七年级下册数学冀教版 第11章 因式分解11.2 提公因式法11.2.2 变形后提公因式分解因式【学案】
2022-2023学年七年级数学下册课件之公式法 第一课时(冀教版)
D．美我宜昌
1. 分解因式：(a＋b)2－4a 2. 解：(a＋b)2－4a 2＝(a＋b)2－(2a)2＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)
＝(3a＋b)(b－a)．
易错点：忽视系数变平方的形式导致出错.
2. 分解因式：a 4－1.
解：a 4 －1＝(a 2＋1)(a 2－1)＝(a 2＋1)(a＋1)(a－1)．
(1)4x 2－y 2＝(4x＋y )(4x－y )； (2)ab 2－9a 3 ＝(b＋3a)(b－3a).
解：(1)不正确，4x 2＝(2x )2，正确结果应为4x 2－y 2 ＝(2x )2－y 2＝(2x＋y )(2x－y )．
(2)不正确，应先提出公因式a，再利用平方差公式 因式分解，正确的应为ab 2－9a 3＝a (b 2－9a 2) ＝a (b＋3a)(b－3a)．
2 运用公式法分解因式： 1
(1)25a 2－16b 2； (2)a 2b 2－ 9 c 2；
(3)(a＋2b)2－4； (4)x 4－25x 2．
解：(1)25a 2－16b 2＝(5a)2－(4b)2＝(5a＋4b)(5a－4b)．
(2)a 2b 2－
1 9
c
2＝(ab)2－
1 3
c
ab
1 4
x
mn
1 4
x
mn
.
4 下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解； 如果不可以，请说明理由.
(1)x 2＋y 2；(2)－x 2＋y 2；(3)－x 2－y 2；(4) x 2－81.
解：(1)不可以，不符合平方差公式的结构特点．
(2)可以，－x 2＋y 2＝y 2－x 2＝(y＋x )(y－x )． (3)不可以，因为－x 2－y 2＝－(x 2＋y 2)，不符合平方差公
2021-2022学年度强化训练冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解重点解析试题(名师精选)
冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．34341234m n m n =⋅B ．2221(1)x x x -+=-C ．()a m n am an +=+D ．2289(3)2x x x x ++=++2、若a 、b 、c 为一个三角形的三边，则代数式（a -c ）2-b 2的值（ ）A ．一定为正数B ．一定为负数C ．为非负数D ．可能为正数，也可能为负数 3、下列运算错误的是（ ）A ．()23924b b =B ．235a a a ⋅=C ．()ax ay a x y +=+D ．32a a a ÷=（a ≠0）4、已知a 2（b +c ）＝b 2（a +c ）＝2021，且a 、b 、c 互不相等，则c 2（a +b ）﹣2020＝（ ）A ．0B ．1C ．2020D ．20215、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ． 2x ﹣2x ﹣1＝2(1)x -B ．（a ＋b ）（a ﹣b ）＝22a b -C ．2x ﹣4x ＋4＝2(2)x -D ．2x ﹣1＝2(1)x -6、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．2161x +B ．221x x +-C ．2224a ab b ++D ．214x x -+ 7、因式分解：x 3﹣4x 2+4x ＝（ ）A ．()22x x -B ．()244x x x -+C ．()222x x -D ．()224x x x -+8、把多项式x 3﹣2x 2+x 分解因式结果正确的是（ ）A ．x （x 2﹣2x ）B ．x 2（x ﹣2）C ．x （x +1）（x ﹣1）D ．x （x ﹣1）29、把多项式256x x -+分解因式，下列结果正确的是（ ）A ．(1)(6)x x -+B ．(6)(1)x x -+C ．(2)(3)x x ++D ．(2)(3)x x --10、下列由左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．()228164x x x -+=-B ．()()2212x x x x --=-+C ．()2111a a a a -+=-+D ．()()26636a a a +-=-第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若a －b ＝2，a 2－b 2＝6，则a 2＋b 2＝______．2、分解因式：324x xy -=_______．3、因式分解：222x y y -=_________．4、因式分解：4x 2y 2﹣2x 3y ＝______．5、分解因式：4a 3b 2﹣6a 2b 2＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、因式分解(1)5x 2+6y ﹣15x ﹣2xy ；(2)（1+ab ）2﹣（a +b ）2．2、分解因式：39x x -．3、（Ⅰ）先化简，再求值：2[(2)(2)(2)2(2)]2a b b a b a b a b b +++--+÷，其中12a =，13b =； （Ⅱ）分解因式：① 39x x -；② 22369xy x y y --．4、分解因式：516a b ab -+5、分解因式（1）32218x xy -；（2）()(4)a b a b ab --+．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A、是单项式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、是因式分解，利用了完全平方差公式进行了因式分解，故本选项符合题意；C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；D、因式分解错误，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．2、B【解析】【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：∵a、b、c为一个三角形的三边，∴a-c+b＞0，a-c-b＜0，∴（a-c）2-b2=（a-c+b）（a-c-b）＜0．∴代数式（a-c）2-b2的值一定为负数．故选：B．【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解，利用了三角形中三边的关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3、A【解析】【分析】根据积的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，提取公因式分解因式，即可判断．【详解】解：A. ()23624b b =，故该选项错误，符合题意； B. 235a a a ⋅=，故该选项正确，不符合题意；C. ()ax ay a x y +=+，故该选项正确，不符合题意；D. 32a a a ÷=（a ≠0），故该选项正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题主要考查积的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，提取公因式分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键．