高三数学下学期入学考试试题 理3
四川省成都外国语学校2019届高三下学期入学考试数学(理)试卷Word版含答案
D．．．a 0或 a 1
5．.． 已． 知． 函． 数． f ( x) sin( x ) ，． 且．
2
3 f (x)dx
0
0 ，．则．函．数． f ( x) 的．图．象．的．一．条．对．称．
轴．是．(． )．
5
7
A．．．x 6 B ．．．x 12 C．．．x 3 D ．．．x 6
6．．．某．几．何．体．的．正．视．图．和．侧．视．图．如．图． ①．所．示．，．它．的．俯．视．图．的．直．观．图．是．
x2 y2
x2 y 2
y2 x2
y2 x2
A．．. 3
12 1 B.．． 12
3
1 ,．C．.． 3
12 1 D．. ． 12
1 3
4．．．函．数． f (x)
log2 x a 2x
x x
0 0 有．且．只．有．一．个．零．点．的．充．分．不．必．要．条．件．是．
(．
)．
1
1
A．．．a 0 B ．．．0 a 2 C. ．． 2 a 1
cn ，求
பைடு நூலகம்
c1 c2
c1 0 0的值．
18. 如图，点 P 是菱形 ABCD 所在平面外一点， PA 平 面 ABCD ， PA / / FB / / ED ， ABC 60 ， PA AB 2 BF 2DE ． （Ⅰ）求证：平面 PAC 平面 PCE ； （Ⅱ）求二面角 B PC F 的余弦值．
其．中．O A O B 2，O C 3 ，．则．该．几．何．体．的．
表．面．积．为． (． )．
A．．．36 12 3 B ．．．24 8 3
C．．．24 12 3 D ．．．36 8 3 7．．． 已． 知． 圆． C :( x 3)2 ( y 4) 2 1 和． 两． 点．
福建省厦门市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷含答案
福建省厦门第一中学2024-2025学年度第一学期入学考高三年数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}2|e 1,|log (2)x P y y M x y x ==+==-，则集合M 与集合P 的关系是（）A.M P =B.P M∈ C.M P⊆ D.P M⊆2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差不为0，若4a ，5a ，7a ，成等比数列，1166S =，则8a =（）A.7B.8C.10D.1233.已知偶函数2()1f x ax bx ++＝的定义域[a ﹣1，2]，则函数()f x 的值域为（）A.（﹣∞，1） B.（﹣∞，1]C.[﹣3，1]D.[1，+∞）4.已知3cos 5α=，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.55 B.55-C.45D.2555.设函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞6.四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为（）A. B. C.2863D.7.已知函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象．若曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（）A.2ω=B.()g x 的图象关于直线π3x =对称C.()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D.若()π2f =-，则()g x 在区间[]0,π8.已知函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，函数+1的图象关于y 轴对称，()()211f x g x +++=-，()40f -=，则()()20302017f g -=（）A.4- B.3- C.3D.4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则（）A.两人均获得满分的概率12B.两人至少一人获得满分的概率712C.两人恰好只有甲获得满分的概率14D.两人至多一人获得满分的概率1210.已知函数() cos sin f x x x x =-，则（）A.函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B.对于()0,x π∀∈，()0f x <恒成立C.若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x <D.若sin x ab x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为111.已知曲线C 是平面内到定点()0,1F 和定直线l ：1y =-的距离之和等于4的点的轨迹，若()00,P x y 在曲线C 上，则（）A .曲线C 关于x 轴对称B.曲线CC.曲线C 及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点）D.点()00,P x y 到点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点()0,1F 的距离之和最小为92三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.612x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为__________.13.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A 为C 上一点，且|AF |＝5，O 为坐标原点，则OAF △的面积为___________.14.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的可能取值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C +=．（1）求B ；（2）若AC =，点D 是线段AC 上的一点，且ABD CBD ∠=∠，4BD =．求ABC V 的周长．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．（1）若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．17.已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，()ln h x kx =，且()()()()2332f g f g >.（1）若()()()u x f x g x =+，证明：102u ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；（2）若()()()u x f x h x =-，()24f =，且()0u x ≥，求k 的取值范围；（3）若()()()u x g x h x =，()21f =，()ln e k g =，证明：()u x 在区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.18.已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为22，A ，B 分别是E 的左、右顶点，P 是E 上异于A ，B 的点，APB △的面积的最大值为（1）求E 的方程；（2）设O 为原点，点N 在直线2x =上，N ，P 分别在x 轴的两侧，且APB △与NBP △的面积相等.（i ）求证：直线ON 与直线AP 的斜率之积为定值；（ⅱ）是否存在点P 使得APB NBP ≌△△，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.19.甲和乙两个箱子中各装有N 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中35是红球，25是白球.（1）当5N =时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X ，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y ，求()E X ，()E Y ，()D X ，()D Y ；（2）当10N =时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设()12345k A k =，，，，表示“第k 次取出的是红球”，比较()1234P A A A A 与()()()()1234P A P A P A P A 的大小；（3）由概率学知识可知，当总量N 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作1P ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作2P .那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：17.03≈)福建省厦门第一中学2024-2025学年度第一学期入学考高三年数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}2|e 1,|log (2)x P y y M x y x ==+==-，则集合M 与集合P 的关系是（）A.M P =B.P M∈ C.M P⊆ D.P M⊆【答案】C 【解析】【分析】求出集合P 中函数的值域，集合Q 中函数的定义域，得到这两个集合，可判断集合间的关系.【详解】函数e 1x y =+值域为()1,+∞，函数2log (2)y x =-定义域为()2,+∞，即()1,=+∞P ，()2,M =+∞，所以有M P ⊆.故选：C.2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差不为0，若4a ，5a ，7a ，成等比数列，1166S =，则8a =（）A.7B.8C.10D.123【答案】C 【解析】【分析】设公差为d ，由题意可得1,a d 的方程组，解方程组求出n a 可得答案.【详解】设公差为d ，由题意可得5547111101111662a a a a S a d ⨯=⨯⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，即()()()21111436115566a d a d a d a d ⎧+=+⨯+⎪⎨+=⎪⎩，解得106d a =⎧⎨=⎩舍去，或124d a =⎧⎨=-⎩，所以()42126n a n n =-+-=-，可得816610=-=a .故选：C.3.已知偶函数2()1f x ax bx ++＝的定义域[a ﹣1，2]，则函数()f x 的值域为（）A.（﹣∞，1） B.（﹣∞，1]C.[﹣3，1]D.[1，+∞）【答案】C 【解析】【分析】根据偶函数的定义域特征，求出a 的值，再由偶函数的定义求出b ，结合二次函数图像，即可求解.【详解】已知偶函数2()1f x ax bx ++＝的定义域[]21a -，，所以12,1a a -=-∴=-，()(),f x f x x R -=∈恒成立，即2211,20,x bx x bx bx x R --+=-++=∈恒成立，20,()1,[2,2]b f x x x ∴=∴=-+∈-，函数()f x 的值域为[3,1]-.故选:C.【点睛】本题考查偶函数的性质，以及二次函数的性质，函数的奇偶性要注意定义域满足的条件，属于基础题.4.已知3cos 5α=，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.55 B.55-C.45D.255【答案】A 【解析】【分析】由已知可求得3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而sin 02α>，再根据余弦的二倍角公式进行计算即可得解.【详解】 3cos 5α=，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 02α>，23cos 12sin 25αα=-= ，可得21sin 25α=，5sin25α∴=．故选：A ．【点睛】易错点睛：本题容易忽略2α的取值范围，进而忽略sin 2α的范围，将结果求错.5.设函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数3x y =在R 上单调递增，而函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，所以2y x a =-在区间()1,2单调递减，所以22a≥，解得4a ≥．故选：D ．6.四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为（）A. B. C.2863D.【答案】C 【解析】【分析】根据四棱台的性质，结合四棱台的体积公式进行求解即可.【详解】过1A E AC ⊥，由正四棱台的性质可知：1A E 是该正四棱台的高，因为四边形11ACC A 是等腰梯形，所以()111122AE A C AC =-==，由勾股定理可知：1A E ===所以该四棱台的体积为(2212864233⨯+=，故选：C7.已知函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象．若曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（）A.2ω=B.()g x 的图象关于直线π3x =对称C.()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D.若()π2f =-，则()g x 在区间[]0,π【答案】C 【解析】【分析】首先利用三角函数的性质求出()f x 和()g x 的关系，根据对称点距离和周期关系即可判断A ；求出正弦型函数的对称轴和对称中心即可判断BC ；利用整体法即可求出()g x 的最值.