杨氏不等式所有的变形
;3不等式的变形与证明
§3不等式的变形与证明教学目的：使学生理解不等式变形的同解原理，掌握各类不等式（组）的解法，并能灵活地运用多解方法证明不等式.教学重点：不等式的证明。
教学难点：不等式证明的多种方法的运用〉课时安排：23.1 不等式的同解解不等式的基本方法是依据不等式的性质，将不等式变形为一个或几个解是明显的不等式来求解.与解方程不同，解不等式一般没有验根的步骤.这就要求在变形的过程中使得不等式的解集不变，即保持不等式的同解.定义1 若两个不等式（组）的解集相同，则称这两个不等式（组）同解.定理1 若)(x f ≡)(x g ，则不等式)(x f ＞0与)(x g ＞0在)(x f 与)(x g 的公共定义域D 上同解.定理2 若)(x φ对于不等式)(x f ＞)(x g 的定义域D 中的一切数均有意义，则不等式)(x f +)(x φ＞)(x g +)(x φ与原不等式同解.定理3 若)(x φ对于不等式)(x f ＞)(x g 的定义域D 中的一切数均有意义，则)(x f ＞)(x g 与以下两个不等式组⎩⎨⎧>>)()()()( 0)(x x g x g x f x φφ 或 ⎩⎨⎧<<)()()()(0)(x x g x x f x φφφ同解.推论1 不等式与以下两个不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或 ⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解.推论2 不等式)()(x g x f ＞0与)(x f )(x g ＞0同解. 定理4 设不等式)(x f ＞)(x g 的定义域为D ，如果)(x f ＞0且)(x g ＞0的解集为D Y X ⊂,，则不等式)(x f ＞)(x g 与)()(x g x f n n >或n n x g x f )()(>同解.这四个同解定理的证明请读者自己完成. 3.2 不等式与不等式组的解法 例1 解不等式 m x mx 32->-. 解 原不等式可化为m x m 32)1(->-.若m ＞1，则解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->132|m m x x ； 若m ＜1，则解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<132|m m x x ； 若m ＝1，得0＞－1为绝对不等式，解集为R . 注 在解含参数的不等式时，必须进行讨论. 例2 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+<+ .327,425,243x x x x x x 解 原不等式同解于⎪⎩⎪⎨⎧<-<-> . 7,2,1x x x∴解集为开区间（－1,2）.注 在解不等式组时，当组成不等式组的各个不等式的解集情况较为复杂，求其公共部分较为困难时，可借助于数轴，直观地求出它们的交集.例3 解不等式3232+<+-x x x .解 原不等式同解于⎪⎩⎪⎨⎧+->+>+≥+-.23)3(,03 ,023222x x x x x x 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->->≥≤ 或 .97,3,21x x x故原不等式的解集为（－97,1） [)∞，＋2.当变元的取值范围受若干条件约束时，如何求多元函数的最值是一类常见的问题，即线性规划问题.例4 设z y x ,,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤≤≤≤=++2320101z y y x z y x求z y x F 462++=的最值.解 由1=++z y x 得y x z --=1，将其代入z y x F 462++=，得422+-=x y F .因此问题转化为在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤122010x y y x下，求422+-=x y F 的最值.约束条件可用如图4－1所示的平面区域D （阴影部分） 表示.考虑与区域D 相交的平行直线族t x y l =+-422:， 在每条直线上的每个点，目标函数F 取相同的值.当直线t l 沿y 轴正向上平移时，它在轴上的截距22-t增加，因而t 也增加.显然，当t l 过点)1,1(A 时，t 值最小，4min =F ；当t l 过点)2,0(B 时，t 值最大，8max =F .例5 已知b x a x f +=2)(，且0≢)1(f ≢3,－5≢)3(f ≢6，求)2(f 的最大值、最小值.解 根据题设有⎩⎨⎧≤+≤-≤+≤.695,30b a b a在区域（图4－2）内，欲求 )2(f b a +=4 的最大值,先求出四条直线的交点)4,1()821,83()43,43()85,85(---D C B A 、、、.显然)2(f 在C A 、两点分别达到最小、最大值，即有.833)2(815≤≤-f 例6 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+,052,053,052y x y x y x ，求函数x y z 2-=的最大值和最小值.