应力和应变之间的关系
应力应变关系及材料力学性能研究
应力应变关系及材料力学性能研究引言：应力应变关系是材料力学性能研究的基础，关乎着材料在外力作用下的变形与破坏。
本文将探讨应力应变关系的基本概念，并分析其对材料力学性能的影响。
一、应力与应变的定义：应力是指材料在外力作用下受到的内部力，为单位面积上的力。
常见的应力类型有拉应力、压应力、剪应力等。
应变是材料在受力作用下发生的变形程度，为单位长度上的变化量。
常见的应变类型有线性应变、剪应变等。
二、线弹性材料的应力应变关系：对于线弹性材料而言，应力应变关系可以通过胡克定律来描述。
胡克定律表明应力与应变之间呈线性关系，且比例系数为弹性模量。
应力=弹性模量 ×应变这意味着线弹性材料在弹性区内总是遵循胡克定律，即应力的增加与相应的应变呈线性关系。
三、非线性材料的应力应变关系：然而，并非所有材料都遵循胡克定律。
在超出线弹性范围的情况下，材料可能表现出非线性应力应变关系。
例如，在塑性变形时，材料产生塑性畸变，应力与应变之间的关系失去了线性性。
此时，材料的应力应变关系可由应力应变曲线来描述。
四、应力应变关系对材料强度和韧度的影响：应力应变关系直接决定了材料的力学性能，其中强度和韧度是两个重要的指标。
强度是指材料在外力作用下承受的最大应力，可以通过应力应变曲线中的极限强度来衡量。
强度高的材料能够承受更大的外力，具有较好的抗压能力。
韧度是指材料在断裂前能够吸收的能量，可以通过应力应变曲线下的面积来衡量。
韧度高的材料具有较好的抗拉伸能力和耐冲击性。
应力应变关系的形状和斜率都会对材料的强度和韧度产生影响。
通过调整材料的成分、结构和加工方式，可以改变应力应变关系，从而改善材料的力学性能。
五、应力应变关系的实验测定：测量材料的应力应变关系是材料力学性能研究的重要手段。
常见的实验方法包括拉伸试验、压缩试验和剪切试验等。
在实验中，使用应变计和力传感器等设备来测量应变和应力的变化。
通过绘制应力应变曲线，可以获取材料的弹性模量、屈服强度、极限强度、延伸率等参数。
应力和应变之间的关系
即为平面应力状态，有
1
1 E
s 1 s 3
3
1 E
s 3 s 1
联立两式可解得：
s1
E 1
2
1 3
210 10 1 0 .3
2
9
240
0 . 3 160 10
6
s3
44 . 3 M Pa 9 E 210 10 3 1 160 0 . 3 240 10 2 2 1 1 0 .3
利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：
t max s1 s3
2 7.25MPa
§7-5 平面应力状态下的电测法
对各向同性材料图示平面应力状态，在线弹性、 小变形条件下，sx、sy与切应变无关，即有：
sy sx
x y
1 E 1 E
s s
E
x
s s s
y
y F a
sy sx sz
x
a
(a)
z
(b)
解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：
s
y
F A
30 MPa
受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零， 并产生压应力，即有：
x z
1 E 1 E
s s
x
s s
y
s s
z
0 0
所以，应变能密度为： v
d V dxdydz
1tx 2 G
而对纯剪应力状态，其主应力为：
s 1 tx
s2tx
s1 t
x
s
2
钢材的应力应变关系
钢材的应力应变关系
钢材的应力-应变关系是描述钢材在受力作用下的变形行为的关系。
一般来说，在弹性范围内，钢材的应力与应变呈线性关系，可以用胡克定律表示：
应力 = 弹性模量 ×应变
其中，弹性模量是指钢材在弹性变形阶段内的比例系数，用来描述材料的刚度和变形能力。
然而，当钢材超过其弹性极限时，弹性模量的数值不能再用于描述应力-应变关系。
钢材开始发生塑性变形，此时应力与应变之间的关系变得非线性。
塑性变形后，钢材可能会出现颈缩现象，并最终断裂。
需要注意的是，钢材的应力-应变关系还会受到其他因素的影响，如温度、应变速率等。
因此，在实际工程设计中，钢材的应力-应变关系往往需要通过实验或计算来确定，并考虑到各种因素的影响。
解析材料力学中的应变应力关系
解析材料力学中的应变应力关系材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的学科。
在材料力学中，应变和应力是两个重要的概念，它们之间的关系被称为应变应力关系。
