§第三章 一维问题 §31 一维定态的一些特例 1, 一维方势阱问题
163一维势阱和势垒问题
0,
mn mn
克罗内克符号
二、势垒穿透和隧道效应
有限高的方形势垒
数学形式：
U
(
x)
0,
U 0 ,
图形形式：
x 0(P区),x a(S区) 0 x a(Q区)
U
考虑粒子的动能 E小于势垒高
U0
度 U0的情况。（ E < U0 ）
E
PQ S
o ax
U (x) 0, x 0和x a
1
(0 x a)
(x 0及x a)
2
势阱内 0 < x < a
d 2 1
dx2
2E
2
1
0
势阱外 x ≤ 0 ;x ≥a
2 0
理由:因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d 2
d x2
2E
2
0
E是粒子的总能量，E > 0，令 k
定态薛定谔方程变为
d 2
一维无限深方势阱的图形表达形式 ：
∞∞
U(x)
粒子只能在宽为 a 的两个无限 高势壁间运动，这种势称为一 维无限深方势阱。
0
ax
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
2
2
2
U
(r)
(r )
E
(r )
————定态薛定谔方程
①列出各区域的定态薛定谔方程
若在样品与针尖之间
加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势
垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
一维无限深势阱
6.ξ一维无限深势阱考虑一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内：0,,x x a U x a⎧<⎪=⎨∞≥⎪⎩ 如右图这种势叫一维无限深势阱因x U 不含 t ，属于定态问题。
体系所满足的定态薛定谔方程是：()2222d E x a dx ψψμ-=<① ()22022d U E x a dx ψψψμ-+=≥② ②中，0U →∞由波函数应满足的连续性和有限性条件，只有当ψ=0时，②式才能成立，所以，有：ψ=0，x a ≥现求解①式，改写为：2221222222020sin cos ,d E dxE d x a dx A x B x x aψψμψμααψψαα+=⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭=+<令：则：，其解为： （本身上方说的解可表为如下振荡函数形式：sin x α，cos ,i x x e αα±，但因现在势阱具有空间反射不变性，()()x x U U -=能量本征函数必定有确定的宇称曾书——P49——所以，只能取sin x α，或cos x α的形式。
根据ψ的连续性，因②式得ψ=0，x a ≥，于是：,sin cos 0sin cos 0sin 0cos 0x a A a B a x a a B a a B a αααααα=+==-+===时时，A 两式相减，得：A 两式相加，得： 因A,B 不能同时为0，否则，sin cos A x B x ψαα=+处也为0，这在物理上无意义。
（物理问题对ψ的要求）所以，得到两组解：⑴0,cos 0A a α== ⑵0,sin 0A a α==对第⑴组解，有,1,3,5.......2n a n απ==对第⑵组解有：,2,4,6 (2)n a n απ== 合并，即有：,1,2,3,4,5 (2)n a n απ==其中对⑴组，n 取奇数，对第⑵组n 取偶数，注意，n 不能取0，否则ψ=0，将2n a απ=代回1222E μα⎛⎫= ⎪⎝⎭，得体系的能量本征值为：2222,8n n E n a πμ=为整数这说明，并非任何E 值所相应的波函数都能满足本问题所要求的边条件，而只能取上式给出的那些分立值n E ，此时的波函数在物理上才是可接受的。
量子力学补充2-一维势阱
由式（1）得 B = 0 波函数为： (x) Asin kx
由式（2）得 Asin ka 0 于是
ka n , k n a(n 1, 2,3)
即: k 2mE n a
由此得到粒子的能量 En
En
22
( 2ma 2
)n2 ,
n 1, 2, 3
