三角 函数规律研究
三角函数的运算与合成
三角函数的运算与合成三角函数是数学中非常重要的概念之一，在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的运算与合成，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 三角函数的基本定义三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
它们的定义如下：- 正弦函数 sin(x) = 对边/斜边- 余弦函数 cos(x) = 邻边/斜边- 正切函数 tan(x) = 对边/邻边其中，对边、邻边和斜边分别指与角度相关的三角形中的边。
2. 三角函数的运算法则在数学中，三角函数具有特定的运算法则，可以通过这些法则对三角函数进行运算。
以下是一些常见的运算法则：- 基本比例关系：sin²(x) + cos²(x) = 1- 奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，cos(-x) = cos(x)- 余角关系：sin(π/2 - x) = cos(x)，cos(π/2 - x) = sin(x)- 和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)，cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)- 二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)通过合理运用这些运算法则，我们可以简化复杂的三角函数式子，便于计算和分析。
3. 三角函数的合成三角函数的合成是指将两个或多个三角函数组合在一起，构成一个新的函数。
合成三角函数的过程中，可以利用已有的运算法则简化表达式。
例如，假设有函数f(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以进行合并和简化，得到f(x) = √2 * sin(x + π/4)。
合成三角函数在解决实际问题时具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过合成三角函数来描述波的传播和干涉现象；在工程学中，合成三角函数可以用于电路分析和信号处理等领域。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质大家好，今天我们来探讨一下数学中常见且重要的概念之一——三角函数的图像与性质。
三角函数在数学中占据着举足轻重的地位，它们不仅在几何、代数、微积分等各个领域都有着重要的应用，而且其图像和性质给我们解决实际问题提供了强大的工具。
接下来，让我们一起深入了解三角函数的图像与性质吧。
正弦函数的图像与性质我们首先来看正弦函数，简称sin函数。
正弦函数的一个周期是2π，其图像是一条以原点为中心的周期曲线。
在一个周期内，正弦函数的取值范围是[-1,1]，且在0、π/2、π、3π/2等关键点处取得极值。
正弦函数是一个奇函数，具有轴对称性。
正弦函数的图像呈现出起伏不定的波动，常用来描述波动现象、振动问题、交流电流等具有周期性的变化。
正弦函数的性质使其成为数学研究和工程实践中不可或缺的工具之一。
余弦函数的图像与性质接下来，我们再来看余弦函数，简称cos函数。
余弦函数也有一个周期是2π，其图像同样是一条轴对称的周期曲线。
不同的是，余弦函数在0、π、2π等关键点处取得极值，并且在0处取得最大值1，符合余弦函数性质的特点。
余弦函数常用来描述在力的作用下做匀速圆周运动的物体的位置变化规律，以及振动系统中的位移、电流中的相位关系等方面。
余弦函数的图像稳定且规律性强，为研究周期性现象提供了重要参考。
正切函数的图像与性质让我们看一下正切函数，简称tan函数。
正切函数的周期是π，其图像表现为一组周期性的奇函数。
正切函数在0、π、2π等点处都有无穷大的间断点，这是因为在这些点上函数值趋近于无穷大。
正切函数常用来描述角度的斜率、比率以及角度的变化关系，在三角形和圆形等几何问题中具有广泛的应用。
正切函数的特殊性使其在数学建模和实际问题求解中发挥着独特作用。
通过对三角函数的图像与性质进行深入了解，我们不仅能够更好地理解数学规律，还能够运用这些知识解决各种实际问题。
三角函数在数学中的地位既重要又不可替代，它们为我们打开了解世界的数学之窗。
三角函数正弦余弦正切
三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。
它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。
5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。
5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
三角函数知识点归纳
单调减区间可由2k ＋ ≤x＋≤2k ＋ ，k∈z解得。
在求 的单调区间时，要特别注意A和 的符号，通过诱导公式先将 化正。
如函数 的递减区间是______
（答：
解析：y= ，所以求y的递减区间即是求 的递增区间，由 得
，所以y的递减区间是
四、函数 的图像和三角函数模型的简单应用
终边在 轴上的角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角 相同的角的集合为
(3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.
公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α， ．
公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α， .
公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sinα.