解 上述不等式组的解集如图4－3所示区域，由x y z 2-=得,2z x y +=(‴)则z 是x y 2=与平行的直线在y 轴上的截距.将(2,1),(1,3),3,4)代入(‴)得.2,1,3321-==-=z z z∴满足上述条件的z 的最大值为1，最小值为－3.3.3 不等式的证明证明不等式就是证明对于不等式定义域中任意元素，不等式总能成立，而其定义域通常可用已知条件或其他形式给出.不等式的证明不仅方法灵活，技巧多变，而且涉及到许多数学知识，因而一直是中学数学教学中的重点与难点.其常见的方法有以下几种：（1）比较法通常有两种形式：①差值比较：欲证A ＞B ，只须证A －B ＞0; ②商值比较：欲证A ＞B ，若B ＞0，只须证BA＞1. 例7 求证：2)(d c b a +++≣)(4da cd bc ab +++，其中等号成立的充要条件是d b c a +=+.证明 2)(d c b a +++－)(4da cd bc ab +++＝bd ac da cd bc ab d c b a 22)(22222+++++-+++ ＝))((2)()(22d b c a d b c a ++-+++ ＝[]2)()(d b c a +-+≣0.显然当且仅当d b c a +=+时，上述不等式取等号.注 如果不等式两端的式子A 、B 是和的形式，常可考虑用差值比较，将A －B 变形为若干个正数的和或积的形式.(2) 放缩法在直接证明不等式A ＜B 有困难时，常常借助于一个（或多个）中间值（式）C 作比较，若能证明A ＜C ，且C ＜B ，则由不等式的传递性有A ＜B ，这种方法被形象的称为放缩法.例8 设[]1,0,,∈c b a ，求证：)1)(1)(1(111c b a b a ca cbc b a ---+++++++++≢1.证明 由对称性，不妨设0≢a ≢b ≢c ≢1，则左端≢)1)(1)(1(1c b a b a cb a ---+++++ ＝[])1)(1)(1(1111b a b a b a c--++-++--. 又)1)(1)(1(b a b a --++≢)1)(1)(1(b a ab b a --+++ ＝)1)(1(22b a --≢1, 且11++-b a c≣0.∴不等式成立.例9 （2003年江苏省高考题）设0>a ，如图4－4，已知直线ax y l =:及曲线2:x y C =，C 上的1Q 点的横坐标为)0(11a a a <<，从C 上的点n Q n (≣1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点1+n Q ，),3,2,1( =n Q n 的横坐标构成数列{}n a .（Ⅰ）试求1+n a 与n a 的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）1=a 时，证明：∑=++<-nk k k k a a a 12131)(. （Ⅰ） 解：根据题意有：).1,1(),1(),,(4221212n n n n n n n n a aa aQ a aP a a Q ++则,121n n a a a ⋅=+ ∴n a ＝2222122121)1()1(11-+--=⋅=n n n a a a a a a a ＝3222322122321)1()1()1(-++-+=⋅n n a aa a a ＝… ＝111222112212221)1(----⋅=⋅-++++n n n n a a a a＝.)(121-n aa a （Ⅱ） 证明：由1=a 知.21n n a a =+又∵1a ≢21，∴2a ≢41，3a ≢161. ∴当k ≣1时，2+k a ≢3a ≢.61故∑=++-nk k k ka a a121)(≢∑=+-n k k k a a 11)(161＝)(16111--n a a ≢1161a ⋅≢321. （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当1=a 时，121-=n a a n .∴∑=++-nk k k ka a a121)(＝∑=--nk kk a a12121)(1≢∑-=++-121221111)(n i i i i a a a＝.3111)1()1(21151313121112131211<++=--<-∑-=a a a a a a a a a a n i i 注 在运用放缩法证明不等式时，关键是确定放缩的“度”.如果这个“度”把握不好，就不会达到预期的效果.(3) 构造法构造法是指依据题设的特点，用已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系为“支架”，构造出一种新的数学模型，来解决问题.例10 设,,,+∈R z y x 求证：.22222222xz z x yz z y xy y x -+>-++-+证明：注意到0,0,0>>>z y x ，且45cos 2.22222xy y x xy y x -+=-+表示以x ，y 为边、夹角为45°的三角形的第三边，另两式也有类似的几何意义.