本文将对材料力学中的应变应力关系进行解析，探讨其在工程实践中的重要性。
首先，我们来了解一下应变的概念。
应变是物体在受力作用下发生的形变程度，通常用ΔL/L0来表示，其中ΔL是物体的变形长度，L0是物体的初始长度。
应变可以分为线性应变和非线性应变两种情况。
线性应变是指物体在受力作用下，应变与受力呈线性关系，即应变随受力的增大而线性增大。
非线性应变则是指物体在受力作用下，应变与受力呈非线性关系，即应变随受力的增大而变化不规律。
接下来，我们来探讨应力的概念。
应力是物体单位面积上的受力，通常用σ来表示。
应力可以分为正应力和剪应力两种情况。
正应力是指作用在物体上的力与其垂直的面积之比，剪应力则是指作用在物体上的力与其平行的面积之比。
正应力和剪应力都是描述物体受力状态的重要参数。
应变应力关系是材料力学中的重要理论基础之一。
根据胡克定律，当物体的应变处于线性范围内时，应变与应力之间存在着线性关系。
这个线性关系可以用应变应力关系的数学表达式来表示。
对于线弹性材料，其应变应力关系可以用胡克定律的表达式σ=Eε来表示，其中σ为应力，E为杨氏模量，ε为应变。
应变应力关系在工程实践中具有重要的应用价值。
首先，它可以帮助工程师预测材料在受力作用下的变形情况，从而指导工程设计和材料选择。
通过研究材料的应变应力关系，工程师可以确定材料的强度、刚度和可靠性，从而保证工程结构的安全性和可靠性。
其次，应变应力关系还可以用于材料的性能评价和质量控制。
通过测量材料的应变和应力，可以得到材料的力学性能参数，如弹性模量、屈服强度和断裂韧性等。
这些参数可以用来评价材料的质量和性能，并作为质量控制的依据。
此外，应变应力关系还可以用于材料的损伤分析和疲劳寿命预测。
在材料的使用过程中，由于外力的作用，材料会发生变形和破坏。
应变和应力的概念
应变和应力的概念一、引言应变和应力是材料力学中重要的概念，在工程和科学研究中有着广泛的应用。
应变是描述物体形变程度的物理量，而应力则是描述物体内部受力状态的物理量。
本文将详细介绍应变和应力的概念，并深入探讨两者之间的关系。
二、应变的概念2.1 应变的定义应变是描述物体形变程度的物理量，通常用符号ε表示。
应变可分为线性应变和非线性应变两种情况。
线性应变发生在物体受到小的力引起的形变情况下，其应变与受力成正比。
非线性应变则发生在物体受到大的力引起的形变情况下，其应变与受力不成正比。
2.2 应变的分类1.纵向应变2.横向应变3.剪切应变4.体积应变三、应力的概念3.1 应力的定义应力是描述物体内部受力状态的物理量，通常用符号σ表示。
应力分为正应力和剪应力两种情况。
正应力是指垂直于物体截面的力在单位面积上的分布情况，剪应力是指平行于物体截面的力在单位面积上的分布情况。
3.2 应力的分类1.纵向应力2.横向应力3.剪切应力4.欧拉应力四、应变与应力的关系应变与应力之间存在着密切的关系，可以由材料的应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线显示了材料在受力下的变形和应力的关系，以此来研究材料的力学性质。
4.1 弹性阶段在弹性阶段，材料受力后会发生一定程度的形变，但当去除外力时，材料可以恢复到原先的形状。
此时应力与应变呈线性关系，称为胡克定律。
4.2 屈服阶段当外力超过了材料的弹性极限时，材料会进入屈服阶段。
此时材料会产生更大的形变，但仍能回复到非常接近原来形状的状态。
4.3 塑性阶段当外力超过了材料的屈服极限时，材料将进入塑性阶段，并发生不可逆的形变。
在这个阶段，应力与应变之间的关系不再是线性的，材料会呈现出时间依赖性和屈服后的流变行为。
4.4 断裂阶段当外力继续增加，超过了材料的断裂强度，材料将发生断裂并失去原有的结构完整性。
五、总结应变和应力是描述材料力学性质的重要概念。
应变是描述物体形变程度的物理量，而应力是描述物体内部受力状态的物理量。
真应力真应变和工程应力应变的关系
真应力真应变和工程应力应变的关系
真应力和真应变是指材料在力的作用下发生的形变的实际值，具有绝对意义。
而工程应力和工程应变则是指材料在力的作用下发生的形变与原始状态的相对变化，是相对意义上的值。
真应力和真应变可以通过应力-应变关系来计算，一般是使用胡克定律：真应力等于材料的弹性模量乘以真应变。
即σ = Eε。
而工程应力和工程应变是从工程的角度出发进行计算的，考虑材料的尺寸和几何形状的影响。
工程应力等于外部施加的力除以材料的截面积，工程应变等于变形量除以材料的原始尺寸。
虽然真应力与工程应力和真应变与工程应变之间存在一定的差异，但是在弹性范围内，材料的弹性模量是相同的，因此两者之间满足线性的关系。