【详解】由于函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，所以ππ+2k ϕ=()k ∈Z ，由于将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象，则()1πsin 26g x A x ωωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，对于A ，因为曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，故2π4π12T ω==，解得1ω=，故A 不正确；所以函数()πsin π2f x A x k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()cos f x A x =或()cos f x A x =-，()1ππsin π262g x A x k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()1πcos 26g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或()1πcos 26g x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对于B ，令1ππ26x k +=()k ∈Z ，解得π2π3x k =-，Z k ∈，令ππ2π33k -=，解得1Z 3k =∉，则()g x 的图象不关于直线π3x =对称，故B 错误；对于C,令1πππ+262x k +=()k ∈Z ，解得2π2π+3x k =，Z k ∈，所以当0k =时，所以()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，当()π2f =-时，2A =-或2A =，所以()1πcos 26g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或()1πcos 26g x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当()1π2cos 26g x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭时，当[]0,πx ∈时，1ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,π上单调递增，故函数的最大值为(π)1g =；当()1π2cos 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭时，当[]0,πx ∈时，1ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,π上单调递减，故函数的最大值为(0)g =，故D 错误；故选：C.8.已知函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，函数+1的图象关于y 轴对称，()()211f x g x +++=-，()40f -=，则()()20302017f g -=（）A.4-B.3- C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据函数的对称性及奇偶性可得()(2)2f x f x +--=-，(1)(1)g x g x -+=+，再由已知条件可得()g x 的周期，将所求转化为关于()g x 的函数值后，利用周期及(1)1g =即可求解.【详解】由函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，所以()(2)2f x f x +--=-，令4x =-，可得(4)(2)2f f -+=-，即(2)2f =-，由函数+1的图象关于y 轴对称，可知函数+1为偶函数，所以(1)(1)g x g x -+=+，由()()211f x g x +++=-，令0x =，可得(1)1(2)1g f =--=，由()()211f x g x +++=-，可得()(1)1f x g x +-=-，(2)(3)1f x g x --+--=-，两式相加可得2(1)(3)2g x g x -+-+--=-，即(1)(3)0g x g x -+--=，可得(5)(1)0g x g x -+-+=，由(1)(1)g x g x -+=+可得(5)(1)0g x g x -++=，即()(6)0g x g x ++=，故(6)()g x g x +=-，所以(12)(6)()g x g x g x +=-+=，即函数()g x 的周期12T =，由()(1)1f x g x +-=-可知(2030)1(2029)f g =--，所以()()203020171(2029)(2017)1(1)(1)12(1)3f g g g g g g -=---=---=--=-.故选：B【点睛】关键点点睛：根据中心对称及偶函数得出一般关系()(2)2f x f x +--=-，(1)(1)g x g x -+=+，再由()()211f x g x +++=-，利用消元思想，转化为关于()g x 的关系式是解题的第一关键，其次利用()g x 的关系式求出()g x 的周期是第二个关键点，求出周期后利用赋值求特殊函数值即可得解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则（）A.两人均获得满分的概率12B.两人至少一人获得满分的概率712C.两人恰好只有甲获得满分的概率14D.两人至多一人获得满分的概率12【答案】ACD【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式逐一求解即得.【详解】设A =“甲获得满分”，B =“乙获得满分”，则32(),()43P A P B ==,对于A ，“两人均获得满分”可表示为A B ⋂,因两人能否获得满分相互独立，故321()()()432P A B P A P B ⋂===,即A 正确；对于B ，因“两人至少一人获得满分”的对立事件为A B ⋂=“两人都没获得满分”,则“两人至少一人获得满分”的概率为：11111()1()()14312P A B P A P B -⋂=-=-⨯=，故B 错误；对于C ，“两人恰好只有甲获得满分”可表示为A B ⋂，其概率为：311()()()434P A B P A P B ⋂==⨯=，故C 正确；对于D ，因“两人至多一人获得满分”的对立事件为A B = “两人都获得满分”，则“两人至多一人获得满分”为：3211()1()()1432P A B P A P B -⋂=-=-⨯=,故D 正确.故选：ACD .10.已知函数() cos sin f x x x x =-，则（）A.函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B.对于()0,x π∀∈，()0f x <恒成立C.若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x <D.若sin x ab x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数研究()f x 在(0,)π上单调性及最值即可判断A 、B 的正误；构造sin ()xg x x=，应用导数研究单调性即知C 的正误；构造()sin h x x mx =-，应用导数并结合分类讨论的方法研究0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0h x >、()0h x <恒成立时m 的取值范围，即可判断正误.【详解】对AB ，()sin f x x x '=-，∴(0,)π上()0f x '<，即(0,)π上()f x 单调递减，则()(0)0f x f <=，∴A 错误，B 正确；对C ，令sin ()xg x x=，则在(0,)π上2cos sin ()0x x x g x x -'=≤，即()g x 单调递减，∴120x x π<<<时，有1212sin sin x x x x >，即1122sin sin x x x x <，C 正确；对D ，0x >，则sin x a x<等价于sin 0x ax ->，sin xb x <等价于sin 0x bx -<，令()sin h x x mx =-，则()cos h x x m '=-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当0m ≤时，()0h x '>，则()h x 单调递增，故()(0)0h x h >=；当1m ≥时，()0h x '<，则()h x 单调递减，故()(0)0h x h <=；当01m <<时，存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使00()cos 0h x x m '=-=，∴此时，0(0,)x 上()0h x '>，则()h x 单调递增，()(0)0h x h >=；0(,)2x π上()0h x '<，则()h x 单调递减，∴要使()sin 0h x x mx =->在0(,2x π上恒成立，则(1022m h ππ=-≥，得20m π<≤.综上，2m π≤时，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0h x >恒成立，1m ≥时0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0h x <恒成立，∴若sin x ab x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1，正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：选项D ，由题设不等式构造()sin h x x mx =-，综合应用分类讨论、导数研究恒成立对应的参数范围，进而判断不等式中参数的最值.11.已知曲线C 是平面内到定点()0,1F 和定直线l ：1y =-的距离之和等于4的点的轨迹，若()00,P x y 在曲线C 上，则（）A.曲线C 关于x 轴对称B.曲线CC.曲线C 及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点）D.点()00,P x y 到点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点()0,1F 的距离之和最小为92【答案】BC 【解析】【分析】由题意得到曲线C 的解析式，画出图象，由图直观判断即可.【详解】设(,)M x y 是曲线C 上任意一点，由于(,)M x y 到定点0,1和定直线:1l y =-的距离之和等于4.14y ++=，当1y ≥-3y =-，即222(1)69x y y y +-=-+，化简得：212(12)4y x y =--≤≤，当1y <-5y =+，化简得：212(21)12y x y =--≤≤-.画出曲线C 的图象：如图，对于A ，显然图象不关于x 轴对称，故A 错误；对于B ，212(12)4y x y =--≤≤，当1y =-时，解得1)-A ，点A =，故B 正确；对于C ，由A 可得[]2,2y ∈-，当2y =时，0x =，此时直线2y =在曲线上或内部有1个整点；当1y =时，2x =±，此时直线1y =在曲线上或内部有5个整点；当0y =时，x =±0y =在曲线上或内部有5个整点；当1y =-时，x =±1y =-在曲线上或内部有7个整点；当2y =-时，0x =，此时直线2y =-在曲线上或内部有1个整点；故曲线C 及其内部共包含了19个整点，故C 正确；对于D ，如图：点G 到0,1与到直线:1l y =-的距离之和为4，点00(,)P x y 到点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点0,1的距离之和最小值为：44QG -<，故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，根据题意，利用两点距离公式与点线距离公式得到曲线C 的解析式，从而作图即可得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.612x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为__________.【答案】220-【解析】【分析】将61(2)x x+-看作6个1(2)x x +-相乘，结合组合的知识即可直接求得答案.【详解】由题可得含3x 的项为()()13133344113636211C C 2C C C 2220x x x x ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，故答案为：220-.13.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A 为C 上一点，且|AF |＝5，O 为坐标原点，则OAF △的面积为___________.【答案】2【解析】【分析】根据抛物线的标准方程求出交点，再利用焦半径公式求出点A 的纵坐标，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】根据题意，抛物线C ：24y x =的焦点为()10F ,，设(),A m n ，则+1=5AF m =，∴4m =，∴4n =±，∴11422AOF S =⨯⨯= .故答案为：214.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的可能取值为______.【答案】1239,,755【解析】【分析】根据函数的单调区间确定02ω<≤，再根据π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭确定关于周期的相应等式，结合其范围，即可求得答案.【详解】设()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期为T ，函数()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，故2πππ2()π,0263T ωω⎡⎤=≥--=∴<≤⎢⎥⎣⎦；由ππ63f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以及函数()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，得πππ630212f f ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-= ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由π4π63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4ππ7π,π366T -=≥，得7π6T =或π4ππ632124T +=-+或π4ππ3632124T +=-+，若7π6T =，则7π2π12,67ωω=∴=；若π4ππ632124T +=-+，则3πππ,412253ωω=-+∴=；若π4ππ3632124T +=-+，则3ππ3π9,41225ωω=-+∴=；故ω的可能取值为1259,,735，故答案为：1239,,755四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C +=．（1）求B ；（2）若AC =，点D 是线段AC 上的一点，且ABD CBD ∠=∠，4BD =．求ABC V 的周长．