AB 所在直线与y 轴交点坐标为（0，2）则2111y y += . 答案:(1)D 解析:121,,41024p p y y =∴=-=-∴+=，选D. (2)A 解析:设抛物线2y x =-上任意一点为2(,)x x -,则点到直线4380x y +-=的距离d=22|348|5x x -+=当2433x d ==最小值时,, 故应选A. (3)54x =-解析:抛物线22y px = (0p >)的焦点坐标为(,02p ).∵12OA k =, 线段OA 的中点坐标为(1, 12), 线段OA 的垂直平分线的斜率12OAk k =-=-, ∴线段OA 的垂直平分线方程为12(1)2y x -=--, 其与x 轴的交点坐标为5(,0)4, ∴524p =, 故抛物线的准线方程为524p x =-=-,即54x =-. (4)12解析:设直线AB 的方程为(2)x m y =- , 代入抛物线方程24y x =可得2480y my m -+= , 由点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y , 可得121212114182y y m y y y y m ++=== . 3.易错分析:(1)运算正确率太低, 这是考生在解解析几何问题中常出现的问题, 即会而不对. (2)抛物线中的焦点坐标与准线方程求解过程中常误求出二倍关系;(3)定点与定值问题总体思路不能定位,引入参变量过多,没有求简意识,使问题复杂化. (4)解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.若抛物线24x y =-上一点M 到焦点F 的距离为1，则点M 的横坐标为( ) A ．78-B ．98-C ．1716-D ．1516- 2.在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 ( ) A.21B.1C.2D.4 3.过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则mnnm +等于 （ ）A ．2aB ．4aC ．a 21 D ．a4 4.抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是A ．4 B． C． D ．85.设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0 ，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．36.已知点P 是抛物线2y = 2x 上的动点，点p 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛4,27A ，则PA + PM 的最小值是 （ ） A ．211 B ．4 C ．29 D ．5二、填空题:7.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作垂直于x 轴的直线,交抛物线于A 、B 两点,则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________.8.设P 为抛物线y 2=x 上一点，且P 到此抛物线的准线的距离为d,当P 点到直线x-y+2=0的距离最小时，d 的值等于__________________.9.直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是___________. 10.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）三、解答题:11.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （Ⅰ）过点（－3，2）；（Ⅱ）焦点在直线x －2y －4=0上.12.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点F TM P 、、、满足(1,0),(O F O T t ==- ，,,//FM MT PM FT PT OF =⊥（Ⅰ）当t 变化时，求点P 的轨迹C 的方程（Ⅱ）若过点F 的直线交曲线C 于A B 、两点，求证：直线TA TF TB 、、的斜率依次成等差数列13.已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．14.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（Ⅲ）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.【能力训练】参考答案一、选择题:1. D2. C3. D4. C5. B6. C二、填空题:7. (x -1)2+y 2=4 8.12 9. （3，2） 10. ②⑤ 三、解答题:11.解析:（Ⅰ）设所求的抛物线方程为y 2=－2px 或x 2=2py （p ＞0），∵过点（－3，2），∴4=－2p （－3）或9=2p ·2.∴p =32或p =49. ∴所求的抛物线方程为y 2=－34x 或x 2=29y ，前者的准线方程是x =31，后者的准线方程是y =－89. （Ⅱ）令x =0得y =－2，令y =0得x =4，∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）.当焦点为（4，0）时，2p =4， ∴p =8，此时抛物线方程y 2=16x ； 焦点为（0，－2）时，2p =2， ∴p =4，此时抛物线方程为x 2=－8y .∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=－8y ，对应的准线方程分别是x =－4，y =2.12.解析：（I ）设点P 的坐标为(,)x y ，由FM MT = ，得点M 是线段FT 的中点，则(0,)2t M ，(,)2t PM x y =-- ， 又(2,),FT OT OF t =-=- (1,)PT x t y =--- ，由PM FT ⊥ ， 得2()02t x t y +-=， ① 由//PT OF ，得(1)0()10,x t y t y --⨯+-⨯=∴= ②由①②消去t ，得24y x =即为所求点P 的轨迹C 的方程（II ）证明：设直线,,TA TF TB 的斜率依次为12,,k k k ，并记11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则2t k =- 设直线AB 方程为1x my =+ 241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=， 12124,4y y m y y +=⎧∴⎨⋅=-⎩ 2222121212()2168y y y y y y m ∴+=+-=+，1212121y t y t k k x t x --∴+=+++2221122212()(1)()(1)44(1)(1)44y y y t y t y y -++-+=++ 2212121212222212124()4()16()324()16y y y y t y y y y t y y y y +-+++-=+++2t k =-= 12,,k k k ∴成等差数列13.