4、B【解析】【分析】根据题意先通过已知等式，找到a ，b ，c 的关系再求值即可得出答案．【详解】解：∵a 2（b +c ）＝b 2（a +c ）．∴a 2b +a 2c ﹣ab 2﹣b 2c ＝0．∴ab （a ﹣b ）+c （a +b ）（a ﹣b ）＝0．∴（a ﹣b ）（ab +ac +bc ）＝0．∵a ≠b ．∵a 2（b +c ）＝2021．∴a （ab +ac ）＝2021．∴a （﹣bc ）＝2021．∴﹣abc ＝2021．∴abc ＝﹣2021．∴原式＝c （ac +bc ）﹣2020＝c （﹣ab ）﹣2020＝﹣abc ﹣2020＝2021﹣2020＝1．故选：B ．【点睛】本题考查用因式分解求代数式的值，利用题中等式得到ab +bc +ac =0是解答本题的关键．5、C【解析】【分析】根据因式分解的定义和方法逐一判断即可．【详解】∵2(1)x -＝2x ﹣2x ＋1≠2x ﹣2x ﹣1，∴A 不是因式分解，不符合题意；∵（a ＋b ）（a ﹣b ）＝22a b -不符合因式分解的定义，∴B 不是因式分解，不符合题意；∵2x ﹣4x ＋4＝2(2)x -,符合因式分解的定义，∴C 是因式分解，符合题意；∵2x ﹣1≠2(1)x -，不符合因式分解的定义，∴D 不是因式分解，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的定义即把一个多项式分成几个因式的积的形式，熟练掌握因式分解的实质是恒等变形是解题的关键．6、D【解析】【分析】根据完全平方公式法分解因式，即可求解．【详解】解：A 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；B 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；C 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；D 、221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭能用完全平方公式因式分解，故本选项符合题意； 故选：D【点睛】本题主要考查了完全平方公式法分解因式，熟练掌握()2222a ab b a b ±+=± 是解题的关键．【解析】【分析】根据因式分解的解题步骤，“一提、二套、三查”，进行分析，首先将整式进行提公因式，变为：()244x x x -+，之后套公式变为：()22x x -，即可得出对应答案． 【详解】解：原式＝()244x x x -+＝()22x x -故选：A ．【点睛】本题考查的是因式分解的基础应用，熟练掌握因式分解的一般解题步骤，以及各种因式分解的方法是解题的关键．8、D【解析】【分析】先提取公因式，再按照完全平方公式分解即可得到答案.【详解】解：x 3﹣2x 2+x22211,x x x x x 故选D【点睛】本题考查的是综合利用提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键.【解析】【分析】利用公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++即可得答案．【详解】解：256(2)(3)x x x x -+=--故选:D ．【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++．10、A【解析】【分析】根据因式分解的定义，对各选项作出判断，即可得出正确答案．【详解】解：A 、()228164x x x -+=-，是因式分解，故此选项符合题意； B 、()()2212x x x x --=+-，原式分解错误，故本选项不符合题意；C 、右边不是整式的积的形式，故本选项不符合题意；D 、原式是整式的乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了分解因式的定义．解题的关键是掌握分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．二、填空题1、132##6.5【解析】【分析】根据平方差公式求出a+b=3，解方程组32a ba b+=⎧⎨-=⎩，求出解代入计算即可．【详解】解：∵a－b＝2，a2－b2＝6，a2-b2=(a+b)(a-b) ∴a+b=3，解方程组32a ba b+=⎧⎨-=⎩，得52{12ab==，∴a2＋b2＝225122⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132，故答案为：132．【点睛】此题考查了平方差公式的应用，解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值，正确掌握平方差公式是解题的关键．2、x(x+2y)(x-2y)【解析】【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行分解即可．【详解】解：x 3-4xy 2=x (x 2-4y 2)=x (x +2y )(x -2y )故答案为：x (x +2y )(x -2y )【点睛】本题考查了分解因式，分解因式要先提取公因式，再运用公式，分解因式方法可以参考口诀“一提，二套，三分组，十字相乘做辅助”灵活运用所学方法进行分解，注意：分解要彻底．3、()()211y x x +-【解析】【分析】原式提取公因式y 2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式=22(1)y x -=()()211y x x +-，故答案为：()()211y x x +-．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．4、2x 2y （2y -x ）【解析】【分析】直接提取公因式2x2y，进而分解因式即可．【详解】解：4x2y2-2x3y=2x2y（2y-x）．故答案为：2x2y（2y-x）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．5、2a2b2（2a﹣3）【解析】【分析】直接找出公因式进而提取分解因式即可．【详解】4a3b2﹣6a2b2＝2a2b2（2a﹣3）．故答案为：2a2b2（2a﹣3）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．三、解答题1、 (1)（x﹣3）（5x﹣2y）(2)（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）【解析】【分析】（1）根据题意将原式分为两组：（5x2﹣15x）、﹣（2xy﹣6y），然后利用提取公因式法进行因式分解；（2）根据题意利用平方差公式进行因式分解即可得出答案．(1)解：原式＝（5x 2﹣15x ）﹣（2xy ﹣6y ）＝5x （x ﹣3）﹣2y （x ﹣3）＝（x ﹣3）（5x ﹣2y ）；(2)解：原式＝（1+ab ﹣a ﹣b ）（1+ab +a +b ）＝[（1﹣a ）﹣b （1﹣a ）][（1+a ）+b （1+a ）]＝（1﹣a ）（1﹣b ）（1+a ）（1+b ）．【点睛】本题考查平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．