公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：
① 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍；
② ；问： ； ；
③ ；④ ；⑤ ；等等.
如[1] . （答案： ）
④若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ， ， ．
三角函数的周期性
三角函数的周期性三角函数是我们在学习高中数学时必修的一门课程。
在三角函数中，周期性是一个重要的概念。
周期性是指函数在一定范围内的值有规律地重复出现。
在三角函数中，有三种函数具有周期性，它们分别是正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数的周期性正弦函数的周期性是指在一定范围内，正弦函数的值会按照一定的规律循环出现。
正弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。
正弦函数的图像是一条连续的波形，它的形状是上下有限的缓慢起伏的波浪线。
正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的值会从1降到-1，再从-1升到1。
如果我们对正弦函数进行平移和拉伸，则周期会发生变化。
余弦函数的周期性余弦函数与正弦函数非常相似，它们的周期相同，都是2π。
余弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。
余弦函数的图像也是一条连续的波形，形状上下有限的缓慢起伏的波浪线。
余弦函数的周期与正弦函数的周期相同，但是它们的波形有所不同。
余弦函数的波形是将正弦函数的波形上下翻转再向左平移π/2个单位，即余弦函数的波形是正弦函数波形上下翻转，再向左移动π/2个单位。
正切函数的周期性正切函数是另一种具有周期性的三角函数。
正切函数的定义域是所有不为π/2+ kπ，k∈Z的实数，值域是实数集。
正切函数的图像是一条不连续的波形，它在每个周期内重复出现。
正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的值会从0降到-∞，再从-∞升到0，然后从0升到∞，最后再从∞降到0。
正切函数在定义域内存在无限个不连续点，因此它的图像是由一条条的线段组成，每个线段的斜率为正或负无穷。
三角函数的周期性在数学中有着广泛的应用。
它们除了可以用来描述波的传播、音乐和图形外，还可以用来描述周期性运动、波动和天文学等领域中的现象。
周期性是三角函数的一个特性，在实际问题中经常有用的信息，了解三角函数的周期性可以帮助我们更好地分析和解决实际问题。
总之，在学习三角函数时，我们需要深入理解周期性的概念，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的周期，为日后更深入地研究三角函数打下良好的基础。
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。
高中数学论文三角函数
高中数学论文三角函数三角函数是6类基本初等函数之一。
如果让你写一篇关于三角函数的论文你会怎么写呢?接下来店铺为你推荐高中数学论文三角函数，一起看看吧!高中数学论文三角函数篇一：关于高中数学三角函数的学习高中数学的学习是比较复杂的过程，对于三角函数部分，有些同学表现了较大的困难.这本身除了基础不够扎实，还与其他一些因素有关.三角函数颇为复杂的函数公式是很多同学难以熟练掌握的，作为实践教学中，如何使得三角函数能够为大多数同学所熟练掌握应用是教学的重点.通过对三角函数的特殊规律的研究，从中把握住学习的要点，通过教学方法的改进适应不同层次学生的接受能力，是三角函数学习的技巧性的东西，只有不断的研究新的情况，研究符合学习的规律和教学规律，才能较好地学习这部分内容.?三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中，但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系.?一、如何掌握三角函数公式?掌握三角函数的基本公式是最重要的，同学们在学习过程中，由于随着学习的深入，前面的公式掌握得不够牢靠，导致了后边的学习跟不上，这就是由于三角函数最基础的公式掌握不够造成的.如何弥补这个缺陷，最重要的还是要牢记公式，没有别的办法，只有熟记公式，才能在以后的深入学习中不至于被动.?