解析：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →，即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)， ⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22． 解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)． 所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0 所以FM →·AB →为定值，其值为0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB ||FM |． |FM |＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4 ＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ． 因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2． 于是S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4． 14.解析:(Ⅰ) 抛物线2y =2px 的准线为x =-2p ,于是4+2p =5, ∴p =2. ∴抛物线方程为2y =4x .(Ⅱ)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0), ∴k FA =34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43, 则FA 的方程为y =34(x -1),MN 的方程为y -2=-43x ,解方程组得x =58,y =54,∴N 的坐标(58,54). (Ⅲ)由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m =4时, 直线AK 的方程为x =4,此时,直线AK 与圆M 相离.当m ≠4时, 直线AK 的方程为y =m-44(x -m ),即为4x -(4-m ) y -4m =0, 圆心M(0,2)到直线AK 的距离d =2)4(1682-++m m ,令d >2,解得m >1 ∴当m >1时, AK 与圆M 相离; 当m =1时, AK 与圆M 相切; 当m <1时, AK 与圆M 相交.。
抛物线高考专题复习
课 时 作 业
菜
单
高三一轮总复习理科数学 · （安徽专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
变式3 已知AB是抛物线y 2 2 px( p 0)的焦点弦， 且A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 点F 为抛物线的焦点. 求证：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线L相切.
高 考 体 验 · 明 考 情
e＝1 |PF|＝ p －x0＋ 2
p y＝－ 2
p y＝ 2
高 考 体 验 · 明 考 情
焦半 p |PF|＝x0＋ 2 径
|PF|＝ p y0＋ 2
|PF|＝ p －y0＋ 2
课 时 作 业
菜
单
高三一轮总复习理科数学 · （安徽专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”： 一个动点M， 一个定点F， 一条定直线（准线）， 一个定值1（离心率）。 抛物线的定义表明了抛物线上的点到焦点的距离与 到准线的距离的等价性，二者可以相互转化，这一转化 在解题过程中具有重要作用.
高 考 体 验 · 明 考 情
课 时 作 业
菜
单
高三一轮总复习理科数学 · （安徽专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
变式1
已知AB是抛物线y 2 px( p 0)的焦点弦，
2
且A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 点F 为抛物线的焦点. 1 1 求证： 为定值. AF BF
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 作 业
菜
单
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(浙江专用)新高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 8 第8讲 直线与椭圆、抛物线的位置关系高效演
第8讲 直线与椭圆、抛物线的位置关系[基础题组练]1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )①y ＝2x －3; ②y ＝2x ＋1； ③y ＝－2x －3; ④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C.直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.3．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B.若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k (x －12)，代入抛物线y 2＝2x 得，k 2x2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，因为A ，B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝± 2.所以这样的直线有两条．4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.5．(2020·某某严州中学模拟)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( )A.34B.32C. 3D ．3解析：选D.设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝42，直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，y ＝－82，即C (－2，－82)，联立方程⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22（x －2），解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.6．