【答案】（1）2π3（2）18+【解析】【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，由题设得到1cos 2B =-，结合内角范围即得；（2）由等面积和余弦定理联立,求出18a c +=即得三角形的周长.【小问1详解】由22cos a c b C +=和正弦定理，2sin sin 2sin cos A C B C +=(*)，因sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,代入(*)化简得，2cos sin sin 0B C C +=,即sin (2cos 1)0C B +=，因sin 0C >，故得1cos 2B =-，因0πB <<,则2π3B =.【小问2详解】由题意知，BD 是ABC ∠的平分线.由ABC ABD BCD S S S =+△△△可得，2π1π()4sin 3231sin2a c ac =+⨯，化简得，4()c c a a =+①又由余弦定理，2222π2cos 3a c ac +-=，即2()252a c ac +-=②，将①代入②可得，2()4()2520a c a c +-+-=，解得18a c +=，（14a c +=-舍去），故ABC V 的周长为18+.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．（1）若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3030【解析】【分析】（1）取PD 的中点为S ，接,SF SC ，可证四边形SFBC 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得//BF 平面PCD .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB 和平面PCD 的法向量后可求夹角的余弦值.【小问1详解】取PD 的中点为S ，接,SF SC ，则1//,12SF ED SF ED ==，而//,2ED BC ED BC =，故//,SF BC SF BC =，故四边形SFBC 为平行四边形，故//BF SC ，而BF ⊄平面PCD ，SC ⊂平面PCD ，所以//BF 平面PCD .【小问2详解】因为2ED =，故1AE =，故//,=AE BC AE BC ，故四边形AECB 为平行四边形，故//CE AB ，所以CE ⊥平面PAD ，而,PE ED ⊂平面PAD ，故,CE PE CE ED ⊥⊥，而PE ED ⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2A B C D P --，则()()()()0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,PA PB PC PD =--=--=-=-设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则由0m PA m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2020y z x y z --=⎧⎨--=⎩，取()0,2,1m =- ，设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =，则由0n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得20220a b b c -=⎧⎨-=⎩，取()2,1,1n = ，故30cos ,30m n ==-，故平面PAB 与平面PCD夹角的余弦值为3017.已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，()ln h x kx =，且()()()()2332f g f g >.（1）若()()()u x f x g x =+，证明：102u ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；（2）若()()()u x f x h x =-，()24f =，且()0u x ≥，求k 的取值范围；（3）若()()()u x g x h x =，()21f =，()ln e k g =，证明：()u x 在区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.【答案】（1）证明见解析（2）)(k ⎡∈⎣ （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据幂函数解析式及性质可设函数解析式，再根据指数函数的单调性可证明不等式；（2）分情况讨论当0k >和0k <时函数的单调性与最值情况，进而可得解；（3）由已知可得0b a >=，求导，可转化为证明ln ln 10b b b x ++>在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭恒成立，结合函数()ln 1F b b b b =-+的单调性与正负情况可得证.【小问1详解】由已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，可设()af x x =和()bg x x =，且()()f x f x -=，()()g x g x -=-，又()()()()2332f g f g >，即2332a b a b ⋅>⋅，即2233a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以a b <，所以11111112222222a bu f g f g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1110222abu ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】由已知()224a f ==，得2a =，即()2f x x =，所以()()()2ln u x f x h x x kx =-=-，当0k >时，()2ln u x x kx =-的定义域为()0,∞+，()21212x u x x x x -'=-=，令()0u x '=，解得2x =或22x =-（舍），所以当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x '<，()u x 单调递减，当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x '>，()u x 单调递增，所以()212ln 0222u x u k ⎛⎫≥=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭，解得k ≤(k ∈；当0k <时，()2ln u x x kx =-的定义域为(),0-∞，()21212x u x x x x -'=-=，令()0u x '=，解得2x =（舍）或22x =-，所以当2,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0u x '>，()u x 单调递增，当,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x '<，()u x 单调递减，所以()1ln 0222u x u k ⎛⎫⎛⎫≥-=--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得k ≥)k ⎡∈⎣；综上所述)(k ⎡∈⎣ 【小问3详解】由()ln e ln e bk g b ===，又已知()221af ==，所以0a =，由（1）得a b <，即0b >，所以函数()()()ln bu x g x h x x bx ==的定义域为()0,∞+，所以()()11ln ln 1b b b bu x bxbx x x b bx bx--'=+⋅=+，又10b x ->恒成立，且当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以ln 1x >-，ln 1ln ln 1ln 1b bx b b b x b b b +=++>-+，设()ln 1F b b b b =-+，则()ln 11ln F b b b '=+-=，令()0F b '=，则1b =，所以当()0,1b ∈时，()0F b '<，()F b 单调递减，当()1,b ∈+∞时，()0F b '>，()F b 单调递增，所以()()10F b F ≥=，所以ln 10b bx +>，即当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()()1ln 10b u x xb bx -'=+>，所以函数()u x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．18.已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为22，A ，B 分别是E 的左、右顶点，P 是E 上异于A ，B 的点，APB △的面积的最大值为（1）求E 的方程；（2）设O 为原点，点N 在直线2x =上，N ，P 分别在x 轴的两侧，且APB △与NBP △的面积相等.（i ）求证：直线ON 与直线AP 的斜率之积为定值；（ⅱ）是否存在点P 使得APB NBP ≌△△，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）不存在点P 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，列方程组，即可求解；（2）（ⅰ）首先利用坐标表示APB S 和NBP S ，利用面积相等，以及点P 在椭圆上的条件，即可化简斜率乘积的公式，即可证明；（ⅱ）由条件APB NBP ≌△△，确定边长和角度的关系，再结合数形结合，即可判断是否存在点P 满足条件.【小问1详解】当点P 是短轴端点时，APB △的面积最大，面积的最大值为122a b ⋅⋅=，则2222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，得222b c ==，24a =，所以椭圆E 的方程为22142x y +=；【小问2详解】（ⅰ）设0,0，()2,N t ，00ty <00122APB S AB y y =⨯⨯= ，()0122NPB S t x =⨯- ，由题意可知，()001222y t x =⨯-，0042y t x =-，即0042y t x -=-，所以20020021224AP ONy y t k k x x -=⨯==-+-；（ⅱ）假设存在点P ，使得APB NBP ≅ ，因为AB AP >，NP NB >，BP BP =，所以AP NB =，APB NBP ∠=∠，ABP NPB ∠=∠，则90APN NBA ∠=∠= ，由（ⅰ）可知，AP ON ⊥，又AP NP ⊥，所以,,O N P 三点共线，如图，则OPB OBP ∠=∠，所以2OP OB ==，则点P 与点A 重合，这与已知矛盾，所以不存在点P ，使APB NBP ≌△△.19.甲和乙两个箱子中各装有N 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中35是红球，25是白球.（1）当5N =时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X ，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y ，求()E X ，()E Y ，()D X ，()D Y ；（2）当10N =时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设()12345k A k =，，，，表示“第k 次取出的是红球”，比较()1234P A A A A 与()()()()1234P A P A P A P A 的大小；（3）由概率学知识可知，当总量N 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作1P ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作2P .那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：17.03≈)【答案】（1）()E X =95，9()25D X =，918()()525E Y D Y ==（2）()()()()()12341234P A A A A P A P A P A P A <（3）195【解析】【分析】（1）由题意可得3~(3,)5Y B ，利用二项分布的期望公式和方差公式求解，X 服从超几何分布，X 的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，从而可求出()E X 和()D X ；（2）利用独立事件概率公式和古典概率公式求出()1234P A A A A ，()()()()1234P A P A P A P A ，进行比较即可；（3）根据题意表示出12,P P ，由120.003P P -≤化简得21952900N N -+≥，解法1：转化为290195N N+≥，构造函数()()2900f x x x x=+>，利用函数的单调性求解；解法2：直接解一元二次不等式即可.【小问1详解】对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的，则3393218~(3,),()3,()35555525Y B E Y D Y =⨯==⨯=X 服从超几何分布，X 的可能取值为1，2，3，则2112323233333555C C 3C C 3C 1(1)(2),(3)C 10C 5C 10P X P X P X =========3319()123105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=，2229393919()1235105551025D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，或222233199()12310510525D X ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=⎪⎝⎭；【小问2详解】495106A 3()A 5k P A ⨯==Q ，即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为()35k P A =：41234381()()()()5625P A P A P A P A ⎛⎫∴==⎪⎝⎭又()14661234510A C 65436181A 10987635625P A A A A ⨯⨯⨯⨯===<⨯⨯⨯⨯，则()()()()()12341234P A A A A P A P A P A P A <.