带电粒子的偏转

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

复习第六章电场——带电粒子在电场中的运动电容器

二. 重点、难点：

（一）带电粒子在电场中的运动

1. 带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同一条直线上，做匀加（减）速直线运动。

2. 带电粒子（若重力不计）由静止经电场加速如图所示，可用动能定理：

表达式为

3. 带电粒子在匀强电场中的偏转（重力不计），如图所示。

（1）侧移：结合加速时的表达式可得：

，可知在加速电压、偏转极板的长度和极板间距不变的情况下，侧向位移y与偏转电压成正比。

（2）偏角：

注意到，说明穿出时刻的末速度的反向延长线与初速度延长线交点恰好在水平位移的中点。这一点和平抛运动的结论相同。两样，在加速电压、偏转极板的长度和极板间距不变的情况下，偏角的正切与偏转电压成正比。

（3）穿越电场过程的动能增量：（注意，一般来说不等于）

（二）电容器

1. 电容器：两个彼此绝缘又相隔很近的导体都可以看成一个电容器。

2. 电容器的电容：电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量，定义式（比值定义法），电容是由电容器本身的性质（导体大小、形状、相对位置及电介质）决定的。

3. 平行板电容器的电容的决定式是：，其中，k为静电力常量，S为正对面积，是电介质的介电常数。

4. 两种不同变化：电容器和电源连接如图，改变板间距离、改变正对面积或改变板间电解质材料，都会改变其电容，从而可能引起电容器两板间电场的变化。这里一定要分清两种常见的变化：

（1）电键K保持闭合，则电容器两端的电压U恒定（等于电源电动势），这种情况下

带电荷量，而，。

（2）充电后断开K，保持电容器带电荷量Q恒定，这种情况下

。

5. 常用电容器有：固定电容器和可变电容器，电解电容器有正负极，不能接反。

【典型例题】

电场中常见问题：

（一）平行板电容器的动态分析

平行板电容器动态分析这类问题关键在于弄清哪些是变量，哪些是不变量，在变量中哪些是自变量，哪些是因变量。

讨论电容器动态变化问题时一般分两种基本情况：

1. 充电后仍与电源连接，则两极板间电压U保持不变。

2. 充电后与电源断开，则带电荷量Q保持不变。

进行讨论的物理依据主要有：①平行板电容器的电容C与极板距离d，正对面积S，介

质介电常数间的关系；②平行板电容器内部是匀强电场或正比于电荷面密度；③电容器所带电荷量。

处理平行板电容器E、U、Q变化问题的基本思路是：

（1）确定不变量：C与电源相连时，极板间电压不变；电容器先充电后与电源脱离，所带电量不变。

（2）用决定式分析平行板电容器电容的变化。

（3）用定义式分析电容器所带电量或两极板间电压的变化。

（4）用分析电容器极板间场强的变化。

例1. 两块大小、形状完全相同的金属平板平行放置，构成一平行板电容器，与它相连接的电路如图所示。接通开关K，电源即给电容器充电，则（）

A. 保持K接通，减小两极板间的距离，则两极板间电场的电场强度减小

B. 保持K接通，在两极板间插入一块介质，则极板上的电荷量增大

C. 断开K，减小两极板间的距离，则两极板间的电势差减小

D. 断开K，在两极板间插入一块介质，则两极板间的电势差增大

解析：K始终接通，则电容器上电压U不变，板间距离d减小，场强增大，A

错。插入电介质后，由可知，电容C增大，由，U不变，则电荷量Q增大，B对。

断开K后，电容器所带电荷量Q不变，减小d，电容C增大，由可知，电势差U减小，C对。插入电介质，则电容C增大，板间电势差U减小，D错。

答案：BC

（二）带电粒子在电场中平衡问题或做匀变速直线运动

带电粒子在电场中平衡问题或做匀变速直线运动问题与力学中的这类问题的处理方法相同，只是受力分析时多出一个电场力（对于基本粒子一般还忽略其重力）。

在对带电粒子进行受力分析时，要注意两点：

1. 要掌握电场力的特点，如电场力的大小和方向不仅跟场强的大小和方向有关，还与带电粒子的电荷量和电性有关；在匀强电场中，同一带电粒子所受的电场力处处是恒力；在非匀强电场中，同一带电粒子在不同位置所受的电场力的大小和方向都可能不同；等等。