倍角公式、半角公式、和差化积公式以及积化和差公式，是需要花时间和精力去掌握的，并且要经常练习，才可以达到运用比较熟练的地步.?二、掌握基本的解题规律?三角函数的题目有其基本的解题思路和过程，要掌握这些基本的方法，在高考中，三角函数的题目也无非就是这些内容，不会偏离了这些基本的解题思路.对于题目，首先应该观察题目的基本叙述，了解清楚后，看适合于哪类三角函数的公式进行解题，在解题过程中，对于自己运用公式的熟悉程度是一种考验，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解;在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.?对于常用的解题方法要熟练掌握，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等.通过对这些方法的研究，使得学生不仅掌握这些方法，而且能够举一反三，同时，在应用这些方法应用时，可以做到综合的运用，而不是单一的、片面的掌握.?举例来说，学习某个函数肯定是先学习定义，而定义一般是用函数式来定义的，并且定义式中的参数一般会有一定的限制，如一次函数y=ax+b，a不为0.定义域优先应该说所有的老师都明白，但是应用的时候就可能会忘记.事实上在方程与不等式的研究中也应该有“定义域”优先的原则，缺少了定义域就不是完整的函数的定义了.而函数的值域是由解析式与定义域唯一确定的，所以一般不写，但它是研究的重点，研究的方法也非常多，并且不同的函数研究的方法不一样.?三、比较法的学习?通过对函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、图像变换等的理解和掌握，把握三角函数的这些基本性质，与其他函数进行比较，以达到比较法的学习.函数的概念、性质的相同、相似点以及它们之间的差异会给学生在学习中留下较深的印象.通过比较法的学习，会加深对三角函数的理解和应用.?三角函数具有自身的特点，要从两个方面加以注意：一是三角函数的图像及性质.函数图像是函数的一种直观表示方法，它能形象地反映函数的各类基本性质，因此对三个基本三角函数的图像要掌握，它能帮助你记忆三角函数的性质.此外还要弄清y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx图像的关系，掌握“A”“ω”“φ”的确切含义.对于三角函数的性质，要紧扣定义，从定义出发，导出各三角函数的定义域、值域、符号、最值、单调区间、周期性及奇偶性等.二是三角函数式的变换.三角函数式的变换涉及的公式较多，掌握这些公式要做到如下几点：一要把握各自的结构特征，由特征促记忆，由特征促联想，由特征促应用;二要从这些公式的导出过程抓内在联系，抓变化规律，这样才能在选择公式时灵活准确.同时还要善于观察三角函数式在代数结构、函数名称、角的形式等三个方面的差异，根据差异选择公式，根据差异确定变换方向和变换方法.?四、有条理的归纳总结?三角函数的公式看起来非常多，甚至有些杂乱，让初学者往往无从下手，也令很多学生在过了一段时间后，会忘记这些基本的公式.但仔细研究三角函数会发现，其基本的公式是我们必须掌握的，任意角的转化，掌握了诱导公式，就可以将任意角的计算转化为0°～90°间角的三角函数.从这方面看，三角函数的特点在于认真地归纳总结，即将一种较为复杂的状态转化为基本的状态，或者将较为简单的状态进行解决的过程.?具体来说，我们表示函数习惯于用y=f(x)表示，其中x表示自变量，y表示函数，f表示对应关系.那么我们注意到：学习三角函数的过程中，初中就学习了三角函数，但是没有说什么是自变量，什么是函数，只是在直角三角形中，定义了锐角α的正弦、余弦、正切.?高中把角推广到任意角之后，给出三角函数的定义时，使用的角仍然为α，只是定义用解析角的终边上的任意一点的坐标和该点到原点的距离来定义(特别地，也可用终边与单位圆的交点的坐标定义)，在研究三角函数的图像与性质的时候，才把正弦函数的解析式写成y=sinx，余弦函数的解析式写成?y=?cosx.?同样道理，对于三角函数的其他一些内容的掌握，都可以随时进行归纳总结，随时注重习题与基本课堂知识的结合，注意习题难度的布置.对于中等难度的习题应该逐步加大，而尽量摒弃过难、过偏的习题.高中数学论文三角函数篇二：高中数学中三角函数的教学浅析摘要：三角函数在高中数学的最重要的板块之一，是高中数学教学的重点和难点。
三角函数研究性学习有感
