专题9 数形结合

专题9 数形结合西安交通大学苏州附属中学 纪尧兵一、填空题例1曲线241x y -+=（22≤≤-x ）与直线()24-=-x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是 【答案】：53,124⎛⎤⎥⎝⎦ 【提示】曲线为圆的一部分，直线恒过定点M (2，4)，由图可得有两个交点时k 的范围。

例2已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1,β=且αβα-与的夹角为120︒，则α的取值范围是 【答案】：230α<<【提示】作出草图，由1sin sin 60Bα︒=，故α=3B又0120B ︒︒<<0sin 1B ∴<<，2303α∴<<例3已知向量(2, 0)OB =,(2, 2)OC =, (2cos ),CA αα=则与夹角的范围为 【答案】：]125,12[ππ【提示】因2(cos ,sin ),CA αα=说明点A 的轨迹是以(2, 2)C 径的圆，如图，则OA 与OB 夹角最大是5,4612πππ+=最小是4612πππ-=例4若对一切R θ∈，复数(cos )(2sin )z a a i θθ=++-的模不超过2，则实数a的取值范围为【答案】：⎡⎢⎣⎦【提示】复数的模2z =≤，可以借助单位圆上一点(cos ,sin )θθ-和直线2y x =的一点(,2)a a 的距离来理解。

例5若11||2x a x-+≥对一切0x >恒成立，则a 的取值范围是【答案】：(,2]-∞x xyM【提示】分别考虑函数1y x a =-和2112y x =-+的图像例6 已知抛物线()y g x =经过点(0,0)O 、(,0)A m 与点(1,1)P m m ++，其中0>>n m ，a b <，设函数)()()(x g n x x f -=在a x =和b x =处取到极值，则n m b a ,,,的大小关系为 【答案】b n a m <<<【提示】由题可设()(),(0)g x kx x m k =->，则()()()f x kx x m x n =--，作出三次函数图象即可。

例7若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 【答案】：0k <或4k =【提示】：研究函数1y kx =（10y >）和函数22(1),(1)y x x =+>-的图像例8已知函数2 1()(2) 1ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 【答案】：230x y ++= 【提示】：由()(2)f x f x =--可得()f x 关于直线1x =-对称，画出示意图（略），(1,(1)f )和(3,(3))f --为关于直线1x =-的对称点，斜率互为相反数，可以快速求解。

例9直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是__________【答案】：514a <<【提示】研究22,0,0x x a x y x x a x ⎧-+≥⎪=⎨++<⎪⎩，作出图象，如图所示．此曲线与y 轴交于(0,)a 点，最小值为14a -，要使1y =与其有四个交点，只需114a a -<<，∴514a <<例10已知：函数()f x 满足下面关系：①(1)(1)f x f x +=-；②当[]1,1x ∈-时，2()f x x =.则方程()lg f x x =解的个数是【答案】：9 【提示】：由题意可知，()f x 是以2为周期，值域为[0,1]的函数． 画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．又∵lg101=，∴由图象可知共9个交点．例11设定义域为R 函数⎩⎨⎧=≠-=101 1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是【答案】：0,0c b =< 【提示】：由)(x f 的图象可知要使方程有7个解，应有0)(=x f 有3个解，0)(≠x f 有4个解。

0,0<=∴b c例12已知a 是实数，函数()22f x a x x a =+-，若函数()y f x =有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是_____________ 【答案】：(－∞，－1)∪(1，＋∞)【提示】易知0,()0a f x ≠=由，即220ax x a +-=，变形得112x x a-=-，分别画出函数112y x =-，21y x a=-的图象(如图所示)，由图易知： 当101a <-<或110a-<-<时，1y 和2y 的图象有两个不同的交点，∴当1a <-或1a >时，函数()y f x =有且仅有两个零点。