因此，我们构造一个四面体OABC ，使,,,z OC y OB x OA ===︒=∠∠45AOB BOC ＝，60=∠COA ，则.,2,2222222xz z x CA yz z y BC xy y x AB -+=-+=-+=而在△ABC 中，AC BC AB >+，故不等式成立.注：构造几何图形，利用几何元素间的不等关系来证明不等式，具有直观、简捷的特点.例11 已知+∈R b a y x ,,,，且1=+ybx a ，求证：y x +≣2)(b a +. 证明：由题设得.0,0,))((>>>>=--b y a x ab b y a x记m y x =+，则)()()(b a m b y a x +-=-+-，即b y a x --,是关于z 的二次方程0)(2=+---ab z b a m z 的实根，因此△＝ab b a m 4)(2---≣0.解之得m ≣ab b a 2++，即y x +≣2)(b a +.注 构造实系数的一元二次方程，利用根的判别式来得到相应的不等关系，常常是一种有效的证明不等式的途径.（4）运用基本不等式定理5 设n a a a ,,,21 为任意一组正实数，记这n 个数的算术平均为na a a A nn +++=21，几何平均为n n n a a a G 21=，调和平均为nn a a a nH 11121+++=，则n A ≣n G ≣n H ，当且仅当n a a a ==21时上述不等式取等号.证明 先证n A ≣n G .由对称性可设1a ≢2a ≢…≢n a .①当n a a <1时，容易证明n n a G a <<1，此时，0))((1>--n n n G a a G .显然22G A >.假设11-->n n G A ,则n nn G a a a a 112+++- ≣,)1()1(1112n n nn n G n G a a a a n -=--- n n a a a nA +++= 21≣nnn n G a a G n a a 11)1(--+＝)(121n n n n n n a a G G a G a nG --++/n G＝))((1a G G a nG n n n n --+/n n nG G >. 故对任意自然数，不等式n A >n G 成立. ②当n a a =1时，显然n A ＝n G . 再证n G ≣n H ，只需对na a a 1,,1,121 应用n A ≣n G 即可. 注 这三个不等式通常称为平均不等式.定理6 设n a a a ,,,21 与b 1，b 2，…，n b 为任意两组实数，则（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋n a n b ）2≢))((2222122221n n b b b a a a ++++++当且仅当nn b a b a b a === 2211时上式取等号. 证明：构造方程（a 1x －b 1）2＋（a 2x －b 2）2＋…＋（n a x －n b ）2＝0，即0)()(2)(222212211222221=+++++++-+++n n n n b b b x b a b a b a x a a a易知，上述关于x 的一元二次方程无实数根或有相等的两个实数根.则有[]))((4)(2222212222122211n n n n b b b a a a b a b a ba ++++++-+++- ≢0即（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋n a n b ）2≢))((2222122221n n b b b a a a ++++++ .特别地，当上述方程有二等实根0x 且不为0时，有nn a b a b a b x ==== 22110.则不等式取等号.注 上述不等式通常称为柯西――施瓦兹不等式.定理7 设n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 为任意两组有序的实数组，且1a ≢a 2≢…≢n a ，b 1≢b 2≢…≢n b .记顺序和为n n b a b a b a S +++= 22111，乱序和为,22112in n i i b a b a b a S +++= ，（其中n i i i ,.....,21为n ,,2,1 的任一排列）逆序和为11213b a b a b a S n n n +++=- .则S 1≣S 2≣S 3.当且仅当n a a a === 21或b 1＝b 2＝…＝n b .时上式取等号. 证明：先证明S 1≣S2.（*）不妨设乱序和S 2中n j ≠n （若n j n =，则考虑1-n j ），且含有项k b a n k (≠n ）， ∵))((jn n k n jn n n k jn k n n b b a a b a b a b a b a --=--+≣0，∴jn n n k b a b a +≢n n jn k b a b a +. (**) 这表明，当n j ≠n 时，交换S 2.中n b 与n j b （其余不动）的位置，所得新和S 2′≣S 2.接着仿上交换1-n b 与1-n j b （若1-n ≠1-n j ）的位置，又得S 2″≣S 2′，如此至多经过1-n 次交换，就得到顺序和S 1，于是S 1≣S 2..