已知圆M ：(x －1)2＋y 2＝38，椭圆C ：x 23＋y 2＝1，若直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与圆M 相切于点P ，且P 为AB 的中点，则这样的直线l 有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条解析：选C.当直线AB 斜率不存在时且与圆M 相切时，P 在x 轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， 由x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1，两式相减，整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2y 1＋y 2， 则k AB ＝－x 03y 0，k MP ＝y 0x 0－1，k MP ·k AB ＝－1，k MP ·k AB ＝－x 03y 0·y 0x 0－1＝－1，解得x 0＝32， 由32<3，可得P 在椭圆内部，则这样的P 点有2个，即直线AB 斜率存在时，也有2条． 综上可得，所示直线l 有4条．故选C.7．(2020·某某市普通高中模考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线分别交抛物线于A ，B 两点，交直线l ：x ＝－1于点P ，若PA →＝λAF →，PB →＝μBF →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．解析：直线x ＝－1是抛物线的准线，如图，设A ，B 在直线l 上的射影分别是M ，N ，|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |，|PA ||AF |＝|PA ||AM |，|PB ||BF |＝|PB ||BN |，因为AM ∥BN ，所以|PA ||AF |＝|PB ||BF |，|λ|＝|μ|，又λ＜0，μ＞0，所以λ＋μ＝0.答案：08．(2020·某某省名校协作体高三联考)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝ （1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.答案：5539．(2020·某某市高三模拟)已知斜率为12的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于x 轴上方的不同两点A ，B ，记直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2的取值X 围是________．解析：设直线l ：x ＝2y ＋t ，联立抛物线方程得y 2＝2p (2y ＋t )⇒y 2－4py －2pt ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝16p 2＋8pt ＞0⇒t ＞－2p ，所以y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝－2pt ＞0⇒t ＜0，即－2p ＜t ＜0，x 1x 2＝(2y 1＋t )(2y 2＋t )＝4y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋t 2＝4·(－2pt )＋2t ·4p ＋t 2＝t 2，所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝（2y 2＋t ）y 1＋（2y 1＋t ）y 2x 1x 2＝t （y 1＋y 2）＋4y 1y 2x 1x 2＝4pt －8pt t 2＝－4pt， 因为－2p ＜t ＜0，所以－4pt＞2，即k 1＋k 2的取值X 围是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)10．过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 所以－b 2a 2＝－12，所以a 2＝2b 2.又因为b 2＝a 2－c 2， 所以a 2＝2(a 2－c 2)， 所以a 2＝2c 2，所以c a ＝22. 答案：2211．(2020·某某市余姚中学高三期中)已知椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程；(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为椭圆E 经过点A (2，3)，离心率e ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝124a 2＋9b 2＝1，所以a 2＝16，b 2＝12，所以椭圆E 方程为x 216＋y 212＝1.(2)F 1(－2，0)，F 2(2，0)，因为A (2，3)，所以直线AF 1的方程为3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2， 设角平分线上任意一点P (x ，y )，则|3x －4y ＋6|5＝|x －2|.得2x －y －1＝0或x ＋2y －8＝0，因为斜率为正，所以直线l 的方程为2x －y －1＝0.(3)假设存在B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)两点关于直线l 对称，所以k BC ＝－12，所以直线BC 方程为y ＝－12x ＋m 代入x 216＋y 212＝1得x 2－mx ＋m 2－12＝0，所以BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，3m 4， 代入直线2x －y －1＝0，得m ＝4.所以BC 的中点坐标为(2，3)与A 重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．12．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B .若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB 的方程及弦AB 的长．解：由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18， 所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x .