中值定理命题证明中的辅助函数构造

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ｃｏⅡ昨ｕ№０００，０４，１０，蛐ｄ缸ｄｓ＾ｎｔｒ０ ｈｔｒＩｌｌ．２０００．０４．１０
【２】常明．陈球垄基于ｓＧＭＬ，）（ＭＬ的文件结构化研究与实现【Ｊ】 计算机研究与发展，２００２．３９ｆ２）
ｆ３】ｓ Ｆｕ，Ｊ．Ｙ ｃｈｕ“ｇ，ｗ．Ｄｉ州ｃｈ，ｃｔ ａ１．Ａ ｐｒ扯ｔｉｃ矗Ｉ ａｐｐｒ０∽ｈ ｆｏ‘ ｗｅｂ—ｂａｓｅｄ Ｉｎｋｍｅｔ ＥＤＩｆ刀１９ｔｌｌ ＩＥＥＥ Ｊｎ地瑚血ｍ蚰ｃｏｎ船舶驿
Ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｌｅｓｓｏｎ－ａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ＸＭＬ
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图３是运行是系统生成的排课数据所见即所得 的界面，界面上 部可以按照班 级、教师和教室 选择的控件，下 部是具体数据信 息浏览效果．
３ 结论
图３输出运行结果
ｘＭＬ以其合理的数据组织结构和可扩展特性， 结合目前的ｎｅｔ和Ｊａｖａ技术，使得开发的过程更加便 捷．但由于ｘＭＬ推出时问较短，特别是大多数行业
证明 在区间（口，ｃ）内存在一点ｆ，使
『，（口）ｇ（ｄ）矗（ｄ）Ｉ
一２ｊ南ｌ，（６）ｇ（６）６（６’ｌ 、 ｌ，”（善）９１（掌）厅。（孝）１
憾薰笼卜叫删．若 分析 ｌ厂（６） ｇ（６）＾（６）ｌ～２（６一ｄ）４＝ｏ．若 ｌ，”（毒） ｇ”（考） Ａ”（善）ｌ
令｝＝ｊ ，且ｍ卜永憾薰剖一
函数构造：将｝换成ｘ，得一个一阶微分方程． 解此方程，得到含有常数ｃ的通解，移项，使ｃ在等 式一边，则另一边即为所需构造的函数．
中ｄ（或６）换成ｘ，令等式一边为—Ｆｂ）即可，但此时
导数，且ｇ。（功≠Ｏ．，（∞＝．厂（６）＝ｇ（口）＝ｇ（６）＝０．
凡Ｔ）中的高需用常数表达式表示．
证明 在（口，６）内至少存在一点｝，使得
例６设，（ｚ）在ｈ圳上连续，在扣，６）内可导，
笪掣＝，（亭）＋∥喈）． 证明 存在一点 ｛ｅ０，∞， 使得
分析 此题型中常数已分离，可令
ｌ，（口）ｇ（口）矗（口）ｌ Ｉｌ ｄ ｏｌ
２（６一ｎ）４）出＝Ｉ．厂（６）ｇ（６）＾（６）卜卅ｌ ６ ｏＩ（数值转
ｓ需证撇鬻＝篇脚
ｌ，（＃）ｇ增）即咧ｌｏ ｏ ２Ｊ
成行列式），此时Ｆ（口），Ｆ（６）符号不易判断，因此需 令Ｇ’（ｚ）＝Ｆ（Ｊ），并结合已知条件的形式设
ｌ，（口）ｇ【口）矗（口）Ｉ ｜１ ｎ ｎ２ｌ Ｇ（ｊ）＝ｌ／（６）ｇ（６）＾（ｄ）卜爿１１ ６ ６２Ｉ，命题可证
例７ 设函数，（』）在【口，卅上可导，且 ，２（ｘ）≠ｚ２，，（口）＝，（６）＝０，证明至少存在一点
｛ｅ（ｎ，ａ），使得，’（ｆ）＝。ｉｊ｝｛！；；｛；ｉ．
