高考数学文科模拟试卷(五)

2011年高考数学文科模拟试卷（五）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )

如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )

如果事件A 在试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

P n (k )=C k

n p k (1－p ) n －

k

正棱锥、圆锥的侧面积公式S 锥侧=

2

1

cl ，其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长 球的表面积公式S =4πR 2，其中R 表示球的半径 球的体积公式V =

3

4

πR 3，其中R 表示球的半径 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.设M 和m 分别表示函数y ＝2sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于 A.1 B.2 C.－2 D.－1

2.设集合M ={x |x 2－x ＜0，x ∈R }，N ={x ||x |＜2，x ∈R }，则 A.N ?M B.M ∩N =M C.M ∪N =M D.M ∪N =R

3.函数y ＝log 2(1－x )的图象是

4.椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 A.

4

1 B.

2

1 C.

2 D.4

5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若

31

84=S S ，则16

8S S 等于 A.

10

3

B.

3

1

C.

9

1 D.

8

1 6.曲线y =2x 4上的点到直线y =－x －1的距离的最小值为 A.2

B.

2

2 C.

3

2 D.

216

5

7.正三棱锥侧棱长与底面边长的比值的取值范围是

A.［

6

3

，+∞) B.［

33

，+∞) C.(

6

3

，+∞)

D.(

3

3

，+∞) 8.双曲线

11622

2=-b

y x 的一条准线恰好与圆x 2+y 2+2x =0相切，则双曲线的离心率为 A.5

B.2

C.3

D.2

9.现从某校5名学生中选出4人分别参加高中“数学”“物理”“化学”竞赛，要求每科至少有1人参加，且每人只参加1科竞赛，则不同的参赛方案的种数是

A.180

B.360

C.720

D.120

10.某邮局只有0.90元、0.80元、1.10元三种面值的邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且邮资恰好为7.50元，则最少要购买邮票

A.7张

B.8张

C.9张

D.10张

11.定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在［－3，－2］上是增函数，α、β是锐角三角形的两个锐角，则

A.f (sin α)＞f (cos β)

B.f (sin α)＜f (cos β)

C.f (sin α)＞f (sin β)

D.f (cos α)＞f (cos β) 12.对于抛物线C ：y 2＝4x ，我们称满足y 02＜4x 0的点M (x 0，y 0)在抛物线的内部.若点M (x 0，y 0)在抛物线内部，则直线l ：y 0y =2(x + x 0)与曲线C

A.恰有一个公共点

B.恰有2个公共点

C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点

D.没有公共点

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)

13.已知│a │＝3，│b │＝5，且a ·b ＝12，则a 在b 的方向上的投影为___________. 14.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个样本容量为n 的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n =___________.

15.在(1－x )(1＋x )10的展开式中，x 3的系数为___________.(用数字作答)

16.设函数f (x )=lg(x 2+ax －a －1)，给出下列命题：①f (x )有最小值；②当a =0时，f (x )值域为R ；③当a ＞0时，f (x )在［2，+∞)上有反函数；④若f (x )在区间［2，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是a ≥－4.其中正确命题的序号为___________.

三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)

甲、乙两人进行围棋赛，每盘比赛均有胜负，若其中一人胜4盘，则比赛结束.假设甲、乙两人获胜的概率都是

2

1

，求甲4∶2胜的概率. 18.(本小题满分12分)

已知函数f (x )＝ax 3+x 2+1，x ∈(0，1］.

(1)若f (x )在(0，1］上是增函数，求实数a 的取值范围；

(2)求f (x )在(0，1］上的最大值. 19.(本小题满分12分)

如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，点M 在边BC 上，△AMC 1是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形.

(1)求证：点M 为边BC 的中点； (2)求点C 到平面AMC 1的距离； (3)求二面角M —AC 1—C 的大小. 20.(本小题满分12分)

一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线22

22b

y a x -=1(a ＞0，b ＞0)交于P 、Q 两

点，直线l 与y 轴交于R 点，且OP ·OQ =－3，PR =3RQ ，求直线和双曲线的方程.

