带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的临界问题

带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的临界问题

题1：两边界MN 、PQ 足够长，相距为d ，中间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，质量为m ，电荷量为+q 的粒子，从磁场边缘MP 的正中间O 点沿图示方向垂直进入磁场，不计重力，要使粒子从MN 板离开磁场，求：

⑴粒子进入磁场的速度应满足什么条件？（θ=300）

⑵要使粒子在磁场中运动的时间最长，粒子要从哪一条边界射出，最长时间为多少？

析：（1）（方法1：过定点吹气球，找到临界点。方法2：画圆找弧移边界）当粒子运动

轨迹跟MN 相切时速度最小，则有：

min 3d r = 又 mv r qB = 得：min 3qBd v m

= 当粒子运动轨迹与PQ 相切而从MN 射出时，速度有最大值： max r d =得：max qBd

v m

=故得速度应满足的条件是：

3qBd qBd

v m m

≤p ⑵要使粒子运动时间长，则对应圆心角最大，则粒子从MP 边射出，

0max

00300253603603m m t T qB qB

α

ππ==?= 题2：如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T ，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab

的距离L=16cm 处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是V=3.0×106m/s,已知α粒子的

电荷与质量之比q

m

=5.0×107C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度。

析：（过定点旋转定圆）α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨道半径，有 2v qvB m R =由此得：()v R q B m

==10cm ，可见2R>L>R

因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹

× ×

× ×

× × × ×

a b

都过S ，由此可知，某一圆轨迹在图中N 左侧与ab 相切，则此切点P 1是α粒子能打中的左侧最远点，为定出P 1点的位置，可作平行于ab 的直线cd ，cd 到ab 的距离为R ，以S 为圆心，R 为半径，作弧交cd 于Q 点，过Q 点作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1，由图中几何关系得：221()NP R L R =

--

再考虑N 的右侧，任何α粒子在运动过程中离S 的距离不可能超过2R ，以2R 为半径，S 为圆心作圆，交ab 于N 右侧的P 2点，此即右侧能打到的最远点。由图中几何关系得：

222(2)NP R L =-，所求长度为P 1P 2=NP 1+NP 2=20cm.

题3：如图甲所示，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上。在xoy 平面内有与y 轴平行的匀强电场，在半径为R 的圆形区域内加有与xoy 平面垂直的匀强磁场。在坐标原点O 处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m 、电荷量q （0>q ）和初速为0v 的带电粒子。已知重力加速度大小为g 。

（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y 轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x 轴正方向运动。求电场强度和磁感应强度的大小和方向。 （2）调节坐标原点O 处的带电微粒发射装置，使其在xoy 平面内不断地以相同速率v 0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示。现要求这些带电微粒最终都能平行于x 轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积。

（1）由题目中“带电粒子从坐标原点O 处沿y 轴正方向进入磁场后，最终沿圆形磁场区域的水平直径离开磁场并继续沿x 轴正方向运动”可知，带电微粒所受重力与电场力平衡。设电场强度大小为E ，由平衡条件得：qE mg = 2分 ∴q

mg

E = 2分

电场方向沿y 轴正方向。带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，且圆运动半径r=R 。 设匀强磁场的磁感应强度大小为B 。由牛顿第二定律得：

R

mv B qv 20

0=

2分 ∴qR

mv B 0

=

2分

磁场方向垂直于纸面向外 1分

（2）设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与x 轴承夹角θ， 则θ满足0≤2

π

θ<

，由于带电微粒最终将沿x 轴正方向运动，故B 应垂直

于xoy 平面向外，带电微粒在磁场内做半径为qB

mv R 0

=

匀速圆周运动。由于带电微粒的入射方向不同，为使这些带电微粒经磁场偏转后沿x 轴正方向运动。由图可知，它们必须从经O 点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场。 这样磁场边界上P 点的坐标P （x ，y ）应满足方程： θsin R x =， )cos 1(θ-=R y ，

所以磁场边界的方程为：2

2

2

)(R R y x =-+ 2分

由题中0≤2

π

θ<的条件可知，

以2

π

θ→

的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹2

2

2

)(R y R x =+-

即为所求磁场的另一侧的边界。 2分 因此，符合题目要求的最小磁场的范围应是圆

222)(R R y x =-+与圆222)(R y R x =+-的

交集部分（图中阴影部分）。 1分

由几何关系，可以求得符合条件的磁场的最小面积为：

2220

2min

)12(B

q v m S -=π

2分

题4：如图所示，左侧为两块长为L=10cm ，间距

3310=

d cm 的平行金属板，加U ＝V

4103

1

?的电压，上板电势高；现从左端沿中心轴线方向入射一个重力不计的带电微粒，微粒质量m

＝10－10kg ，带电量q ＝+10－

4C ，初速度v 0＝105m/s ；中间用虚线框表示的正三角形内存在垂直纸面向里的匀强磁场B 1，三角形的上顶点A 与上金属板平齐，BC 边与金属板平行，AB 边的中点P 1恰好在下金属板的右端点；三角形区域的右侧也存在垂直纸面向里，范围足够大的匀强磁场B 2，且B 2＝4B 1；求； （1）带电微粒从电场中射出时的速度大小和方向；