有，＝—箬≮，解此微分方程的去＝ｃ．即 分析将所需证结论中｛换成ｘ，令ｙ＝，（ｘ），
蔬＝ｃｘ‘一ｙ‘ｘ‘＋ｙ‘ ， 于是可得辅助函数
Ｆ（∞＝燕．依罗尔定理，命题可证．
【ｌ】毛纲源高等数学方法导论【Ｍ】武汉：武汉测绘科技大学出 版社．１９９２ ７８
【２】陈文灯数学最后冲刺：理工类【Ｍ】．北京：国家行政学院出 版杜，１９卿．
【３］宋向荣，陈梦华谈几类中值定理辅助函数的构造方法【盯榆 林高等专科学校学报．２００ｌ，ｌｌ（２）：２ｌ一２３ （下转第５ｌ页）
万方数据
第１２巷
函数构造：取辅助函数只∞，使ＦＩ∞中含有，０）
因式，积分或解方程求出Ｆ∞的一个原函数（ｃ＝０）． 并且Ｈ口＞叫６）或，（ｃ）＝Ｈ力（ｐ，砷ｃ缸６）），利用罗尔
定理求解
例ｌ设肛），ｇｏ。在开区间（廿＇６）内可导，且
，（』１）＝，（Ｊ２）＝０，置Ｊ２∈（口，６），试证在Ｊｌ与也之间
，（ｘ）坝ｘ培Ｕ）至少存在一个零点．
还未形成公开的、标准的ＤＴＤ和ｓｃｈｅｍａ，所以其潜 力还没有得到充分的挖掘．随着ｘＭＬ的不断发展和 完善，它将在更多的领域广泛应用．是基于ｘＭＬ技 术设计的排课程序，它克服了单机环境的缺点，象 常德师范学院教务排课，其管理跨３个校区．共２７２ 个班级，大大提高了教务管理水平和工作效率．
参考文献
［ＩＪＥ Ｄ１１ｍｂｉＩＩ，ｘＭＬ，ｓｔａｎｄａｒｄｓ皿ｄ ｙｏｕ【ＥＢ，ＯＵ ｈ却：，／ｗｗｗ，ｘｍｌ
ｌ，（ｘ）ｇ（ｘ）矗（ｘ）ｌ １１ ｚ ｘ２Ｉ
６．需证结论：所证等式中常数易分离，且变形 后等式两边关于端点的表达式具有对称性或是轮换
函数构造：将｝换成ｘ，利用分部积分法，求不
定积分，即ｆ，枷’（∞ｇ‘卜２’（ｘ）出＝ｋ“’ｏ），‘卜２’（ｘ）ｄｘ，
于
是
有
，‘”（Ｊ）ｇ‘扣”（ｘ）一ｌ。ｇ‘”。’（Ｊ），ｎ。’（ｘ）
例３若，（Ｊ），ｇ（ｘ）在［ｄ，６］上可导，且ｇ（ｘ）≠０，
则存在一俅（删，使筹器＝舞．１２Ｊ
分析 』！尘二』！盟：￡！曼业岜，』！尘＝』！生：
ｇ（掌）一ｇ（６） ｇ’（毒）
ｇ（Ｊ）一暑（６）
．』ｊ芸——ｔＩＬ＋，（口）ｇ’（ｘ）＋ｇ（６），７（Ｊ）＝（ｇ（ｚ），（Ｊ”．：；兰一
，（ｘ）ｇ（ｚ）＝＿厂（口）ｇ（ｘ）＋ｇ（６），（ｘ）．令只ｘ卜Ｉ，（ｘ）ｇＯ）
分析因所证结论中函数由含导数的两部分和
组成，但又不完全满足“，ｖ＋“ｖ’＝似ｖ）’，因此对上式
变形为ｅ７（“’＋“ｖｒ）＝（“ｅ”）７，故考虑构造
ＦＩ曲＝【，ｒ（Ｊ）＋，（Ｊ）ｇ协）］，‘”，利用罗尔定理可证．
２．需证结论：／∽＞ｇＯ）．
函数构造：将所证不等式通过变形后，一端可
写成！鱼上盟型，将而（或。：）换成；得Ｆ（ｘ）， 而一也
证明时验证拉格朗日定理条件，对Ｆ’（｛）进行适当放
大或缩小，再代入Ｆ’（｛）与Ｊ的关系式即可证得
结论．
例２证明÷＜ｌｎ（１“）ｑ，‘庐ｏ）．【１１
Ｉ十Ｊ
分析 ÷＜ｌｎ（１十砷ｑ ｊ÷＜ｌｎ（１竹）一