只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖 之间加一微小电 压Ub电子就会穿 过电极间的势垒 形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电 流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样 品表面的起伏。
o
n 4,E E4
n 3,E E3 n 2,E E2 n 1,E E1 ax
7
与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：
n(x)
n
A sin( a
x)
(0 x a)
式中常数Ａ可由归一化条件求得。
n (x) 2dx
0a A2
sin2 (n
a
x)dx
A2
a 2
1
得到 A 2 a
最后得到薛定谔方程的解为：
n(x)
2 sin( n x)
aa
(0 x a)
8
讨论
1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分 立值，即能量是量子化的。能量量子化是微观 世界特有的现象，经典粒子处在势阱中能量可 取连续的任意值。电子(m=9.1×10-31千克)在宽 为a=10Å的势阱中运动，有En=0.38n2eV,
一维定态的一般性质
得证
对于一维方势场，可证明下列定理：
定理5
对于阶梯方位势
V1 , V ( x) V2 ,
xa
xa (V2 V1 ) 有限，则能量本征函数 ( x) 及其导数必定
是连续的（但如果 (V2 V1 ) ，则定理不成立）。 证明
d2 2m ( x) 2 [ E V ( x)] ( x) 2 dx
[ E V ( x)] ( x)有限， lim
0
a
a
dx[ E V ( x)] ( x) 0
(a 0 ) (a 0 )
( x) ( x)
连续 得证
定理6 对于一维粒子，设 1 ( x) 和 2 ( x) 均为 方程（3）的属于同一能量本征值E的解，则 2 1 常数(与x无关) 1 2
(r 0)
x=0是一个孤立奇点，虽然在x=0点 (不连 x) (0) 0 续，但其基态波函数 ，所以也不是简并的。
2 2 i ( x, t ) [ V ( x)] ( x, t ) 2 t 2m x
（1）
对于定态，即具有一定能量E的状态，波函 i Et 数形式为 （2） ( x, t ) ( x)e
2 d 2 [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
( x)
( x)
f ( x) ( x ) ( x )
g ( x) ( x) ( x)
f ( x) f ( x) g ( x) g ( x)
1 ( x) ( f ( x) g ( x)), 2
1 ( x) ( f ( x) g ( x)) 2
【大学物理】§3-2薛定谔方程 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
一维运动问题的一般分析
在经典禁戒区( E V 0 即 E V )里， (x) 在横轴上方是向下
凹的，在横轴下方是向上凸的。
所以，在经典允许区里 (x) 呈现出振荡式的行为，而在经典禁
戒区里 (x) 通常是单调变化的。
这样一个直观的图像对于我们理解以后的问题很有帮助。
3.1.2 关于一维定态 Schrödinger 方程的解的基本定理
宇称定理：如果V (x) V (x) ，则一维束缚态波函数必有确定的宇称，即 (x) (x) 。
这个定理的证明不再详述。 束缚态（不只是一维束缚态）还有一个更重要的特征：它的能级是不连续地（离散地）变化的，即
是说，仅仅当 E 取某些离散的数值时，定态 Schrödinger 方程才有单值、有限、连续的解。这就是通常
次，2 次，1 次跨过横轴乃至与横轴完全 不相交的能级，见右图。
在 数 学 上 ， 有 严 格 的 理 论 — SturmLiouville 理论，可以证明离散本征值的存 在。3来自d 2 dx22m
2
E
V
(
x)
0.
在经典力学的意义上 E T V ，其中 T 是动能，永远 0 ，因此我们永远有 E V 0 。而在量子力
学里由于有不确定关系的缘故，我们完全谈不上粒子在某点处有多大的动能，因此即使在 E V 0 的
区域里，波函数仍然有非零解。然而方程在 E V 0 的区域和 E V 0 的区域解的特征是完全不同
称是正还是负就有重要的意义。宇称具有纯量子力学的特征，在经典力学中没有对应物。在二维或三维 空间中，宇称的定义推广为
(r ) (r ).