【小问3详解】因为()22233254C 0.43255125P =⨯=⎪=⎛⎫ ⎝⎭，()()213235133313255C C 11852512C 25(1)(2)6NNNN N N N N P N N N N N ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅ ⎪⎝⎭===⨯----，120.003P P -≤Q ，即311850.4320.00325(1)(2)N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯-≤--，即311850.43525(1)(2)N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯≤--，即31295(1)(2)48N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤--，由题意知()()120N N -->，从而()()348129125N N N N ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭--，化简得21952900N N -+≥，解法1：又0N >，290195N N ∴+≥，令()()2900f x x x x=+>，则()2222902901x f x x x-'=-=，所以当0x <<()0f x '<，当x >时()0f x '>，所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，(此处证单调性另解：()()2900f x x x x=+>为对勾函数，()29034.06f x xx=+≥≈，（当且仅当x =时取等）.所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增)，所以()f x 在17.03x =≈处取得最小值，从而290y N N=+在18N ≥时单调递增，当20N ≤时，290147N N+<，又290193194.50195193+≈<，290194195.49195194+≈>，∴当194N ≥时，符合题意考虑到25N ，35N 都是整数，则N 一定是5的正整数倍，所以N 至少为195时，在误差不超过0.003（即120.003P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.解法2：化简得21952900N N -+≥，1952N <或1952+，N 为整数，1N ∴≤或194N ≥25N Q，35N 都是整数，则N 一定是5的正整数倍，所以N 至少为195时，在误差不超过0.003（即120.003P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是根据题意正确区分二项分布和超几何分布，利用二项分布和超几何分布的概率公式求解，从而得解.。
第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题-高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)
专题一 压轴选择题第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一 四面体的外接球问题典例1．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若ABC 的面积为,ABC S OBC 的面积为,OBC S PBC 的面积为PBC S ，满足2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，当,,PAB PBC PAC 的面积之和的最大值为8时，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π 【来源】山西省晋中市2022届高三上学期1月适应性调研数学（理）试题【举一反三】在四边形ABCD 中（如图1所示），AB AD =，45ABD ∠=，2BC BD CD ===，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '（如图2所示），使得90A BC ∠='，E ，F ，G 分别为棱BC ，A D '，A B '的中点，连接EF ，CG ，则下列结论错误的是（ ）．A ．A C BD '⊥B ．直线EF 与CG 45C ．C ，E ，F ，G 四点不共面D ．四面体A BCD '外接球的表面积为8π【来源】陕西省2022届高三上学期元月联考理科数学试题类型二 三棱柱的外接球问题典例2．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底边长为a ，高为h ，球的体积为86π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．482 B ．242 C ．962 D ．122【来源】内蒙古包头市2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题【举一反三】在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，12BB π=，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P 在三棱柱内部或表面上运动，且2PA PM =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【来源】贵州省贵阳市2021届高三适应性考试数学（理）试题（一）类型三 四棱锥的外接球问题典例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，PB ⊥底面ABCD .若1PB AB CD AD ====， 2BC =，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三下学期入学考试文科数学试题【举一反三】已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -82π，则该四棱锥的表面积为（ ） A ．3B ．63C ．83D ．103【来源】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（理）试题类型四 几何体的内切球问题典例4．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．3B 153C 153D 153【来源】江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科数学试题【举一反三】由棱长都为1的4个正四面体和1个正八面体，组合成一个正四面体，再将此正四面体削切、打磨成最大的球，则该球体积为（ ）A 6B 6C ．354D 646 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期5月质量检测文科数学试题【精选名校模拟】1．已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（ ）A ．128πB ．132πC ．144πD ．156π【来源】湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三上学期1月质量检测数学试题2．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，其底面ABCD 是平行四边形，外接球体积为36π，若1AC BD ⊥，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积的最小值为（ ）A ．8πB ．24310πC ．8110πD ．6π【来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题3．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，PA a =，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．343aB ．23a πC ．332a πD ．212a【来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题4．在三棱锥P ABC -中，22AB AC ==，120BAC ∠=，26PB PC ==，25PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学（理）试题5．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，23AB =，D 是侧面11BCC B 的中心，球O 与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD 被球O 截得的弦长为（ ）A ．1010B ．105C ．31010D ．31056．如图，在三棱锥P ABC -，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且22CB =，6AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A 510B ．10πC ．9πD ．(423π+7．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OB PBC C S S S ⋅=，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．18D ．22【来源】吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（理）试题8．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为233，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（ ）A ．5πB ．8πC ．16πD ．20π【来源】河南省河南大学附属中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学文科试题9．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B 455πC ．30πD ．45π【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（文）期末试题10．在菱形ABCD 中，3A π=，3AB =△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，二面角P BD C--的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23πB ．27πC ．72πD ．112π 【来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学（文）试题多选题11．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào ）.如图，三棱锥D ABC -为一个鳖臑，其中DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2DA AB BC ===，AM DC ⊥，M 为垂足，则（ ）A ．AM ⊥平面BCDB ．DC 为三棱锥D ABC -的外接球的直径C ．三棱锥M ABD -的外接球体积为43πD ．三棱锥M ABC -的外接球体积与三棱锥M ABD -的外接球体积相等【来源】河北省张家口市2022届高三上学期期末数学试题12．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38a C ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(1483)a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '3 【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题。
2023届高三开学摸底考试数学试卷(新高考Ⅱ卷)
2023届高三开学摸底考试数学试卷（新高考Ⅱ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{||31},{3,2,1,0}P x x Q =∈-<=Z ∣，则P Q =( )A.{}3,2,1B.{}2,1,0C.{}3D.{}2,32.(1i)(2i)+-=( ) A.3i --B.3i -+C.3i -D.3i +3.已知n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，3245n n S n T n +=+，设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且243a a AP AB ACb λ+=+，则实数λ的值为( ) A.2825B.925-C.325D.18254.已知向量(1,)m =a ，(2,3)=-b ，2⋅=-a b ，则m 的值为( ) A.43-B.0C.13D.435.为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有( ) A.12种B.28种C.20种D.16种6.已知,αβ为锐角，且tan 2α=，cos()αβ+=，则tan()αβ-=( ) A.913-B.913C.712-D.7127.111ABC A B C -中，ABC △为等边三角形，且ABC △的外接圆半，则该三棱柱外接球的表面积为( ) A.12π B.8π C.6π D.3π8.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点(1，0)对称，当[]0,1x ∈时，()22x f x =-，则()()()()0122022f f f f +++⋯+的值为( ).A.-2B.-1C.0D.1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
成都七中2018-2019学年度下期高三入学考试数学(理)试题
（本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、 选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）
1、
已知
i
是虚数单位，若
2
i
z(1
i)
，则
z
的共轭复数
z
对应的点在复平面的（
.