总的来说，真应力真应变和工程应力应变之间的关系可以通过材料的弹性模量来描述，即真应力等于弹性模量乘以真应变。
而工程应力和工程应变则是通过考虑材料尺寸和几何形状的影响进行计算的相对值。
应力对应变求导
应力对应变求导
应力（σ）与应变（ε）之间的关系在材料力学中通常通过本构关系来描述，对于线弹性材料，应力与应变之间存在线性关系，可以用胡克定律表示：
Hooke's Law:
σ= E * ε
其中，σ代表应力，ε代表应变，E是材料的弹性模量。
求导时，我们对两边同时求关于应变ε的导数：
dσ/dε = d(E * ε)/dε
由于E是一个常数（对于同一种材料，在一定温度和压力范围内），根据乘法法则，我们可以得到：
dσ/dε = E * (dε/dε) = E
所以，应力对应变的导数等于材料的弹性模量E。
这意味着在材料的弹性范围内，应力与应变的变化率是恒定的。
弹性力学中的应力和应变
弹性力学中的应力和应变弹性力学是物理学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律。
在弹性力学中，应力和应变是两个关键的概念。
本文将详细介绍弹性力学中的应力和应变，并探讨它们之间的关系和物体在外力作用下的行为。
一、应力的概念与分类在弹性力学中，应力是描述物体内部受力状况的物理量。
它的定义是单位面积上的力，即单位面积上所受的力。
在材料力学中，通常将力的作用面积取无限小，这样就可以得到面积趋于无穷小的情况下的应力。
根据作用方向的不同，应力可以分为三种类型：正应力、剪应力和体应力。
1. 正应力：即垂直于物体截面的力在该截面上单位面积的作用力。
正应力可以分为正拉应力和正压应力，正拉应力是指物体上的拉力，正压应力是指物体上的压力。
2. 剪应力：即平行于物体截面的力在该截面上单位面积的作用力。
剪应力是指物体上的切力，它使得物体相对于截面沿切应变方向发生形变。
3. 体应力：即物体内部体积元素上的力在该体积元素上单位体积的作用力。
体应力是指物体中各个点处的压力或拉力。
二、应变的概念与分类应变是描述物体变形程度的物理量，它是物体的形状改变相对于初始形状的相对变化量。
应变也可以分为三种类型：线性应变、剪应变和体应变。
1. 线性应变：即物体在受力下沿作用力方向产生的长度变化与初始长度的比值。
线性应变通常用拉伸应变表示。
2. 剪应变：即物体在受剪力作用下发生的相对位移与物体初始尺寸的比值。
3. 体应变：即物体受力时体积的相对变化量与初始体积的比值。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在着一定的关系，它们之间通过杨氏模量来联系。
杨氏模量是描述物体在拉伸应力作用下的应变程度的物理量。
弹性体的材料有两个重要的杨氏模量：弹性模量（或称杨氏模量）和剪切模量。
1. 弹性模量（E）：它描述的是物体在正应力作用下的正应变情况。
根据材料的不同，弹性模量也不同。
2. 剪切模量（G）：它描述的是物体在剪应力作用下的剪应变情况。
应力应变关系矩阵
应力应变关系矩阵是指将应力与应变的比值作用于一个物体材料上所得出的结果，它反映了该材料对应力的响应能力。
应力和应变是材料力学中常见的概念。
应力指施加在物体上的作用力，而应变则是物体由于应力作用而发生的形变。
应力和应变之间的关系可以用杨氏模量、泊松比和胡克定律等公式来描述。
泊松比则指横向应变与轴向应变之比，它反映了物体在拉伸或压缩时变形的方向特性。
胡克定律则指物体的弹性形变与外部作用力成正比，这表示一个物体的应变是直接由它受到的应力所决定的。
我所认识的应力应变关系讲解
我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。
物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。
则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。
一应力-应变关系影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx、、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。
图1-1 应力应变关系图图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，s为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E ，初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。
