数学思想方法(二)方程思想、函数思想、数形结合思想
数学思想二
龙文教育学科导学案课题数学思想二学习目标与考点分析数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
学习重点重难点：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等的理解和应用。
学习方法探究法、分析、对比、归纳总结学习内容与过程回顾所学，强化旧知师生互动，夯实基础考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000（1+x）2 =7200．解得x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×120%=8640万人次．答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．例2 李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）李明步行的速度（单位：米/分）是多少？（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？考点：分式方程的应用。
2018大二轮高考总复习文数课件：第1板块 第2单元 数学思想方法 精品
进行研究，以求得问题的解决
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在
对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系
已知数列{an}是各项均为正数的等差数列. (1)若 a1＝2，且 a2，a3，a4＋1 成等比数列，求数列{an}的通项公式 an； 1 (2)在(1)的条件下，数列{an}的前 n 项和为 Sn，设 bn＝ ＋ ＋…＋S ，若对任 Sn＋1 Sn＋2 2n 意的 n∈N*，不等式 bn≤k 恒成立，求实数 k 的最小值． 1 1
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方
程与二次函数有关理论． (4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立 函数表达式的方法加以解决．
二、数形结合思想——求解数学问题最快捷的途径
以形助数(数题形解) 借助形的生动性和直观性来阐述数之间的 关系，把数转化为形，即以形作为手段， 数作为目的解决数学问题的数学思想 以数辅形(形题数解) 借助于数的精确性和规范性及严密性来 阐明形的某些属性，即以数作为手段， 形作为目的解决问题的数学思想
高中数学中的思想方法(通用2篇)
高中数学中的思想方法（通用2篇）高中数学中的思想方法篇一（一）引导学生做到数形有机结合数形结合是将抽象与具体相融合的过程，在这一过程中能够有效实现数与形的优势互补，将二者之间的本质联系凸显出来。
如在学习《圆的面积》一节时，之前学生已对圆有了基本认识，因此，在教学如何计算圆的面积时，教师可先引导学生猜想圆的面积同什么要素有关。
为了让学生有更为直观的感受，教师还可要求学生自己在练习本上分别画出半径是3cm、4cm和5cm的圆。
然后，再询问学生，这三个圆的大小不一样，那它们的面积大小是什么关系呢？是等于还是半径越小的面积越大，或是半径越大圆的面积越大？学生在思考了一下后大都认为半径为5cm的那个圆最大，半径是3cm的圆的面积最小。
在有了这样的认识后，学生就会在头脑中形成圆的面积同半径有关这样一个认识，之后教师就可据此引导学生如何求得圆的面积。
综上所述，在引入圆的面积之前，我先让学生对圆同半径之间的关系有了一个清晰的了解，为了达到这个目的采取的是让学生自己动手将头脑中抽象的东西通过图形展示出来并结合具体的数字印证出来的方法。
这种数形结合的思想方法能够使问题直观化，将学生学习的积极性和主动性调动起来，提高了课堂教学质量。
（二）学会转化，化难为易转化的思想就是用联系、运动和发展的观点去看问题，通过变换问题的形式，把未解决的或复杂的问题归结到已经能解决的或简单的问题中，从而获得对原问题的解决，因此转化的思想方法也叫划归的思想方法。
在数学教学中转化的思想方法随处可见，特别是在解题时，我们可根据已知条件将问题转化，从另一个角度进行思考将难化易。
如在讲完《圆的周长》这一节后，课后习题中有一道题是将长方形和正方形同圆结合起来，让学生在已知半径的情况下分别求出圆、长方形和正方形的周长。
我将这道题中的一个小题做了改编，让学生在已知正方形周长的情况下去求圆的周长。
圆位于正方形内，二者是相切的关系，这就要求学生能够根据正方形的周长求出正方形的边长，而正方形的边长就是圆的直径，再套用周长C=d的公式就能求得圆的周长。
中学数学教学原则
中学数学中，方程、数列、不等式等问 题都可利用函数思想得以简解； 几何量的变化问题也可以通过对函数值 域的考察加以解决。
2、数形结合思想
“数”——方程、函数、不等式及表达式，代 数 中的一切内容； “形”就是图形、图象、曲线等。 数形结合的本质是数量关系决定了几何图 形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。 数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以 “形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。
3、分类讨论思想
数学中的分类有现象分类和本质分类两种， 前一种分类是以分类对象的外部特征、外部 关系为根据的，如复数分为实数与虚数等， 这种分法看上去一目了然，但不能揭示所分 对象之间的本质联系； 后一种分类是按对象的本质特征、内部联系 进行分类的，如函数按单调性或有界性分类， 多面体按柱、锥、台分类等。
渗透数学思想方法教学的途径
