2018年日本初中数学奥林匹克决赛试题
初中数学奥林匹克训练题及答案
初中数学奥林匹克训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.已知m 、n 是两个连续正整数，m<n ，且a=mn ，设x=m -a n a ++，y=m -a n a -+.下列说法正确的是( ).(A)x 为奇数，y 为偶数 (B)x 为偶数，y 为奇数(C)x 、y 都为奇数 (D)x 、y 都为偶数2.设a 、b 、c 和S 分别为三角形的三边长和面积，关于x 的方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0的判别式为Δ.则Δ与S 的大小关系为( ).(A)Δ=16S 2 (B)Δ=-16S 2 (C)Δ=16S (D)Δ=-16S3.设a 为5353--+的小数部分，b 为336336--+的小数部分.则a b 12-的值为( ). (A) 6 + 2 -1 (B) 6- 2+1 (C) 6- 2-1 (D) 6+2+14.如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，△ACD 与△BCD的周长相等，△ABE 与△CBE 的周长相等，记△ABC 的面积为S.若∠ACB=90°，则AD ·CE 与S 的大小关系为( ).(A)S=AD·CE(B)S>AD·CE(C)S<AD ·CE(D)无法确定5.如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，延长边BC 到点P ，使得△PAB 与△PCA 相似.则PC 的长是( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)106.如图，以PQ=2r(r ∈Q)为直径的圆与一个以R(R ∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD 切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R 、r 的值可能是( ).(A)R=5，r=2 (B)R=4，r=3/2(C)R=4，r=2 (D)R=5，r=3/2二、填空题(每小题7分，共28分)1.已知方程x 2+x-1=0的两个根为α、β.则αββα33+的值为 . 2.把1，2，…，2 008个正整数分成1 004组:a 1，b 1;a 2，b 2;…;a 1 004，b 1 004，且满足a 1+b 1=a 2+b 2=…=a 1004+b 1004.对于所有的i(i=1，2，…，1 004)，a i b i 的最大值为 .3.AD 、BE 、CF 为△ABC 的内角平分线.若BD+BF=CD+CE=AE+AF ，则∠BAC 的度数为 .4.下列四个命题:①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形; ②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;③一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形; ④一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.其中，正确命题的序号是 .第二试一、(20分)已知△ABC 中，∠A>∠B>∠C ，且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数，面积也为整数，求△ABC 面积的最小值.二、(25分)已知G 是△ABC 内任一点，BG 、CG 分别交AC 、AB 于点E 、F.求使不等式S △BGF ·S △CGE ≤kS 2△ABC 恒成立的k 的最小值.三、(25分)已知(x+1y 2+)(y+1x 2+)=1.求证:x+y=0.初中数学奥林匹克训练题参考答案第一试一、1.C.x=n+m=m+m+1=2m+1，y=n-m=1.所以，x 、y 都是奇数.2.B.因为Δ=(b 2+c 2-a 2)2-4b 2c 2=(b 2+c 2-a 2+2bc)(b 2+c 2-a 2-2bc)=[(b+c)2-a 2][(b-c)2-a 2]=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a).记p=21(a+b+c)，所以，Δ=2p·2(p-a)·2(p-c)[-2(p-b)]=-16p(p-a)(p-b)(p-c).由海伦公式知S 2=p(p-a)(p-b)(p-c).故Δ=-16S 2.3.B.4.A.设BC=a ，CA=b ，AB=c.由题意知AD+AC=BC+CE=21(a+b+c).故AD=21(a+c-b)，CE=21(b+c-a).则AD ·CE=41(a+c-b)(b+c-a)=41[c 2-(a-b)2]=41(c 2-a 2-b 2)+12ab.由∠ACB=90°，知a 2+b 2=c 2，S=21ab.于是，AD ·CE=S. 5.C.