显然，当n a a a === 21或b 1＝b 2＝…＝n b 时，（*）式中等号成立，反之，若它们全不相等，则必存在n j 及k ，使k n j n a a b j n >>,，此时(**)式中等号不成立，故(*)式中等号也成立.类似地可证S 2≣S 3.注 上述不等式通常称为排序不等式.这几个等式不仅本身极为重要，而且在初等数学和高等数学中都有着广泛的应用价值，例如可应用它们来证明其它的不等式.例12设P z y x c a a P cz by ax ,,,,,,,=++皆为正实数，求证：222222cz b y a x ++≣.4442c b a p ++证明 ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222444)()()()(c z b y ax c b a ≣2222)(c zc b yb a xa ⋅+⋅+⋅.)(22p cz by ax =++=第11页（DZG ） ∴222222c z b y a x ++≣.4442cb a p ++ 注 应用柯西不等式关键是构造两组实数，这就需要根据题设和欲证不等式，对照柯西不等式的特点考虑.例13 已知0＜a ≢b ≢c ≢d ，且1=+++d c b a .求证：2222753d c b a +++≣1.证明 ∵a 2≢b 2≢c 2≢d 2，,1＜3＜5＜7.故由排序不等式，有 2222753d c b a +++＝2222753d c b a +++2222753d c b a +++≣2222753d c b a +++2222753d c b a +++≣2222375d c b a +++2222753d c b a +++≣2222537d c b a +++四式相加得4（2222753d c b a +++）≣16（a 2＋b 2＋c 2＋d 2） ≣4（a ＋b ＋c ＋d ）2≣4.∴2222753d c b a +++≣1.注 应用排序不等式，不仅要构造两组实数，还要能分别确定这两组数组的大小顺序关系.小 结：不等式的同解原理是理解不等式的依据。
基本不等式变形公式
基本不等式变形公式在我们学习数学的道路上，基本不等式变形公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开许多难题的大门。
先来瞧瞧基本不等式的常见形式：对于非负实数 a 和 b，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$ ，当且仅当 a = b 时，等号成立。
从这个简单又重要的式子出发，能衍生出好多有趣且实用的变形公式。
比如说，我们把基本不等式两边同时平方，就能得到 $ab \leq(\frac{a + b}{2})^2$ 。
这一变形在解决一些求最值的问题时，常常能发挥意想不到的作用。
我记得之前有个学生，叫小明，在做一道数学题的时候就被基本不等式变形公式给难住了。
那道题是这样的：已知 x > 0，y > 0，且 x +2y = 8，求xy 的最大值。
小明一开始毫无头绪，眉毛都快拧成麻花啦。
我就引导他，让他想想基本不等式变形公式。
他恍然大悟，把 x + 2y = 8 变形为 x = 8 - 2y，然后代入到 xy 中，得到一个关于 y 的二次函数。
再利用我们的变形公式 $ab \leq (\frac{a + b}{2})^2$ ，求出 xy 的最大值。
当他算出答案的那一刻，脸上绽放出了像花儿一样灿烂的笑容，我心里也别提多有成就感啦！还有一种常见的变形是：$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ ，这个变形在证明不等式或者求取值范围的时候经常会用到。
咱们再来说说另一个变形：$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$ 。
这个变形看起来有点复杂，但在处理一些涉及到分式的问题时，它可是能大显身手的。
比如说，在解决一个关于两个正数的平均速度问题时，就可以巧妙地运用这个变形公式。
假设一段路程，甲用时间 a 走完，乙用时间 b 走完，求他们速度的平均大小关系，这时候这个变形公式就能派上用场啦。
总之，基本不等式变形公式虽然看起来有点“调皮”，不好捉摸，但只要我们多做练习，多思考，就能把它们驯服，让它们成为我们解题的得力助手。
高中数学第三章不等式基本不等式不等式的八种变式及应用素材
不等式ab b a222≥+的八种变式及应用不等式ab b a222≥+是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的八种变式及应用变式1：≤ab 222b a +（当且仅当b a =时，等号成立)例1、若+∈R c b a ,,,且2=++c b a ，求证：1313+++b a 613<++c证明:由2131131++≤+⋅a a 得12313+≤+a a 同理：12313+≤+b b ,12313+≤+c c因此123131313+≤+++++a c b a 6123123≤++++c b由于三个不等式中的等号不能同时成立，故6131313<+++++c b a变式2：≤ab 2)2(b a +（当且仅当b a =时，等号成立）例2、若常数0>k ，对于任意非负实数b a ,都有222)(b a c kab b a +≥++恒成立，求最大的常数c ;解：（i ）当2≥k 时，22222)(2b a ab b a kab b a +=++≥++ 当且仅当0=ab 时等号成立。