设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x 2，消去y ， 得2x 2－kx ＋k ＋6＝0，Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0， 解得k ＝－4或k ＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y 2＝36x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－3；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y 2＝36x ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，9.所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.[综合题组练]1.(2020·某某模拟)已知直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)有且只有一个公共点P (2，1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ′：y ＝－x ＋b 交C 于A ，B 两点，且PA ⊥PB ，求b 的值．解：(1)联立直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)， 可得(m ＋n )x 2－6nx ＋9n －1＝0，由题意可得Δ＝36n 2－4(m ＋n )(9n －1)＝0，即为9mn ＝m ＋n ， 又P 在椭圆上，可得4m ＋n ＝1， 解方程可得m ＝16，n ＝13，即椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线y ＝b －x 和椭圆方程，可得3x 2－4bx ＋2b 2－6＝0，判别式Δ＝16b 2－12(2b 2－6)>0，x 1＋x 2＝4b 3，x 1x 2＝2b 2－63，y 1＋y 2＝2b －(x 1＋x 2)＝2b 3，y 1y 2＝(b －x 1)(b －x 2)＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2－63，由PA ⊥PB ，即为PA →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1 ＝2b 2－63－2·4b 3＋b 2－63－2b 3＋5＝0，解得b ＝3或13，代入判别式，知b ＝13成立．故b 为13.2.(2020·某某市高三教学质量调测)已知点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上．(1)求椭圆C 的方程；(2)P 是线段AB 上的点，直线y ＝12x ＋m (m ≥0)交椭圆C 于M ，N 两点．若△MNP 是斜边长为10的直角三角形，求直线MN 的方程．解：(1)因为点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m x24＋y 2＝1消去y ，得12x 2＋mx ＋m 2－1＝0，则Δ＝2－m 2>0，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2， |MN |＝52|x 1－x 2|＝10－5m 2. ①当MN 为斜边时，10－5m 2＝10，解得m ＝0，满足Δ>0，此时以MN 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝52.点A (－2，0)，B (0，1)分别在圆外和圆内，即在线段AB 上存在点P ，此时直线MN 的方程y ＝12x ，满足题意．②当MN 为直角边时，两平行直线AB 与MN 的距离d ＝255|m －1|，所以d 2＋|MN |2＝45|m －1|2＋(10－5m 2)＝10，即21m 2＋8m －4＝0，解得m ＝27或m ＝－23(舍)，又Δ>0，所以m ＝27.过点A 作直线MN ：y ＝12x ＋27的垂线，可得垂足坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－127，－47，垂足在椭圆外，即在线段AB 上存在点P ，所以直线MN 的方程y ＝12x ＋27，符合题意．综上所述，直线MN 的方程为y ＝12x 或y ＝12x ＋27.3．(2020·某某市高考数学模拟)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，线段AB 与它的中垂线l 2交于点G (a ，1)(a ≠0)．(1)求证：直线l 2过定点，并求出该定点坐标；(2)设l 2分别交x 轴，y 轴于点M ，N ，是否存在实数a ，使得A ，M ，B ，N 四点在同一个圆上，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝4y 1x 22＝4y 2，两式相减可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝4(y 1－y 2)， 可得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝2a 4＝12a ， 由两直线垂直的条件可得直线l 2的斜率为－2a； 即有直线l 2：y ＝－2a(x －a )＋1，可得l 2：y ＝－2ax ＋3过定点(0，3)．(2)l 2：y ＝－2a x ＋3过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，0，N (0，3)， 假设存在实数a ，使得A ，M ，B ，N 四点在同一个圆上， 由中垂线的性质可得∠MAN ＝∠MBN ， 可得∠MAN ＝90°，即有|AG |2＝|MG ||NG |，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a 2（x －a ）＋1x 2＝4y， 可得x 2－2ax ＋2a 2－4＝0，x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝2a 2－4， 由弦长公式可得|AB |＝1＋a 244a 2－4（2a 2－4）＝1＋a 2416－4a 2，即有|MG ||NG |＝1＋a 244＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 24(4－a 2)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 24(4－a 2)＝12(a 2＋4)，所以a 2＝2，解得a ＝± 2. 故存在这样的实数a ，且为± 2.。
抛物线课件 高三数学一轮复习
解析：由题意知F(1，0)，设A，B，C的横坐标 分别为x1，x2，x3，
由AF＝13 (AB + AC)，得1－x1＝13(x2－x1＋x3－x1)， 所以x1＋x2＋x3＝3，
由抛物线的定义得|AF|＋|BF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋ 1＋x3＋1＝x1＋x2＋x3＋3＝6.