关于一维束缚态有以下的一系列定理。 不简并定理：一维束缚态必是非简并态。
证明：假设1(x) 和2 (x) 是一维定态 Schrödinger 方程在同一能量下的任意两个解，并且都是束
专题讲座5-一维问题
专题讲座5-一维问题1. 自由粒子问题自由粒子（处处()0V x =）。
在经典理论中它意味着等速运动，但是在量子力学中这个问题相当微妙。
定态薛定谔方程为:222,2d E m dxψψ-= 或者222,d k dx ψψ=- 其中k ≡用指数形式来表示其一般解：().ix ixx Ae Be ψ-=+ 对自由粒子没有边界条件去限制k 的取值（E 的取值）；自由粒子可以具有任何（正的）能量值。
加上标准的时间因子，exp(/)iEt - ，22(,).k k ik x t ik x t m m x t AeBe ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ψ=+ 我们知道，任何函数以特定的组合()x vt ±依赖变量x 和t （对某个常数v ）都代表一个具有固定波形的在x 方向传播的波。
波形上一个固定点（例如，最高点或最低点）对应着宗变量的一个固定值，使得变量x 和t 满足x vt ±=常数，或者 x v t =+常数 既然波形上的每一点都以同样的速度运动，波形的形状在转播的过程中是不改变的。
这样2.93式右边的第一项代表一个向右转播的波，而第二项代表一个向左的波(能量相同)。
既然这两个波的区别仅在于k 前面的正负号，我们也可以写作2()2(,),k i kx t mk x t Ae-ψ=并让k 可以取负值以包括向左传播的波：00 k k k >⇒⎧≡±⎨<⇒⎩向右传播，向左传播.显然，自由粒子的“定态”是传播着的波；它们的波长是2/k λπ=，按照德布罗意公式（1.39式）它们具有动量.p k = 这些波的速度(t 前面的系数除以x 前面的系数)是2kv m == 量子另一方面，一个具有能量2(1/2)E mv =（纯动能，既然势能0V =）的经典自由粒子的速度是2.v v ==量子经典 表面看来量子力学波的传播速度只有它所代表的粒子经典速度的一半！我们马上会回到这个佯谬−这里还有一个更严重的问题需要我们首先面对：这个波函数是不可归一化的。
一维问题的相关解释
Asin( n
a
x)
有 n 1 个节点，在
说明粒子在这些节点上出 现的概率为零。对于经典粒子 来说，它在0 x a 内任何 一点都有可能出现。
思考：若 n ，会出现什么情况？
9
二、一维无限深方势阱中的能量本征态(6)
4、束缚态
对一维无限深方势阱：
n
(
x)
2 sin(nx), 0 x a;
eipi r / 的成分，因此，| ( pi ) |2 应该代表粒子具
有动量 pi 的概率。
态叠加原理：量子态可按任意一组正交、归一、完备态分解
15
三、态叠加原理(3)
量子力学基本假设之四
4、将体系的状态波函数 用算符 Fˆ 的本征函数 n
展开，其中：Fˆn nn, Fˆ
cnn cd
E
1 2
mv2
h1gm
hgm
V0
绝对不可能越过势垒，换 句话说：越过势垒的概率 为零！
0
a
E V0
V
(
x)
V0 0,
, 0 x a; x 0, x a.
求解能量本征方程：
[
2
2
V
(r)]
(r )
E
(r )
2m
17
三、方势垒的反射与透射(2)
V0
方程
[
2
2
V (r )] (r )
E (r )
a
|
0
n
(
x)
|2
dx
1
n (x)
Asin( n
a
x)
(0 x a)
| A | 2 / a
归一化波函数为：
n
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§第三章 一维问题§3.1 一维定态的一些特例1, 一维方势阱问题，Landau 与Pauli 的矛盾《无限深方势阱》这是本章第一个例题，也是最简单的对一类物理问题的数学近似模型。
但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论，甚至导致严重误解：“量子力学的数学是错的”。
研究一维 Schrodinger 方程，其中位势为(3.1a) 于是定义在整个x 轴上的 Schrodinger 方程现在分为三个区域：第I 区a x -≤，第II 区a x <，第III 区a x ≥。
由于I 区和III 区中()+∞=x V （无穷位势问题见讨论i,），为使 Schrodinger 方程成立，这两个区域中的波函数()x ψ必须为零 —— 即有边界条件()0=x ψ()a x ≥。
说明微观粒子即便具有波动性，也难以渗透进非常高的势垒区里。
于是坐标波函数求解只须对第II 区进行，(3.1b)有时，这里的边界条件被简单地写作()()ψx =0x =a 1。
但由于对阱外情况未作规定，这种提法是含混的。
参见下面有关讨论。