（ii)当20<<k 时，a ab k b a kab b a ()2()(222≥--+=++222)(42)2)(2()b a kb a k b ++=+--+ 当且仅当b a =时等号成立。
由（i ）（ii ）知：)20(42)2(1<<⎪⎩⎪⎨⎧+≥=k k k c变式3:)(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时，等号成立)例3、设223≤≤x ，求证： 83153212<-+-++x x x证明:由变式3得)31532(231532x x x x -+-≤-+-x 224-=)22444(222412x x x x -++≤-++82142142=+≤+=x上述第一个不等式中等号成立的条件为：]2,23[51831532∉=⇒-=-x x x故原不等式成立。
运用基本不等式必备的变形技巧
1 / 31 / 31 / 3运用基本不等式必备的变形技巧 基本不等式,0,0(2>>≥+b a ab b a 当且仅当a=b 时等号成立）在不等式的证明、求解或者解决其它问题中都起到了十分重要的工具性作用,在利用基本不等式求解函数最值问题时,有些题目可以直接利用公式求解，有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解．下面介绍一些常用的变形技巧．一、配凑1.凑系数例1当0<x<4时，求y=x(8-2x)的最大值．分析 由0＜x ＜4得8-2x>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子的积的形式，但其和不是定值．注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可． 解∵0<x<4,∴ 8-2x>0,∴y=x(8-2x)=2)2282(21)]28(2[21x x x x -+≤-=8， 当且仅当2x=8-2x 即二=2时取等号，∴当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑上系数后即可得到和为定值，就可利用均值不等式求得最大值．2. 凑项例2己知x<45，求函数f(x) =4x-2+541-x 的最大值． 分析 由已知4x-5<0，首先调整符号，又(4x-2)·541-x 不是定值，故需对4x-2进行凑项得到定值. 解 ∵x<45，∴5-4x>0， ∴f(x)=4x-2+541-x =-(5-4x+x451-)＋3≤-2x x 451)45(-⋅-+3=-2+3=1， 当且仅当5-4x=x451-，即x=1时等号成立. 点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项，使其积为定值．3.分离例3求)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域. 分析 本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出(x+1)，再将其分离．解 .514)1(14)1(5)1(110722++++=+++++=+++=x x x x x x x x y 当x+1＞0, 即x>-1时，514)1(2++⋅+≥x x y =9(当且仅当x=1时取“=”号)； 当x+1<0,即x<-1时, 14)1(25+⋅+-≤x x y =1(当且仅当x=-3时取“=”号)；2 / 32 / 32 /3 ∴)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域为(-∞,1]∪[9,+∞). 点评：分式函数求最值，通常化成y=Mg(x)+)(x g A +B(A>0,M>0,g(x)恒正或恒负)的形式，然后运用均值不等式来求最值．二、整体代换 例4 已知a>0,b>0，111=+ba ,求t=a+2b 的最小值. 分析 不妨将a+ 2b 乘以1，将1用b a 11+代换. 解 (a ＋2b)·=(a+2b)(b a 11+)=3＋2232232+=⋅+≥+b a a b b a a b ,当且仅当ba ab =2时取“=”号. 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,111,2ba b a a b 得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,122,12b a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,122,12b a 时，t=a+2b 的最小值为223+. 点评：本题巧妙运用“1”的代换，得到t=b a a b ++23,而a b 2与b a 的积为定值，即可用均值不每式求得t=a+2b 的最小值．三、换元例5求函数522++=x x y 的最大值． 分析 变量代换，令t=2+x ，则x=t 2-2(t ≥0)则，t t t ty 121122+=+=，再利用均值不等式即可．