高中数学平面向量知识点总结及常见题型
平面向量
一.向量的基本概念与基本运算
①向量:c b a
,,……来表示,或用有向线段的
起点与终点的大写字母表示,如:AB u u u r AB u u u r ,a
;坐标表示法
)
,(y x yj xi a
向量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r 记作|a
向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0
量a =0 |a
|=由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,(注
意与0的区别)
③单位向量:模为10a 为单位向量 |0a
|=④平行向量(共线向量):a ∥b
以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向⑤相等向量:为b a
),(),(2211y x y x 2
121y y x x ⑥相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a r 的相反向量记作a r
.
设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u
r u u u r =AC uuu r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律;
“三角形法则”与“平行四边形法则”:
(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知
向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向
① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a
的相反向量 记作a
,关于相反向量有: (i ))(a =a
; (ii) a +(a )=(a )+a =0 ; (iii)若a 、b
是互为相反向量,则a =b ,b =a ,a +b =0 ②向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b
的差,
记作:)(b a b a
③作图法:b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、
b
有共同起点)
①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa
,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ)a a
;
(Ⅱ)当0 时,λa 的方向与a 的方向相同;当0 时,λa 的方向与a
的方向相反;当0 时,0
a
向量b 与非零向量a
共线 有且只有一个实数 ,使得b =a
如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21, 使:2211e e a ,其中不共线的向量21,e e
叫做表示这
二.平面向量的坐标表示
如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
(1)若 1122,,,a x y b x y r r ,则 1212,a b x x y y r
r
(2)若 2211,,,y x B y x A ,则 2121,AB x x y y u u u r
(3)若a r =(x,y),则 a r
=( x, y)
(4)若 1122,,,a x y b x y r r
,则1221//0a b x y x y r r
(5)若 1122,,,a x y b x y r r
,则1212a b x x y y r r
若a b r
r ,则02121 y y x x
三.平面向量的数量积
1两个向量的数量积:
已知两个非零向量a r 与b r ,它们的夹角为 ,则a r ·b r =︱a r
︱·︱b r ︱cos
已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r
,则a r ·b r =1212x x y y
2向量的夹角:已知两个非零向量a r
与b r ,作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=
(0
1800 )叫做向量a r 与b r
的夹角
cos =cos ,a b
a b a b ? ?r r r r r r =2
2
2221212121y x y x y y x x
当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时,θ=00
,当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800.
4向量的模: 22||a a a a r r r r
222y x a a
5.向量平行:若 1122,,,a x y b x y r r
,则0//1221 y x y x a b b a
6.向量垂直:如果a r 与b r 的夹角为900
则称a r 与b r 垂直,记作a r ⊥b r
a ⊥
b a ·b
=O 02121 y y x x
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意:不能说向量就是有向线段,为什么?提示:向量可以平移. 举例 1 已知A(1,2),B(4,2),则把向量u A u B ur按向量a r( 1,3)平移后得到的向量是. 结果:(3,0) 2.零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作:0r,规定:零向量的方向是任意的; 3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量(与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ); | AB| 4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量,记作:a r∥b r, 规定:零向量和任何向量平行 . 注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性!(因为有r0); ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题:(1)若|a r | |b r | ,则a r b r. (2)两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同,终点相同 . (3)若u A u B ur u D u C u r,则ABCD是平行四边形 . (4)若ABCD是平行四边形,则u A uu B r u D u C uur. (5)若a r b r,b r c r,则a r c r. (6)若a r / /b r,b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果:(4)(5) 二、向量的表示方法
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)
一,向量重要结论 (1)、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=, 22||a a a a ?== (2)、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos |||| a b a b θ?= (3)、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈,使b a λ=。 (4)、两向量平行的充要条件:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= (5)、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += (6)、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥? (7)、向量的坐标运算:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,则a b ?=1212x x y y + (8)、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9)、向量:既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。相等 向量:长度相等且方向相同的向量。 (10)、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a = 0 ?|a |=0 由于0的方向是任意的, 且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) (11)、单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?| 0a |=1 (12)、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b (即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ,要会求出直线的斜率; (2)给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; (3)给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; (4)给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5)给出以下情形之一:①AC AB //;②存在实数,AB AC λλ=使;③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. (6) 给出λλ++=1OP ,等于已知P 是AB 的定比分点,λ为定比,即λ= (7) 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 ( 8)给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ (9)在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-?+,等于已知ABCD 是菱形;