2、x (x －3)(x ＋3)【解析】【分析】先提取公因式x ，然后利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：x 3－9x＝x (x 2－9)＝x (x －3)(x ＋3)．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．3、（Ⅰ）-a b ，16；（Ⅱ）①(3)(3)x x x -+；②2(3)y x y --【解析】【分析】（Ⅰ）括号里的使用完全平方公式与平方差公式得到单项式加减的形式，合并同类项；进行因式分解，利用除法法则进行化简，最后将a b 、的值代入，进而得出结果．（Ⅱ）①先提公因式x ，再利用平方差公式进行分解．②先提公因式y -，再利用完全平方公式进行分解．【详解】解：（Ⅰ）原式22222(44424)2a ab b b a ab b b =+++---÷2(22)2ab b b =-÷2()2b a b b =-÷a b =-∴当12a =、13b =时 原式16=． （Ⅱ）① 39x x -2(9)x x =-(3)(3)x x x =-+．② 22369xy x y y --22(96)y x xy y =--+2(3)y x y =--．【点睛】本题考察了平方差公式、完全平方公式、因式分解、多项式与单项式的除法等知识点．解题的关键与难点在于熟练掌握乘法公式，以及运算法则．4、ab （4+a 2）（2+a ）（2-a ）【解析】【分析】直接提取公因式ab ，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：原式=ab （16-a 4）=ab （4+a 2）（4-a 2）=ab （4+a 2）（2+a ）（2-a ）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．5、（1）2(3)(3)x x y x y +-；（2）2(2)a b -．【解析】【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可；（2）先根据整式的乘法展开，进而根据完全平方公式因式分解即可【详解】解：（1）2x 3﹣18xy 2 =2x （x 2﹣9y 2）=2x （x+3y ）（x-3y ）（2）（a ﹣b ）（a ﹣4b ）+ab =a 2﹣4ab-ab +4b 2+ab=a 2﹣4ab +4b 2=（a ﹣2b ）2【点睛】本题考查了提公因式法因式分解和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．。
沪科初中数学七下 《因式分解《提公因式法》教案 (公开课获奖)2022沪科版2
《提公因式法》教学目标：1、了解因式分解的意义，了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.2、会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式.教学重难点教学重点：因式分解的概念及提取公因式法.教学难点：多项式中公因式确实定和当公因式是多项式时的因式分解.教学设计：〔一〕新课引入：回忆：运用所学知识填空〔1〕x 〔x +1〕= 〔2〕〔x +1〕〔x -1〕=〔3〕2ab 〔a 2+b +1〕=反之：〔1〕x 2+x = 〔2〕x 2-1=〔3〕2a ³b +2ab ²+2ab =观察以下式子的特点：〔1〕15=3×5〔2〕18=2×32 〔3〕x 2+x=x 〔x+1〕〔4〕x ²-1=〔x+1〕〔x-1〕〔5〕2a ³b +2ab ²+2ab =2ab 〔a ²+b +1〕由分解质因数类比到分解因式.〔二〕新知学习：1、分解因式的概念，与整式乘法的关系.稳固概念：判断以下各式从左到右哪些是因式分解？〔1〕m 〔a +b 〕=ma +mb〔2〕2a +4=2〔a +2〕〔3〕4a ²-6ab ²+2a =2a 〔2a -3b ²+1〕〔4〕a ²-2a +1=a 〔a -2〕+1〔5〕)10)(10(100)(2-+=-xy x y x y 2、确定公因式.问题：ma +mb +mc 这个多项式有什么特征？ 引入公因式概念.例1：找出6x ³y 5-3x ²y 4的公因式,归纳找公因式的方法.课堂练习一：找出以下各多项式中的公因式填在后面括号内.〔1〕3mx-6nx2〔〕〔2〕x4y3+x3y4 〔〕〔3〕12x2yz-9x2y2 〔〕〔4〕5a2-15a3+25a〔〕3、用提公因式法分解因式.m〔a+b+c〕＝ma+mb+mc可得ma+mb+mc＝m〔a+b+c〕，观察构成乘积的两个因式分别是怎样形成的？m是这个多项式的公因式，而另一个因式是原多项式除以公因式所得的商式.像这种分解因式的方法叫做提公因式法.想一想：提公因式法的理论依据是什么?4、知识运用：例2：把8a²b²+12ab²c分解因式例3：把－24x³－12x²＋28x分解因式.判断以下各式分解因式是否正确？如果不对，请加以改正.〔1〕2a2+4a+2=2〔a2+2a〕〔2〕3x2y3－6xy2z=3xy〔xy2－2yz〕把以下各式分解因式.〔1〕x2+x6〔2〕12xyz-9x2y2〔3〕-6x2-18xy+3x〔4〕2a n+2-4a n+1-6a n-1例4：把3a〔b+c〕-3〔b+c〕分解因式将以下各式分解因式.〔1〕p〔a2+b2〕-q〔a2+b2〕〔2〕 2a² 〔y-z〕2-4a〔z-y〕2例5：先分解因式，再求值.4a2〔x+7〕-3〔x+7〕，其中a=-5，x=3.5、拓展与提高：〔1〕20212+2021能被2021整除吗？〔2〕利用因式分解进行计算：23.1×24-46.2×7〔3〕将2a〔a+b-c〕-3b〔a+b-c〕+5c〔c-a-b〕分解因式.〔三〕课堂小结：〔1〕什么叫因式分解？〔2〕确定公因式的方法.〔3〕提公因式法分解因式的步骤.〔4〕提公因式法分解因式的步骤.有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法那么，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
沪科版(2024)数学七年级下册 第8章 习题课件 8.4 因式分解-1. 提公因式法
2.[2024·上海期中] 下列各式从左到右是因式分解的是( C
A.( + )( − ) = − −
B. − − = ( − ) −
C. − = ( − )( + )
D. − = (
− )
)
公因式
3.［知识初练］多项式 − 中各项系数的最大公因数是
= ⋯ = ( + )+ .
荣老师告诉你
1.因式分解与整式乘法是互逆变形，即
.
2.因式分解必须做到两点：(1)结果必须是因式的积的形式;(2)
每个因式都是整式且不能再分解.
× = .
(2). × . + . × . + × . .
解：原式= . × . + . × . + . × . =
. × (. + . + . ) = . × = .
+ + ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + ) (为正整数).
+ + ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + )
= ( + )[ + + ( + ) + ⋯ + ( + )− ]
= ( + ) [ + + ⋯ + ( + )− ]
7.多项式 + 提取公因式后，剩下的因式是( C
A.