(2)[2024·广东广州模拟]设动点P在抛物线y＝14x2上，点P在x轴上的射 影为点M，点A的坐标是(2，0)，则|PA|＋|PM|的最小值是___5_－__1__．
题后师说
求抛物线标准方程的常用方法
巩固训练2
(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距
离大1，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x
B．y2＝2x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
答案： C 解析：由题意抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x＝－1 的距离相同，因此－p2＝－1，p＝2，抛物线方程为y2＝4x.故选C.
题后师说
抛物线定义的应用策略
巩固训练1
(1)[2024·辽 宁 辽 阳 模 拟 ] 已 知 抛 物 线 C ： x2 ＝ 2py(p>0) 的 焦 点 为 F ，
M(m，2)在抛物线C上，且|MF|＝4，则p＝( )
A．2
高考数学一轮复习 第十四单元 椭圆、双曲线、抛物线 高考达标检测(三十八)双曲线命题3角度——用定义
高考达标检测（三十八） 双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质一、选择题1．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 由题意得，ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4.2．椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的公共焦点为F 1，F 2，若P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －aB ．m 2－a 2C.m －a2D.m －a解析：选B 由题意，不妨设P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝m 2－a 2.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积为( )A.24B.22 C.28D.216解析：选C 双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，即x 212－y 2＝1，所以左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0， 渐近线方程y ＝±2x ，过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12，所以该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积S ＝12|OA |·|y |＝12×22×12＝28. 4．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P 是E 右支上一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆在边AF 2上的切点为Q ，若|AQ |＝3，则E 的离心率为( )A ．2 3 B. 5 C. 3D. 2解析：选C 如图，设△PAF 2的内切圆在边PF 2上的切点为M ，在AP 上的切点为N ，则|PM |＝|PN |，|AQ |＝|AN |＝3，|QF 2|＝|MF 2|， 由双曲线的对称性可得，|AF 1|＝|AF 2|＝|AQ |＋|QF 2|＝3＋|QF 2|， 由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝|PA |＋|AF 1|－|PM |－|MF 2| ＝3＋|QF 2|＋|AN |＋|NP |－|PM |－|MF 2| ＝23＝2a ，解得a ＝3，又|F 1F 2|＝6，则c ＝3， 故离心率e ＝c a＝ 3.5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为( )A.52B. 5C. 2D ．2解析：选C 将x ＝c 代入双曲线方程可得|y |＝b 2a，因为以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，所以圆的半径为b 2a，又双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，所以bc b 2＋a 2＝b 2a，化简可得a ＝b ，则双曲线的离心离为 2.6．(2018·东北四校联考)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|PF 2|＝|F 1F 2|，∠F 1F 2P ＝120°，则双曲线的离心率为( )A.3＋12B.5＋12C. 3D. 5解析：选A 如图，在△PF1F 2中，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1F 2P ＝120°，由余弦定理可得|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2－2|F 1F 2|·|PF 2|·cos 120°＝12c 2，所以|PF 1|＝23c .由双曲线的定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝23c －2c ＝2(3－1)c . 故双曲线的离心率e ＝2c2a＝2c 3－c＝3＋12. 7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A 为右顶点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|－|OA |存在最小值为12a ，则双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为( )A.15B.12C.265D.35解析：选A 设|PF 1|－|OA |＝m ，则|PF 2|2|PF 1|－|OA |＝a ＋m 2m＝m ＋9a2m＋6a ≥12a ，当且仅当m ＝3a 时取等号，∴|PF 1|＝4a ， ∴4a ≥c －a ，∴5a ≥c ， ∴25a 2≥a 2＋b 2，∴b a≤26，设双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角为α， 则0＜tan α≤26，∴cos α≥15，∴双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为15.8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ ＝60°且OQ ―→＝5OP ―→，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.213C.72D ．3解析：选B 如图，因为∠PAQ ＝60°，|AP |＝|AQ |，所以△QAP 为等边三角形． 