<<三角函数>>研究性学习有感三角函数就像我们生活中的兄弟姐妹,与我们相互依存.三角函数在人类社会中无处不在,它冲满了未知和神奇,使人们不断去探索它的同时,也学会了不少的东西.三角函数是以三角型的边角关系为基础,研究几何图形中的数量关系及其在测量方面的应用的数学分支.三角函数在各门科学技术中都有着非常广泛的应用,例如:物理学中弹簧的简谐运动;潮汐;交通等.在我们周围运动着的物质世界里,存在着许多周期性的现象,而三角函数就是描述周期运动的数学模型,它具有良好的性质.知识的海洋是宽广的,仅仅是一个三角函数的讲座,便透露出知识与知识的联结性,密不可分,不但应用与数学研究领域而且并能涉及到现实事物,真是活学活用啊!数学是可以与其它事物联系起来的,用政治学的唯物主义观点在看这些都是具体科学知识建立在一种相互影响,相互制约的联系上的,这种联系使我们测出了旗杆的长度,潮汐的规律并使我们用辨证的眼光又做出了好几种方法去解决相应的一些实际问题.听了这次课受益匪浅,使我对三角函数有了更深刻的理解,三角函数规律的研究对我们来说是永无止境的.因此,要以多种思维方法研究问题,去学习知识,并掌握其技巧,才能明白事情的真理.学习三角函数知识有感高一1班柯龙胜我们从小学开始就要接触了三角形,从求面积到求边长,从求边长到现在的求角度等等.我们从浅显的知识逐渐学习到现在很难理解的,这些知识使我们很容易求解有关数据.也许有些人会认为这些东西只有在数学课才有用,不上数学课就什么用也没有了.实际不是这样的三角形的知识是与实际联系最广泛的.当我们无法进入旗杆周围的围栏时,我们怎样才能知道旗杆的长度呢?拿尺去测量,这显然不行,那还有什么办法呢?这时就需要我们学过的三角函数知识了.首先在围栏外找取一点,用量角仪测出这点与旗杆顶端的夹角和底角,然后再测出顶点与这点间的距离,利用公式a/s i n A=b/s i n B旧可以求出旗杆高了.在实际生活中,这样的例子还有很多,我们如果不会三角函数知识,那么解决起来会非常难,而如果我们会我们懂我们去利用,那这些问题不就迎纫而解了吗?不要说我们学的知识没有用,只是你没有仔细观察过,如果仔细观察过,那么就会发现身边的许多事都能和我们学的知识联系到.三角函数史高一.一班尹传志三角学是以三角形的边角关系为基础,研究几何图形中的数量关系及其在测量方面的应用的数学分支(“三角学”一词的英文“trigonometry”就是由两个希腊词三角形和测量合成的)现在,三角学主要研究三角函数的性质及其应用1463年法国学者里戮勒在<<论三角>>中系统总结了前人对三角的研究成果,17世纪前期三角由瑞士人邓玉函传入中国,在邓玉函的著作<<大测>>二卷中,主要论述了三角函数的性质及三角函数表的制作和用法.当时三角函数是用左图中的八条线段的长来定义的,这已与我们刚学过的三角函数线十分类似.三角函数在物理中的应用高一（1）班徐生涛三角函数在生活和物理中有着广泛的应用,例如我们刚刚学完的第九章简谐振动的振动图象就是正,余弦函数的图象三角函数在解决物理在实际生活中的问题不胜枚举,例如一个质量为M的站在高坡上的滑雪人,若已知初速度,山坡的倾角O,滑动了一段的时间及路程,即可知道此人受到的阻力具体方法:是先求出此人下破的加速度,则他受到的阻力就等于重利在水平方向上的分力减去合力ma其中求a便运用到了解直角三角形a=mgsinO F=mgsinO-ma y有此可见三角函数在物理中有着广泛的应用和重要地位,学好三角函数知识对于学习物理会有很大的帮助.高中所学习的三角函数一（1）班李娟我们高中学习的三角函数的主要内容是任意角的概念，弧度制，任意角函数的概念，同三角函数间的关系，诱导公式，两角和与差的三角函数二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，以知三角函数值求角等根据生产实际和进一步学习数学的需要，我们引入了任意角的概念设a 是任意角，a的终边上任意一点P（除端点外）的坐标是（x,y）它与原点的距离是r，那么比值y/r 叫做a的正弦，记做sina；比值x/r叫做a的余弦，记做cosa；比值y/x叫做a的正切记做tana；比值x/y叫做a的余切，记做cota批；比值r/x叫做a的正割记做seca；比值r/y叫做a的余割，记做csca；以上的六种函数统称为三角函数。
三角函数的性质-奇偶性
在实际生活中的应用
除了数学和物理学领域，奇偶性在现实生活中也有广泛的 应用。例如，在信号处理、图像处理和通信等领域中，可 以利用奇偶性来分析信号或图像的规律和特征。
在经济学和社会学等学科中，奇偶性也被用来描述和分析 各种数据和现象。通过奇偶性的分析，可以更好地理解数 据和现象的内在规律和特征。
奇函数的导数（如果 存在）为偶函数。
奇函数的图像关于原 点呈中心对称。
偶函数的性质
偶函数在y轴两侧对称，即对于 任意x，有f(-x)=f(x)。
偶函数的图像关于y轴呈轴对称。
