2018学年高中数学人教A版选修2-2习题 模块综合检测能力卷 含答案

模块综合检测(能力卷) 时间120分钟，满分150分． 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是导学号 10510897( ) A．y＝7x＋4 B．y＝x－4 C．y＝7x＋2 D．y＝x－2 [答案] D [解析] y′|x＝－1＝(4－3x2)|x＝－1＝1， ∴切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2. 2．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在导学号 10510898( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案] B [解析] ∵x＝3＋4i，∴|x|＝32＋42＝5， ∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z在复平面上的对应点在第二象限，故应选B. 3．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图象是导学号 10510899( )

[答案] A [解析] ∵f ′(x)＝2x＋b为增函数，∴排除B、D； 又f(x)的顶点在第四象限，

∴－b2>0，∴b<0，排除C，故选A.

4．定义复数的一种运算z1*z2=|z1|＋|z2|2(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，z－为z的共轭复数，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*z－的最小值为导学号 10510900( ) A.92 B.322 C.32 D．94 [答案] B [解析] 由题意可得z*z－＝|a＋bi|＋|a－bi|2

＝a2＋b2＋a2＋－b22＝a2＋b2， ∵正实数a，b满足a＋b＝3，∴b＝3－a， ∴a2＋b2＝a2＋3－a2＝2a2－6a＋9，

由二次函数可知当a＝32时，上式取最小值322. 故选B. 5．(2016·宜春高二检测)已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2015，令f1(x)＝f ′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，„，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2016(x)＝导学号 10510901( ) A．sinx＋ex B．cosx＋ex C．－sinx＋ex D．－cosx＋ex [答案] A [解析] f1(x)＝f ′(x)＝cosx＋ex＋2015x2014，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋2015× 2014x2013， f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋2015×2014×2013x2012，„，∴f2016(x)＝sinx＋ex. 6．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是导学号 10510902( )

A.12 B．－1 C．0 D．1 [答案] D

[解析] 由f ′(x)＝3－12x2＝0得，x＝±12，∵x∈[0,1]，∴x＝12，∵当x∈[0，12]，f ′(x)>0，

当x∈[12，1]时，f ′(x)<0，∴f(x)在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x＝12时，f(x)取到极大值也是最大值，f(12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D. 7．(2016·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数．已知函数：

①y＝sinx; ②y＝cos(x＋π6)； ③y＝ex－1; ④y＝x2. 其中为一阶格点函数的序号为导学号 10510903( ) A．①② B．②③ C．①③ D．②④ [答案] C [解析] 对于①，注意到y＝sinx的值域是[－1,1]；当sinx＝0时，x＝kπ(k∈Z)，此时相应

的整数x＝0；当sinx＝±1时，x＝kπ＋π2(k∈Z)，此时没有相应的整数x，因此函数y＝sinx仅

过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y＝cos(x＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y＝ex－1＝k(k∈Z)得ex＝k＋1>0，x＝ln(k＋1)，仅当k＝0时，x＝0∈Z，因此函数y＝ex－1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y＝x2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y＝x2不是一阶格点函数．综上所述知选C. 8．(2016·淄博高二检测)下列求导运算正确的是导学号 10510904( ) A．(2x)′＝x·2x－1 B．(3ex)′＝3ex C．(x2－1x)′＝2x－1x2 D．(xcosx)′＝cosx－xsinxcosx2 [答案] B [解析] 对于A，(2x)′＝2xln2；对于B，(3ex)′＝3ex；对于C，(x2－1x)′＝2x＋1x2；对于

D，(xcosx)′＝cosx＋xsinxcosx2；综上可知选B. 9．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，„，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，„，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是导学号 10510905( ) A．289 B．1024 C．1225 D．1378 [答案] C [解析] 图1中满足a2－a1＝2，a3－a2＝3，„，an－an－1＝n， 以上累加得an－a1＝2＋3＋„＋n，an＝1＋2＋3＋„＋n＝n·n＋12，图2中满足bn＝n2， 一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方．

∵1225＝352＝49×502，∴选C. 10．若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a＝导学号 10510906( ) A．64 B．32 C．16 D．8 [答案] A

[解析] y′＝－12x－32，

∴k＝－12a－32，切线方程是y－a－12＝－12a－32(x－a)，令x＝0，y＝32a－12，令y＝0，x＝3a，∴三角形的面积是S＝12·3a·32a－12＝18，解得a＝64. 11．(2016·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，„，ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有导学号 10510907( ) A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 [答案] C [解析] 由题意可得a1＝0，a8＝1，a2，a3，„，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，„，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个． 12．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是

导学号 10510908( )

A．[－5，－3] B．[－6，－98] C．[－6，－2] D．[－4，－3] [答案] C [解析] ax3≥x2－4x－3恒成立．当x＝0时式子恒成立．∴a∈R， 当x>0时，a≥1x－4x2－3x3恒成立． 令1x＝t，x∈(0,1]，∴t≥1. ∴a≥t－4t2－3t3恒成立． 令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2＝(t＋1)(－9t＋1)， ∴函数g′(t)在[1，＋∞)上为减函数 而且g′(1)＝－16<0， ∴g′(t)<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g(t)在[1，＋∞)上是减函数， ∴g(t)max＝g(1)＝－6，∴a≥－6；

当x<0时，a≤1x－4x2－3x3恒成立，

∵x∈[－2,0)，∴t≤－12， 令g′(t)＝0得，t＝－1， ∴g(t)在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g(t)min＝g(－1)＝－2，∴a≤－2. 综上知－6≤a≤－2. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则2⊗0πsinxdx＝________.

导学号 10510909

[答案] 22 [解析] ∵0πsinxdx＝－cosx|π0＝2>2，

∴2⊗0πsinxdx＝2⊗2＝2－12＝22. 14．请阅读下列材料：若两个正实数a1、a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤2.类比上述结论，若n个正实数满足a21＋a22＋„＋a2n

＝1，你能得到的结论为________.导学号 10510910

[答案] a1＋a2＋„＋an≤n(n∈N*) [解析] 构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋„＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋„＋an)x＋1， ∵f(x)≥0对任意实数x都成立， ∴Δ＝4(a1＋a2＋„＋an)2－4n≤0， ∵a1，a2，„，an都是正数，∴a1＋a2＋„＋an≤n. 15．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：导学号 10510911 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19. 根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋„＋19，m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为________． [答案] 15

[解析] 依题意得n2＝10×1＋192＝100，∴n＝10.

易知m3＝21m＋mm－12×2， 整理得(m－5)(m＋4)＝0， 又m∈N*，所以m＝5， 即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m＋n＝15. 16．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.导学号 10510912 [答案] 1－ln2 [解析] 设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．

则切线分别为y－lnx1－2＝1x1(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝1x2＋1(x－x2)，