解 令t=2+x , x=t 2-2(t ≥0) ,则122+=t ty ．当t=0时，y=0；当t ＞0时，421221121=⋅≤+=t t t t y ，当且仅当2t=t1,即t=22时取“=”号， ∴x=-23时,y max =42. 点评：本题通过变量代换，使问题得到了简化，而且将问题转化成熟悉的分式型函数的最值问题，从3 / 33 / 33 / 3 而为构造积为定值创设了有利条件．四、取平方例6求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最大值． 分析 注意到2x-1与5-2x 的和为定值．r解 8)25()12(4)25)(12(24)2512(22=-+-+≤--+=-+-=x x x x x x y ,又y>0，∴0<y ≤22，当且仅当2x-1=5-2x.即x=23时取“=”号， ∴y max =22.点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件．总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式．。
一个基本不等式变形的推广的几种形式及在证明中的应用
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÷ （一１２…，）只要将上面不等式适当变形， 口 ，， ｎ ， 就可
４ ２ ２ ，・ １ ａ ｂ ， 了
３ １届 Ｉ ＭＯ预 选 题 ） 分 析 ：此题 不 能 直 接 应 用 推 广 的三 个 形 式 来 证 ， 但
我们 只需 将 不 等 式 合 理 变形 就 能 应 用 形 式 ２来证 ．
证 明 ：设 ｓ 一口＋＋ ｓ 口＋ ＋ ＋ 。
＋ ｂ ＋ ＋ ｄ ＋ ２ ｂ ２ ｃ４２ ｄ＋ ２ ａ ４ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ａ ＋ ｂ－ ｃ － ｄ ≥ （ｂ ｃ ｄ＋
女
２ ２
基本不等式公式四个基本不等式成立的条件基本不等式的几种变形公式
一、基本不等式中常用公式（1）√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。
（当且仅当a=b时，等号成立）（2）√(ab)≤(a+b)/2。
（当且仅当a=b时，等号成立）（3）a²+b²≥2ab。
（当且仅当a=b时，等号成立）（4）ab≤(a+b)²/4。
（当且仅当a=b时，等号成立）（5）||a||b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。
（当且仅当a=b时，等号成立）二、高中4个基本不等式√[（a²+b²）/2]≥（a+b）/2≥√ab≥2/（1/a+1/b）。
平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。
三、基本不等式两大技巧1.“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
2．调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
1、基本不等式：（当且仅当a＝b时取“=”号）；变式：①，（当且仅当a＝b时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
②；③；④；2、对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值，如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，；（2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，；（3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
3、应用基本的不等式解题时，注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。
三、对基本不等式的理解：(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件．均值不等式中：①当a=b时取等号，即对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值：如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，；（2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，；（3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
基本不等式的几种变形公式
基本不等式的几种变形公式基本不等式，这个名字听上去就挺正式的，但其实它的魅力就藏在那些看似简单的公式中。
咱们可以把这些不等式想象成一块巨大的拼图，每一块都能在数学的世界里找到自己的位置。
你说，有时候我们在生活中遇到问题，感觉像是在解一个复杂的难题，想来想去，总是缺少一根钥匙来打开那扇门。