B. +
C. +
2022年最新强化训练冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解课时练习试题(含解析)
冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解课时练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列由左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．()228164x x x -+=-B ．()()2212x x x x --=-+C ．()2111a a a a -+=-+D ．()()26636a a a +-=-2、下列变形，属因式分解的是（ ）A ．262(3)x x +=+B ．29(9)(9)x x x -=-+C ．221(2)1x x x x ++=++D ．242(4)mx my m x y -=-3、下列多项式能使用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．241x +B ．21m -+C ．22a b --D ．222x y -4、若218x ax ++能分解成两个因式的积，则整数a 的取值可能有（ ）A ．4个B ．6个C ．8个D ．无数个5、已知实数x ，y 满足：x 2−1x+2=0，y 2−1y +2=0，则2022|x −y |的值为（ ）A ．12022B ．1C ．2022D ．220226、下列因式分解中，正确的是（ ）A ．()24444x x x x -+=-+B ．()22412923a a a -+=+ C ．()2222ab c a b c -=- D ．()()()23451x x x +-=++ 7、如果x 2+kx ﹣10＝（x ﹣5）（x +2），则k 应为（ ）A ．﹣3B ．3C ．7D ．﹣78、27327-可以被24和31之间某三个整数整除，这三个数是（ ）A ．25，26，27B ．26，27，28C ．27，28，29D ．28，29，309、小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：-a b 、a b +、22a b -、c d -、+c d 、22c d -依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将()()222222a b c a b d ---因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（ ）．A ．勤学B ．爱科学C ．我爱理科D ．我爱科学 10、若a 2＝b +2，b 2＝a +2，（a ≠b ）则a 2﹣b 2﹣2b +2的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、下列因式分解正确的是________（填序号）①22(2)x x x x -=-； ②221(2)1x x x x -+=-+；③24(4)(4)x x x -=+-； ④22441(21)x x x ++=+2、26x x +-=（________）（________）；3、分解因式：2x 3﹣x 2＝_____．4、在○处填入一个整式，使关于x 的多项式21x ++◯可以因式分解，则○可以为________．（写出一个即可）5、分解因式26m m +=_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）计算：x （x 2y 2﹣xy ）÷x 2y ；（2）分解因式：3bx 2+6bxy +3by 2．2、因式分解：(1)3a 2﹣27；(2)m 3﹣2m 2+m ．3、（1）计算：()22248m p m ÷ （2）计算：25(1)(1)x x x +-（3）因式分解：39x x -（4）因式分解：2(2)8a b ab -+4、在任意n （n ＞1且为整数）位正整数K 的首位后添加6得到的新数叫做K 的“顺数”，在K 的末位前添加6得到的新数叫做K 的“逆数”．若K 的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K 是“最佳拍档数”．1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．(1)请根据以上方法判断31568_____（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N ，其个位数字与十位数字之和为8，求所有符合条件的N 的值．(2)证明：任意三位或三位以上的正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．5、下面是某同学对多项式（x 2+2x ）（x 2+2x +2）+1进行因式分解的过程解：设x 2+2x =y ，原式 =y （y +2）+1 （第一步）=y 2+2y +1 （第二步）=（y +1）2 （第三步）=（x 2+2x +1）2 （第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y 用所设中的含x 的代数式代换，这个结果是否分解到最后？．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2﹣4x +3）（x 2﹣4x +5）+1进行因式分解．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据因式分解的定义，对各选项作出判断，即可得出正确答案．【详解】解：A 、()228164x x x -+=-，是因式分解，故此选项符合题意； B 、()()2212x x x x --=+-，原式分解错误，故本选项不符合题意；C 、右边不是整式的积的形式，故本选项不符合题意；D 、原式是整式的乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了分解因式的定义．解题的关键是掌握分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、A【解析】【分析】依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式判断即可．【详解】解：A 、262(3)x x +=+是因式分解，故此选项符合题意；B 、29(3)(3)x x x -=-+分解错误，故此选项不符合题意；C 、221(2)1x x x x ++=++右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；D 、242(2)mx my m x y -=-分解错误，故此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查的是因式分解的意义，掌握因式分解的定义是解题的关键．3、B【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断即可求解．【详解】解：A 、241x +，不能进行因式分解，不符合题意；B、﹣m2+1＝1﹣m2＝（1+m）（1﹣m），可以使用平方差公式进行因式分解，符合题意；C、22--，不能使用平方差公式进行因式分解，不符合题意；a bD、22-，不能进行因式分解，不符合题意；2x y故选：B．【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．4、B【解析】【分析】把18分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和．【详解】解：18=1×18=2×9=3×6=（-1）×（-18）=（-2）×（-9）=（-3）×（-6），所以a=1+18=19或2+9=11或3+6=9或（-1）+（-18）=-19或（-2）+（-9）=-11或（-3）+（=6）=-9．∴整数a的值是±9或±11或±19，共有6个．故选：B．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解题的关键．5、B【解析】【分析】利用偶次方的非负性得到x>0，y>0，两式相减，可求得x-y=0，据此即可求解．【详解】解：∵x2−1x +2=0①，y2−1y+2=0②，∴x2+2=1x，y2+2=1y，∵x2+2≥0，y2+2≥0，∴x>0，y>0，①-②得：x2−1x -y2+1y=0，整理得：(x-y)(x+y+1xy)=0，∵x>0，y>0，∴x+y+1xy>0，∴x-y=0，∴2022|x−y|=20220=1，故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负性的应用，由偶次方的非负性得到x>0，y>0是解题的关键．6、D【解析】【分析】A、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可作出判断；B、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可作出判断；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式利用平方差公式分解得到结果，即可作出判断．【详解】解：A 、原式2(2)x =-，不符合题意；B 、原式2(23)a =-，不符合题意；C 、原式不能分解，不符合题意；D 、原式()()()()323251x x x x =+++-=++，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7、A【解析】【分析】根据多项式乘以多项式把等号右边展开，即可得答案．【详解】解：（x -5）（x +2）=x 2-3x -10，则k =-3，故选：A ．【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是掌握x 2+（p +q ）x +pq =（x +p ）（x +q ）．8、B【解析】【分析】先提取公因式27，再逐步利用平方差公式分解因式，即可得到答案.【详解】解：273243327333-=⨯-()()()2412122731273131=-=+- ()()()126627313131=++- ()()()()126332731313131=+++- ()()1262728263131=⨯⨯⨯++ 所以27327-可以被26，27，28三个整数整除，故选B【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点并灵活应用是解本题的关键.9、C【解析】【分析】利用平方差公式，将多项式进行因式分解，即可求解．