21.(本小题满分12分)

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1(n ≥2，S n ≠0)，a 1=9

2

. (1)求证：{

n

S 1

}为等差数列； (2)求满足a n >a n －1的自然数n 的集合. 22.(本小题满分14分)

定义在R 上的函数f (x )满足：如果对任意x 1，x 2∈R ，都有f (

221x x +)≤2

1

［f (x 1)+f (x 2)］，则称函数f (x )是R 上的凹函数.已知函数f (x )＝ax 2+x (a ∈R 且a ≠0)，

(1)求证：当a ＞0时，函数f (x )是凹函数；

(2)如果x ∈［0，1］时，│f (x )│≤1，求实数a 的范围.

参考答案

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.解析：M ＝2－1＝1，m ＝－2－1＝－3，∴M ＋m ＝1－3＝－

2. 答案：C

2.解析：M =(0，1)，N =(－2，2)，M ∩N ＝(0，1)＝M . 答案：B

3.解析：由定义域知x ＜1，故排除A 、B ，由函数单调减，故选C. 答案：C

4.解析：椭圆方程为x 2+m

y 12

=1，由题意得m 1＝2×1，∴m ＝41

.

答案：A

5.解析：设S 4＝m ，则S 8＝3m ，∴S 8－S 4＝2m ，由等差数列性质知，S 12－S 8=3m ，S 16－S 12＝4m ，∴S 16=10m ，∴

10

3168=S S . 答案：A

6.解析：设直线L 平行于直线y ＝－x －1，且与曲线y ＝2x 4相切于点P (x 0，y 0)，则所求最小值d ，即点P 到直线y =－x －1的距离，y ′=8x 3=－1.

∴x 0=－

21，y 0=8

1， ∴d =2|1|00++y x =2165

2

|

18

21|=+1

+-. 答案：D

7.解析：设点O 是正三棱锥S —ABC 底面中心，当SO →0时，AB

SA

→33，当SC →＋

∞时，

AB

SA

→＋∞，故选D. 答案：D

8.解析：由题意知a ＝4，c a 2=2，∴c ＝8，∴e ＝a

c

＝2.

答案：B

9.解析：C 4

5C 24A 3

3=180.

答案：A

10.解析：6张1.10元和1张0.90元，共7张. 答案：A

11.解析：∵f (x +1)=－f (x )，∴f (x +2)=f ［(x +1)+1］= －f (x +1)＝f (x ).

∴f (x )周期为2.∵f (x )在［－3，－2］上单调增，∴f (x )在［1，2］上也单调增.

又∵f (x )是偶函数，∴f (x )在［－2，－1］上单调减，∴f (x )在［0，1］也是单调减. 又∵α、β是锐角三角形的两个锐角，

∴α＋β＞2π，α＞2π－β，且2π

－β也是锐角， ∴sin α＞sin(2

π

－β)，又∵sin α、cos β∈(0，1)，

∴f (sin α)＜f (cos β). 答案：B

12.解析：由l 与C 联立方程消x 得y 2－2y 0y +4x 0=0(※)，Δ＝4y 02－16x 0＝4(y 02－4x 0)＜0.

∴方程(※)无实根，∴l 与C 无公共点. 答案：D

二、填空题(每小题4分，共16分) 13.

5

12

14.200 15.75 16.② 三、解答题(17、18、19、20、21题12分，22题14分，共74分) 17.解：甲4∶2胜必定前5盘甲胜3盘，且第6盘甲胜， 故概率为C 3

5(

21)3(1－21)2·21=32

5. 12分

18.解：(1)f ′(x )=3ax 2+2x ，

∵f (x )在(0，1］上是增函数，

∴x ∈(0，1］时，f ′(x )=3ax 2+2x ＞0恒成立， 即a ＞－x

32

对x ∈(0，1]恒成立. ∵－

x

32

在(0，1]上单调增， ∴x ＝1时，－x 32取最大值－32

，

∴a ＞－3

2

即为所求.

6分

(2)①当a ＞－3

2

时，f (x )在(0，1］上单调增，

∴f (x )max = f (1)=a +2. ②当a ≤－

32时，令f ′(x )= 3ax 2+2x =0，由x ≠0，得x ＝－a 32. 当0＜x ＜－a 32时，f ′(x )＞0;当－a 32

＜x ＜1时， f ′(x )＜0，

∴x ＝－a 32时，f (x )取得极大值2

274

a

＋1. 又f (1)＝a +2≤2

274

a

＋1. 10分 ∴f (x )在(0，1]上的最大值为2

274

a +1.