由题意知只能是△PAB ∽△PCA. 则有PA/PC=PB/PA=AB/AC=8/6=4/3.故PB=34PA ，PB=PC+BC=PC+7，PA=34PC.又PA 2=PB ·PCPC=9.6.D.辅助线如图.由题意知OA 2=OE 2+AE 2.设AB=2x ，则AE=x. 于是，R 2=[2x-(R-2r)]2+x 2.化简得5x 2-4(R-2r)x+4(r 2-Rr)=0.①要使AB 为有理数，只要x 为有理数，也即方程①的Δ=[-4(R-2r)]2-4×5×4(r2-Rr)=16(R 2+Rr-r 2)为完全平方式，也即只需R 2+Rr-r 2为完全平方式.经验证知，只有选项(D)符合题意.二、1.-7.令A=αββα33+，B=ββαα33+=α2+β2. 由已知有α+β=-1，αβ=-1.故B=(α+β)2-2αβ=1+2=3.①A+B=)=(α3+β3)(1/α+1/β)=-4.②由式①、②得A=-4-3=-7.2.1 009 020.注意到a i b i =41[(a i +b i )2-(a i -b i )2]， a i +b i =(1+2 008)×1 004/1 004=2 009.要使a i b i 的值最大，须a i -b i 的值最小，而a i -b i 的最小值为1，此时a i +b i =2 009，a i -b i =1.于是，a i =1 005，b i =1 004，此时，a i b i 的最大值为1 005×1 004=1 009 020.3.60°.记BC=a ，CA=b ，AB=c.由内角平分线定理知 BD= c b ac +，CD=c b ab +，BF=b a ac +，CE=ca ab +. 由BD+BF=CD+CE ，.去分母并化简得a 2c+2ac 2+2bc 2+c 3=a 2b+2ab 2+2b 2c+b 3，即 (c-b)(a 2+2ac+2ab+b 2+c 2+3bc)=0.显然a 2+2ac+2ab+2bc+b 2+c 2+bc=(a+b+c)2+bc>0.于是，c-b=0，即b=c.同理，当CD+CE=AE+AF 时，有c=a.所以，a=b=c ，△ABC 为等边三角形.故∠BAC=60°.4.④.命题①、②、③可分别给出如下反例:命题①:如图5(a)中的四边形ABCD ，其中，△ABD △CDE.命题②:如图5(b)，作等腰△ADE ，延长底边ED 到任意点O ，以O 为对角线的交点可作出 ABCE ，而此时四边形ABCD 满足条件AD=(AE=)BC ，且AO=CO ，但不是平行四边形.命题③:如图5(c)中的四边形ABCD ，其中，A 、C 是BD 垂直平分线上的任意两点.图5 以下证明命题④是正确的.如图5(d)，已知∠BAD=∠DCB ，且OB=OD.以点O 为中心，将△ABD 逆时针旋转180°.因为OB=OD ，所以，点D 与B 重合， 点B 与D 重合，点A 与射线OC 上某点A 1重合.如果A 1不是C ，则∠BA 1D>∠BCD(A 1在线段OC 内部)或∠BA 1D<∠BCD(A 1在OC 的延长线上)，都与∠BA 1D=∠BAD=∠BCD 矛盾，从而，A 1即是C ，即OA=OA 1=OC.所以，四边形ABCD 是平行四边形.第二试一、记BC=a ，CA=b ，AB=c.如图，作∠BAC 的平分线AD ，则∠BAD=∠DAC=∠B ，∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B.故△ACD △BCA.于是，b/a=CD/b.①又由角平分线定理知b/c=CD/BD.从而，c b b +=BD CD CD + =a CD .② 由式①、②得a c b +=ba . 故a 2=b(b+c).若(b ，c)=d ，则由式①知d|a ，故不妨设(b ，c)=1.于是，可令b=m 2，b+c=n 2.则a=mn ，c=n 2-m 2.由∠A>∠B>∠C ，知a>b>c ，即mn>m 2>n 2-m 2.故m<n< 2 m.③又m 、n 为正整数，从而，2m-m>1，即m> 2 +1.④ 设△ABC 的面积为S ，由海伦公式知 S=41n(n+m)(n-m)·n)-n)(2m (2m +. 由式④知m ≥3.又由式③容易验证:当3≤m ≤7时，只有m=5时，n=6，n)-n)(2m (2m + =8(有理数)，此时，S=14×6×11×1×8=132.下证当m ≥8，n ≥9时，S>162.由式③、④知(2m+n)(2m-n)>3m(2m- 2m)=(6-32)m 2>(6-42)m 2=(2-2)2m 2， n(n+m)(n-m)>n(1+22n)×1=21 (2+ 2)n 2. 由式⑤知 S>14×12(2+ 2)n 2(2- 2)m=14n 2则当m ≥8，n ≥9时，有S>162.故S 的最小值为132，此时，m=5，n=6.所以，a=30，b=25，c=11时，△ABC 面积最小，最小值为132.二、如图，设AF/AB=x ，AE/AC=y.则0<x 、y<1.在△ABE 中，由梅涅劳斯定理有BG/GE·EC/CA·AF/FB=1..从而，u 2+(t-2)u+2t=0在[0，2]内有实根，则Δ=(t-2)2-8t ≥0t ≥6+4 2或t ≤6-4 2.