高一数学函数的应用测试题及答案

高一数学函数的应用测试题及答案

1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩?UB＝()

A{x|0≤x<1}B．{x|0

C．{x|x<0} D．{x|x>1}

【解析】?UB＝{x|x≤1}，∴A∩?UB＝{x|0

【答案】 B

2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝() A．log2x B.12x

C．log12x D．2x－2

【解析】f(x)＝logax，∵f(2)＝1，

∴loga2＝1，∴a＝2.

∴f(x)＝log2x，故选A.

【答案】 A

3．下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是()

A．f(x)＝ln x B．f(x)＝1x

C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ex

【解析】∵y＝1x的定义域为(0，＋∞)．故选A.

【答案】 A

4．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝12x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(3)＝() A.18 B．8

C.116 D．16

【解析】f(3)＝f(4)＝(12)4＝116.

【答案】 C

5．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上()

A．没有零点B．有一个零点

C．有两个零点D．有无数个零点

【解析】∵y＝－x2＋8x－16＝－(x－4)2，

∴函数在[3,5]上只有一个零点4.

【答案】 B

6．函数y＝log12(x2＋6x＋13)的值域是()

A．R B．[8，＋∞)

C．(－∞，－2] D．[－3，＋∞)

【解析】设u＝x2＋6x＋13

＝(x＋3)2＋4≥4

y＝log12u在[4，＋∞)上是减函数，

∴y≤lo g124＝－2，∴函数值域为(－∞，－2]，故选C.

【答案】 C

7．定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()

A．y=x2+1 B．y＝|x|＋1

C．y＝2x＋1，x≥0x3＋1，x<0 D．y＝ex，x≥0e－x，x<0

【解析】∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(－2,0)上为减函数，而y＝x3＋1在(－∞，0)上为增函数．故选C.

【答案】 C

8．设函数y＝x3与y＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是() A．(0,1) B．(1,2)

C(2,3) D．(3,4)

【解析】由函数图象知，故选B.

【答案】 B

9．函数f(x)＝x2＋(3a＋1)x＋2a在(－∞，4)上为减函数，则实数a的取值范围是() A．a≤－3 B．a≤3

C．a≤5 D．a＝－3

【解析】函数f(x)的对称轴为x＝－3a＋12，

要使函数在(－∞，4)上为减函数，

只须使(－∞，4)?(－∞，－3a＋12)

即－3a＋12≥4，∴a≤－3，故选A.

【答案】 A

10．某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是()

A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100

【解析】对C，当x＝1时，y＝100；

当x＝2时，y＝200；

当x＝3时，y＝400；

当x＝4时，y＝800，与第4个月销售790台比较接近．故选C.

【答案】 C

11．设log32＝a，则log38－2 log36可表示为()

A．a－2 B．3a－(1＋a)2

C．5a－2 D．1＋3a－a2

【解析】log38－2log36＝log323－2log3(2×3)

＝3log32－2(log32＋log33)

＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A.

【答案】 A

12．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数．若f(lg x)>f(1)，则x的取值范围是() A.110，1 B.0，110∪(1，＋∞)

C.110，10 D．(0,1)∪(10，＋∞)

【解析】由已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上递减，

则f(x)在(－∞，0)上递增，

∴f(lg x)>f(1)?0≤lg x<1，或lg x<0－lg x<1

?1≤x<10，或0－1?1≤x<10，

或110

∴x的取值范围是110，10.故选C.

【答案】 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若?UA＝{1}，则实数a的值是________．【答案】－1或2

14．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.

【解析】A＝{x|04，即a的取值范围为(4，＋∞)，∴c＝4.