【详解】解：()()()()()()()()2222222222a b c a b d a b c d a b a b c d c d ---=--=+-+-∵-a b 、a b +、c d -、+c d 依次对应的字为：科、爱、我、理，∴其结果呈现的密码信息可能是我爱理科．故选：C【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键．10、D【解析】【分析】由a2=b+2，b2=a+2，且a≠b，可得a+b=−1，将a2-b2-2b+2变形为（a+b）（a-b）−2b+2，再代入计算即可求解．【详解】解：∵a2=b+2，b2=a+2，且a≠b，∴a2−b2=b−a，即（a+b）（a-b）=b-a，∴a+b=−1，∴a2-b2-2b+2=（a+b）（a-b）−2b+2=b−a-2b+2=-（a+b）+2=1+2=3．故选：D．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是求得a+b=−1，将a2-b2-2b+2变形为（a+b）（a-b）−2b+2是解题的关键．二、填空题1、①④##④①【解析】【分析】根据因式分解的提公因式法及公式法对各式子计算即可得．【详解】解：①()222x x x x -=-，正确；②()22211x x x -+=-，计算错误； ③()()2422x x x -=+-，计算错误；④()2244121x x x ++=+，正确；故答案为：①④．【点睛】题目主要考查因式分解的方法：提公因式法和公式法，熟练掌握两种方法是解题关键．2、(3),(2)x x +-；(3),(2)x x -+；(6),(1)x x +-；(3),(2)x x ++；(6),(1)x x -+；(3),(2)x x --【解析】【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可得．【详解】解：26(3)(2)x x x x +-=+-； 26(3)(2)x x x x --=-+；256(6)(1)x x x x +-=+-；256(3)(2)x x x x ++=++；256(6)(1)x x x x --=-+；256(3)(2)x x x x -+=--；故答案为：(3),(2)x x +-；(3),(2)x x -+；(6),(1)x x +-；(3),(2)x x ++；(6),(1)x x -+；(3),(2)x x --．【点睛】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++． 3、x 2（2x ﹣1）【解析】【分析】根据提公因式法分解．【详解】解：2x 3﹣x 2＝x 2（2x ﹣1），故答案为：x 2（2x ﹣1）．【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式、十字相乘）是解题的关键．4、2x【解析】【分析】可根据完全平方公式或提公因数法分解因式求解即可．解：∵2221(1)x x x ±+=±，22(21)12(2)x x x x x x +-+=+=+∴○可以为2x 、－2x 、2x －1等，答案不唯一，故答案为：2x ．【点睛】本题考查因式分解，熟记常用公式，掌握因式分解的方法是解答的关键．5、(6)m m +【解析】【分析】直接提取公因式m ，进而分解因式得出答案．【详解】解：26m m +=m （m +6）．故答案为：m （m +6）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．三、解答题1、（1）xy -1；（2）3b (x +y )2．【解析】【分析】（1）先计算单项式乘多项式，再计算多项式除以单项式，即可；（2）先提取公因式3b ，再利用完全平方公式继续分解即可．解：（1）x（x2y2﹣xy）÷x2y=(x3y2-x2y)÷x2y=x3y2÷x2y -x2y÷x2y=xy-1；（2）3bx2+6bxy+3by2=3b(x2+2xy+y2)=3b(x+y)2．【点睛】本题考查了单项式乘多项式，多项式除以单项式以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2、 (1)3（a+3）（a-3）(2)m（m-1）2【解析】【分析】（1）先提公因式3，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式m，再利用完全平方公式分解因式即可．【小题1】解：原式=3（a2-9）=3（a+3）（a-3）；【小题2】原式=m（m2-2m+1）=m（m-1）2．此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．3、（1）222m p （2）4255x x -（3）(3)(3)x x x +-（4）2(2)a b +【解析】【分析】（1）根据幂的运算法则和合并同类项法则计算即可；（2）先用平方差公式计算，再运用单项式乘多项式的法则计算即可；（3）先提取公因式，再运用平方差公式分解即可；（4）先进行整式运算，再因式分解即可．【详解】解：（1）()42222222416882m m p m m p m p =÷=÷ （2）25(1)(1)x x x +-=225(1)x x -=4255x x -（3）32()()(9933)x x x x x x x -=-=+-（4）2(2)8a b ab -+=22448a ab b ab -++=2244a ab b ++=2(2)a b +．【点睛】本题考查了整式的运算和因式分解，解题关键是熟记乘法公式和因式分解的方法，准确熟练的进行计算．4、 (1)是，所有符合条件的N的值为5326，5662(2)见解析【解析】【分析】（1）分别得出31568的“顺数”与“逆数”，求差，计算能否被17整除即可判断；设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，可用x、y表示出N，根据“顺数”与“逆数”的定义可表示出“顺数”与“逆数”的差为90（66﹣x﹣10y），根据“最佳拍档数”的定义可得90（66﹣x﹣10y）能被17整除，即可得出符合题意x、y的值，即可得答案；（2）设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，可表示出“顺数”与“逆数”的差，可判断差能否被30整除；同理可判断四位正整数“顺数”与“逆数”的差能否被30整除，综上即可得答案．(1)（1）31568的“顺数”为361568，31568的“逆数”为315668，（361568-315668）÷17＝2700；∴31568是“最佳拍档数”，设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，∵N是四位“最佳拍档数”，∴50000+6000+100y+10x+3﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，＝6000+100y+9x+2﹣1000y﹣100x﹣68+x，＝5940﹣90x﹣900y，＝90（66﹣x﹣10y），∴66﹣x﹣10y能被17整除，①x＝2，y＝3时，能被17整除；∴十位数字为2，百位数②x＝6，y＝6时，能被17整除；综上，所有符合条件的N的值为5326，5662故答案为：是(2)（2）设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，它的“顺数”：1000z+600+10y+x，它的“逆数”：1000z+100y+60+x，∴（1000z+600+10y+x）﹣（1000z+100y+60+x）＝540﹣90y＝90（6﹣y），∴任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，设四位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，千位数字为a，∴（10000a+6000+100z+10y+x）﹣（10000a+1000z+100y+60+x）＝5940﹣900z﹣90y＝90（66﹣10z﹣y），∴任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，∴任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．【点睛】本题考查“顺数”、“逆数”与“最佳拍档数”的定义及应用，熟练掌握几位数的表示方法，理解新定义，正确分解因式是解题关键．5、（1）C ；（2）否，4(1)x +；（3）22(44)(2)x x x -+=-【解析】【分析】（1）根据题意可知，第二步到第三步用到了完全平方公式；（2）观察第四步可知，括号里面的还是一个完全平方公式还可以继续分解因式，由此求解即可；（3）仿照题意，设24y x x =-然后求解即可．【详解】解：（1）根据题意可知，该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式 ， 故选C ；（2）观察第四步可知，括号里面的还是一个完全平方公式还可以继续分解因式，∴分解分式的结果为：()41+x ， 故答案为：否，()41+x ； （3）设24y x x =-∴()()2243451x x x x -+-++()()351y y =+++235151y y y =++++2816y y =++()24y =+()2244=-+x x()42x=-．【点睛】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，解题的关键在于能够准确理解题意．。
4.2提取公因式 2024-2025学年浙教版七年级数学下册
=(a-b)[2(a-b)-1]
=(a-b)(2a-2b-1).
注意：添括号时，括号前面是"+"号，括到括号里的各 项都不变号；括号前面是"-"号，括到括号里的各项都变号.
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
典例解析
例3:计 算 ： (1)39×37-13×91; (2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14. 解：(1)原式=3×13×37-13×91
提取公因式法的一般步骤
(1)确定应提取的公因式； (2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； (3)把多项式写成这两个因式的积的形式.