从而t ≤6-4 2.所以，tmax=6-4 2，此时u=2 2 -2.因此，当u=2 2-2，x=y ，即x=y=2-1时，(S △BFG ·S △CEG /S 2△ABC )max=41(6-4 2)2=17-12 2. 故k ≥17-12 2，kmin=17-12 2.三、用反证法证明.(1)先证x=0时y=0，或y=0时x=0.如若不然，假设x=0时，y>0.则 (x+1y 2+)(y+1x 2+)=1y 2+ (y+1)>1，与已知矛盾.当x=0，y<0时，又有 (x+1y 2+)(y+1x 2+)= 1y 2+ (y+1)< 12y 2+-y (1+y)=(1-y)(1+y)=1-y 2<1， 与已知矛盾.故x=0时，y=0. 同理，y=0时，x=0.(2)再证x ≠0，y ≠0时，x+y=0.为此先证xy<0.如若不然，则x>0，y>0或x<0，y<0.当x>0，y>0时，(x+1y 2+)(y+1x 2+)>1，与已知矛盾.当x<0，y<0时，(x+1y 2+)(y+1x 2+)=y)-1x x)(-1y ()y -1)(x x -1(y 222222++++ =y)-1x x)(-1y ()x -(y -122222++≤y)-1x x)(-1y (122++ .但(1y 2+-x>1，1x 2+-y>1，则y)-1x x)(-1y (122++<1，与已知矛盾.从而，xy<0.以下分两种情形讨论.(i)若x+y>0，由于原式关于x 、y 对称，不妨设x>0，y<0.则x>-y ，x2>y2，有(x+1y 2+)(y+1x 2+)>( 1y 2+-y)( 1y 2++y)=1，与已知矛盾.同理，当x<0，y>0时，也与已知矛盾.(ii)若x+y<0，不妨设x>0，y<0.则x<-y ，x 2<y 2，有(x+1y 2+)(y+1x 2+)<(1y 2+-y)( 1y 2++y)=1，与已知矛盾.由(i)、(ii)知，x+y>0和x+y<0均不成立.因此，x+y=0.综上知x+y=0.。
初中数学奥林匹克竞赛模拟试卷(八年级)
初中数学奥林匹克竞赛模拟试卷(八年级)全国初中数学奥林匹克竞赛试卷（八年级）一、选择题1、已知三点A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则三点在同一直线上。
解析：AB的解析式为y= 3x+3，当x= -4时，y=1，即点C在直线AB上，∴选D。
2、边长为整数，周长为20的三角形个数是8个。
解析：设三角形的三边为a、b、c且a≥b≥c，a+b+c=20，a≥7，又b+c＞a，2a＜20a＜10，又7≤a≤9，可列出（a、b、c）有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5）（8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C。
3、N=++，则N的个位数字是9.解析：的个位数字为3，的个位数字为9，的个位数字为7，∴N的各位数字为9，选C。
4、P为正方形ABCD内一点，若解析：过P作BP’⊥BP，且使BP’=BP，连P’A。
易得△P’AB≌△PBC，则P’A=PC，设PA=k，则PB=2k，PC=P’A=3k，连PP’，则Rt△PBP’中，∠P’PB=45°且PP’=22k，在△P’AP中有：P’A2=P’P2+PA2，∴∠P’PA=90°，∴∠APB=135°选B。
5、在函数y= -x（a为常数）的图象上有三点：（-1，y1）（-4，y2）（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2.解析：-（a2+1）＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，因此y1＜y2.又∵（-1，y1）在第二象限，而（2，y3）在第四象限，∴y3＜y1，选C。
6、已知a+b+c≠0，且c=a=b。
解析：由c=a=b，可得a=b=c，代入a+b+c≠0中，得3a≠0，∴a≠0，选D。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
6．设 M A.60． 【答】B. 因为 M
1 1 1 1 1 ，则 的整数部分是 2018 2019 2020 2050 M
二、填空题： （本题满分 28 分，每小题 7 分） CE AB 于 E ，F 为 AD 的中点， 1． 如图， 在平行四边形 ABCD 中，BC 2 AB ， 若 AEF 48 ， 则 B _______． 【答】 84 . F A 设 BC 的中点为 G ，连结 FG 交 CE 于 H ，由题设条件知 FGCD 为菱形. 由 AB // FG // DC 及 F 为 AD 的中点，知 H 为 CE 的中点. 又 CE AB ，所以 CE FG ，所以 FH 垂直平分 CE ，故 E H DFC GFC EFG AEF 48 . B G 所以 B FGC 180 2 48 84 . 2．若实数 x, y 满足 x 3 y 3 【答】3.