1、在基础知识的教学过程中，适时渗透数学 思想方法 （1）重视概念的形成过程； （ 2 ）引导学生对定理、公式的探索、发现、 推导的过程 。 2、在小结复习的教学过程中，揭示、提炼概 括数学思想方法； 3 、抓好运用，不断巩固和深化数学思想方法。
数学教学原则
数学教学的原则
学习数学化原则
适度形式化原则
1．中学数学中的主要思想： 函数与方程思想
数形结合思想
分类讨论思想 化归与转化思想
1、函数与方程思想
用函数的观点、方法研究问题，将非函
数问题转化为函数问题，通过对函数的研究， 使问题得以解决。即：将问题转化为函数问 题，建立函数关系，研究这个函数，得出相 应的结论。
4、化归与转化思想
在教学研究中，使一种对象在一定条件下转 化为另一种研究对象的数学思想称为转化思 想。体现在数学解题中，就是将原问题进行 变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的 或易于解决的问题，就这一点来说，解题过 程就是不断转化的过程。
常见的数学思想方法
常见的数学思想方法在数学的学习过程中，有哪些常见的思想方法呢?下面是店铺网络整理的常见的数学思想方法以供大家学习。
常见的数学思想方法：分类与整合解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问题后，还必须把它们总合在一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体，这就是分类与整合的思想。
有分有合，先分后合，不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程，也是这种思想方法的本质属性。
高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究与最后如何整合。
特别注意引起分类的原因，我们必须相当熟悉，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念、整数分为奇数偶数等，有些运算法则和公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况，对数函数的单调性就分为a>1，0高考对分类与整合的思想的考查往往集中在含有参数的解析式，包括函数问题，数列问题和解析几何问题等。
此外，排列组合的问题，概率统计的问题也考查分类与整合的思想。
随着新课程高考在全国的实施，在新增内容中考查分类与整合的思想，窃以为，是今后几年高考命题的重点之一。
常见的数学思想方法：函数与方程著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。
一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题。
函数是高中代数内容的主干，函数思想贯穿于高中代数的全部内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。
所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
初中数学思想方法有哪些
初中数学思想方法有哪些1、数形结合思想：就是依据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又显示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、分类讨论的思想：在数学中，我们经常必须要依据研究对象性质的差异，分各种不同状况予以考查;这种分类思索的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
3、联系与转化的思想：事物之间是互相联系、互相制约的，是可以互相转化的。
数学学科的各部分之间也是互相联系，可以互相转化的。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
2方法一1.对应的思想和方法在初一代数入门教学中，有代数式求值的计算题，通过计算发现：代数式的值是由代数式里字母的取值所决定的，字母的不同取值可得不同的计算结果。
这里字母的取值与代数式的值之间就建立了一种对应关系，再如实数与数轴上的点，有序实数对与坐标平面内的点都存在对应关系在进行此类教学〔制定〕时，应注意渗透对应的思想，这样既有助于培养同学用变化的观点看问题，又助于培养同学的函数观念。
2.整体的思想和方法整体思想就是合计数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深入的观察，从宏观整体上熟悉问题的实质，把一些彼此独立但实质上又互相紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。
3.数形结合的思想和方法数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。
著名数学家华罗庚先生说："数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
'这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。
4.分类的思想和方法教材中进行分类的实例比较多，如有理数、实数、三角形、四边形等分类的教学不仅可以使同学明确分类的重要性：一是使有关的概念系统化、完整化;二是使被分概念的外延更清楚、更深入、更具体，并且还能使同学掌握分数的要点方法：3方法二1、数形结合的思想和方法在同学刚接触初中数学不久，教材中设置利用"数轴'这一图形，巩固"具有相反意义的量'的概念，了解相反数，绝对值的概念，掌握有理数大小的道理，理解有理数加法、乘法的意义，掌握运算法则等。
高三数学课件 专题六 数学思想方法
考 点
－4×1×4＝0，解得
考 a＝1或a＝9(舍去)，
向 探
∴当y＝a|x|与y＝f(x)的
究 图像有4个交点时，有
1<a<2.