12分

19.(1)证明：∵△AMC 1为以点M 为直角顶点的等腰直角三角形，

∴AM ⊥C 1M ，且AM ＝C 1M ，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC . ∴C 1M 在底面内的射影为CM ，AM ⊥CM .

∵底面ABC 为边长为a 的正三角形，∴点M 为BC 边的中点. 4分 (2)解：过点C 作CH ⊥MC 1于H . 由(1)知AM ⊥C 1M 且AM ⊥CM ， ∴AM ⊥平面C 1CM .

∵CH 在平面C 1CM 内，∴CH ⊥AM ，∴CH ⊥平面C 1AM .

由(1)知，AM ＝C 1M ＝

23a ，CM ＝2

1

a 且CC 1⊥BC . ∴CC 1＝

a a a 2

2

414322=-. ∴CH ＝a a a

a M C CM C C 662

3

21

2211

=?=?. ∴点C 到平面AMC 1的距离为

a 6

6. 8分

(3)解：过点C 作CI ⊥AC 1于I ，连HI ，

∵CH ⊥平面C 1AM ，∴HI 为CI 在平面C 1AM 内的射影， ∴HI ⊥AC 1，∠CIH 是二面角M —AC 1—C 的平面角. 在直角三角形ACC 1中，

CI =a a a a

a AC AC CC 33)

2

2(22

22

11=+?=?， sin CIH =22

3

3

66==a a

CI CH ， ∴∠CIH =45°，∴二面角M —AC 1—C 的大小为45°.

12分

20.解：∵e =3，∴b 2=2a 2，∴双曲线方程可化为2x 2－y 2=2a 2. 设直线方程为y ＝x ＋m ，

由???=-+=2

2222a

y x m x y ，得x 2－2mx －m 2－2a 2＝0. 2分

∵Δ＝4m 2+4(m 2+2a 2)＞0，∴直线一定与双曲线相交.

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－m 2－2a 2. ∵=3，∴x R =

4

32

1x x +=0，∴x 1=－3x 2. 6分

∴x 2＝－m ，－3x 22=－m 2－2a 2，消去x 2得m 2=a 2.

·＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )

=2 x 1x 2+m (x 1+ x 2)+m 2 = m 2－4 a 2＝－3.

∴m ＝±1，a 2＝1，b 2=2，

直线方程为y ＝x ±1，双曲线方程为x 2－2

2y

=1.

12分

21.(1)证明：n ≥2时，a n =S n S n －1，即S n －S n －1＝S n S n －1， ∴

1

11--n n S S =－1. ∴{

n

S 1

}是公差为－1的等差数列.

6分

(2)解：

n S 1=11S ＋(n －1)·(－1)=－n +2

11， ∴S n =

n 2112

-.

a 1=S 1=92，a 2=S 2－S 1=63

4.

∴a 2＜a 1.

8分

n ≥3时，令a n －a n －1＝S n －S n －1－S n －1＋S n －2 =

)215)(213)(211(16n n n ---＞0，解得n ＜211或213＜n ＜2

15

，

∴满足a n ＞a n －1的自然数n 的集合为{3，4，5，7}.

12分

22.(1)证明：对任意x 1、x 2∈R ，∵a ＞0，

∴f (x 1)+f (x 2)－2f (

2

2

1x x +) =ax 12+x 1+ax 22+x 2－2［a (221x x +)2+2

2

1x x +］

=2

1

a (x 1－x 2)2≥0. ∴f (221x x +)≤2

1［f (x 1)+f (x 2)］，

∴f (x )是凹函数.

6分 (2)解：由│f (x )│≤1?－1≤f (x )≤1?－1≤ax 2＋x ≤1.( * ) 当x ＝0时，a ∈R ;

7分

当x ∈(0，1)时，由( * )得

???

???

?--=-≤++-=--≥41)211(1141)211(112222x x x a x x

x a 恒成立. 10分

当x ∈(0，1]时，

x 1≥1.当x 1=1时，－(x 1+21)2+4

1

取最大值－2;

同时(

x 1－21)2－4

1

取最小值0，∴－2≤a ≤0. ∵a ≠0，∴－2≤a ＜0.

14分