4、 执行如右图所示的程序框图，则输出的 k 为
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
5、 已知等边△ABC 内接于圆 O ， D 为线段 OA 的中点，则 BD （ ）
A . 2 BA 1 BC 36
B . 4 BA 1 BC 36
C . 2 BA 5 BC 36
D . 2 BA 1 BC 33
A. 2
B. 3
C.2
D. 5
10、已知 cos(3π ) 2sin( π ) ，则 tan( π ) =（ ）
2
3
6
3
3
3
3
A.
B.
C.
D.
3
9
3
9
C1
11、如图，在等腰 Rt△ABC 中，斜边 AB 2 ，D 为直角边 BC 上
A
的一点，将△ACD 沿直线 AD 折叠至△AC1D 的位置，使得点 C1 在
B H
D
平面 ABD外，且点 C1 在平面 ABD 上的射影 H 在线段 AB 上，设
C
AH x ，则 x 的取值范围是（ ）
A . 1, 2
B .
四川省成都七中2019届高三下学期入学考试(理科)数学试题
四川省成都七中2018-2019学年高三(下)入学数学试卷(理科)(2月份)注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题，共60. 0分)1. 已知i 是虚数单位，若(2)1i z i +=-，则z 的共轭复数z 对应的点在复平面的( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设集合{}3,xy R A x y ==∈，{}B y y x R ==∈，则A B =( )A. []0,2B. ()0,+∞C. (]0,2D. [)0,23. 函数2()3xef x x =-的大致图象是( )A. B.C. D.4. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为( )A. 7B. 9C. 11D. 135. 已知等边ABC △内接于O ，D 为线段OA 的中点，则BD =( )A.2136BA BC + B.4136BA BC - C. 2536BA BC -+ D.2133BA BC + 6. 某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为( )A. 283π- B.82π-C. 883π- D.88π-7. 二项式8()a x x-的展开式中2x 的系数是7-，则a =( )A. 1B.12C. 12-D. 1-8. 如图，边长为a 的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为( )A.B.C.D.9. 如图，点A 为双曲线()22220,01x y a ba b -=>>的右顶点，P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则C 的离心率为 ( )A.B. C. 2D.10. 已知3cos()2sin()23ππαα-=+，则tan()6πα+=( )A. B. -C.D.11. 如图，在等腰Rt ABC △中，斜边AB =D 为直角边BC 上的一点，将ACD △沿直AD 折叠至1AC D △的位置，使得点1C 在平面ABD 外，且点1C 在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AH x =，则x 的取值范围是( )A. (B. ⎫⎪⎪⎝⎭C. 1,2⎛ ⎝D. ()0,112. 设,M N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则( )A. OM ON +≥B. MN 为直径的圆的面积大于4πC. 直线MN 过抛物线2y x =的焦点D.O 到直线MN 的距离不大于2二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13. 设,x y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则34z x y =-+的最大值为______．14. 某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为______．15. 《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字写成公式，即S =，已知ABC △满足2sin sin sin sin sin sin si (n )()A B A B A C C -+=-，且2AB BC ==，则用以上给出的公式求得ABC △的面积为______．16. 已知函数22ln 3()x x f x m x++=+，若01,4x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得00(())f f x x =，则m 的取值范围是______三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17. 已知等比数列{}n a 为递增数列，且2510a a =，212()5n n n a a a +++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，0n b ≠，141n n n b b S +=-．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∕∕，AD CD ⊥，且222P C B CA D C D ====2PA =．(1)PA ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由．19. 为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证．某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占56，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣． (1)试完成下面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？(2)已知在被抽取的女生中有6名高一(1)班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率．(3)该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，如下表所示．若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -++++=20. 已知椭圆()2222:10x y a ba b Γ=>>+的右焦点为()1,0F ，上顶点为A ．过F 且垂直于x 轴的直线l 交椭圆Γ于B 、C两点，若2FOA COB S S =△△ (1)求椭圆Γ的方程；(2)动直线m 与椭圆Γ有且只有一个公共点，且分别交直线1和直线2x =于M 、N 两点，试求MF NF的值.21. 已知a R ∈，函数()1x f x x ae =-+有两个零点1212,()x x x x <． (Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)证明：122x x e e +>．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ=，(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点(0,2)，曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求MA MB ⋅的值．23. 已知函数()212f x x x =+--． (1)画出函数()f x 的图象；(2)若关于x 的不等式21()x m f x ++≥有解，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：由(2)1i z i +=-，得2(2)(1)11(1)(1)2i i i z i i i +++===--+，∴122i -，则z 的共轭复数z 对应的点的坐标为1(,2-，在复平面的第四象限． 故选：D ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2.【答案】C 【解析】解：由3,xy x R =∈，得0y >，即,()0A =+∞，由y x R =∈，得：02y ≤≤，即2[]0,B =， 即(]0,2AB =，故选：C ．分别求3,xy x R =∈，,y x R =∈的值域，得：,()0A =+∞，2[]0,B =，再求交集即可．本题考查了求函数值域及交集的运算，属简单题． 3.【答案】A 【解析】解：22()()()33x xe ef f x x x x --===---， 则函数()f x 为偶函数，故排除CD ， 当1x =时，1(1)03ef =<-，故排除B ， 故选：A ．先判断函数偶函数，再求出f(1)即可判断本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题 4.【答案】C 【解析】解：由题意，模拟执行程序框图，可得0,1S k ==满足条件1S >-，1lg ,33S k == 满足条件1S >-，13lg lg ,535S k =+=满足条件1S >-，135lg lg lg ,7357S k =++=满足条件1S >-，1357lg lg lg lg ,93579S k =+++=满足条件1S>-，135********lg lg lg lg lg lg()lg lg11,1135791135791111Sk =++++=⨯⨯⨯⨯==-=不满足条件1S >-，退出循环，输出k 的值为11．故选：C ．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 5.【答案】A 【解析】解：如图所示，设BC 中点为E ，则11111()333322136BA AD BA AE BA AB BE BA BA BC BD BA BC =+=+=++=-+⋅=+．故选：A ．根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出BD 用BA 、BC 的表达式即可． 本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题． 6.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：3212123V π-⋅⋅⋅=，283π=-． 故选：A ．直接利用三视图，整理出几何体的构成，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 7.【答案】B 【解析】解：二项式8()ax x-的展开式中的通项公式：8218()r r r r T C a x -+=-，令822r -=，解得3r =，则含2x 项的系数为338(7)C a -=-，解得12a =故选：B ．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8.【答案】C 【解析】解：如图所示，边长为a 的正六边形，则OA OB AB a ===， 设小圆的圆心为'O ，则'O C OA ⊥，∴OC =，∴'O C =，'OO =， ∴12OD a =，∴2211112[)])2266S a a ππ=⋅-⋅=-阴影，22S =正六边形， ∴点恰好取自阴影部分的概率9272S P S π-===阴影正六边形，故选：C ．分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题． 9.【答案】A 【解析】解：由题意可得0(),A a ，A 为线段OB 的中点，可得0(2),B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设2,()P a ，由题意结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -， 即2AP a =，即有2a =可得a b =，c e a === 故选：A ．