显然，在第II 区x <a 内方程通解为1 这种用法见泡利《物理学讲义》第五卷，详见下面讨论v 的脚注。
()()122ψx =Asin kx +α2mE k =⎧⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩这里出现两个待定系数A 、α和一个待定参数k （它的数值将决定阱中粒子的能量）。
为了确定它们，利用两个边界条件()ψ±a =0（加上总几率归一条件，一共也是三个），即()()sin ka +α=0sin -ka +α=0⎧⎪⎨⎪⎩ 由此得n α=ka =π2，n =1,2,3, 。
最后，阱中粒子的能级和波函数分别为(3.2a)(3.2b)这虽然是一个最简单的例子，鉴于存在不少观点分歧，需要作一些讨论说明：i, 无限深方阱的势函数是对实际物理情况作出的近似的数学模写。
因为第一，介质中势能不可能真是无限大；第二，势函数也不可能是严格的阶跃。
容易给出能够近似认定某一势函数为无限深方阱的条件。
设实际阱壁高为0V ，可将0V 近似认作无限高的条件是：0V E <<，E 是问题中涉及的最大能量。
同时，设势函数两端显著上升的尺度为x ∆~，波函数有显著变化的尺度为2π4a ~λ==k n ，可认作阶跃变化的条件为4a Δx <<λ=n。
因此，对n 很大的高激发态情况，势函数将难以被模型化为无限深方阱。
此外，更不应当由这种人为的近似模型导出Hamilton 量不厄密等等损及量子力学理论体系的结论。
ii, 当n =1,3,5, 为奇数时，波函数是对称的当n =2,4,6, 为偶数时，波函数是反对称的（这里已略去无关紧要的波函数整体相因子()1-）。
各个能级上波函数的节点（零点，不计两个端点a ±）个数为：基态（1=n ）无节点，第一激发态（2=n ）有一个节点等等。
而且可以看出，阱中各能级的波函数按1n +的奇偶性区分为奇函数和偶函数，也就是说有(3.3)iii, 求解结果表明，若用势阱（或势垒）从空间上限制微观粒子的活动，也即，将它们内禀波动性——de Broglie 波局域化，则由于波自身干涉结果必定导致波频率的分立化（注意，经典物理学中所有波也均如此），但由de Broglie 波的特性，频率分立化就意味着能量量子化。
即使对基态1=n ，粒子的动能也不为零，说明阱中粒子从不静止。
这里0==p x ，故a x ~∆，p p ~∆，代入不确定性关系Δx Δp 2⋅≥ ，给出h p 2a≥。
由此可知，若将一个粒子禁闭在a 2宽度的局部区域中，相应的动能便有参考基态能级表达式，再次可知§1.3的排除粒子静止概念是正确的。
另外注意，由于边界条件的存在，总能量（3.2a ）虽然也是阱中粒子的动能值，但却不是动能算符的任何本征值。
(3.2b)式也不是动能算符的本征函数。
其实，阱内任何定态都是各种动量（及动能）本征态的叠加态（见v, ），它们由势阱约束着不色散而成为定态（否则将呈自由波包色散，见§3.3）。
iv, 将波函数()x n ψ用复指数来表示，并近似地配上因子 tiE n e -，可得()()()n n n πx+a n πx+a i i -E t -+E t 2a 2a n e -e ,x <a ψx =0,x >a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎡⎤⎥⎥⎦⎪⎩因此若仅就阱内而言，可以形象但却近似地说：阱中粒子波函数是两个反向传播的de Broglie 行波叠加而成的驻波，是阱中de Broglie 波在a x ±=边界处多次反射相干叠加的结果，类似于两端固定的一段弦振动。
这里强调指出，这两个行波并不严格单色，因为它们仅仅存在于有限区间[]a a ,-内。
如同光学中有限长度的光波波列不会是严格单色波一样，也见下。
v, 基态动量波函数问题。
上面说过，此问题边界条件有两种不同提法。
它们对求解阱内的坐标波函数没甚么影响，由此分歧，Landau 和Pauli 给出了不同结果，引发了一些混乱，甚至导致有人对量子力学的严重否定。
一方面，Landau 等人做法是[3]，将上面定义在全实轴上的基态波函数()x 1ψ作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒子的动量波函数()ϕ1p ：()()⎰+∞∞--=x dxe p px i 1121ψπϕ代入()1ψx 表达式，注意阱外()1ψx 为零，即得阱中粒子动量几率分布()()2-22221ap πacos ap πp =-,-<p <+22ϕ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭∞∞⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ (3.4a)注意，（3.4a ）式为连续分布。
另一方面，Pauli 求解()1p ϕ时，直接采用第iii 条两个“单色波”中所含的n =1基态的两个“动量”。