注意：提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
典例解析
例 2 :把2(a-b)²-a+b 分解因式.
分析：把-a+b 变形成-(a-b), 原多项式就转化为2(a-b)²-(a-b). 若把(a-b) 看做整体， 原多项式就可以提取公因式(a-b).
(3)-4x²+8ax+2x ;
(4)-3ab+6abx-9aby.
分析：提公因式法步骤(分两步)
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
典例解析
例 1 :把下列各式分解因式：
(1)2x³+6x²;
(2)3pq³+1பைடு நூலகம்p³q;
(3)-4x²+8ax+2x ;
(4)-3ab+6abx-9aby.
解 ：(1)12 abc-9ab²=3ab(4c-3b)
因式分解 基础知识 总结
因式分解 基础知识 总结一、 因式分解的意义1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的区别、联系：区别：整式乘法是把几个整式相乘，化成一个多项式；因式分解是把一个多项式化成几个因式的积的形式。
联系：因式分解与整式乘法是互逆的过程。
3．公因式及其结构：公因式：一个多项式的各项都含有的因式叫做这个多项式的公因式。
公因式的结构：多项式的公因式由系数和字母部分两部分组成，系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的字母，指数取相同字母的最低次幂。
可简记为：“系数大，字母同，指数低”。
二、 因式分解的方法（一） 提公因式法1.定义：如果一个多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种变形叫做提公因式法。
2.步骤：（1）确定公因式，（2）提公因式并确定另一个因式，原多项式除以公因式所得商就是另一个因式。
3.常用的恒等变形：223344();()();()();()()......y x x y y x x y y x x y y x x y -=---=--=---=-（二）运用公式法1.定义：如果把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2.因式分解公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-（2）完全平方公式：2222222()2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-3. 2()()()x a b x ab x a x b +++=++三、因式分解的一般步骤：可以概括为“一提，二套，三分组，四检查”：“一提”：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式。
“二套”：如果多项式的各项没有公因式，那么可尝试套用公式法分解。
“三分组”：对于四项以上的多项式（在没有公因式后），应考虑用分组分解法。
“四检查”：检查每个因式是否还能继续分解因式，因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
2021-2022学年度强化训练冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解综合练习试题(精选)
冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知c ＜a ＜b ＜0，若M ＝|a （a ﹣c ）|，N ＝|b （a ﹣c ）|，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M ＜NB ．M ＝NC ．M ＞ND ．不能确定2、下列等式中，从左到右是因式分解的是（ ）A ．2111111x x x ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．2222()a ab b a b ++=+C ．1()1am bm m a b +-=+-D ．22()()a b a b a b +-=-3、下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2﹣x ﹣6＝（x ＋2）（x ﹣3）B ．x 2﹣2x ＋1＝x （x ﹣2）＋1C ．x 2＋y 2＝（x ＋y ）2D ．（x ＋1）（x ﹣1）＝x 2﹣14、下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）A ．（x ＋y ）（y ﹣x ）B ．（x ＋y ）（y ＋x ）C ．（x ＋y ）（﹣y ﹣x ）D ．（x ﹣y ）（y ﹣x ）5、多项式22ax ay -分解因式的结果是（ ）A ．()22a x y +B ．()()a x y x y +-C ．()()a x y x y ++D ．()()ax y ax y +- 6、下列因式分解正确的是（ ）A ．2243(2)1x x x ++=+-B ．1(1)(1)ab a b a b -+-=--C ．22()()a b a b a b -=+-D ．2224(2)x x x -+=-7、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．（x +1）（x ﹣1）=x 2﹣1B ．x 2﹣8x +16=（x ﹣4）2C ．x 2﹣2x +1=x （x ﹣1）+1D ．x 2﹣4y 2=（x +4y ）（x ﹣4y ）8、已知m ＝1﹣n ，则m 3+m 2n +2mn +n 2的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．29、如图，长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则a 3b +2a 2b 2+ab 3的值为（ ）A ．2560B ．490C ．70D ．4910、下列各式中，正确的因式分解是（ ）A ．2222()()a b ab c a b c a b c -+-=+---B ．2()()()(1)x y x y x y x y ----=---+C ．2()3()(23)()a b a b a a a b -+-=+-D ．222422(222)(1)x x y x y x y ++-=+++-第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、分解因式：32a a -=______．2、在○处填入一个整式，使关于x 的多项式21x ++◯可以因式分解，则○可以为________．（写出一个即可）3、单项式4m 2n 2与12m 3n 2的公因式是________．4、因式分解：（1）22x y -=______； （2）222x xy y ++=______；（3）25a a -=______； （4）276m m -+=______．5、因式分解：23322212820x y x y x y -+=______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）计算：()22248m p m ÷ （2）计算：25(1)(1)x x x +-（3）因式分解：39x x -（4）因式分解：2(2)8a b ab -+2、阅读下列材料：材料一：对于一个百位数字不为0的四位自然数M ，以它的百位数字作为十位，十位数字作为个位，得到一个两位数m ，若m 等于M 的千位数字与个位数字的平方差，则称数M 为“平方差数”． 例如：7136是“平方差数”，因为227613-=，所以7136是“平方差数”；又如：4251不是“平方差数”，因为22411525-=≠，所以4251不是“平方差数”．材料二：我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题，例如：若p ，q 为两个正整数（p q >），且18pq =，则p ，q 为18的正因数，又因为18可以分解为181⨯或92⨯或63⨯，所以方程18pq =的正整数解为181p q =⎧⎨=⎩或92p q =⎧⎨=⎩或63p q =⎧⎨=⎩． 根据上述材料解决问题：(1)判断9810，6361是否是“平方差数”？并说明理由；(2)若一个四位“平方差数”M ，将它的千位数字、个位数字及m 相加，其和为30，求所有满足条件的“平方差数”M ．3、因式分解：（1）263x x -； （2）()()229a x y b y x -+-．4、我们知道，任意一个正整数c 都可以进行这样的分解：c =a ×b （．