设A 的坐标(),0a ，求得B 的坐标，考虑2x a =，代入双曲线的方程可得P 的坐标，再由圆A 经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a b =，进而得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 10.【答案】B 【解析】解：∵3cos()2sin()23ππαα-=+， ∴sin 2sin cos2cos sin33ππααα-=+，则即2sin αα-=，∴tan α=，∴tan tan6tan()61tan tan 623παπαπα++===-⋅ ，故选：B ．由题意利用诱导公式、两角和正弦角公式求得tan α，再利用两角和正切公式求得结果． 本题主要考查两角和差的三角公式、诱导公式的应用，属于基础题． 11.【答案】B 【解析】解：∵在等腰Rt ABC △中，斜边AB =，D 为直角边BC 上的一点，∴1AC BC ==，90ACB ∠=︒，将ACD △沿直AD 折叠至1AC D △的位置，使得点1C 在平面ABD 外，且点1C 在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AHx =，∴11AC AC ==，1(0,1)CD C D =∈，190AC D ∠=︒，CH ⊥平面ABC ，∴11AH AC <=，故排除选项A 和选项C ； 当1CD =时，B 与D重合，2AH =， 当1CD <时，122AH AB >=， ∵D 为直角边BC 上的一点，∴,1()0CD ∈，∴x的取值范围是,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故选：B ．推导出1AC BC ==，90ACB ∠=︒，11AC AC ==，1(0,1)CD C D =∈，190AC D ∠=︒，CH⊥平面ABC ，从而11AH AC <=，当1CD =时，B 与D重合，AH =当1CD <时，12AH AB >=，由此能求出x 的取值范围．本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 12.【答案】D 【解析】解：当直线MN 的斜率不存在时，设200(),M y y ，200,()N y y -，由斜率之积为12-，可得20112y -=-，即202y =， ∴MN 的直线方程为2x =；当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得20ky y m -+=．设11(),M x y ，22(,)N x y ，则12m y y k =，2122m x x k=，∴121212OM ON y y k k k x x m ==-⋅=，即2m k =-． ∴直线方程为()22y kx k k x =-=-． 则直线MN 过定点(2,0)． 则O 到直线MN 的距离不大于2． 故选：D ．由已知分类求得MN 所在直线过定点(2,0) ，结合选项得答案．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与篇文章位置关系的应用，是中档题． 13.【答案】5 【解析】解：作出,x y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所示的平面区域，如图：作直线340x y -+=，然后把直线L 向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大， 由23010x y x y -+=-+=⎧⎨⎩可得()1,2A ，此时5z =．故答案为：5．先画出约束条件的可行域，利用目标函数34z x y =-+的几何意义，求解目标函数的最大值． 本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是：明确目标函数的几何意义． 14.【答案】10 【解析】解：设停车位有n 个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将(3)n -个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成(2)n -个间隔中，故有32n A -种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将(3)n -个停车位排放好所成(2)n -个间隔中，故有2232n A A -种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴322232n n A A A --=，解得10n =， 故答案为：10．设停车位有n 个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得322232n n A A A --=，解得即可本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题 15.【解析】解：∵2AB BC ==∴由题意可得：2c a ==a =∵2sin sin sin sin sin sin si (n )()A B A B A C C -+=-，∴由正弦定理可得：2()()a b a b ac c -+=-，可得：222a c b ac +-=，∴S =====．由题意可得：2c a ==a =222a c b ac +-=，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】[0)- 【解析】解：设0()t f x =， ∵00(())f f x x =， ∴0()f t x =， ∴00()f x x =有零点，∴22ln 3()x x f x m x x++=+=，∴2ln 3x m x+-=， 即直线y m =-，与2ln 3()x g x x+=有交点， ∴22ln 1'()x g x x +=-，14x ≥，令'()0g x =，解得x =当1[,4x e∈时，'()0g x >，函数()g x 单调递增，当,]x ∈+∞时，'()0g x <，函数()g x 单调递减，∴(()max g x g e== 431()()604ln1g =->， 当x →+∞时，()0g x →，分别画出y m =-与()y g x =的图象，如图所示；由图象可得当0m <-≤0m -≤<时，y m =-与()y g x =有交点，故答案为：[0)-．设0()t f x =，由题意可得00()f x x =有零点，即22ln 3()x x f x m x x++=+=，分离参数，构造函数，结合导数和数形结合即可求出．本题考查了函数的零点，导数和函数的最值的关系，考查了转化思想，数形结合的思想，属于难题17.【答案】解：(1)设公比为q 等比数列{}n a 为递增数列，且2510a a =，首项为1a ， 则：449111a q a q a q ⋅⋅=⋅，解得：1a q =，212()5n n n a a a +++=，所以：22520q q -+=，解得：2q =或12，由于数列为单调递增数列， 故：2q =，所以：112n nn a a q -=⋅=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，0n b ≠，141n n n b b S +=-①． 当2n ≥时，1141n n n b b S --=-②， 整理得：12n n b b --= (常数)， 对n 分偶数和奇数进行分类讨论， 整理得：21n b n =-故：(21)2nn n n c a b n ==-⋅，则：()121232212n n T n =⋅+⋅++-⋅①，()23121232212n n T n +=⋅+⋅++-⋅②，①—②得：()()12212212221n n nT n +--=⋅--⋅--，解得：()12326n n T n +=-⋅+．【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用(1)的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】证明：(1)∵在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∕∕，AD CD ⊥，且22PC BC AD CD ====2PA =．∴2AB AC ===，∴222AB AC BC +=，222PA AC PC +=， ∴AB AC ⊥，AP AC ⊥，∵AB PC ⊥，∴AB ⊥平面PAC ，∴PA AB ⊥， ∵ABAC A =，∴PA ⊥平面ABCD ．解：(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，设在线段PD 上，存在一点(),,M a b c ， 使得二面角M AC D --的大小为60︒， 且(,)01PMPDλλ=≤≤， ()0,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,2P ，1,()1,0D -，(,),2PM a b c =-，1,1,2()PD =--，∴22a b c λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩， ∴,,22()M λλλ--， ∴(0),2,0AC =，,,2(2)AM λλλ-=-， 设平面ACM 的法向量(),,x m y z =，则()20220m AC y m AM x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，取1x =，得1,02(),2m λλ=-， 平面ACD 的法向量0,1()0,n =， ∵二面角M AC D --的大小为60︒，∴2cos60m n m n⋅︒==⋅解得4λ=-∴在线段PD 上，存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒，4PMPD=- 【解析】(1)推导出AB AC ⊥，AP AC ⊥，AB PC ⊥，从而AB ⊥平面PAC ，进而PA AB⊥，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒，4PMPD=- 本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19.【答案】50 10 60 25 15 40 75 25 100 【解析】解：(1)由题意能得到如下的列联表：∴()()()()222()100(50152510) 5.556 6.63560407525n ad bc K a b c d a c b d =-⨯-⨯=≈<++++⨯⨯⨯． ∴没有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”．(2)记事件i A 表示“从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有i 人有兴趣，0,1,2,3i =”， 则23A A +表示“从这6名学生中随机抽取的3人中到少有2人有兴趣”，且23,A A 互斥， ∴现在从这6名学生中随机抽取3人，至少有2人对游泳有兴趣的概率：2130333323233366)()()12(C C C C P A A P A P A C C +=+=+=．(3)由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，2234225595)0(0C C P C C ξ===，1122123434225512(15)2C C C C C P C C ξ+===，22111243242255()3210C C C C C P C C ξ+===， 2224225512)5(3C C P C C ξ===，∴ξ的分布列是：∴0123505050(505)E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． (1)完成列联表求出2 5.556 6.635K ≈<．