偶函数的导数（如果存在）为奇 函数。
奇偶性在三角函数中的应用
利用奇偶性判断函数图像的对 称性。
利用奇偶性简化函数表达式。
利用奇偶性解决一些数学问题， 如求函数值、求函数极值等。
04 三角函数奇偶性的证明
正弦函数和余弦函数的奇偶性证明
正弦函数
$f(x) = sin x$，$f(-x) = sin (-x) = sin x = -f(x)$，因此正弦函数是奇函 数。
余弦函数
$f(x) = cos x$，$f(-x) = cos (-x) = cos x = f(x)$，因此余弦函数是偶函数。
正弦函数是奇函数。
$f(x)=cos x$，满足$f(x)=cos (-x)=f(x)$，所 以余弦函数是偶函数。
$f(x)=tan x$，满足$f(x)=-tan x=-f(x)$，所以
正切函数是奇函数。
偶函数：余切函数、正割函数、余割函数
01
02
03
04
偶函数定义
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年份 题号 题型 考察 知识点 呈现规律
07年 5.20
5选择题 20解答题 三角函数性质 解三角形 解答题 图象性质与解三角形
交替出现
07、09、11、13考解三角形
08、10、12、14年
考察三角函数图象性质
小题中主要考察
诱导公式、辅助角公式
07（5）08（5）
图像变换09（3）13（5）
解三角形10（15）14（12）
三角函数的单调性11（6）
二倍角公式12（7）
函数图像11（9）13（8）
08年 3.5.15.17 3、5选择题 15填空 17解答题 函数的图像性
质
09年 3.17
选择题.解答题 三角函数性质
解三角
形.
10年 15.17 15填空题 函数的图像性
质最值
11年 3.17
3选择题. 17解答题 解三角
形
12年 7.17 7选择题 17解答题 函数的图像性
质值域
近八年山东高考试题特点
小题考查重点：
1、求值问题：考查三角函数基本关系式，诱导公式
2、解三角形：结合正余弦定理三角形面积公式综合考查
3、三角函数的性质:周期性\对称中心\对称轴\值域（最值) \单
调性\奇偶性.
4、三角函数图像的平移和伸缩变换
解答题考查重点：
1、考查三角函数的图像和性质(08，09，10，12,14年)，考查奇
偶性，周期性，对称性，单调性和值域（最值），考查三角函数图像的
平移、伸缩变换、知识含量大、综合性强。有时还会结合正余弦定理
和三角形面积公式进行考查。
2、单独考查解三角形的问题，包括正余弦定理，三角形面积公式，
诱导公式。（07、09、11、13）
13年 5.8.17 5.8选择题
17解答题
解三角
形
14年 12.16 12填空题 16解答题 函数的图像性
质
三角函数与解三角形考点
1.角的集合表示及象限角的判定
2.三角函数的定义
3.扇形的弧长及面积公式
4同角三角函数的基本关系式
5.六组诱导公式
6.诱导公式在三角形中的应用
7.正弦、余弦、正切函数的图像与性质
8.三角函数的单调性
9.三角函数的对称性与奇偶性
10.求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
11.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
12.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
13.二倍角的正弦、余弦、正切公式
14.三角函数公式的基本应用逆用与变形应用
15.角的变换
16.三角函数式的化简 、求值
17.利用正、余弦定理解三角形、判断三角形形状
18.三角形中常用的面积公式
19.正余弦定理的实际应用
高考题解答题部分
一、解三角形
2007(20) 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，
乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的
北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟
到达A1处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B1处，此时两船
相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？
2009（17）设函数f(x)=cos(2x+3)+sin2x. 求函数f(x)的最大值和
最小正周期.