2. 是否考虑重力要依据具体情况而定：

（1）基本粒子：如电子、质子、粒子、离子等除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力（但并不忽略质量）。

（2）带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。

例2. 如图所示，水平放置的A、B两平行金属板相距h，上板A带正电，现有质量为m，带电量为+q的小球在B板下方距离为H处，以初速度竖直向上从B板小孔进入板间电场，欲使小球刚好打到A板，A、B间电势差为多少？

解析：先分析物理过程：小球运动过程分两个阶段，在B板下方时，只受重力作用，做竖直向上抛运动；进入电场后，受向下的重力、电场力作用，向上做匀减速直线运动，选用不同的方法解题。

解法一：力的观点

对第一个过程：

对第二个过程：设加速度为a，mg+Eq=ma

由题意有：

注意到平行板电容器内部匀强电场的场强与电势差的关系，有

联立以上各式解得：

解法二：能的观点

将动能定理用于运动全过程，注意在全过程中重力做负功，在第二个运动中电场力做负功，则得：

解得：

（三）带电粒子在电场中的偏转

1. 运动特点

电场中偏转，一般指带电粒子以速度垂直进入匀强电场后的运动，该运动类似平抛运动，分析时一般都是分解为两个方向的分运动来处理，即垂直于电场方向的匀速运动

（）和平行于电场方向的匀加速直线运动（

），并且通过两分运动时间的同时性得出。

2. 规律

（1）偏转距离规律

（2）偏转角规律

（3）同一方向同位置入射的带电粒子，不论m、q、如何，其射出电场时的方向的

延长线交点一定在金属板的L处的O点（因），如图所示。

若我们从右向左侧看去，会感觉带电粒子像是从O点沿直线射出一样。

3. 讨论：从侧移量y与偏转角的表达式可以看出决定它的大小因素有三个：带电粒子自身的参量——质量m、电量q；电场自身的因素——电势差U；以及带电粒子进入电场时的初始条件——初速度。

（1）对于同一粒子，以不同的速度进入同一偏转电场，匀强电场的参量L、d、U均为

定值，所以侧移距离。粒子进入偏转场时的初速率越大，偏转距离越小；初速率越小，偏转距离越大。

若粒子以相同速度进入电场，偏转电压U不同时，则。故调节偏转电压U可使偏转距离y符合要求。在示波管和显像管中都是调节偏转电压U的大小来调节电子打在荧光屏上的位置。

（2）对不同粒子进入同一偏转电场，则L、d、U相同。粒子偏转距离y与粒子自身参量q、m、有关。按粒子的初动能、初动量、来自前级同一加速电场分别讨论偏转距离。

①当初速度相同时：

②当初动能相同时：

③当初动量相同时：

④当粒子从静止开始在同一加速电场加速时

可见，经同一电场加速，又在同一电场中发生偏转的不同带电粒子，穿出电场时的偏转距离相同（偏转角度也相同）。

例3. 如图所示为真空示波管的示意图，电子从灯丝K发出（初速度不计），经灯丝与A 板间的加速电压加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入由两块平行金属板M、N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入偏转电场时的速度与电场方向垂直，电子经过偏转电场后打在荧光屏上的P点。已知M、N两板间的电压为，两板间的距离为d，板长为，板右端到荧光屏的距离为，电子质量为m，电荷量为e。求：（1）电子穿过A板时的速度大小；

（2）电子从偏转电场射出时的侧移量；

（3）P点到O点的距离。

解析：（1）设电子经电压加速后的速度为，根据动能定理得：，

解得：。

（2）电子以速度进入偏转电场后，垂直于电场方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动。设偏转电场的电场强度为E，电子在偏转电场中运动的时间为，电子的加速度为a，离开偏转电场时的侧移量为，根据牛顿第二定律和运动学公式