从而没有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”． (2) 记事件i A 表示“从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有i 人有兴趣，0,1,2,3i =”，则23A A +表示“从这6名学生中随机抽取的3人中到少有2人有兴趣”，且23,A A 互斥，由此能求出现在从这6名学生中随机抽取3人，至少有2人对游泳有兴趣的概率．(3)由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和()E ξ． 本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题．20.【答案】解：(1)易知，22b BC a=，222FOA COBS b a b S b a===△△∴a =，c b =，所以，1b =，a =因此，椭圆Γ的方程为2212x y +=；(2)设直线m 与椭圆Γ的切点为点00(),P x y ，则直线m 的方程为0012x x y y +=，且有220012x y +=，可得22012x y =-，直线m 与直线1l x =:交于点0021,2x M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线m 交直线2x =于点0012,x N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以，022x MF y -=，NF====22xy-==⋅，因此，MFNF==【解析】(1)由通径公式得出222bBCa=，结合已知条件得出ab=1c=，可求出a、b的值，从而得出椭圆的方程；(2)设切点为00(,)x y，从而可写出切线m的方程为012x xy y+=，进而求出点M、N的坐标，将切点坐标代入椭圆方程得出0x与0y之间的关系，最后利用两点间的距离公式可求出答案．本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题．21.【答案】解：(Ⅰ)()1xf x ae'=-，①0a≤时，)0(f x'>，()f x在R上递增，不合题意，舍去，②当0a>时，令)0(f x'>，解得lnx a<-；令)0(f x'<，解得lnx a>-；故()f x在(,ln)a-∞-单调递增，在(ln,)a-+∞上单调递减，由函数()y f x=有两个零点1212,()x x x x<，其必要条件为：0a>且0(ln ln)f a a-=->，即01a<<，此时，1ln22lna a-<-<-，且1(10)1a afe e-=--+=-<，令2222ln22ln()l()132ne eF a f a a aa a=-=--+=--，(01a<<)，则2222220()e e a F a a a a-'=-+=>，()F a 在(0,1)上单调递增， 所以，2()()130F a F e <=-<，即22l 0()n f a -<，故a 的取值范围是(0,1)．(Ⅱ)令0(1)x x f x a e +=⇒=， 令1()x x g x e+=，()x g x xe -'=-，则()g x 在(0),-∞单调递增，在(0,)+∞单调递减， 由(Ⅰ)知01a <<，故有1210x x -<<<，令()()()h x g x g x =--，(10x -<<)，1()()()1x x h x x e x e -=--+，(10x -<<)，)0()(x x x x h x xe xe x e e --'=-+=-<，所以，()h x 在()1,0-单调递减，故()0)0(h x h >=，故当10x -<<时，((0))g x g x -->，所以11()()g x g x ->，而12()()g x g x a ==，故12()()g x g x ->，又()g x 在(0,)+∞单调递减，120,0x x ->>，所以12x x -<，即120x x +>，故1212222x x x x e e e ++≥=>．【解析】(Ⅰ)利用导数研究单调性得()f x 的最大值为ln 0()f a ->解得a 即可；(Ⅱ)先通过构造函数证明120x x +>，在用基本不等式可证．本题考查了函数零点的判定定理，属难题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线1C的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，由代入法消去参数t ，可得曲线1C的普通方程为2y =+；曲线2C的极坐标方程为ρ=， 得22134sin ρθ=+，即为2223sin 4ρρθ+=， 整理可得曲线2C 的直角坐标方程为2214x y +=； (Ⅱ)将122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，代入曲线2C 的直角坐标方程2214x y +=得213480t ++=， 利用韦达定理可得124813t t =⋅， 所以4813MA MB =⋅． 【解析】(Ⅰ)运用代入法，消去t ，可得曲线1C 的普通方程；由,x cos y sin ρθρθ==，代入极坐标方程，即可得到所求直角坐标方程；(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程，运用参数的几何意义，由韦达定理可得所求之积． 本题考查参数方程和普通方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的运用，以及韦达定理的运用，属于基础题．23.【答案】解：(1) 13,21()21231,223,2x x f x x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=+--=--<<⎨⎪+≥⎪⎪⎩， 画出()y f x =的图象，如右图：(2)关于x 的不等式21()x m f x ++≥有解，即为2()1m f x x +≥-，由2x ≥时，()3y f x x =-=； 当122x -<<时，212,3()()y f x x x =-=-∈-； 当12x ≤-时，232,()[)y f x x x =-=--∈-+∞， 可得()y f x x =-的最小值为2-，则212m +≥-， 解得32m ≥-． 【解析】(1)写出()f x 的分段函数式，画出图象；(2)由题意可得2()1m f x x +≥-的最小值，对x 讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题．。
理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷(全国通用)(解析版)
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误； 财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值 极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。
四川省广安市邻水县邻水实验学校2021届高三数学入学考试试题 理
四川省广安市邻水县邻水实验学校2021届高三数学入学考试试题理一、选择题（本题共12道小题，每小题5分,共60分.）1.已知集合，则A∩B=（）A. [2,4)B. [1,2]C. [2,4]D.(1,2]2.设，则复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在一次独立性检验中，得出列联表如下：且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是（）A. 200B. 720C. 100D. 1804.用秦九韶算法计算函数f（x）=x4﹣2x2+x﹣1，当x=1时的值，则v3=（）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设点F是抛物线y2=2px的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”、“股”，则抛物线方程为（）．A. B. C. D.6.已知，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.7.在△ABC中，若则B等于（）A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（）A. 2B.C.D. 49.已知则 （ ）A ．B ．C ．D ．10.已知F 为椭圆的右焦点，过F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则M 到x 轴的最大距离为（ ） A.B.C.D.11.已知双曲线的左、右焦点为F 1、F 2，O 为原点，若以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且，则的渐近线方程为 （ ）A.B.C.D.12.若函数f (x )满足，且，则函数f (x )（ ）A. 既无极大值又无极小值B. 有极小值无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 有极大值无极小值 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设变量x ，y 满足约束条件则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________.14.设常数，如果的二项展开式中x 项的系数为-80，那么a =______.15.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点．，，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P -ABC 的体积为，三棱锥O -ABC 的体积为．若的最大值为3．则球O 的表面积为________．16.已知函数，则_____；若方程在区间[－2，4]有三个不等实根，则实数的取值范围为______．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17(本大题12分).已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，53=a ，2335-=S S .（1）求{}n a的通项公式；（2）设11+=nnn aab，求数列{}n b的前n项和n T.18．(本大题12分)为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某农科所记录了5组昼夜温差与100颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5温差x（C︒）10 11 13 12 8发芽数y（颗）23 25 30 26 16程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是第1组与第5组的两组数据，请根据第2组至第4组的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：1122211()()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-）20．(本大题12分)已知定圆:A(22316x y++=,动圆M过点)3,0B,且和圆A相切。
湖南省岳阳市岳阳县第一中学2022-2023学年高三下学期入学考试数学试题
由直线 l： 2tx - y - 2t +1 = 0(t Î R ) 为 y -1 = 2t ( x -1) ，
∴直线 l 过定点 P (1,1) ，
又12 +12 = 2 < 4 ，∴P 在圆 C 内部， 当直线 l 与线段 CP 垂直时，弦 AB 的长最小，
∵ CP = (0 -1)2 + (0 -1)2 = 2 ，
∴ z - i = a + (b -1) i = a2 + (b -1)2 ，表示圆上的点到点 (0,1) 的距离，
∴ z - i 的最小值为 2 - 02 + (0 -1)2 = 1 . 故选：A. 2．D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，找到中间值 0 和1进行辅助判断.