由此，Pauli 认为[1、2]，()211π1πp =δp -+δp +22a 22a ϕ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3.4b ） （3.4b ）式表明阱中的动量谱是两个在全实轴上反向运动的单色de Broglie 波叠加而成的驻波。
显然，两种结果很不相同。
究竟谁正确？或是两者都对？两者都错？实际的文献讨论中，几种观点全有表述。
事实上，波函数、动量算符及 Schrodinger 方程都应当定义在整个x 轴上，而不只是定义在势这里问题的关键在于：阱内坐标波函数是定域解，边界条件的选取对求解阱内的坐标波函数没有影响。
但是，动量波函数是非定域的，边界条件的选取对求解阱内的动量波函数有影响。
就是说，阱内的动量波函数分布不仅取决于阱内坐标波函数的形状，而且还取决于阱外坐标波函数的形状。
又可以说，如果对阱外坐标波函数作不同的处理，就可以得到阱内动量分布的不同答案。
(3.4b)式正是错误处理阱外坐标波函数的结果：在完全不影响阱内坐标波函数求解的情况下，将含混提法“两端点为零的边界条件”不自觉地再推广为“等间距为零的周期边界条件”，从而求得坐标波函数的周期解——这等于将阱内坐标波函数向全实轴作了周期性的延拓。
(3.4b)式正是这个坐标波函数的周期解的动量分布。
大家知道，坐标波函数周期解的阱外部分并不符合现在问题，当然它的动量分布也就不符合阱内的现在问题。
可以验证（见习题5），仅当向经典趋近，比值a 很大（或n 很大）时，正确解（3. 4a ）式才逐渐过渡为（3. 4b ）式。
就是说，（3. 4b ）式才逐渐正确起来。
由这些分析可知，第iv 条中两个指数上的参量a n 2π±并不是严格的物理的动量（特别是当a 或n 较小时）。
这还可以从下面装置的分析中得到佐证。
有一块无穷大并足够厚的平板，取厚度方向为z 轴，板上沿y 方向开一条无限长的缝，沿x 轴的缝宽为a 2。
电子束由板的下方入射。
分离掉电子在y 和z 方向的自由运动，单就电子在x 方向运动而言，便是一个（沿x 方向）无限深方阱问题。
设在板的上方正z 轴某处放一接收电子的探测屏，便可以观察狭缝出来的电子在此探测屏上沿x 方向的偏转，偏转大小与电子在x 方向动量x p 的大小有关。
由此并结合分析（3.4a ）式可知，如a 值较小，必定是一个单缝衍射分布；只当a 值较大或向宏观过渡时，屏上电子分布才逐渐过渡到两条（沿y 轴的）细线分布，也即，(3.4b)式逐渐准确起来。
其实，无限深阱问题只是个模型而已。
此模型中用到位势的突变和无穷高势垒假设。
其实，物理学中许多常用的数学和物理概念，如：质点、无头无尾巴的平面波、其小无内的点、其大无外的∞，等等，都只是一些人为抽象出来的、理想化的、绝对化的概念。
虽然用起来时常是简便的，但其实它们在自然界中并不真实存在，有时甚至还会惹出麻烦。
Henri Poincare 说：几何点其实是人的幻想。
甚至说：“几何学不是真实的，但是有用的。
”[5]按照他对几何学的深刻认识，我们也可以说：V = ∞不是真实的，但是有用的。
从思想方法来说，全部困惑的根源正在此处：将势垒V = ∞这件事看成是物理真实的了。
对它过度的执着干扰了我们对真实物理世界的认识，并且带来许多不必要的困惑和烦恼。
文小刚也说[6]：理论物理中的很多概念并不代表真实。
所以，每当遇到由数学简单化、绝对化带来问题的时候，注重物理、返回自然界的物理真实，再行考察。
记住这点有时是很重要的。
参考文献[1] 泡利物理学讲义，第5卷：波动力学，第二章，§7。
洪铭熙等译，人民教育出版社，1982年。
W. Pauli，《Handbuch derPhysik》, eds. by H. Geiger and K. Scheel, V ol. 24/1,Springer, Berlin, 1933。
他于1956-1958年在苏黎世联邦工业大学物理学位课程两次授课中，依然如此讲法。
[2] L.N.Cooper,《物理世界（上、下）》，杨基方等译，海洋出版社，1984。
第184页。
[3] 朗道和栗弗席茨，量子力学（非相对论理论），上册，§22，高等教育出版社，1980年。
Fermi,《量子力学手稿》，罗吉庭译，西安交通大学出版社，1984年，第60-61页。
[4] 国内自1983.6起，见大学物理、光子学报等杂志：《一维无限深势阱内粒子的动量分布》，两篇文章，<大学物理> 1994，7；《关于同一问题的不同解法》；<大学物理>《编者的话》；<大学物理>《谈谈量子力学中的动量算符》；<大学物理>《也谈正则动量算符之争》；<大学物理>《编者的话》；<大学物理>《也谈一维无限深势阱内粒子（基态）的动量概率分布》<大学物理> ，1998，7；《关于量子力学基础的一个质疑》，光子学报，1997，9；《也谈量子力学的基础》，光子学报，1998，4；……。