例13已知1,1,m n ≥≥且2222log log log ()log ()2a a a a m n am an +=+-，(1)a >，则log ()a mn 的最大值为【答案】：2+【提示】令log ,log a a x m y n ==，这时问题转化为：22(1)(1)4,(0,0)x y x y -+-=≥≥，求x y +的最值．例14函数u =的值域是 【答案】：⎡⎣【提示】可令6x t -消去t得：22216(04,0x y x y +=≤≤≤≤所给函数化为含参数u 的直线系y ＝－x ＋u，如图知min u =u 取最大值，此时由方程组22216y x u x y =-+⎧⎨+=⎩，则22342160x ux u -+-=，由0u ∆=⇔=±因直线过第一象限，max u ∴=，故所求函数的值域为⎡⎣例15已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①对任意的x R ∈都有(4)()f x f x +=；②对任意的1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③(2)y f x =+的图象关于y 轴对称.则(4.5),(6.5),(7)f f f 的大小关系是 【答案】：(4.5)(7)(6.5)f f f <<.【提示】由①：4T =；由②：()f x 在[]0,2上是增函数；由③：(2)(2)f x f x -+=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称.由此，画出示意图便可比较大小.例16关于曲线C ：221x y --+=的下列说法：①关于原点对称；②关于直线0x y +=对称；③是封闭图形，面积大于π2；④不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；⑤与曲线D：x y +=的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的序号是【答案】：①②④⑤【提示】研究曲线C ：221x y --+=的图像，与坐标轴没有交点，不是封闭图形，且2x →+∞时，21y →；2y →+∞时21x →，作出草图即可二、解答题例17设a a >≠01且，试求方程)(log )(log 222a x ak x a a -=-有解时k 的取值范围：【提示】将原方程化为log ()log a ax ak x a -=-22∴-=-x ak x a 22，且x ak x a ->->0022，令y x ak 1=-，它表示倾角为45︒的直线系，y 10>令y x a 222=-，它表示焦点在x 轴上，顶点为()()-a a ，，，00的等轴双曲线在x 轴上方的部分，y 20> 原方程有解 ∴两个函数的图象有交点，由图像知->ak a 或-<-<a ak 0 ∴<-<<k k 101或k ∴的取值范围为()()-∞-，，101例18已知函数),2,(12131)(23-≥∈+++=b R b a bx ax x x f 且、当]2,2[-∈x 时，总有0)(≤'x f .（Ⅰ）求函数f (x )的解析式；（Ⅱ）设函数)(6)(3)(2R m x mx x f x g ∈-+-=，求证：当]1,0[∈x 时，1|)(|≤'x g 的充要条件是31≤≤m .【提示】（Ⅰ）由条件，得b ax x b x a x x f ++=+⋅+⋅='22221331)(， 当]2,2[-∈x 时，总有0)(≤'x f ，结合2()f x x ax b '=++的图像，所以有⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤'≤-'.022,022.0)2(,0)2(b a b a f f由①+②得，2024-≤⇒≤+b b ，又2b ≥-，∴2b =-，把2b =-代入①和②得 .0.0,0.0222,0222=⇒⎩⎨⎧≤≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--a a a a a 因此1231)(3+-=x x x f（Ⅱ）36)1231(3)(2323-+-=-++--=mx x x mx x x x g ，mx x x g 23)(2+-='是关于x 的二次函数，借助()y g x '=的图像（略）当]1,0[∈x 时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤='≤≤≤+-='⇔≤';13|)3(|,130,1|23||)1(|1|)(|2m m g mm g x g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤='>≤+-=';10|)0(|,13,1|23||)1(|g mm g 或① ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤='<≤+-='.10|)0(|,03,1|23||)1(|g m m g 解得，31≤≤m 因此，当]1,0[∈x 时，1|)(|≤'x g 的充要条件是31≤≤m例19已知函数2()3f x x x =-，[]0,x m ∈，其中m R ∈，且0m >.(1) 如果函数()f x 的值域是[]0,2，试求m 的取值范围；(2) 如果函数()f x 的值域是20,m λ⎡⎤⎣⎦，试求实数λ的最小值． 【提示】先考虑2()3f x x x =-，0x ≥的情形则333,(0()3,(x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩当0x ≤≤2()330f x x '=-=得1x =，所以()f x 在[]0,1上是增函数，在⎡⎣上是减函数．当x >2()330f x x '=->，所以()f x在)+∞上是增函数．所以当x ⎡∈⎣时，函数()f x 的最大值是(1)2f =，最小值是(0)0f f ==从而01m <<均不符合题意，且1m ≤≤当m >x ⎡∈⎣时，[]()0,2f x ∈；在x m ⎤∈⎦时，[]()0,()f x f m ∈．这时()f x 的值域是[]0,2的充要条件是()2f m ≤，即332m m -≤，2m <≤. 综上所述，m 的取值范围是[]1,2(2)由(1)知，①当01m <<时，函数()f x 的最大值是3()3f m m m =-，由题意知323m m m λ-=，即3m mλ=-，容易得()m λ是减函数，故λ的取值范围是()2,+∞； ②当12m ≤≤时，函数()f x 的最大值是(1)2f =，由题意知，22m λ=，即22m λ=且是减函数，故λ的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③当2m >时，函数()f x 的最大值是3()3f m m m =-，由题意知，323m m m λ-=，即3m m λ=-且是增函数，故λ的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，λ的最小值是12，且此时2m =.例20已知函数1)(2-=x x f ，|1|)(-=x a x g .⑴若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； ⑵若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，求实数a 的取值范围；⑶求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演算．．．．．．步骤．．）. 【提示】（1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a <.（2）（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥① 当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.② 当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a--，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.③ 当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a-上递减，在[1,]2a--，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.④ 当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a-上递减，在[,1]2a ，[,2]2a-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递增，在[1,2]上递减， 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.综上，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +；当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +； 当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.。