【详解】根据指数函数 y = 3x 在 R 上递增可得， a = 30.5 > 30 = 1；
答案第21 页，共22 页
③a ∥ c ， b ∥ c ，则a ， b 可能平行，也可能相交，所以③不正确；
④a ∥g ， b ∥g ，则a ∥ b ，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；
⑤a ∥ c ， a ∥ c ，则 a Pa 或 a Ì a ，所以⑤不正确；
⑥ a ∥g ，a ∥g ，则 a Pa 或 a Ì a ，所以⑥不正确；
【详解】若方程
x2 2-k
-
y2 2+k
= 1 表示双曲线，则(2 - k )(2 + k )
>
0 ，即-2<k <2
，
答案第11 页，共22 页
由-2<k<2 能推出 -2 < k < 3 ，必要性成立， 由 -2 < k < 3 不能推出- 2<k <2 ，充分性不成立，
【数学理】广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学理试题
又 A 0 ，所以 A 3 …………
解得 A 2 3
S PRQ
1 2 1 2 1 3 3 3 RP RQ sin A 9 A 2 sin 3 12 2 3 2 3 2 2 2
…12 分 17、解：（1）由样本数据知，30 件产品中等级系数 ξ 7 有 6 件，即一等品有 6 件，二等 品有 9 件，三等品有 15 件 ∴样本中一等品的频率为 二等品的频率为
AC 1 ，则 AD 的长为
．
三．解答题（共 6 小题，满分 80 分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. (本小题满分12分) 已 知 函 数 f ( x) 2 A cos 2 ( （ x R ， A 0 ，| |
6
x ) A
2
）， y f ( x) 的部
分图像如图所示， P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点，点 P 的坐标为 (1, A) （1）求 f ( x) 的最小正周期及 的值； （2）若点 R 的坐标为 (1,0) ， PRQ 17．（本小题满分 12 分） 某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 ξ 依次为、 2 、…、 8 ，其中 ξ 5 为标 准 A ， ξ 3 为标准 B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准 B 生 产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准. （1）从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 3 5 4 3 8 3 5 8 3 5 8 5 3 6 4 3 3 4 4 6 4 3 7 4 5 7 6 5 7
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1 成都龙泉二中2017届高三下学期入学考试题 数 学（理工类） 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{11}Axx,1{|()20}2xBx,则BCAR ( ) A.)1,2( B.)0,1( C.)0,1[ D.]1,2( 2.复数212ii的共轭复数的虚部是（ ）
A．35 B．-35i C．-1 D．-i 3.设等差数列}{na的前n项和为nS，若21mS,0mS,31mS，则m（ ） A.3 B.4 C.5 D. 6 4.已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π),若||||||baba，则tanx的值等于( )
A． －1 B． 1 C． D．2
2
5．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（ ）
A．45 B．55 C．66 D．110 6.在正三棱柱111ABCABC中，若12ABBB，则1AB与1BC所成角的大小为（ ） A. 6 B. 3 C.512 D.2 2
7.设函数的图像为C，下面结论正确的是（ ） A．函数f（x）的最小正周期是2
上是增函数在区间函数)2,12()(.xfB
C．图象C可由函数xxg2cos)(的图象向右平移3个单位得到 D．图象C关于点(,0)6对称 8.为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A.50 B.40 C.25 D.20
9. 在ABC中，060A，2AB，且ABC的面积为23，则BC的长为（ ） A.2 B.23 C.32 D.3 10. —空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（ ）
11.给出如下四个命题： ①若“qp”为假命题，则qp,均为假命题；
②命题“若122,baba则”的否命题为“若122,abba则”； ③命题“任意01,2xRx”的否定是“存在01,200xRx”； ④函数fx在0x=x处导数存在，若p：00/xf；q：x=x0是fx的极值点，则p是q的必要条件，但不是 q的充分条件；其中真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4
3
12.定义在实数集R上的函数()yfx的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常 数t 使得()()fxttfx恒成立，则称()fx是一个“关于t函数”.有下列“关于t函数” 的结论： ①()0fx是常数函数中唯一一个“关于t函数”； ②“关于12函数”至少有一个零点； ③2()fxx是一个“关于t函数”. 其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每小题4分，共20分）
13. 设向量)2,1(),1,(bxxa,且ba,则x 14.若函数22()log(2)afxxxa是奇函数，则a . 15.(2015·汕头市监测)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重(kg)，得到的频率分布直方图如图，根据图可得这100名学生中体重在[60.5，64.5]的学生人数是________.
16. 已知()sin(0)363fxxff，，且()fx在区间63，有最小值，无最大值，则＝__________． 三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（12分）已知f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π． （Ⅰ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最小值； （Ⅱ）在△ABC，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值． 4
18.（12分）已知函数211fxxaxb，当,xba时，函数fx的图象关于y轴对称，数列na的前n项和为nS，且11nSfn． （1）求数列na的通项公式； （2）设2nnnab，求数列nb的前n项和nT．
19.(12分)某机械厂今年进行了五次技能考核，其中甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等， 成绩统计情况如茎叶图所示(其中a是0～9的某个整数)； (1)若该厂决定从甲、乙两人中选派一人去参加技能培训，从成绩稳定性角度考虑，你认为派谁去比较合适？ (2)若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析，在抽取的两次成绩中，求至少有一次成绩在(90，100]之间的概率.
20．（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，且过点3(1,)2．若点00(,)Mxy在椭圆C上，则点00(,)xyNab称为点M的一个“椭点”． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线:lykxm与椭圆C相交于,AB两点，且,AB两点的“椭点”分别为,PQ，以PQ 5
为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 21.（12分）已知函数)0(21ln)2()(aaxxxaxf． （Ⅰ）当0a时，求)(xf的极值； （Ⅱ）当0a时，讨论)(xf的单调性；
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。 22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为x＝t，y＝at(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，定点A(6，0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点. (1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程； (2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥23，求实数a的取值范围.
23.（10分）选修4-5:不等式选讲 设函数f(x)＝|x＋1a|＋|x－a|(a>0). (1)证明：f(x)≥2； (2)若f(3)<5，求a的取值范围. 6 7
成都龙泉二中2017届高三下学期入学考试题 数 学（理工类）参考答案 1-5 DCCBB 6-10 DDCDA 11-12 CB
13.32
14.22 15.24 [体重在[60.5，64.5]的学生频率为：(0.05＋0.07)×2＝0.24，∴体重在[60.5，64.5]的学生人数为100×0.24＝24.] 16. 143 17.解： == 依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即，解得， 所以 （Ⅰ）由得， 所以，当时， （Ⅱ）由及f（C）=1，得 而，所以，解得 在Rt△ABC中，，2sin2B=cosB+cos（A﹣C）2cos2A﹣sinA﹣sinA=0， ∴sin2A+sinA﹣1=0，解得∵0＜sinA＜1，
8
23234123121(2)7221111357(21)(1)222211111357+(21)(2)922222111111(1)(2)3222-(21)11222222nnnnnnnnnnnanbTnTnTn
分
分得分
.23111111111=+2-(21)22222211-1152522=+2-(21)=-11122221-2255122nnnnnnnnnnnT（）分所以分 19.解 (1)由平均分相等得：x甲＝88－89－90－91＋925＝x乙
＝84＋88＋89＋（90＋a）＋965＝90，解得a＝3. 可求得方差：s2甲＝15[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2，s2乙＝15[(84－90)2＋(88－90)2＋(80＋90)2＋(93－90)2＋(96－90)2]＝17.2， 因为x甲＝x乙，s2甲(2)从甲的成绩中任取两次的所有结果有：(88，89)，(88，90)，(88，91)(88，92)，(89，90)，(89，91)，(89，92)，(90，91)，(90，92)，(91，92)，共10种；其中至少有一次成绩在(90，100]之间的所有结果有：(88，91)，(88，92)，(89，91)，(89，92)，(90，91)，(90，92)，(91，92)共7种.所以在抽取的成绩中，至少有一次成绩在(90，100]之间的概率P＝710. 20．解析 9
2222
2222
48434843111122342341kmkmmmSABdkkkk
把22243mk代入上式得3S 21.【解】（Ⅰ）当0a时，xxxf1ln2)(，定义域为),0(， )(xf的导函数22'1212)(xxxxxf．分
当210x时，0)('xf，)(xf在)21,0(上是减函数； 当21x时，0)('xf，)(xf在),21(上是增函数．分 ∴当21x时，)(xf取得极小值为2ln22)21(f，无极大值． （Ⅱ）当0a时，axxxaxf21ln)2()(的定义域为),0(，)(xf的导函数为
2222')1)(12(1)2(2212)(xaxxxxaaxaxxaxf．