高中数学第二章一元二次函数方程和不等式.3二次函数与一元二次方程不等式第课时教案第一册

第2课时一元二次不等式的应用学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).2.理解三个“二次”之间的关系。

3。

会解一元二次不等式中的恒成立问题（难点）。

1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养。

1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式ax＋bcx＋d＞0（＜0) (其中a，b,c，d为常数)法一：错误!或错误!法二：（ax＋b)（cx＋d）＞0(＜0）ax＋bcx＋d≥0(≤0）法一：错误!或错误!法二：思考1：错误!〉0与(x－3）(x＋2）>0等价吗？将错误!>0变形为（x－3）(x＋2)>0,有什么好处?提示:等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件(2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法3。

从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1）阅读理解,认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）．(3)解不等式(或求函数最值)．（4）回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝错误!,则A∩B等于() A．{x|－1≤x<0｝B．｛x|0<x≤1｝C．｛x｜0≤x<2} D．｛x｜0≤x≤1}B[∵A＝｛x|－1≤x≤1｝，B＝｛x|0<x≤2}，∴A∩B＝｛x｜0〈x≤1｝．]2．不等式x＋1x≥5的解集是________．错误!［原不等式⇔错误!≥错误!⇔错误!≤0⇔错误!解得0〈x≤错误!.］3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．a＞4或a＜－4［∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0,解得，a＞4或a＜－4。

］4。

在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位:m)的取值范围是________．{x｜10≤x≤30｝[设矩形高为y，由三角形相似得：错误!＝错误!，且x〉0,y>0，x〈40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40,将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30。

］分式不等式的解法【例1】解下列不等式：（1)错误!〈0；(2)错误!≤1。

［解](1）错误!<0⇔（x－3）(x＋2）<0⇔－2〈x〈3，∴原不等式的解集为｛x｜－2〈x〈3}．(2）∵错误!≤1，∴x＋12x－3－1≤0，∴错误!≤0，即错误!≥0.此不等式等价于（x－4）错误!≥0且x－错误!≠0,解得x<错误!或x≥4，∴原不等式的解集为错误!.1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解．1．解下列不等式：(1)错误!≥0；（2）错误!<3。

[解](1）根据商的符号法则，不等式错误!≥0可转化成不等式组错误!解这个不等式组，可得x≤－1或x>3。

即知原不等式的解集为｛x｜x≤－1或x〉3}．（2）不等式错误!<3可改写为错误!－3〈0，即2x－1x＋1<0。

可将这个不等式转化成2(x－1）（x＋1）<0，解得－1〈x<1.所以，原不等式的解集为{x|－1<x<1}．一元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%。

[思路点拨]将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x）％；“收购量能增加2x个百分点”,此时总收购量为m(1＋2x％）吨，“原计划的78%”即为2400m×8％×78％.[解]设税率调低后“税收总收入”为y元．y＝2 400m（1＋2x%）·（8－x)%＝－错误!m（x2＋42x－400）（0<x≤8）．依题意，得y≥2 400m×8％×78％,即－错误!m(x2＋42x－400）≥2 400m×8%×78％，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2.求解一元二次不等式应用问题的步骤2．某校园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉（花卉带的宽度相同)，中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解］设花卉带的宽度为x m（0〈x〈600）,则中间草坪的长为（800－2x）m，宽为（600－2x）m.根据题意可得（800－2x）(600－2x)≥12×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即（x－600)（x－100）≥0，所以0〈x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0＜x≤100。

不等式恒成立问题［探究问题］1．若函数y＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，f(x）〉0恒成立，如何求实数a的取值范围？提示：若a＝0,显然y〉0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则错误!解得a>错误!。

2．若函数y＝x2－ax－3对－3≤x≤－1上恒有x2－ax－3<0成立，如何求a的范围？提示:要使x2－ax－3<0在－3≤x≤－1上恒成立,则必使函数y ＝x2－ax－3在－3≤x≤－1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应满足错误!即错误!解得a<－2.故当a＜－2时，有f(x）<0在－3≤x≤－1上恒成立．3．若函数y＝x2＋2（a－2)x＋4对任意－3≤a≤1时,y〈0恒成立,如何求x的取值范围？提示:由于本题中已知a的取值范围求x,所以我们可以把函数f（x）转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y＝2x·a＋x2－4x＋4.要使对任意－3≤a≤1，y<0恒成立，只需满足错误!即错误!因为x2－2x＋4〈0的解集是空集,所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2）x＋4对任意－3≤a≤1，y<0恒成立．【例3】已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2,x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．［思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题,可以利用函数的图象与性质求解．［解]设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a）,则（1）当对称轴x＝－a2〈－2，即a>4时，g（a）＝（－2)2＋（－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a〉4矛盾,不符合题意．（2）当－2≤－错误!≤2，即－4≤a≤4时,g（a)＝3－a－错误!≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2。

（3）当－错误!>2，即a〈－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a〈－4。

综上,a的取值范围为－7≤a≤2。

1．(变结论）本例条件不变，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范围．［解］若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥2恒成立可转化为：当－2≤x≤2时,y min≥2⇔错误!或错误!或错误!解得a的取值范围为－5≤x≤－2＋2错误!.2．（变条件)将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立"变为“不等式x2＋2x＋a2－3〉0的解集为R",求a的取值范围．［解]法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，∴Δ＝4－4（a2－3)<0,解得a〉2或a〈－2.法二：令y＝x2＋2x＋a2－3,要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a满足y min＝a2－4>0，解得a〉2或a〈－2.法三：由x2＋2x＋a2－3〉0,得a2>－x2－2x＋3，即a2〉－（x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立,必须使a2大于－（x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a〉2或a〈－2。

1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数（或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，错误!2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时,错误!3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地,知道谁的范围，谁就是主元,求谁的范围，谁就是参数．1．解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式（组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)若f(x)有最大值f（x）max，则a〉f(x）恒成立⇔a〉f(x）max；（2）若f(x)有最小值f(x)min,则a〈f（x）恒成立⇔a<f（x）min。

3．在某集合A中恒成立问题设y＝ax2＋bx＋c（a≠0)若ax2＋bx＋c＞0在集合A中恒成立,则集合A是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围）。

1．思考辨析(1)不等式错误!〉1的解集为x〈1.（）(2)求解m〉ax2＋bx＋c（a＜0）恒成立时,可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围．(）［提示](1）错误!>1⇒错误!－1>0⇒错误!〈0⇒｛x|0<x<1}．故（1）错．（2)m〉ax2＋bx＋c(a＜0）恒成立转化为m〉y max，故(2)错．[答案］(1)×(2)×2．不等式错误!〉0的解集为________．{x|－4〈x<－3或x〉－1}[原式可转化为(x＋1）（x＋2）2(x ＋3）(x＋4)〉0，根据数轴穿根法,解集为－4<x〈－3或x>－1.]3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2（a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是________．－2＜a≤2［当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0恒成立;当a－2≠0，即a≠2时，则有错误!解得－2＜a＜2。