设|AQ |＝2R ，因为OQ ―→＝5OP ―→， 所以|PQ |＝2R ，|OP |＝12R .又渐近线方程为y ＝b ax ，A (a,0), 取PQ 的中点M ，则|AM |＝|ab |a 2＋b 2，由勾股定理可得(2R )2－R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|ab |a 2＋b 22， 所以(ab )2＝3R 2(a 2＋b 2)． ①在△OQA 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫52R 2＋2R 2－a22·52R ·2R ＝12， 所以214R 2＝a 2. ②联立①②并结合c 2＝a 2＋b 2，可得c 2＝74b 2＝74(c 2－a 2)，即3c 2＝7a 2，所以e ＝ca ＝ 73＝ 213. 二、填空题9．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2,0)，F 2(2,0)，故四边形F 1PF 2Q 的面积是12|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3.答案：2 310．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 11．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|2－|PF 2|2＝c 2，则双曲线的离心率e ＝__________.解析：设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，F 2(c,0)到渐近线的距离为d ＝|PF 2|＝bc a 2＋b 2＝b ，cos ∠POF 2＝c 2－b 2c ＝ac ，在△POF 1中，|PF 1|2＝|PO |2＋|OF 1|2－2|PO |·|OF 1|·cos∠POF 1 ＝a 2＋c 2－2ac ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a c ＝3a 2＋c 2， 则|PF 1|2－|PF 2|2＝3a 2＋c 2－b 2＝4a 2＝c 2， ∴e ＝c a＝2. 答案：212．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线的离心率e 的取值范围为__________．解析：设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为(c,0)，将x ＝c 代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， ∴|AB |＝2b 2a .将x ＝c 代入y ＝±b a x ，得y ＝±bca，令C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bc a，∴|CD |＝2bca.∵|AB |≥35|CD |，∴2b 2a ≥35·2bc a ，即b ≥35c ，则b 2＝c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，∴e 2＝c 2a 2≥2516，即e ≥54. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞三、解答题13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. 14．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→＞2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2＞0，∴k 2＜1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA ―→·OB ―→＞2，即x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.1．(2018·江西吉安一中测试)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB |＝2，|AD |＝1，|CD |＝2x ，其中x ∈(0,1)，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，若对任意x ∈(0,1)，不等式t <e 1＋e 2恒成立，则t 的最大值为( )A. 3B. 5 C ．2D. 2解析：选B 由平面几何知识可得|BD |＝|AC |＝1＋4x ， 所以e 1＝21＋4x －1，e 2＝2x1＋4x ＋1，所以e 1e 2＝1. 因为e 1＋e 2＝e 1＋1e 1＝21＋4x －1＋1＋4x －12在x ∈(0,1)上单调递减， 所以e 1＋e 2>21＋4－1＋1＋4－12＝ 5. 因为对任意x ∈(0,1)，不等式t <e 1＋e 2恒成立， 所以t ≤5，即t 的最大值为 5.2．设A 1，A 2分别为双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的上、下顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率kMA 1·kMA 2>2，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32解析：选B 设M (x 0，y 0)，A 1(0，a )，A 2(0，－a )， 则k MA 1＝y 0－a x 0，k MA 2＝y 0＋ax 0， ∴k MA 1·k MA 2＝y 20－a2x 20>2.(*)又点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2b2＝1上，∴y 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20b 2＋1，代入(*)式化简得，a 2b 2＞2，∴b 2a 2＜12， ∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＜12，解得1＜e ＜62.3．已知双曲线x 29－y 227＝1与点M (5,3)，F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，则|PM |＋12|PF |的最小值为__________．解析：双曲线x 29－y 227＝1，焦点在x 轴上，a ＝3，b ＝33，c ＝a 2＋b 2＝6. ∴双曲线的离心率e ＝c a ＝2，右准线l ：x ＝a 2c ＝32，过P 作PN ⊥l 于点N ，由双曲线的第二定义可知：|PF ||PN |＝e ， ∴|PF |＝e |PN |＝2|PN |, ∴|PN |＝12|PF |，因此|PM |＋12|PF |＝|PM |＋|PN |，当且仅当M ，N ，P 三点共线时，|PM |＋12|PF |＝|MN |时取得最小值，∴|PM |＋12|PF |的最小值为5－32＝72.答案：72。