期望效用函数
金融经济学整理
金融经济学名词解释自然状态：特定的会影响个体行为的全部外部环境因素。
自然状态的信念：个体会对每一种状态的出现给予一个主观的推断，即某一特定状态s出现的概率P。
期望效用原则：人们在投资决策时不是用“钱的数学期望〞来作为决策准则，而是用“道德期望〞来行动的。
而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。
即人们关怀的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，而且，财富增加所带来的边际效用〔货币的边际效用〕是递减的。
效用函数的定义：不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定不仅对自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变化。
公平博彩：指不改变个体当前期望收益的赌局，如一个博彩的随机收益为ε，期望收益为E(ε)=0，我们就称其为公平博彩。
效用函数的凸凹性的局部性质：经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是一种局部性质。
即一个经济主体可以在某些情况下是风险厌恶者，在另一种情况下是风险偏好者。
效用函数是几个不同的局部组成。
在人们财富较少时，局部投资者是风险厌恶的；随着财富的增加，投资者对风险有些漠不关怀；而在较高财富水平阶段，投资者则显示出风险偏好。
确定性等价值：是指经济行为主体对于某一博彩行为的支付意愿。
即与某一博彩行为的期望效用所对应的数学期望值〔财富价值〕。
风险溢价：是指风险厌恶者为防止承当风险而情愿放弃的投资收益。
或让一个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的风险补偿。
阿罗-普拉特定理：对于递减绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增加，其对风险资产的投资逐渐增加，即他视风险资产为正常品；对于递增绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增加，他对风险资产的投资减少，即他视风险资产为劣等品；对于常数绝对风险厌恶的经济行为主体，他对风险资产的需求与其初始财富的变化无关。
相对风险厌恶的性质定理：对于递增相对风险厌恶的经济主体，其风险资产的财富需求弹性小于1〔即随着财富的增加，投资于风险资产的财富相对于总财富增加的比例下降〕；对于递减相对风险厌恶的经济行为主体，风险资产的财富需求弹性大于1；对于常数风险厌恶的经济行为主体，风险资产的需求弹性等于1。
名词解释
推导边际效用和边际替代率之间的额关系【两种方法】
推导柯布道格拉斯函数的边际替代率
第五章
选择
概念
最优消费束：在最优消费束处，无差异曲线与预算线是相切的。
需求束：一定价格和收入水平下商品1和商品2的最优选择称为消费者的消费束。
需求函数：将最优选择—需求数量—与不同的价格和收入值联系在一起的函数。
图形
偏好的实例：
完全替代品；完全互补品；厌恶品；中性商品；餍足；离散商品
第四章
效用
概念
效用函数：为每个可能的消费束指派一个数字的方法，它指派给受较多偏好的消费束的数字大于指派给受较少偏好的消费束的数字。如果f(u)是表示某种偏好的效用函数的任一单调变换，那么f(u(x1,x2))就一定也是一个表示那些相同偏好的效用函数。一个效用函数的单调变换还是一个效用函数，这个效用函数代表的偏好与原效用函数代表的偏好相同。
拉氏指数：如果用基期价格作为权数，我们得到的数量指数就是拉氏指数。帕氏指数大于1，则消费者在t期状况优于基期。
帕氏指数：如果用时期t的价格作为权数，我们得到的数量指数就称作帕氏指数。拉氏指数小于1，则消费者在基期的状况优于t期。
价格指数：价格的加权指数，权数为数量。新指数：（M）衡量总支出变动，时期t的总支出/时期b的总支出
微观经济学—现代观点
第二章
预算约束
概念
消费束：用（x1,x2）表示消费者的消费束，告诉我们当消费者选择商品x1时，他的消费量是多少，当消费者选择x2时，他的消费量是多少。
预算约束:花费在两种商品上的货币数量不超过消费者能花费的总数。
预算集:价格为(p1,p2)和收入为m时能够负担的消费束称为消费者的预算集。
状态依赖性债券：如巨灾债券，这类债券只有在某个特定事件发生时才会进行支付。
效用理论在保险决策中的应用
效用理论在保险决策中的应用保险是一种风险转移的机制，其基本原理是将一部分风险分散到大量的保险人身上，以缓解个体遭受意外风险的经济损失。
在保险决策中，效用理论被广泛用于风险评估和决策制定。
本文将探讨效用理论在保险决策中的应用。
一、效用函数效用函数是描述人们偏好和决策的数学模型。
效用函数的作用是将每个决策的期望收益（或损失）转化为数值，以便进行比较和选择。
在保险决策中，效用函数可用于度量个体对保险产品的需求程度和决策效益的大小。
二、主观概率和期望效用主观概率是指个体对某种事件发生可能性的主观估计。
在保险决策中，个体所处的环境和历史经验等因素都可以影响个体对某种事件发生的估计。
因此，在计算期望效用时，必须考虑主观概率的影响。
期望效用是指一个决策的所有可能结局的效用值加权平均值。
在保险决策中，个体需要考虑购买保险和不购买保险两种决策所带来的期望效用。
如果购买保险的期望效用高于不购买保险的期望效用，那么个体应该选择购买保险。
三、边际效用理论边际效用理论是效用理论的重要分支之一，指的是每增加一单位某种物品所带来的效用变化。