返回目录
第16讲 函数与方程思想、数形结合思想
[小结] 数形结合思想主要是根据函数图像(或者其他几 何图形)找到解决问题的思路，帮助建立数的运算或者推理 (以形助数)．
32＋42＋1，即 4≤m≤6.
考 点 考 向 探 究
返回目录
第16讲 函数与方程思想、数形结合思想
(2)在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x|的图像，如
图所示，当y＝a|x|与y＝f(x)的图像相切时，联立
－ax＝－x2－5x－4， a>0，
整理得x2＋(5－a)x
＋4＝0，则Δ＝(5－a)2
图16-1
返回目录
第16讲 函数与方程思想、数形结合思想
核
心
知
识
[答案] {2，3，4}
聚
焦
[解析]问题等价于求直线y＝kx与函数y＝f(x)的图像的交
点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n的
取值范围是{2，3，4}．
返回目录
第16讲 函数与方程思想、数形结合思想
体验高考
核
心
6．[2014·湖北卷]如图16-2所示，函数y＝f(x)的图像由
► 考点一 函数与方程思想
函数与方
程思想 —— 1.构建函数后利用函数的性质与方法求
解；2.利用方程求函数的零点；3.由方
考
程求解参数
点
考
向
题型：选择，填空，解答
分值：5～10分
探
难度：中等
与名师对话 高三数学二轮复习 模块二 思想方法贯穿全程巧得分 第一讲 函数与方程思想、数形结合思想
第26页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
C(0， 3)．设 E(0，y)(0≤y≤ 3)，则A→E＝(－1，y)，B→E＝－32，y－ 23，∴A→E·B→E ＝32＋y2－ 23y＝y－ 432＋2116，∴当 y＝ 43时，A→E·B→E有最小值2116.故选 A.
(2)设 f(x)＝ex－x－1，x>0，则 f′(x)＝ex－1， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)>0，∴ex－1>x，即 ea－1>a.又 y＝ ax(0<a<1)在 R 上是减函数，得 a>ae，从而 ea－1>a>ae.故选 B.
也是最小值为 f(1)＝1，而 f1e＝－1＋e，f(e)＝1＋1e，又－1＋e>1＋1e，所以，函数的最
大值为 e－1.所以关于 x 的方程 xlnx－kx＋1＝0 在区间1e，e上有两个不等实根，则实
数 k 的取值范围是1，1＋1e.故选 B.
第19页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
第27页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类 比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方 法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时， 要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．
第21页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
2．(2020·广东广州一模)若 a，b 是正数，且满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围 为___9_，__＋__∞__ _．
中考试题中的数学思想方法例析
边形、圆等初中数学的重点内容; 一条
是暗线 :通过试题重点考察初中数学常
用的思想方法。数学思想方法是数学的
生命和灵魂，是数学知识的精髓 ，是把
知识转化为能力的桥梁。随着中考改革
的深人 ，中考试题从 知识型转 到能力
型，更加突出了对数学思想力一法的考察。
一、… 粗
初中阶段常用的数学思想有: 数形
结合思想 、分类讨论思想、整体思想 、转
分析: 本题分别应用切割线定理和 勾股定理，列出方程 ，问题即得到解决。
解: 由乙B=900，可知 BC土AB. -.-BE 为0 0 的直径，
.-.CB 切0 0 于 B
-.-AC 切0 0 于点 D,
.-.CD = C B
.由'.A切B=割八线D定2 理矛一1，可得 AD2=AExAB AE
一一一一 I 一一一一止一一一上一一习一一一』一仁
b
-a
0
a
-b
图1
例 2 二次函数Y=xz+x+1 与反比
例函数 Y- 1 在同一直角坐标系中交点 X
的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
分析 : 如果用代数方法 ，解方程组
代人求得 :x' +x2- I=0 ，来讨论三次方程 根的个数 ，是闲难的;如果在同一直角
化思想 、方程思想 、函数思想等。
1. 数形结合思想
就是把数式 与图形结合起来 、代数
与几何结合起来 ，进行分析 、研究、解决
问题的思维策略。
例 1 已知:a>O, b<O,a+b<O，那么
下列各式中正确的是( )
A . 一h < - a < 卜< a
数学思想有哪些
数学思想有哪些
数学常用的数学思想方法主要有：用字母表示数的思想,数形结合的思想,转化思想(化归思想)，分类思想，类比思想，函数的思想，方程的思想，无逼近思想等等。
1.用字母表示数的思想：这是基本的数学思想之一 .在代数第一册第二章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。
2.数形结合：是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。
3.转化思想：在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。
转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。
4.分类思想：有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。
5.类比：类比推理在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义.它能触类旁通，启发思考，不仅是解决日常生活中大量问题的基础，而且是进行科学研究和发明创造的有力工具.