【答案】 4

15．函数f(x)＝23x2－2x的单调递减区间是________．

【解析】该函数是复合函数，可利用判断复合函数单调性的方法来求解，因为函数y＝23u 是关于u的减函数，所以内函数u＝x2－2x的递增区间就是函数f(x)的递减区间．令u＝x2－2x，其递增区间为[1，＋∞)，根据函数y＝23u是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区间就是[1，＋∞)．

【答案】[1，＋∞)

16．有下列四个命题：

①函数f(x)＝|x||x－2|为偶函数；

②函数y＝x－1的值域为{y|y≥0}；

③已知集合A＝{－1,3}，B＝{x|ax－1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，则a的取值集合为{－1，13}；

④集合A＝{非负实数}，B＝{实数}，对应法则f：“求平方根”，则f是A到B的映射．你认为正确命题的序号为：________.

【解析】函数f(x)＝|x||x－2|的定义域为(－∞，2)∪

(2，＋∞)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)＝|x||x－2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确；

函数y＝x－1的定义域为{x|x≥1}，当x≥1时，y≥0，即命题②正确；

因为A∪B＝A，所以B?A，若B＝?，满足B?A，这时a＝0；若B≠?，由B?A，得a＝－1或a＝13.因此，满足题设的实数a的取值集合为{－1,0，13}，即命题③不正确；依据映射的定义知，命题④正确．

【答案】②④

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－3x－10的两个零点为x1，x2(x1

【解析】A＝{x|x≤－2，或x≥5}．

要使A∩B＝?，必有2m－1≥－2，3m＋2≤5，3m＋2>2m－1，

或3m＋2<2m－1，

解得m≥－12，m≤1，m>－3，或m<－3，即－12≤m≤1，或m<－3.

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值和最小值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．

【解析】(1)当a＝－1时，

f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]．

由于f(x)的对称轴为x＝1，结合图象知，

当x＝1时，f(x)的最小值为1，

当x＝－5时，f(x)的最大值为37.

(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a，

∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，

∴－a≤－5或－a≥5.

故a的取值范围是a≤－5或a≥5.

19．(本小题满分12分)(1)计算：27912＋(lg5)0＋(2764)－13；

(2)解方程：log3(6x－9)＝3.

【解析】(1)原式

＝25912＋(lg5)0＋343－13

＝53＋1＋43＝4.

(2)由方程log3(6x－9)＝3得

6x－9＝33＝27，∴6x＝36＝62，∴x＝2.

经检验，x＝2是原方程的解．

20．(本小题满分12分)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售，甲商场用下面的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？

【解析】设购买x台，甲、乙两商场的差价为y，则去甲商场购买共花费(800－20x)x，由题意800－20x≥440.

∴1≤x≤18(x∈N)．

去乙商场花费800×75%x(x∈N*)．

∴当1≤x≤18(x∈N*)时

y＝(800－20x)x－600x＝200x－20x2，

当x>18(x∈N*)时，y＝440x－600x＝－160x，

则当y>0时，1≤x≤10；

当y＝0时，x＝10；

当y<0时，x>10(x∈N)．

综上可知，若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，甲、乙商场花费相同；若买超过10台，则去甲商场花费较少．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性；

【解析】(1)由1＋x>0，1－x>0，得－1

∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．

(2)定义域关于原点对称，对于任意的x∈(－1,1)，

有－x∈(－1,1)，

f(－x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)＝－f(x)

∴f(x)为奇函数．

22．(本小题满分14分)设a>0，f(x)＝exa＋aex是R上的偶函数．

(1)求a的值；

(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

【解析】(1)解：∵f(x)＝exa＋aex是R上的偶函数，

∴f(x)－f(－x)＝0.

∴exa＋aex－e－xa－ae－x＝0，

即1a－aex＋a－1ae－x＝0

1a－a(ex－e－x)＝0.

由于ex－e－x不可能恒为0，

∴当1a－a＝0时，式子恒成立．

又a>0，∴a＝1.

(2)证明：∵由(1)知f(x)＝ex＋1ex，

在(0，＋∞)上任取x1

f(x1)－f(x2)＝ex1＋1ex1－ex2－1ex2

＝(ex1－ex2)＋(ex2－ex1)?1ex1＋x2.

∵e>1，∴01，

∴ex1＋x2>1，(ex1－ex2)1－1ex1＋x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．