如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D点卸载至零，应力应变关系自D点沿'DO∥OA，其中DO到达'O点，且''OO为塑性应变p，DG为弹性应变e，总应变为它们之和。
此后再继续加载，为应力应变关系沿ODEF变化，D点为后继屈服点，OD为后继弹性阶段，'s后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。
若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC，s s，而在强化阶段'，称为Bauschinger效应。
DOD，s s从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。
因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T、t的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。
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§7-6 空间应力状态下的应变能密度
一、应变能密度 单位体积的应变能
σ
dV v dV
σ2
1 v s 2 1 v (s 11 s 2 2 s 3 3 ) 2
σ1 σ3
1 2 [s 12 s 2 s 32 2 (s 1s 2 s 2s 3 s 3s 1 )] 2E
200103 500 150 ( 400) 106 1 0.3 2
=-34.6MPa
例 图示纯弯梁，已知外力为M，横截面对中性轴的惯 惯性矩为Iz，材料弹性常数为E、ν，试求线段AB 的长度改变量ΔlAB。 My dl M M 解： s
45°
A
a
B
y
σ
σ45° τ σ-45°
s 45
s
45
45°
2 1 (s 45 s 45 ) E 1 1 s t 2E 2E
σ-45°
计算τ的解法二：
已知：ε0°=500με， ε 45°=400με
90 0 0.3 500 150με
E 0 90 t ( 45 ) 1 2
平面应力状态
ty tx sx sy
tx
sy
sx
ty
1 x (s x s y ) E 1 y (s y s x ) E z (s x s y ) E
xy
1 t xy G
E sx [(1 ) x ( y z )] (1 )(1 2 ) E sy [(1 ) y ( x z )] (1 )(1 2 )
例 工字钢梁的界面尺寸如图所示，已知h=180mm， b=94mm，t=10.7mm，d=6.5mm。F=150kN，E=210GPa， ν=0.3，Iz=16.59×106mm4。试求C点处的线应变ε0° 、 ε 45°和ε90°。
500mm
F
500mm
t
b d h
C
h/4 250mm
z t
解：1）求C点所在截面上的内力 F F FS 75kN M 0.25 18.75kNm 2 2
dx
tyz tzx
tyx
dz
σy
σx σz
σy
σx
＋
＋ σz
1 x [s x (s y s z )] E E E E
sx
sy
sz
广义胡克定律
1 x [s x (s y s z )] E 1 y [s y (s x s z )] E 1 z [s z (s x s y )] E
tyz tzx tyx
txy txz txy tzy tzx txz txy dy tyx tyz
dx
dz
1 xy t xy G 1 yz t yz G 1 zx t zx G
E sx [(1 ) x ( y z )] (1 )(1 2 ) E sy [(1 ) y ( x z )] (1 )(1 2 ) E sz [(1 ) z ( x y )] (1 )(1 2 )
45 10.7 ) =98997mm3 2
FS S Z 75103 98997 68 .85 MPa t 6 bIz 6.5 16.5910 3）求线应变 s 50 .86 4 2 . 42 10 τ 0 E 210103 σ σy≠0！！！ 242με
§7-4 应力与应变之间的关系
一、各向同性材料的广义胡克定律 线弹性和小变形
tyx tyz s z tzx sx t t tzy txy sx xz xy tzx txz txy sz dy tyx tyz dz sy
dx
sy