6.函数的思想：辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。
7.方程：是初中代数的主要内容.初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，在初中阶段就要形成方程的思想.所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1页（共24页） 2014年中考数学二轮复习精品资料 数学思想方法（二） （方程思想、函数思想、数形结合思想） 一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点四：方程思想 从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。 用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。 例4 （2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．
思路分析：（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D； 第2页（共24页）
（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x-2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长． 解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC⊥BC， ∵DC=CB， ∴AD=AB， ∴∠B=∠D；
（2）解：设BC=x，则AC=x-2， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， ∴（x-2）2+x2=42，
解得：x1=1+7，x2=1-7（舍去）， ∵∠B=∠E，∠B=∠D， ∴∠D=∠E， ∴CD=CE， ∵CD=CB，
∴CE=CB=1+7． 点评：此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
对应训练 4．（2013•娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹
角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41， 3≈1.73） 第3页（共24页）
4．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 设CD=x， 在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
则AD=3CD=3x， 在Rt△BCD中，∠CBD=45°， 则BD=CD=x，
由题意得，3x-x=4，
解得：x=431=2（3+1）≈5.5． 答：生命所在点C的深度为5.5米．
考点五：函数思想 函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。 例5 （2013•凉山州）某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）． （1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（单位：吨）与运输时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？ （2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数． 思路分析：（1）根据每天运量×天数=总运量即可列出函数关系式； （2）根据“实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务”列出方程求解即可． 第4页（共24页）
解：（1）∵每天运量×天数=总运量 ∴nt=4000 ∴n=4000t； （2）设原计划x天完成，根据题意得： 4000x (1-20%)=40001x。
解得：x=4 经检验：x=4是原方程的根， 答：原计划4天完成． 点评：本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系． 对应训练 5．（2013•济南）某地计划用120-180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3． （1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？ 2．解：（1）由题意得，y=360x， 把y=120代入y=360x，得x=3， 把y=180代入y=360x，得x=2， ∴自变量的取值范围为：2≤x≤3， ∴y=360x（2≤x≤3）；
（2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3， 根据题意得：360x-3600.5x=24 解得：x=2.5或x=-3 经检验x=2.5或x=-3均为原方程的根，但x=-3不符合题意，故舍去， 答：原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3． 第5页（共24页）
考点六：数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。 例6 （2013•玉林）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个，写出其中一个点P的坐标是 ．
思路分析：作出图形，然后利用数形结合的思想求解，再根据平面直角坐标系写出点P的坐标即可． 解：如图所示，满足条件的点P有6个， 分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（-5，0）（0，-5）． 故答案为：6；（5，0）（答案不唯一，写出6个中的一个即可）．
点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便． 对应训练 6．（2013•南充）如图，函数y1=1kx与y2=k2x的图象相交于点A（1，2）和点B，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（ ） 第6页（共24页）
A．x＞1 B．-1＜x＜0 C．-1＜x＜0或x＞1 D．x＜-1或0＜x＜1
6．C 四、中考真题训练 一、选择题 1．（2013•六盘水）下面四个几何体中，主视图是圆的几何体是（ ）
A． B． C． D． 1．D 2．（2013•南通）如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1 2．C
3．（2013•娄底）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ） A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2
4．C 第7页（共24页）
5．（2013•常州）已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 5．C 6．（2013•鞍山）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ） A．45° B．35° C．25° D．20°
6．A 7．（2013•黔东南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0
7．D 8．（2013•衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ）（结
果精确到0.1m， 3≈1.73）．
A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m 8．D 9．（2013•娄底）如图，⊙O1，⊙O2、相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为（ ）