（2）带电微粒进入中间三角形区域后，要垂直打在AC 边上，则该区域的磁感应强度B 1是多少？

（3）画出粒子在磁场中运动的轨迹，确定微粒最后出磁场区域的位置。

解（1）设带电微粒在电场中做类平抛运动时间t ，加速度a ，出电场时竖直方向的速度为v y

ma

d Uq

=，∴211/1033s m dm Uq a ?== ……①（2分）

t

v L 0= ∴

s v L

t 60

10-==

……②（1分）

at

v y = ∴

s m at v y /1033

5?=

= ……③（1分）

∴粒子出电场的速度

s m v v v y /1033

252

20?=

+=……④（1分）

速度与水平方向夹角33

tan ,0

=

=

v v y θθ，∴θ＝300

即垂直与AB 出射。……⑤（1分）

（2）带电粒子出电场时竖直方向偏转的位移y

有

221at y =

代入（1）（2）得，

2603d

m y ==

，

粒子由P1点垂直AB 射入磁场。……⑥（2分）

带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示。

设匀速圆周运动P1Q1段半径R1，根据几何关系有

2

110320

30cos -?=?=

d R ……⑦（2分）

由

12R v m

qvB =…… ⑧（2分）

得

T qR mv

B 31

1==

……⑨（2分）

带电粒子在B2磁场中以O2为圆心做匀速圆周运动，

即Q1Q2段，其半径4/12R R =……⑩（2分）

再次进入B1区域时做以O3为圆心，半径仍为R1的匀速圆周运动， 即Q2P2段，最后从P2点出磁场区域，如图所示。 在三角形P2CO3中，根据数学知识，有

)68.7(601

34

1

1312cm m R C P ==+=+=

题5、在边长为a 2的ABC ?内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．

解析：如图６所示，设粒子速率为1v 时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点． 由图知，在E AO 1?中，11R E O =，113R a A O -=

，由A

O E O 110

30cos =

得

1

1323

R a R -=，解得

a

R )32(31-=，

则a R a A

O AE )332(2

32

1

1-=-==

． 又由1

2

11R v

m Bqv =得m aqB m BqR v )32(311-==，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应大于1v ．

如图７所示，设粒子速率为2v 时，其圆轨迹正好与ＢＣ边相切于Ｆ点，与ＡＣ相交于Ｇ点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心，则a AG AD R 32=

==．

又由2

2

22R v m Bqv =得m aqB

v 32=，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应小于

等于2v ．

综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足

m

aqB

v m aqB

3)32(3≤

<-． 粒子从距Ａ点a a 3~)332(-的EG 间射出．

题6、如图9所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧匀强电场的场强大小为E 、方向水平向右，电场宽度为L ；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里．一个质量为m 、电量为q 、不计重力的带

图6

D

B

1o

A B

B B

d 图9

正电的粒子从电场的左边缘的O 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O 点，然后重复上述运动过程．求：

（1） 中间磁场区域的宽度d ;

（2） 带电粒子从O 点开始运动到第一次回到O 点所用时间t.

解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： 22

1

mV qEL = 带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：

R

V m BqV 2

=

由以上两式，可得q

mEL

B R 21=

．

可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图11所示，三段圆弧的圆心组成的三角形

ΔO 1O 2O 3是等边三角形，其边长为2R ．所以中间磁场区域的宽度为

q

mEL

B R d 62160sin 0=

=

（2）在电场中

qE

mL

qE mV a V t 22

221===

， 在中间磁场中运动时间qB m

T t 3232π==

在右侧磁场中运动时间qB

m T t 35653π==

， 则粒子第一次回到O 点的所用时间为

qB

m

qE mL t t t t 3722

321π+

=++=．

题7、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离

子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马

克装置）。如图５所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的

图10

O 图11

内半径为R 1=0.5m ，外半径R 2=1.0m ，磁场的磁感强度B =1.0T ，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m =4×7

10C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度．试计算

（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度． （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度．

解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图６所示．

由图中知2

122

12

1)(r R R r -=+，解得m r 375.01=

由1

2

11r V m BqV

=得s m m Bqr V /105.1711?== 所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为

s m V /105.171?=．

（2）当粒子以V 2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则

以V 1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图７所示．

由图中知m R R r 25.02

1

2

2=-= 由2

2

22r V m BqV =得s m m Bqr V /100.1722?== 所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度s m V /100.17

2?=

题8.(2010年高考课标全国卷)如图8－2－28所示，在0≤x ≤a 、0≤y ≤范围内垂直于xOy 平面向外的匀

强磁场，磁感应强度大小为B.坐标原点O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

图７

O O 2

图8－2－28

(1)速度的大小；

(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦．

(1)设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB＝m

①

由①式得R＝②

当a/2＜R＜a时，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的上边界相切，如图所示．

设该粒子在磁场运动的时间为t，依题意t＝T/4，

得∠OCA＝③

设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系可得Rsinα＝R－④

Rsinα＝a－Rcosα⑤

又sin2α＋cos2α＝1⑥

由④⑤⑥式得R＝(2－)a⑦

由②⑦得v＝(2－).

(2)由④⑦式得sin α＝.

答案：(1)(2－)(2)?

25．（18分）如图所示，匀强磁场分布在0≤x≤（3a且以直线PQ为下边界的区域内，∠OPQ= 30o。y≤0的区域内存在着沿y轴正向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的

）以初速度v o沿x轴正带正电粒子（不计粒子重力）从电场中一点M（－2a，3a

向射出后，恰好经坐标原点O进入第I象限，最后刚好不能从磁场的

右边界飞出。求：

（1）匀强电场的电场强度的大小E；

（2）匀强磁场的磁感应强度的大小B；

（3）粒子在磁场中的运动时间。