2 2
即 (a b) 2[(a b) 4ab] (a b)[(a b) 3ab] 0 ， 又 a b 2 ，所以 2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0 ，解得 ab 1.所以 a b (a b) 2ab 6 ，
a2 ) .设 B( x1 ,0) ， C ( x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，则 2
BC | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 4a 2 4
全国初中数学奥林匹克竞赛试题
1、若一个正多边形的每个内角都等于150度，则这个正多边形是（）边形。
A. 六B. 七C. 八D. 九解析：正多边形的内角和外角互补，即内角加外角等于180度。
已知内角为150度，则外角为180-150=30度。
正多边形的所有外角之和为360度，因此这个正多边形有360/30=12个边，但考虑到是内角为150度，实际应为正多边形的边数n满足(n-2)*180/n=150，解得n=12/3+2=6。
（答案：A）2、在直角坐标系中，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标是（）。
A. (-3,-4)B. (3,-4)C. (-3,4)D. (4,-3)解析：在直角坐标系中，任意一点关于原点对称的点的坐标，横纵坐标都会变成相反数。
因此，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标应为(-3,-4)。
（答案：A）3、若一个数的平方等于它本身，则这个数是（）。
A. 1B. -1C. 0或1D. 0，1或-1解析：设这个数为x，则x2=x，移项得x2-x=0，即x(x-1)=0，解得x=0或x=1。
因此，这个数是0或1。
（答案：C）4、下列四个数中，最大的是（）。
A. 1/2B. -1/2C. 0D. -1解析：正数总是大于0，0总是大于负数。
在给出的四个数中，1/2是正数，-1/2和-1是负数，0是零。
因此，1/2是最大的。
（答案：A）5、若a，b，c为三角形的三边，且a=3，b=4，则c的取值范围是（）。
A. 1<c<7B. 3<c<4C. 4<c<7D. 无法确定解析：根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
因此，a+b>c，a-b<c，即3+4>c，4-3<c，所以1<c<7。
（答案：A）6、下列哪个选项中的两个数互为相反数（）。
A. 2和-3B. -2和-2C. 3和-3D. 2和1/2解析：相反数的定义是，如果两个数的和等于零，那么这两个数互为相反数。
初中数学竞赛数学奥林匹克初中训练题(1)(含解答)
数学奥林匹克初中训练题(1)第 一 试一、选择题:(每小题7分,共42分)1.已知33333a b c abca b c++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)42.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为( )(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)- 3.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A( ) (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么( )(A)22S CP < (B)22S CP = (C)22S CP > (D)不确定 6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有( )(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组 二、填空题:(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过 分钟,货车追上了客车.2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .3.如图, ∠AOB=30O, ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .B第 二 试一、(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.二、(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边BC 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5. (1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25S .求BD 长. (2)若,AC =且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.三、(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.。
初中数学奥赛题(共10篇)
初中数学奥赛题(共10篇)初中数学奥赛题（一）: 我在初中数学竞赛书中看到abc上加了一条横线, 我在初中数学竞赛书中看到这样一个整数例题:如果一个三位数正好等于各个数位上的数字之和的13倍,试求这三位数. 他在解中写了设这三位数可表示为abc上加了一条横线abc上加了一条横线是什么意思啊abc上加了一条横线表示一个三位数．为了区分abc是表示a,b,c,相乘,还是表示一个三位数才在abc上加了一条横线．例如：234既可以表示2乘以3乘以4,也可以表示二百三十四．同样abc也表示两个意义,但abc上加了一条横线只表示一个三位数,既abc上加了一条横线=100a+10b+c初中数学奥赛题（二）: 奥林匹克初中数学奥林匹克 x3 ————————学奥林匹克数其中每一个文字都代表1到9数字285714×3=857142数学奥林匹克×3=学奥林匹克数先从最高位想起,最高位：数×3=学,可以大致确定2×3=6；再看最低位：克×3=2,4×3=12；……初中数学奥赛题（三）: 精英数学大视野与培优竞赛新方法谁好这两本书是出自于同一个老师的,个人觉得差别不太大,都是讲一些小方法、小技巧的难题不太多,适合数学解题水平刚刚达到进入优秀生级别的学子,或者是掌握了数学竞赛的大部分内容但在解题细节和技巧方面还需要提高的尖子生.所以这位同学可以根据自己的看法购买.对于想要在全国赛夺得一等奖甚至是名次的同学来说,这两本书绝对只能作为练习来做一下.如果想要在全国赛上夺得好成绩,建议：1.购买详解专题的系列书,比如奥赛经典系列书（初高中均可）2.