sy sx
dy
sz
sz
dx
sy
dz
txy t t sx ＋ zy xz t xy txz t txy zx dy tyx tyz
σ
T 16T t 3 WP d
σy≠0！！！
注意σ 和τ 的方向！！！
4F 0 E E d 2
s
F
4 314 .1kN
τ
E 0 d
2
4
200 10 500 10 200
3
6
2
3）求T
s 45
σ σ45° τ
s
2
t t
非45°角时！！！
σ2
σ3
t t t t
V 1 2 3 V 1 2 σ1 (s 1 s 2 s 3 ) E 要使一点的体积应变为 零，必须使该点处的三个主 应力之和为零。
s1 s 3 t
s2 0
1 2 s 1 s 2 s 3 0 E
sz 0
说明： 1）x 和 y 必须是两个互相垂直的方向； 2）括号中的第一项必须是与 x 同方位的正应力， 而第二项中的应力必须是与x 垂直的方位上的 正应力； 3）上述公式同样适用于其它方位的应力状态。
ty
tx sx ty tx sy
1 x (s x s y ) E
sy
sx
v vV vd
500mm
F
500mm
t
b d h
C
h/4 250mm
z
t
2）取C点的应力状态
τ σ
My 18.75106 45 s 16.59106 Iz
50 .86 MPa
注意σ 和τ 的方向！！！
500mm
F
500mm
t
b d h
C
h/4 250mm
z t
SZ 9410.7 (90 10.7 / 2) 6.5 (45 10.7) (45
二、形状改变比能
σ2
1 2 (s 1 s 2 s 3 ) E
σ1
1 s m (s 1 s 2 s 3 ) 3
' s 2 s m s 2
σ3
形状改变 体积改变
σm σm (1)
＋
' s 3 s m s 3
s 1 s m s 1'
1 2 1 2 1 (s 11 s 21 s 31 ) 3s m E E
y
My s Iz
l AB
1 sdl 2E l AB
l AB
2 ( l ) a a 1 My 1 M 2 dl d l 2 E 0 I z 2 E 0 Iz
2 (1 )M 4EIz
2 (1 )Ma2 0 ldl 8EIz
a
二、各向同性材料的体积应变
σ-45°
测得ε0°（εx）、ε45°（ε45°）和ε90°（εy）
σy
45°
σx
τx
E sx ( x y ) 2 1 E sy ( y x ) 2 1 E x y tx ( 45 ) 1 2 x y E tx ( 45 ) 1 2
2. 形状改变比能
' s 2 s m s 2
形状改变
s 1 s m s 1'
' s 3 s m s 3
1 1 1 1 s2 2 s3 3 vd s 1 2 2 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 2 s 3 s 1 s 3 6E
1 2 2 (s 12 s 22 s 32 ) E
=0
(2)
1 2 (s 1 s 2 s 3 ) E
1. 体积改变比能
σm
s m (s 1 s 2 s 3 )
1 3
体积改变
σm
31 2 2 1 3 sm vV (s 11 s 2 2 s 3 3 ) s m m 2E 2 2 1 2 2 s 1 s 2 s 3 6E
45°
50 .86 s s 45 t 68.85 94 .28 MPa 2 2 50 .86 s s 45 t 68.85 43 .42 MPa 2 2 1 45 (s 45 s 45 ) 非45°角时！！！ E 1 4 [ 94 . 28 0 . 3 ( 43 . 42 )] 5 . 11 10 210 10 3
90 0 0.3 2.42104 7.26105
t t sx
45°
σy≠0！！！
sy
45
sx
1 (s 45 s 45 ) E
t
sy
tsLeabharlann 45 s x s y2
s x s y
2
t x
t x
s 45
τ
σ
σ45°
τ
例 一钢制圆杆受拉扭组合作用，如图所示，已知直径 d=200mm，E=200GPa，ν=0.30。已测得圆轴表面 上a点处的线应变为ε0°=500με， ε 45°=400με。 试求F和T之值。 T F
τ
ε45° a ε0° T
4F F s 2 A d 2）求F
F
解：1）取a点的应力状态
s s 45 s 45 2 1 1 s 45 (s 45 s 45 ) 2E E 1 dl AB 45 dl s dl 2E 1 l AB dl AB sdl 2E l AB l
AB
Iz
M
45°
A
M a B