（2）设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C为
锐角，求sinA.
2011（17）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
cosA-2cosC2c-a
=
cosBb
.
（Ⅰ）求sinsinCA的值；
（Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC的面积S.
2013（17）设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且
7
6,2,cos.9acbB
.
（Ⅰ）求,ac的值；
（Ⅱ）求sin()AB的值.
二、三角函数图象性质
2008（17．） 已知函数()3sin()cos()fxxx（0π，0）为
偶函数，且函数()yfx图象的两相邻对称轴间的距离为π2．
（Ⅰ）求π8f的值；
（Ⅱ）将函数()yfx的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上
各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()ygx的图
象，求()gx的单调递减区间．
2010（17）已知函数)0)(2sin(21coscossin2sin21)(2xxxf，其图
象过点).21,6(
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数)(xfy的图象上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐
标不变，得到函数)(xgy的图象，求函数)(xg在]4,0[上的最大值和
最小值。
2012（17）已知向量(sin,1),(3cos,cos2)(0)3AmxnAxxA，函数()fxmn的
最大值为6.
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）将函数()yfx的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各
点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()ygx的图象.
求()gx在5[0,]24上的值域.
2014（16）已知向量(,cos2)amx，(sin2,)bxn，设函数()fxab，且
()yfx
的图象过点(,3)12和点2(,2)3.
（Ⅰ）求,mn的值；
（Ⅱ）将()yfx的图象向左平移（0）个单位后得到函数
()ygx
的图象.若()ygx的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求
()ygx
的单调增区间.
高考小题部分
诱导公式、辅助角公式07（5）08（5）
2007（5） 函数sin(2)cos(2)63yxx的最小正周期和最大值分别为
（A）,1 （B） ,2 （C）2,1 （D） 2,2
2008（5）．已知π4cossin365，则7πsin6的值是（ ）
A．235 B．235 C．45 D．45
图像变换09（3）13（5）
2009（3）.将函数sin2yx的图象向左平移4个单位, 再向上平移1个
单位,所得图象的函数解析式是( ).
A.cos2yx B.22cosyx C.)42sin(1xy D.22sinyx
2013（5）、将函数sin(2)yx的图象沿x轴向左平移8个单位后，得到
一个偶函数的图象，则的一个可能取值为
(A) 34 (B) 4 (C) 0 (D) 4
解三角形10（15）14（12）
2010（15）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为cba,,，
若2cossin,2,2BBba，则角A的大小
2014（12）在ABC中，已知tanABACA，当6A时，ABC的面积为 .
三角函数的单调性11（6）
2011（6）若函数()sinfxx (ω>0)在区间0,3上单调递增，在区间
,
32
上单调递减，则ω=
（A）3 （B）2 （C）32 （D）23
二倍角公式12（7）
2012（7）若42，，37sin2=8，则sin
（A）35 （B）45 （C）74 （D）34
与函数等其他知识结合综合考查11（9）13（8）
2011（9）函数2sin2xyx的图象大致是
2013（8）、函数cossinyxxx的图象大致为
二轮复习建议
1加强基础知识的落实、尤其是相关的定义、公式（诱导公式、
两角和差、降幂、辅助角公式等）、定理（证明方法）、性质等的
记忆。由于这部分内容属于低中档题,要把重点放在基础知识的巩
固和完善上，熟练基础知识和基本方法，使常见题型模式化。
2. 复习时知识点的覆盖面要广，不留死角。
O
x
y
O
x
y
OxyO
x
y
3.重点复习解三角形的各类题型，（求角、求边、求面积）达到娴熟的
程度。对于三角函数的性质要很熟练地能想到化一角一函数公式、降
幂公式，诱导公式，三角函数图象的平移和伸缩变换（几乎每年都要
考查）。
4.注意解题步骤的规范性和严密性，确保三角函数这部分不失分，避
免“会而不对，对而不全”的现象发生，因此老师在这一部分复习时不
但在课堂上要以身示范，强调重点过程的书写，而且还要对平时学生
的解题过程给以点评，督促学生将自己的解题思维更加清晰地体现出
来。