b 是正整数，且a ≤b ），在c 的所有这些分解中，如果a ，b 两因数之差的绝对值最小，我们就称a ×b 是c 的最优分解并规定：M（c ）=b a，例如9可以分解成1×9，3×3，因为9-1＞3-3，所以3×3是9的最优分解，所以M （9）=33=1（1）求M （8）；M （24）；M [（c +1）2]的值；（2）如果一个两位正整数d （d =10x +y ，x ，y 都是自然数，且1≤x ≤y ≤9），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和为66，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中M （d ）的最大值．5、分解因式：421881a a -+-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】方法一：根据整式的乘法与绝对值化简，得到M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，故可求解；方法二：根据题意可设c=-3，a=-2，b=-1，再求出M，N，故可比较求解．【详解】方法一：∵c＜a＜b＜0，∴a-c＞0，∴M＝|a（a﹣c）|=- a（a﹣c）N＝|b（a﹣c）|=- b（a﹣c）∴M-N=- a（a﹣c）-[- b（a﹣c）]= - a（a﹣c）+ b（a﹣c）=（a﹣c）（b﹣a）∵b-a＞0，∴（a﹣c）（b﹣a）＞0∴M＞N方法二：∵c＜a＜b＜0，∴可设c=-3，a=-2，b=-1，∴M＝|-2×（-2+3）|=2，N＝|-1×（-2+3）|=1∴M＞N故选C．【点睛】此题主要考查有理数的大小比较与因式分解得应用，解题的关键求出M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，再进行判断．2、B【解析】【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，进行求解即可．【详解】解：A 、2111111x x x ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是整式积的形式，不是因式分解，不符而合题意； B 、2222()a ab b a b ++=+，是因式分解，符合题意；C 、1()1am bm m a b +-=+-，不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；D 、22()()a b a b a b +-=-，不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知定义是解题的关键．3、A【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，根据概念逐一判断即可.【详解】解：x 2﹣x ﹣6＝（x ＋2）（x ﹣3）属于因式分解，故A 符合题意；x 2﹣2x ＋1＝x （x ﹣2）＋1，右边没有化为整式的积的形式，不是因式分解，故B 不符合题意； x 2＋y 2＝（x ＋y ）2的左右两边不相等，22x y +不能分解因式，不是因式分解，故C 不符合题意； （x ＋1）（x ﹣1）＝x 2﹣1是整式的乘法运算，不是因式分解，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是因式分解的概念，掌握“利用因式分解的概念判断代数变形是否是因式分解”是解题的关键.4、A【解析】【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．【详解】解：A 、（x ＋y ）（y ﹣x ）=22y x 不符合平方差公式的特点，故本选项符合题意；B 、（x ＋y ）（y ＋x ），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不合题意；C 、（x ＋y ）（﹣y ﹣x ）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D 、（x ﹣y ）（y ﹣x ）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选A ．【点睛】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．5、B【解析】【分析】先提取公因式a ，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）．【详解】解：ax 2-ay 2=a （x 2-y 2）=a （x +y ）（x -y ）．故选：B ．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．6、C【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的定义和方法即可求解．【详解】解：A 、243(3)(1)x x x x ++=++，错误，故该选项不符合题意；B 、1(1)(1)ab a b a b -+-=+-，错误，故该选项不符合题意；C 、22()()a b a b a b -=+-，正确，故该选项符合题意；D 、224x x -+，不能进行因式分解，故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7、B【解析】【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解”进行解答即可得．【详解】解：A 、2(1)(1)1x x x +-=-，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；B 、22816(4)x x x -+=-，是因式分解，选项说法正确，符合题意；C 、221(1)1x x x x -+=-+，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；D 、左、右不相等，选项说法错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟记因式分解的定义．8、C【解析】【分析】先化简代数式，再代入求值即可；【详解】∵m ＝1﹣n ，∴m+n ＝1，∴m 3+m 2n +2mn +n 2＝m 2（m+n ）+2mn+n 2＝m 2+2mn+n 2＝（m+n ）2＝12＝1，故选：C ．【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键．9、B【解析】【分析】利用面积公式得到ab ＝10，由周长公式得到a +b ＝7，所以将原式因式分解得出ab （a +b ）2．将其代入求值即可．【详解】解：∵长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，∴ab ＝10，a +b ＝7，∴a 3b +2a 2b 2+ab 3＝ab （a +b ）2＝10×72＝490．故选：B ．【点睛】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算是解题的关键．10、B【解析】【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案．【详解】解：A ．2222()()a b ab c a b c a b c -+-=-+--，故此选项不合题意；B ．2()()()(1)x y x y x y x y ----=---+，故此选项符合题意；C ．()()()()2323a b a b a a a b -+-=--，故此选项不合题意；D ．()()222422211x x y x y x y ++-=+++-，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．二、填空题1、()21a a -【解析】【分析】根据提取公因式法，提取公因式2a 即可求解．【详解】解：322(1)a a a a -=-，故答案为：2(1)a a -．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法．2、2x【解析】【分析】可根据完全平方公式或提公因数法分解因式求解即可．【详解】解：∵2221(1)x x x ±+=±，22(21)12(2)x x x x x x +-+=+=+∴○可以为2x 、－2x 、2x －1等，答案不唯一，故答案为：2x ．【点睛】本题考查因式分解，熟记常用公式，掌握因式分解的方法是解答的关键．3、4m 2n 2【解析】【分析】找到系数的公共部分，再找到因式的公共部分即可．【详解】解：由于4和12的公因数是4，m 2n 2和m 3n 2的公共部分为m 2n 2，所以4m 2n 2与12m 3n 2的公因式是4m 2n 2．故答案为4m 2n 2．