初中高中知识要全部过关（初中的也建议学习高中知识,这对竞赛来说,你将比别人有优势）初中数学奥赛题（四）: 数学奥林匹克初中训练题85求最小的正整数K,使得存在正整数N,满足10的N次方=29K+2K=3448275862初中数学奥赛题（五）: 命题委员会为5-10年级准备数学奥林匹克试题,每个年纪各7道题命题委员会为5-10年级准备数学奥林匹克试题,每个年纪各7道题,而且都恰好有4道题跟其他年级不同.试问,其中最多可以有多少道不同的试题（指各年级加在一起）根据题目要求,求最多可以有多少道不同的试题,那么就是仅两两年级间的题目一样,便于理解,我使得相邻年级间有题目相同,不相邻的就都不同,做如下假设：5年级题目：A1,B1,C1,D1,E1,F1,G16年级题目：A2,B2,C2,D2,E1,F1,G1 （A-D不同）7年级题目：A2,B2,C2,D3,E3,F3,G3 （D-G不同）……剩下三个年级类似,通过上述规律我们看出,5年级首先出了7题,6年级在5年级的基础上另出了4题,7年级在6年级的基础上再另出4题,……即,除5年级外,每个年级只需在前一年级的基础上另出4题.最后计算所有不同试题的式子即是：4＊5＋7＝27初中数学奥赛题（六）: 数学奥林匹克初中训练题85在平行四边形ABCD中,连接对角线AC、BD,若角BAD为锐角,且（AC*BD）平方=AB四次方+BC四次方,求角BAD的度数A设AB=CD=a,BC=AD=b,AC=c,BD=d角B+角A=180度余弦角A平方=余弦角B平方,得到2(a平方+b平方)=c平方+d平方又根据余弦定理余弦角B平方=(a四次+b四次-2a平方b平方-2b平方c平方-2a平方c平方+c四次)/4a平方b平方经化简同时代入已知条件AC*BD）平方=AB四次方+BC四次方,余弦角B平方=0.5这样的话角BAD=45度吧初中数学奥赛题（七）: 数学奥林匹克初中训练题84在三角形ABC中,以边BC为直径作半圆交边AB、AC于D、E两点,若DA=EC=4,BC-BD=16/5,则根号[（BD-AD）/BC]等于多少这个数好象不是很好.不好算.我给你说思路吧.作图.联结BE.则角BEC是直角.设BC=X 则BD=X-16/5 BE可以用勾股定理算出在另一个直角三角形ABE中,也可以用勾股定理将AE算出.然后用切割线定理的推论（好象是这个名字……）AD*AB=AE*AC就可以把BC解出来了.就OK了.【初中数学奥赛题】初中数学奥赛题（八）: 数学奥林匹克初中训练题83年已知P（2,3）是反比例函数Y=K/X图象上的点（1）求过点P且与双曲线Y=K/X只有一个公共点的直线的解析式（2）Q是双曲线Y=K/X在第三象限这一分支上的东佃,过点Q作直线使其与双曲线Y=K/X只有一个公共点,且与X轴Y 轴分别交于C、D两点,设（1）中求得的一直线与X轴Y轴分别交于A、B两点.试判断AD、BC的位置关系（3）根据（2）,分析当四边形ABCD面积最小时的形状.【初中数学奥赛题】楼上的...我聊了半天回来...这么好的香饽饽都被做出来了...我还没来得及写呢...遗憾...初中数学奥赛题（九）: 求数学奥林匹克题目解题过程X=1/（1/1980+1/1981+······1/1996+1/1997）求X的整数部分是多少要解题过程.直接计算的不要因为:18/1997初中数学奥赛题（十）: 命题委员会为5～10年级准备数学奥林匹克试题,每个年级各7道题,而且都恰有4道题跟任何其他年级不同.求其中最多可以有多少道不同的试题（指各个年级加载一起）请说明思路.10年级,共六个年级.每个年级有四道与其他年级不同的题,则共有4*6＝24道；每个年级还有三道,为了保证最多,所以其中每道题只能找到一个与它相同的.这样共有3*6/2＝9道以上共24+9＝33道 .新加坡初中数学奥赛题初中数学奥赛题及答案。
初中数学奥数题综合模拟试卷及答案
初中数学奥数题综合模拟试卷及答案初中数学奥数题:综合模拟试卷及答案篇一：初中数学模拟试题及答案初四数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将第i卷选择题所选选项填入下表，第1～3小题每题3分，第4～12小题每题4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．1．例如图，数轴的单位长度为1，如果点a，b则表示的数的绝对值成正比，那么点a则表示的数是（a）－4（b）－2（c）0（d）42．以下排序恰当的就是（a）（－p2q）3＝－p5q3（b）（12a2b3c）÷（6ab2）＝2ab2－（c）3m÷（3m－1）＝m－3m2（d）（x2－4x）x1＝x－43．长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（a）3（b）4（c）12（d）164．未知m＝??221，则存有3??（a）5＜m＜6（b）4＜m＜5（c）－5＜m＜－4（d）－6＜m＜－55．下列命题中，假命题是（a）平行四边形就是中心对称图形（b）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等（c）对于直观的随机样本，可以用样本的方差回去估算总体的方差（d）若x2＝y2，则x＝y6．如图，将周长为8的△abc沿bc方向平移1个单位得到△def，则四边形abfd的周长为（a）6（b）8（c）10（d）127．如图，b处在a处的南偏西45°方向，c处在a处的南偏东15°方向，c处在b处的北偏东80°方向，则∠acb等于（a）40°（b）75°（c）85°（d）140°8．未知一组数据：1，3，5，5，6，则这组与数据的方差就是（a）16（b）5（c）4（d）3.29．如图，在直角坐标系中，矩形oabc的顶点o在坐标原点，边oa在x轴上，oc在y轴上，如果矩形oa′b′c′与矩形oabc关于点o位似，且矩形oa′b′c′的面积等于矩形oabc面积的1，那么点b′的坐4（－∠abc线段点标是（a）（－2，3）（b）（2，－3）c）（3，－2）或（－2，3）（d）2，3）或（2，－3）10．如图，△abc是等边三角形，p是的平分线bd上一点，pe⊥ab于点e，bp的垂直平分线交bc于点f，垂足为q．若bf＝2，则pe的长为（a）23（b）3（c）2（d）311．例如图，在rt△abo中，斜边ab＝1．若oc∥ba，∠aoc＝36°，则（a）点b到ao的距离为sin54°（b）点b到ao的距离为tan36°（c）点a到oc 的距离为sin36°sin54°（d）点a到oc的距离为cos36°sin54°12．如图，点a是反比例函数y?23（x＞0）的图象上任意一点，ab∥x轴交反比例函数y??的xx图象于点b，以ab为边作□abcd，其中c，d在x轴上，则s□abcd为（a）5（b）4（c）3（d）2二、填空题：本题共5小题，满分20分，13．水解因式：3m3－18m2n＋27mn2＝．14．例如图，在菱形abcd中，点e，f分别就是bd，cd的中点，ef＝6cm，那么存有ab＝15．