北师版数学高一-必修4学案 -1.2 位移、速度和力 向量的概念

§1 从位移、速度、力到向量1．1 位移、速度和力 1．2 向量的概念[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．[知识链接]1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学常称为矢量，在数学中叫作向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学常称为标量． 2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 3．向量与数量有什么联系和区别？答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小． [预习导引]1．向量：既有大小，又有方向的量叫作向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →. 3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为0的向量，叫作零向量，记作0或0→. (2)单位向量：长度为单位1的向量叫作单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量．(4)平行向量(共线向量)：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b . ②规定：零向量与任一向量平行．要点一 向量的概念 例1 给出下列各命题： (1)零向量没有方向； (2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (7)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(8)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________． 答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定； (2)该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； (3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合； (6)该命题正确．由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ； (7)该命题不正确．因若b ＝0，则对两不共线的向量a 与c ，也有a ∥0，0∥c ，但a ≠c ； (8)该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清楚它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键． 跟踪演练1 下列命题中，正确的是( ) A ．a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等 B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 C ．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同 D ．共线的单位向量必是相等向量 答案 B解析 若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 是平行向量，即向量a 与b 共线，与前提矛盾，所以a 与b 都是非零向量． 要点二 向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解 根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三 相等向量与共线向量例3 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．(1)写出与AO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？→相等的向量为：OC→、BF→、ED→.解(1)与AO→共线的向量为：OA→、OC→、CO→、AC→、CA→、ED→、DE→、BF→、FB→.(2)与AO→与CO→不相等，因为AO→与CO→的方向相反，所以它们不相等．(3)向量AO规律方法判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同、长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．跟踪演练3如图，在正方形ABCD中，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解不妨设正方形的边长为2，则以A，B，C，D，M，N为起点和终点的向量中：→＝DC→，BA→＝CD→，AD→＝BC→，DA→＝CB→，AD→＝MN→，DA→＝NM→，(1)模为2的相等向量共有8对，AB→＝MN→，CB→＝NM→.BC→同向的有MB→，DN→，NC→，这四个向量组成相等的向(2)模为1的相等向量有12对，其中与AM量有6对，即AM→＝→，AM→＝DN→，AM→＝NC→，MB→＝DN→，MB→＝NC→，DN→＝NC→，同理与AM→反向的也有6对．MB→＝MC→，NA→＝CM→，MD→＝BN→，DM→＝NB→.(3)模为5的相等向量共有4对，AN1．下列说法正确的是()A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个单位向量方向相同答案C解析零向量的长度为0，方向是任意的，故A，B错误，C正确．任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故D错误．2．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →. 3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中是共线向量的有________．答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解．4．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，且AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合，是一种广义的平行．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．一、基础达标 1．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行． 其中，正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 A解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，不能确定它们的方向，故③错误； 对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误． 2．下列说法中错误的是( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等 答案 C解析 长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念及向量的模的意义可判断A 、B 、D 选项内容都是正确的． 3．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； 其中不正确的命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 B解析 不正确的是①②③.4．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有相同起点的向量D ．模相等的向量答案 D解析 这四个向量的模相等．5．若a 是任一非零向量，b 是模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1.其中正确的是( )A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③ 答案 B解析 a 任一非零向量，故|a |＞0.6.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF → 答案 D解析 由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同，故EP →＝PF →.7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， ∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同， ∴DN →＝MB →. 二、能力提升8．以下命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；②若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；③单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①A 、B 、C 、D 四点可能共线；③单位向量的模相等，但方向不确定，所以未必共线． 9．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________． 答案 ①③④解析 因为a ＝b ⇒a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④. 10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示：(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD |→＝|BC →|＝200 km.11．如图，已知矩形ABCD 中，设点集M ＝{A ，B ，C ，D }，求集合T ＝{PQ →|P 、Q ∈M ，且PQ →＝0}．解 集合T ＝{PQ →|P 、Q ∈M ，且PQ →≠0}中的元素为非零向量PQ →，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点ABCD .这些向量为AB →，AC →，AD →，BA →，BC →，BD →，CB →，CA →，CD →，DA →，DB →，DC →. 由于AB →＝DC →，AD →＝BC →，BA →＝CD →，DA →＝CB →，根据集合元素的互异性，得集合T ＝{AB →，AC →，AD →，BD →，CD →，CA →，DA →，DB →}． 12．如图所示，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.打印版高中数学 又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)由(1)知，四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.三、探究与创新13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．解 由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.∵集合中元素具有互异性，∴集合T 中的元素共有12个．。