没错，基本不等式就像是那把钥匙，它让我们的思维更加清晰，解题的过程变得轻松不少。
咱们聊聊算术平均和几何平均的关系。
想象一下，几个小伙伴围在一起分享零食，大家都想让自己吃得开心，对吧？假设大家每人分到的零食数量就是这些数值。
算术平均就像大家把零食加在一起，再平分；而几何平均则是大家的“共享精神”，通过大家的努力，零食的“美味度”变得更加均匀。
生活中也是如此，我们越是分享，越能感受到幸福。
有人说，“分享快乐才是最大的快乐”，这话可真没错。
再来看看三角不等式，这可是个经典的家伙。
你在地图上找到两个地点，想知道直接走最短的路。
三角不等式就告诉你，走直线是最省事的。
这就像咱们平时找路，有时候为了追求风景，偏偏走了一大圈，最后发现直走就好了。
人生也是这样，很多时候我们为了追求某种目标，反而走了许多弯路。
那些直截了当的选择，往往能给我们带来最大的收获。
咱们再聊聊柯西不等式。
这可是个神奇的法则，想象一下，如果你跟朋友一起打篮球，能把各自的分数加起来，得到的总分肯定会比你们各自单打的得分高出不少。
就像合力作战，团结的力量是无敌的。
这在生活中也是如此，大家齐心协力的时候，总能创造出更大的成就。
正如“众人拾柴火焰高”，一个人再怎么厉害，也比不上团队的协作。
还有个不得不提的就是施瓦茨不等式。
这个东西就像你在考试的时候，想要的总分是靠你在每科的得分来累积的。
每一分都至关重要，这让我想到平时学习时，基础知识是多么的重要。
就像打基础一样，越扎实，以后的发展就越顺利。
这个道理放在生活中也是适用的，很多成功的背后，都是无数个细节的积累。
大家可能觉得这些不等式听起来有点复杂，其实它们的本质就像日常生活中的哲理，简单易懂，处处都有它的影子。
经典不等式导数
经典不等式导数
经典不等式导数指的是常用的一些不等式，通过对它们进行求导，可以得到一些有用的结果。
其中包括：
1. 柯西-施瓦茨不等式：f(x)g(y)的导数满足f'(x)g(y) +
f(x)g'(y) >= 0。
2. 阿贝尔不等式：如果a1 >= a2 >= ... >= an, b1 <= b2 <= ... <= bn，则a1b1 + a2b2 + ... + anbn <= (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn)。
3. 杨辉不等式：如果a1 >= a2 >= ... >= an, b1 >= b2 >= ... >= bn，则a1b1 + a2b2 + ... + anbn >= (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn) / n。
4. 需要注意的是，这些不等式并不是所有情况下都成立的，需
要根据具体的条件进行判断。
通过对经典不等式进行求导，可以得到一些有用的结论，例如柯西-施瓦茨不等式的推广形式。
此外，在求解实际问题时，这些经典
不等式也是重要的工具，例如在证明极限存在性时，可以利用杨辉不等式来说明收敛性。
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杨氏不等式所有的变形
杨氏不等式是数学中的一个重要的定理。
它的重要性在于它提供了一种可衡量式子中未知量之间关系的方法。
这个定理的历史可以追溯到古印度的撒杨学派，最初是作为一个假设提出的，到十六世纪的时候它被改良为一个正式的定理。
今天，它仍然被认为是数学中一个重要的定理，并被广泛用于数学和物理等诸多学科中。
杨氏不等式的变形是指同等形式的其他式子，它们能够在一定的情况下取得更清晰的表达方式。
一般而言，变形的定理建立在若干假设的基础上，这些假设会使等式有不同的表达形式和可以被用更有效的方式来解决问题。
杨氏不等式最常见的变形是多元函数变形。
它也被称为多元“交换不等式”或“多元约束”，它允许在多个不同变量之间交换限制条件，即将一个多元函数拆分成多个单一变量函数。
比如，若y为一个n维函数，其值施加在一个子空间S上，那么它可以被变形为n个单一变量函数的叠加，即：
y(x)=∑x_i * yi
其中 x_i 为 i个变量，yi 为每一个变量对输出y的影响因子另外，杨氏不等式还有一种变形叫做“反复折叠不等式”，它把长的不等式变成一个紧凑的形式，把多个平行的不等式变成一个精简的不等式。
例如，以下是一个杨氏不等式的反复折叠形式：
| x_1 + x_2 + x_3 +… x_n | A
还有一种杨氏不等式变形叫做“分解不等式”，它把两边的不等
式分解成多个不等式，以增加变量之间的联系。
例如，以下是一个杨氏不等式的分解形式：
| x_1 + x_2 + x_3 | A
可以分解为：
| x_1 | A/3
| x_2 | A/3
| x_3 | A/3
最后，杨氏不等式还有一种变形叫做“重排不等式”，它把不等式中的几个变量重新排列，以增加变量之间的联系。
比如，以下是一个杨氏不等式的重排形式：
| x_1 + x_2 + x_3 | A
可以重排为：
| x_2 + x_3 + x_1 | A
总之，杨氏不等式的变形是一种可以帮助我们更好地理解杨氏不等式的重要方式，它能够让我们更加有效的使用杨氏不等式来解决问题。
尽管杨氏不等式的变形一般以上述四种形式为主，但是仍然可以从不同的角度来挖掘它的变形，从而帮助我们更好的理解它的精髓。