如果代数式x2＋3x＋2可以则表示为（x－1）2＋a（x－1）＋b的形式，则a＋b的值是．16．当阔为3cm的刻度尺的一边与圆切线时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为cm．17．二次函数y＝－（x－2）2＋9的图象与x4轴围整数利用说道一个变成的半封闭区域内（包含边界），斜、纵坐标都就是的点有个．（提示信息：必要时可以．三、答疑题：本大题共7小题，共55分后．答疑必须写下必要的文字清、证明过程或编程语言步骤．18．（本题满分6分后）x?x2?x?x化简分式?，并从－1≤x＜3中选出?2??2x1x1x2x1你认为合适的整数x代入求值．19．（本题满分6分后）如图，在△abc中，ab＝ac，ad是高，am是△abc外角∠cae的平分线．（1）用尺规作图方法，并作∠adc的平分线dn；（留存作图痕迹，不文学创作法和证明）（2）设dn与am处设点f，推论△adf的形状，并详述理由．20．（本题满分8分）关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）谋m的值域范围．（2）若2（x1＋x2）＋x1x2＋10＝0，谋m的值．21．（本题满分8分）某校八年级为介绍学生课堂讲话情况，随机提取该年级部分学生，对他们某天在课堂上讲话的次数展开了统计数据，其结果如下表中，并绘制了如图所示的两幅不完备的统计图，未知b，e两组发言人数的比为5：2，恳请融合图中有关数据提问以下问题：（1）求出样本容量，并补全直方图；（2）该年级共计学生500人，恳请估算全年级在这天里讲话次数不少于12的人数；（3）已知a组发言的学生中恰有1位女生，e组发言的学生中有2位男生，现从a组与e组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．22．（本题满分9分）某学校为了提升办学条件，计划添置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，出售1块电子白板比卖3台笔记本电脑多3000元，出售4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，须要出售电子白板和笔记本电脑的总数为40，建议出售的总费用不少于300000元，并且出售笔记本电脑的台数不少于出售电子白板数量的3倍，该校存有哪几种出售方案？（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？23．（本题满分9分）例如图，梯形abcd就是全等梯形，且ad∥bc，o就是腰cd的中点，以cd短为直径作圆，交bc于e，过e作eh⊥ab于h．（1）澄清：oe∥ab；1cd，澄清：ab就是⊙o的切线；2bh（3）在（2）的条件下，若be＝4bh，谋的值．ce（2）若eh＝24．（本题满分9分）例如图，顶点为p（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点a在该图象上，oa缴其对称轴l于点m，点m，n关于点p等距，相连接an，on．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点a的座标就是（6，－3），谋△ano的面积．（3）当点a在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠anm＝∠onm．②恳请从∠ona、∠nao中挑选出一个推论其若想为直角，并详细表明理由．一、选择题1.与无理数最吻合的整数就是a．1b．22.以下运算恰当的就是c．3d．4篇二：2021年初中奥数题及答案2021年初中奥数题及答案初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么()a．a，b都就是0b．a，b之一就是0c．a，b互为相反数d．a，b互为倒数答案：c解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。
2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷
2018年九年级数学竞赛试卷含答案(本试卷共三道大题，满分120分)班级：_____________ 姓名： ________________ 分数：一、选择（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1、篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分） （ ）2、已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关 系是（ ） A ．外离 B ． 外切 C ．相交 D ．内切3、已知：4x =9y =6，则y 1x 1+等于( )A 、2 B 、1 C 、21D 、23 4、抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ）A .b=2，c=0 B. b=2， c=2 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=25、若不等式组⎩⎨⎧>++<+-mx x m x 1104的解集是4>x ，则（ ）A 、29≤mB 、5≤mC 、29=m D 、5=m6、已知0221≠+=+b a b a ，则ba的值为（ ）A 、-1 B 、1 C 、2 D 、不能确定7、任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解：q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定qpn F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ，则在以下结论: ①21)2(=F ②83)24(=F ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F ④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则an F 1)(=。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知2012，b =，2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a << 【答】C.因为11a =，1b=110a b<<，故b a <.又2)1)c a -=-=1)，而221)30-=->1，故c a >.因此b a c <<.2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 【答】B.