【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．4、 ()()x y x y +- 2()x y + (5)a a - (6)(1)m m --【解析】【分析】把一个多项式化成几个整式积的形式叫做这个多项式的因式分解，由此定义因式分解即可．【详解】（1）由平方差公式有22()()x y x y x y -=+-（2）由完全平方公式有222)2(x xy y x y =+++（3）提取公因式a 有25(5)a a a a -=-（4）由十字相乘法分解因式有276(6)(1)m m m m -+=--故答案为：()()x y x y +-；2()x y +；(5)a a -；(6)(1)m m --．【点睛】本题考查了因式分解，常见因式分解的方式有运用平方差公式、运用完全平方公式、提取公因式、十字相乘法，灵活选择因式分解的方式是解题的关键．5、()224325x y y x -+【解析】【分析】直接提取公因式224x y 整理即可．【详解】解：()23322222128204325x y x y x y x y y x -+=-+，故答案是：()224325x y y x -+．【点睛】本题考查了提取公因式因式分解，解题的关键是找准公因式．三、解答题1、（1）222m p （2）4255x x -（3）(3)(3)x x x +-（4）2(2)a b +【解析】【分析】（1）根据幂的运算法则和合并同类项法则计算即可；（2）先用平方差公式计算，再运用单项式乘多项式的法则计算即可；（3）先提取公因式，再运用平方差公式分解即可；（4）先进行整式运算，再因式分解即可．【详解】解：（1）()42222222416882m m p m m p m p =÷=÷ （2）25(1)(1)x x x +-=225(1)x x -=4255x x -（3）32()()(9933)x x x x x x x -=-=+-（4）2(2)8a b ab -+=22448a ab b ab -++=2244a ab b ++=2(2)a b +．【点睛】本题考查了整式的运算和因式分解，解题关键是熟记乘法公式和因式分解的方法，准确熟练的进行计算．2、 (1)9810是“平方差数”，6361不是“平方差数”，理由见解析(2)8157或6204或5250或5241【解析】【分析】（1）直接根据“平方差数”的概念求解即可；（2）设M 的千位数字为a ，个位数字为b ，则22m a b =-，由题意得2230a b a b ++-=，再分解正因数求解即可．(1)9810是“平方差数”，∵229081-=，∴9810是“平方差数”；6361不是“平方差数”，∵22613536-=≠，∴6361不是“平方差数”．(2)设M 的千位数字为a ，个位数字为b ，则22m a b =-，由题意得2230a b a b ++-=，即()()130a b a b +-+=．∵1a b +>，11a b -+>且均为30的正因数，∴将30分解为215⨯或310⨯或56⨯．①()(1)215a b a b +-+=⨯，解得87a b =⎧⎨=⎩，即8157M =； ②()(1)310a b a b +-+=⨯，解得64a b =⎧⎨=⎩，即6204M =； ③()(1)56a b a b +-+=⨯，解得50a b =⎧⎨=⎩，即5250M =； 解得51a b =⎧⎨=⎩，即5241M =． ∴8157M =或6204或5250或5241【点睛】本题考查了因式分解的应用，新定义下的阅读理解，解决问题的关键是找到等量关系．3、（1）()321x x -；（2）()()()33x y a b a b -+-．【解析】【分析】（1）提取公因式3x ，进行因式分解；（2）提取公因式后，再利用平方差公式进行因式分解．【详解】解：（1）()263321x x x x -=-；（2）()()()()222299a x y b y x a x y b x y -+-=---，()()()()()22933x y a b x y a b a b=--=-+-．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式及公式法进行因式分解．4、（1）12；23；1；（2）23；【解析】【分析】（1）根据c=a×b中，c的所有这些分解中，如果a，b两因数之差的绝对值最小，就称a×b是c的最优分解，因此M（8）=24=12，M（24）=46=23，M[（c+1）2]=111cc+=+；（2）设这个两位正整数d交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为d'，则d+d'=（10x+y）+（10y+x）=11x+11y=11（x+y）=66，由于x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9，所以满足条件的“吉祥数”有15、24、33所以M（15）=35，M（24）=46=23，M（33）=311，所以所有“吉祥数”中M（d）的最大值为23．【详解】解：（1）由题意得，M（8）=24=12；M（24）=46=23；M[（c+1）2]=111cc+=+；（2）设这个两位正整数d交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为d'，则d+d'=（10x+y）+（10y+x）=11x+11y=11（x+y）=66，∵x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9，∴满足条件的“吉祥数”有15、24、33∴M（15）=35，M（24）=46=23，M（33）=311，∵23＞35＞311，∴所有“吉祥数”中M（d）的最大值为23．【点睛】本题考查了分解因式的应用，根据示例进行分解因式是解题的关键．5、（a-3）2（a+3）2【解析】【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：a4-18a2+81=（a2-9）2=（a-3）2（a+3）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一.学习目标：
1、学会观察思考，在实践中归纳出提公因式法分解因式的方法。
2、在讨论交流中，能正确的应用提公因式法分解因式。
二、议一议：
1、计算2(x+3)=______ a(b+c)=_______
2、在上题中运用了乘法的______由此计算m(a+b+c)=______
三、自主学习
1、一般地，多项式的各项都含有的因式，叫这个多项式各项的______,简称______________.
2、形如ma+mb+mc=m(a+b+c),ab2-2a2b=ab(b-a),这种将多项式分解因式的方法叫_______________.
填表
多项
式项各项的
公因式
分解因式
pa+pb+pc pa+pb+pc
=__·a+__·b+__·c
=_________
ax²+ax-a ax²+ax-a=
4x²-2x 4x²-2x=
四、小组探究1、写出下列多项式的公因式
①6x-9x2 ②abc+2a③abc-ab2+2ab ④2x2y+4xy2-6xy
2、先指出下列多项式的公因式，再进行因式分解
①x2 +2x ②2x2+4x ③2a2x-6ax2 ④4a4-12a3+16a2
3、讨论交流；用提公因式法分解因式时应注意什么？温馨提示：做完后，对子互查，组内统一答案。
独立自学课本144页的观察与思考。
完成 1.2题:
提示：1、2两题独立完成，然后对子交流。
4、尝试应用:将下列多项式分解因式
①-3a2+6ab-3ac ②3m3n+9m2n2-6m2n
③5ab3-10b2c+5b2④2a(b+c)-5(b+c)
5、知识应用：用简便方法计算
①9992+999 ②1004×1006-1003×1004+1004×7
五、巩固提升
1、分解因式
（1）ab-2abc (2) a2+ab+ac (3) 7a2b+14ab2(4) 4ab-6ab2 (5) -12a2b2c+4 a2b2+2ab2c (6) -7ab-14abx+49aby
(7)2x(x-y)-y(x-y) (8)x(x+y)(x-y)-x(x-y)2
2、用简便方法计算
（1）20012-2001 （2）2005×2006-2005×2004+8×2005
六、课堂检测
1、分解因式
（1）10a-5c (2) 5xy-xyz (3) 2x2y-4xy2z (4) 15mn2p2-5mnp (5) -4x2y2+8x2y-8xy (6)m (x+2y)-2n(x+2y)
2、用简便方法计算
（1）1012-101 （2）57×99-99+44×99 3题，学生讨论交流，自由发言。
4题，组长带领学生共同探索完成。
（别忘记进行总结归纳）
提示：提公因式法
巩固提升题：要先独立完成，然后对之间交流订正。
教师巡视检查学生学。