在保险决策中，边际效用理论可以用来衡量保险保额的最优选择。
通常情况下，随着保额的增加，保险的边际效用逐渐降低。
也就是说，在保费不变的情况下，保险保额越高，个体每增加一单位保额所带来的效用增加越少。
基于这种情况，个体可以使用边际效用理论来确定最优的保险保额。
四、风险规避风险规避是指个体在面对不确定性的情况下，采取一定的行动或决策以减少或避免风险的发生。
在保险决策中，风险规避是保险的核心目的。
当个体面临不确定的风险时，购买保险可以有效地规避这些风险，保障个体的生活和经济安全。
在实际保险决策中，个体往往会对不同的风险做出不同的选择。
效用理论可以帮助个体进行风险规避的决策，确定最优的保险产品和保障方案。
五、总结效用理论在保险决策中具有广泛的应用价值。
通过效用函数、主观概率、期望效用、边际效用理论和风险规避等方法，个体可以更加科学地评估风险和制定保险决策，从而更好地保障自身经济安全。
《效用函数》课件
05
效用最大化问题
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
消费者在购买某一商品时愿意支付的 最高价格与实际支付价格之间的差额 。消费者剩余反映了消费者对商品的 主观评价和实际支付之间的差异。
无差异曲线法
预算约束法
通过选择无差异曲线上的点来实现效用最 大化，无差异曲线上的点表示能给消费者 带来相同效用的不同商品组合。
在预算约束条件下，选择能够使总效用最 大的商品组合。
06
效用函数的发展趋势和未来展望
效用函数在经济学中的发展趋势
跨学科融合
随着经济学与其他学科的交叉研究， 效用函数的理论和应用将进一步融入 心理学、社会学和环境科学等领域， 以更全面地解释人类行为和经济现象 。
效用函数作为决策分析的重要工 具，为决策者提供了一套完整的 分析框架和方法。
04
效用函数的性质
边际替代效应
边际替代效应是指消费者在保持总效 用不变的情况下，通过改变消费组合 中不同商品的消费量，以获得最大效 用。
边际替代效应反映了消费者对于不同 商品之间的替代关系，是消费者行为 的一个重要特征。
对同一种商品的效用评价可能不同。
效用具有主观性和个体差异性，反映了消费者的个人偏好和价
03
值取向。
效用函数的定义
01
效用函数：表示消费者对不同消费组合的效用评价 的函数。
02
效用函数将商品的数量或消费组合映射到效用值上 ，反映了消费者的偏好和价值取向。
03
效用函数有多种形式，常见的有线性效用函数、二 次效用函数、对数效用函数等。
前景理论ProspectTheory复旦行为经济学
“An essential feature of the present theory is that the carriers of value are changes in wealth or welfare, rather than final states. This assumption is compatible with basic principles of perception and judgment. Our perceptual apparatus is attuned to the evaluation of changes or differences rather than to the evaluation of absolute magnitudes. When we respond to attributes such as brightness, loudness, or temperature, the past and present context of experience defines an adaptation level, or reference point, and stimuli are perceived in relation to this reference point (Helson (1964)). Thus, an object at a given temperature may be experienced as hot or cold to the touch depending on the temperature to which one has adapted. The same principle applies to nonsensory attributes such as health, prestige, and wealth. The same level of wealth, for example, may imply abject poverty for one person and great riches for another depending on their current assets. “ -- Kahneman and Tversky (1979 Econometrica, p. 277)
期望效用理论
Sichuan University
一、风险与不确定性
伯努利选择的期望效用函数为对数函数，即用alog(x) 表示效用函数，x表示财富。则对投币游戏的期望值的计算 应为对其对数函数期望值的计算：
E[u(x)] 1 a log 2x1 a1.39 a log 2x 2x
其中， 0 为一个确定值。
（元） （元）
Sichuan University
一、风险与不确定性
问题：是否期望收益最大准则就是一个最优的决策法 则呢？
典型例子：“圣彼德堡悖论”（Saint Petersburg Paradox）问题：