方程即22()234x y y ++=，显然x y +必须是偶数，所以可设2x y t +=，则原方程变为22217t y +=，它的整数解为2,3,t y =±⎧⎨=±⎩从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)-，(1,3)，(7,3)-，(1,3)--，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ ）ABCD【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE. 连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BDBG==. 4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ）EC AA ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 【答】B.442222222219()2122()48a ab b a b a b ab a b ab ab ++=+-+=-+=--+.因为222||1ab a b ≤+=，所以1122ab -≤≤，从而311444ab -≤-≤，故2190()416ab ≤-≤，因此219902()488ab ≤--+≤，即44908a ab b ≤++≤.因此44a ab b ++的最小值为0，当a b ==a b ==时取得. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p的所有可能的值之和为 （ ）A ．0.B ．34-.C ．1-.D ．54-. 【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p +=-，1232x x p ⋅=--，所以2222121212()2464x x x x x x p p +=+-⋅=++，332212121212()[()3]2(496)x x x x x x x x p p p +=++-⋅=-++.又由232311224()x x x x +=-+得223312124()x x x x +=-+，所以2246442(496)p p p p p ++=+++，所以(43)(1)0p p p ++=，所以12330,,14p p p ==-=-. 代入检验可知：1230,4p p ==-均满足题意，31p =-不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p +=+-=-.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =_________． 【答】 1±.由1a t b +=得1b t a =-，代入1b t c +=得11t t a c +=-，整理得2(1)()0ct ac t a c -++-= ① 又由1c t a+=可得1ac at +=，代入①式得22()0ct at a c -+-=，即2()(1)0c a t --=，又c a ≠，所以210t -=，所以1t =±.验证可知：11,1a b c a a -==-时1t =；11,1a b c a a+=-=-+时1t =-.因此，1t =±. 2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 ． 【答】 1．设2521mn ⨯+=（其中n 为正整数），则2521(1)(1)m n n n ⨯=-=+-，显然n 为奇数，设21n k =-（其中k 是正整数），则524(1)m k k ⨯=-，即252(1)m k k -⨯=-.显然1k >，此时k 和1k -互质，所以252,11,m k k -⎧=⨯⎨-=⎩或25,12,m k k -=⎧⎨-=⎩或22,15,m k k -⎧=⎨-=⎩解得5,4k m ==. 因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝ ． 【答】设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC. 又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60，PF ＝CE＝12BC ，因此BCAP4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝ ．【答】332. 因为22313(3)(1)(1)(1)a a a a abc a bc a a bc b c a b c --=-+=+-=--+=--，所以EB2131(1)(1)a a abc =----. 同理可得2131(1)(1)b b b a c =----，2131(1)(1)c c c a b =----. 结合22243131319a b c a a b b c c ++=------可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ++=------，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c ---=-+-+-. 结合1abc =-，4a b c ++=，可得14ab bc ac ++=-. 因此，222233()2()2a b c a b c ab bc ac ++=++-++=.实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422-.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <.又因为c 为整数，所以1114c ≤≤. ……………………5分 根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯， ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩……………………15分 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. ……………………5分 又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ……………………20分∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. ……………………25分 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………10分 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. ……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. ……………………20分 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-. ……………………25分第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >.由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <.又因为c 为整数，所以2129c ≤≤. ……………………5分 根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯， ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩……………………15分当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. ……………………5分 又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴PD BDCD OD=， ……………………15分∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD ADAD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ……………………20分 ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB. ……………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，所以点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………5分 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. ……………………10分将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662b y x b =--++-.易求得两抛物线的交点为Q 23(312102)2b b +-+. ……………………15分 由∠QBO ＝∠OBC 可得tan ∠QBO ＝tan ∠OBC.作QN ⊥AB ，垂足为N ，则N (312b +-，又233(x b b =+=，所以tan ∠QBO ＝QN BN2310212b +=12=111)]22==⋅. ……………………20分又tan ∠OBC ＝OCOB 1(2b ==⋅，所以111)](22b ⋅=⋅-. 解得4b =（另一解45)03b =<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x =-+-. ……………………25分。
初中数学奥林匹克竞赛全真试题
初中数学奥林匹克竞赛全真试题题目一：1. 解方程$\frac{1}{3}x+2=\frac{2}{5}x-1$，求$x$的值。
2. 若直线$y=kx-3$与直线$y=\frac{1}{2}x-5$平行，求$k$的值。
3. 已知$a$是正整数，满足方程$a^2-4a-5=0$，求$a$的值。
题目二：1. 华华跑步比赛中，他以每分钟1.5米的速度匀速前进。
比赛开始后30分钟，华华忘记带水了，于是他以每分钟2米的速度奔回去取水，然后再以每分钟1.5米的速度继续往前跑。
已知比赛结束时，华华总共跑了120米。
请问比赛一共进行了多少分钟？2. 有一条宽为6米的小溪，小明骑自行车沿着小溪一端的水平直线岸边骑行。
小明的自行车速度是每小时10千米，溪水的流速是每小时4千米。
小明骑行了10分钟后，他发现自行车打了个铃，遇到了沿小溪反方向划独木舟的小红。
小红的独木舟速度是每小时5千米。
请问小红划独木舟一共需要多少时间才能追上小明？3. 小玲和小华共同参加一场马拉松比赛。
小玲的速度是每分钟2.5米，小华的速度是每分钟3米。
他们同时从起点出发，一起向终点前进。
已知终点距离起点500米，当小华到达终点时，小玲还剩下100米没有到达终点。
请问比赛结束时，小华比小玲多走了多少米？解答：1. 解方程$\frac{1}{3}x+2=\frac{2}{5}x-1$，求$x$的值。
首先，将方程两边的分数化成相同的分母，得到$\frac{5}{15}x+\frac{30}{15}=\frac{6}{15}x-\frac{15}{15}$。
继续化简得到$\frac{1}{15}x=-\frac{45}{15}$。
通过消去分数，可知$x=-45$。
2. 若直线$y=kx-3$与直线$y=\frac{1}{2}x-5$平行，求$k$的值。
平行的直线具有相同的斜率，所以$k=\frac{1}{2}$。
3.已知$a$是正整数，满足方程$a^2-4a-5=0$，求$a$的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年日本初中数学奥林匹克
决赛
1.k 是大于等于3的整数，使用一个正k 边形，A 和B 两个人玩如下的游戏，重复k 回：A 说一个大于等于1且小于等于100的整数，B 把该整数写在正k 边形的某个尚未写上数字的顶点上如果正k 边形上有写着相同数字的三个顶点，且这三个顶点构成等腰三角形，那么B 获胜，否则A 获胜。
此时，试求出所有的k ，使得不管A 怎么做B 都有办法获胜。
2.有5个人，计算出每两个人的年龄差，发现是两两互异的正整数，试求岁数最大的和岁数最小的人的年龄差可能取到的最小值。
3.设△ABC 的外接圆为ω,AB =AC ,过B,C 两点的圆分别交边AB,AC 于D,E 两点,直线DE 和直线BC 交于点F .直线AF 交ω于A,G 两点.H 为DE 上一点,射线AH 交ω于点I .试证：F,G,H,I 四点共圆.
A
B C D
E F
G
H
I
4.k 是大于或等于2的整数，A =2k −1。
L 是小于或等于A 2的正奇数，首先将其写在黑板上，如下操作重复k −1次：记前面刚写在黑板上的整数为n ，在黑板上写上能整除A −n 的最大正奇数。
此时，试证：包括最初写在黑板上的L ，黑板上的L 出现了至少两次。
5.三角形ABC 的内切圆为ω,边BC CA AB 的中点分别记作A ′,B ′,C ′。
存在六个点B a ,C a ,C b ,A b ,A c ,B c ，线段B a C a ,C b A b ,A c B c 均是圆ω的直径，且分别平行于BC,CA,AB ，
直线B ′C a 与直线C ′B a 交于点X,直线C ′A b 与直线A ′C b 交于点Y ，直线A ′B c 与直线B ′A c 交于点Z ，试证：直线AX,BY,CZ 三线交于一点。
A
B C
A ′
B ′
C ′A b A c C b B c B a C a
X
Y
Z
（中山大学:詹秋明汉化）。