得：，

解得：。

（3）设电子离开偏转电场时沿电场方向的速度为，根据运动学公式得。

电子离开偏转电场后做匀速直线运动，设电子离开偏转电场后打在荧光屏上所用的时间为，电子打到荧光屏上的侧移量为，如图所示。

由，

解得：

P到O点的距离为

（四）带电粒子在复合场中的运动

1. 处理带电粒子在电场中运动的一般步骤：

（1）分析带电粒子的受力情况，尤其要注意是否应该考虑重力，电场力是否为恒力等。

（2）分析带电粒子的初始状态及条件，确定带电粒子做直线运动还是曲线运动。

（3）建立正确的物理模型，进而确定解题方法是动力学、能量观点，还是动量守恒、能量守恒等。

（4）利用物理规律或其他手段（如图线等）找出物理量间的关系，建立方程组。

2. 带电粒子受力分析注意点：

（1）对于基本粒子如电子、质子、原子核及离子等，一般不考虑重力。

（2）对于带电的颗粒、液滴、油滴、小球、尘埃等，除在题目中有明确说明或暗示外，一般均应考虑重力。

（3）除匀强电场中电荷量不变的带电粒子受恒定的电场力外，一般电场中的电场力多为变力。

注：如带电粒子是恒力作用下（包含电场力）的曲线运动，则运用运动的分解和合成往往可以简化问题。否则，若是变力作用的情况下，往往用能量的观点考虑。

（4）把复合场等效为一个等效力场，是处理问题的一个好方法。

例4. 如图，一带正电的小球，系于长为l的不可伸长的轻线一端，线的另一端固定在O 点，它们处在匀强电场中，电场的方向水平向右，场强的大小为E。已知电场对小球的作用力的大小等于小球的重力。现先把小球拉到图中的处，使轻线拉直，并与场强方向平行，然后由静止释放小球。已知小球在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，其速度的竖直分量突变为零，水平分量没有变化，则小球到达与点等高的点时速度大小为（）

A. B. C. D. 0

解析：根据题意，当把小球拉到图中的处，由静止释放小球时，在电场力和重力的合力作用下，由静止开始做匀加速直线运动，因为qE=mg，所以运动方向与水平方向成

角。因此运动到O点正下方的最低点恰与绳绷直，其速度的竖直分量突变为零（如图所

示），只剩下水平分量，接着开始做圆周运动，对第一个过程，求出小球在最低点速度的水平分量。

由水平方向的分运动可知：

对第二个过程的圆周运动，由动能定理可得：

即得，故B对。

答案：B

例5. 质量为m、带电荷量为+q的小球从距地面高h处以一定的初速度水平抛出，在距抛出点水平距离L处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，管上口距地面h/2，为使小球能无碰撞地通过管子，可在管子上方的整个区域加一个场强方向水平向左的匀强电场，如图所示。求：

（1）小球初速；

（2）电场强度E的大小；

（3）小球落地时的动能。

解析：电场中粒子运动，在水平方向上：

①

竖直方向上：②

又有③

联立①②③得：

小球落地时动能：。

答案：（1）（2）（3）mgh

【模拟试题】

1. 一束由不同种正离子组成的粒子流以相同的速度，从同一位置沿垂直于电场方向射入匀强电场中，所有离子的轨迹都是一样的。这说明所有粒子（）

A. 都具有相同的比荷

B. 都具有相同的质量

C. 都具有相同的电荷量

D. 都属于同一元素的同位素

2. 如图所示，电子在电势差为的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为的两块平行极板间的电场中，射入方向跟极板平行，整个装置处在真空中，重力可忽略。在满足电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角变大的是