有这样一场赌博：掷硬币直到正面朝上为止。第一次 就得到正面朝上的结果，则赢得 1 元，第二次得到正面 朝上的结果，赢得 2 元；第三次时，得4 元，......。 一般情形为如果掷n次，则第 n 次赢得 2 的 n-1 次方元
Sichuan University
一、风险与不确定性
通过观察函数f可以区分确定条件下和不确定条件下的 决策。
若f关于现实状态是不变的，即现实状态不会影响产生的 结果，则可以认为是确定条件下的决策。
若不同的状态导致不同的结果，则可以认为是不确定条 件下的决策。
Sichuan University
一、风险与不确定性
3、在投机与赌博中的风险 投机：在获取相应报酬时承担一定的风险。 赌博：为一个不确定的结果打赌或下注。
Return
Sichuan University
一、风险与不确定性
（二）不确定性下建立偏好模型的方法 1、状态偏好方法
定义：自然（或现实）状态指特定的、会影响个体行 为的所有外部环境因素。
通常用S表示自然状态的集合： S={1，…，s}。
证明期望效用小于期望值的效用
求证：对于风险规避型效用函数()u x ，有期望效用(())E u x 小于期望值的效用(())u E x 。
证明：根据风险规避型效用函数的定义，可知()u x 满足：'()0u x >，''()0u x <，其图像描述为下图。
显然，从该效用函数的图像容易得出，在该效用函数曲线上任取两点11(,())A x u x 和22(,())B x u x ，则连接该两点得到的线段AB 在弧线AB 之下。
假设财富值为随机变量X ，取值为1x 的概率为1p ，取值为2x 的概率为2p ，211p p =-。
则财富值的期望值为1122p x p x +，该期望值带来的效用为C 点纵坐标：1122()u p x p x +。
从C 点做出垂直于横轴的直线，与线段AB 的交点设为D 点，其横坐标与C 相同，为1122p x p x +，而其纵坐标可以由直线AB 与直线CD 交点得出。
根据直线的两点式方程，可以得出直线AB 的方程以及D 点的纵坐标，为1122()()p u x p u x +，即为VNM 期望效用。
因为D 点在C 点下方，所以其纵坐标1122()()p u x p u x +小于C 点纵坐标1122()u p x p x +，即对于风险规避型效用函数，满足期望效用(())E u x 小于期望值的效用(())u E x 。
1))
2))
21122,())
x u p x p x +221122,()())
x p u x p u x +。
第三章期望效用与前景理论1
U(X2)
pU(X1)+(1-p)U(X2)
U(pX1+(1-p)X2) U(X1)
B A
X1 pX1+(1-p)X2 X2
U(pX1+(1-p)X2) <pU(X1)+(1-p)U(X2)
13
3.1 期望效用理论
（3）风险中性
U(X2)
U(X1)
X1
pX1+(1-p)X2 X2
U(pX1+(1-p)X2) =pU(X1)+(1-p)U(X2)
10
3.1 期望效用理论
A：100%获得100美元
A：确定性收益100美元
B：50%获得200美元，50%什么都没
B：期望收益100美元
有
• 决策人偏好确定性所得，则属于风险厌恶
U(A)>U(B)
• 决策人偏好不确定
• 决策人不关心是确定性还是不确定性所得，则属于风险中性
实验结果大部分人选择了(A,D)
18
3.2 心理学实验对期望理论的挑战
问题1
选择A
选择B
收益 概率 收益 概率
100万 100% 500万 10%
100万 89%
0
1%
问题1
选择A
选择B
收益 概率 收益 概率
100万 11% 500万 10%
100万 89% 100万 89%
0
1%
问题2
选择C
选择D
收益 概率 收益 概率
100万 11% 500万 10%
0
89%
0
90%
问题1
选择A
选择B
收益 概率 收益 概率
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期望效用函数
期望效用函数是经济学中重要的概念，它可以用来度量一个人或者一个团体，对不同收益水平的偏好。
它是在经济学理论中一种重要的概念，因此必须深入理解这个概念，掌握它可以提供的实用价值。
一般来说，期望效用函数是一类函数，它在某一收益水平下，可以描述一个人或者一个团体对特定收益水平的偏好。
它可以衡量一个人或者一个团体在同一时期内，不同收益水平的偏好，以及可以预测他们在不同收益水平下的选择行为。
因此，对于一个团体来说，如果想要知道他们对不同收益水平的偏好，最好的办法就是采用期望效用函数。
比如，如果一家企业想要测量一个投资计划的收益水平是否能满足员工的期望，那么就可以通过期望效用函数来做评估。
而在期望效用函数的应用方面，有很多不同的理论和方法，这些理论和方法可以用来估计期望效用函数，并且可以应用在不同的实践中。
比如，有一类是数学估计方法，它可以基于收集的经济数据来估计期望效用函数；另一类是实验估计方法，它可以通过把问题表述的清晰明确，让参与者做出有意义的选择，把选择和收益之间的关系估计出来。
最后，此外，还有一些其他的统计技术可以用来模拟期望效用函数，比如多元线性回归和Logit模型，可以用来模拟和预测消费者的行为，在一定收益水平下，消费者会做出怎样的选择。
总之，期望效用函数是一个重要的概念，可以用来预测一个人或
者一个团体对不同收益水平的偏好，并且在很多经济学理论中有着重要的应用价值。
因此，期望效用函数的研究和分析非常重要，可以为企业和政府提供有效的决策指导。