（）

A. 变大、变大

B. 变小、变大

C. 变大、变小

D. 变小、变小

3. a、b、c三个粒子由同一点垂直场强方向进入偏转电场，其轨迹如图所示，其中b恰好飞出电场。由此可以肯定（）

A. 在b飞离电场的同时，a刚好打在负极板上

B. b和c同时飞离电场

C. 进入电场时，c的速度最大，a的速度最小

D. 动能的增量相比，c的最小，a和b的一样大

4. 电荷量为q的粒子，以初动能从两平行金属板的正中央沿垂直于电场线的方向进入这两板间存在的匀强电场中，并恰从带负电金属板边缘飞出，且飞出时动能变为，则金属板间电压为（）

A. B. 2

C. D. 4

5. 质子和粒子由静止经相同加速电压加速后，又垂直进入同一匀强电场，飞出电场时，它们的横向侧移量之比和在偏转电场中运动的时间之比分别为（）

A. 2：1和

B. 1：1和

C. 1：2和2：1

D. 1：4和1：2

6. 光滑水平面上有一边长为l的正方形区域处在场强为E的匀强电场中，电场方向与正方形一边平行。一质量为m、带电荷量为q的小球由某一边的中点，以垂直于该边的水平初速进入该正方形区域。当小球再次运动到该正方形区域的边缘时，具有的动能可能为

（）

A. 0

B.

C. D.

7. 如图所示，水平放置的平行金属板a、b分别与电源的两极相连，带电液滴P在金属板

a、b间保持静止。现设法使P固定，再使两金属板a、b分别绕中心点O、垂直于纸面的轴顺时针转相同的小角度，然后释放P，则P在电场内将做（）

A. 匀速直线运动

B. 水平向右的匀加速直线运动

C. 斜向右下方的匀加速直线运动

D. 曲线运动

8. 在图中，a，b为竖直向上的电场线上的两点，一带电质点在a点由静止释放，沿电场线向上运动，到b点恰好速度为零。下列说法中正确的是（）

A. 带电质点在a、b两点所受的电场力都是竖直向上的

B. a点的电势比b点的电势高

C. 带电质点在a点的电势能比在b点的电势能小

D. a点的电场强度比b点的电场强度大

9. 质量为m、带电荷量为+q的小球用一绝缘细线悬于O点，开始时它在AB之间来回摆动，OA、OB与竖直方向OC的夹角均为，如图所示。

（1）如果当它摆动到B点时突然施加一竖直向上的、大小为E=mg/q的匀强电场，则此时线中的拉力___________。

（2）如果这一电场是在小球从A点摆到最低点C时突然加上去的，则当小球运动到B 点时线中的拉力_________。

10. 如图所示，匀强电场方向与水平线间夹角30°，斜向右上方，电场强度为E，质量为m的小球带负电，以初速度开始运动，初速度方向与电场方向一致。

（1）若小球的带电荷量为q，为使小球能做匀速直线运动，应对小球施加的恒力的大小和方向如何？

（2）若小球的带电荷量为，为使小球能做直线运动，应对小球施加的最小恒力的大小和方向如何？

11. 如图所示，平行板电容器经开关S与电池连接，a处有一电荷量非常小的点电荷，S 是闭合的，表示a点的电势，F表示点电荷受到的电场力。现将电容器的B板向下稍微移动，使两板间的距离增大，则（）

A. 变大，F变大

B. 变大，F变小

C. 不变，F不变

D. 不变，F变小

12. 两块大小、形状完全相同的金属板平行放置，构成一平行板电容器，与它相连接的电路如图所示。接通开关，电源即给电容器充电（）

A. 保持K接通，减小两极板间的距离，则两极板间电场的电场强度减小

B. 保持K接通，在两极板间插入一块介质，则极板上的电荷量增大

C. 断开K，减小两极板间的距离，则两极板间的电势差减小

D. 断开K，在两极板间插入一块介质，则两极板间的电势差增大

【试题答案】

1. A

2. B

3. ACD

4. B

5. B

6. ABC

7. B

8. ABD

9. （1）0 （2）

10. （1），方向斜向右上与水平方向夹角60°

（2），方向斜向左上与水平夹角60°

11. B 12. BC