ｌ＋Ｊ
Ｉ＋Ｘ
ｌｎ（１＋ｏ心一ｏｊ．士ｃ些型二警塑ｃ１．瞰沪
ｌ十Ｊ
ｊ—Ｕ
可得倦）＝些坐等学， １ｎ（１＋０，ｆ∈［ｏ，加．此时，（ｆ）在［ｏ，ｘ】上满足拉格朗日
定理条件，
似）。南－因为ｏ‘＃旬·所以，击‘壶‘ １ｊ÷＜击龟，命题可证．
Ｉ＋ｘ Ｉ十ｇ
３需证结论：至少存在一点｛∈（口，６），使得
／”’（孝）＝七（七≠ｏ）．
函数构造：将结论中ｆ换觑，通过恒等变形、
积分或解常微分方程，得出原函数．移项，使等式
右边为０，令等式左边为唯）．证明时判断：（１）若
Ｆ（。）＝，（６），利用罗尔定理证明；（２）若只旬尺６）＜Ｏ 时，利用费马定理证明．
第１ ２卷第３期 ２００３年９月
湖南城建高等专科学校学报
ＪｏＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＵＮＡＮ ＵＲＢＡＮ ＣＯＮＳＴＲＵＣＴＩＯＮ ＣＯＬＬＥＧＥ
Ｖｏｌｌ ２ Ｎｏ ３
“中值定理＂命题证明中的辅助函数构造
游学民
（襄樊学院数学系，湖北襄樊４４１０５３）
摘要：高等数学中有关“中值定理”的命题的题型复杂事变，技巧性强，学生在解决这类问题时，往
！！！！兰篁！塑
成“泰勒”公式 例５设函数，（ｘ），ｇ（』），＾（ｘ）在区问【口，卅上连
Ｆ（』）＝＿；ｊ粤杀．依罗尔定理，命题可证．
续．且存在～、二阶导数；又设６∈（口，ｃ），√满足
７．需证结论：，’（｛）＝兀伊（ｆ）】 ‘３】
ｌ，（ａ） ｇ（口） 矗（。）ｌ ｌｌ 口 口２ｌ
方程ｌ＿厂（６）ｇ（６）＾（６）｜＿Ａｌｌ ６ ６ ２ｌ＝ｏ． Ｊ／（ｆ） ｇ（ｆ） ＾（ｃ）Ｊ Ｊｌ ｃ ｃ２
将６（或口）取为Ｊ，则取＿厂（口）＝，（占）＝０．证明至少存
Ｆ∽＝，∽Ｆ∞一ｇ“），『（ｚ）．依罗尔定理，命题可得．
在一点ｆｅ（ｑ６），使得，增）２ｉｊ｛！箩％．
参考文献：
有，＝罢．解此微分方程的去＝ｃ，即 分析将所需证结论中｛换成ｘ，令ｙ＝，（Ｊ），
揣＝ｃｘ’一ｙ‘ｘ‘＋ｙ‘ ， 于是可
ｆｇ”。１’（ｚ），似一２’（Ｊ）ｄｘ＋ｃ ＝ ，‘“’（ｘ）ｇ‘”－１１（ｘ）一
ｇ‘”’（Ｊ），”－１’（ｚ）＝ｃ， 于是有辅助函数
对称性．
Ｆ（ｘ）；＿厂‘”’（ｘ）ｇ‘“。’（ｘ）一ｇ‘１’（曲＿厂‘卜１’（ｚ）
函数构造：ｌ令常数为Ｋ；２恒等变形，将等式
例８设函数，（ｘ）和ｇ（ｘ）在【吼卅上存在二阶
后，有Ｆ（ｄ）≠Ｆ（６）． 函数构造：令Ｇ－（ｘ）＝Ｆ（Ｊ），积分得Ｇ（ｘ），汪明
时使用两次中值定理或在某些情况下将Ｇ（Ｊ）展开
收麓日期：２００３＿０３一１７ 作者简介：游学民（１９６７．）．男，湖北安陆人．讲师．主要从事高等数学教学与研究
万方数据
里———————————望堕壁壅壹董童翌兰壁兰堡
分析 ｘ。，（而）＝Ｉ：，（曲出—竺￡！÷矿（Ｊ）；
￡，扛）血＿＋矿（Ｊ）一ｆ，（ｚ）血＝ｏ．若有Ｆ（ｘ）；可（ｘ）一
ｆ１，（ｘ）出，不易证得，（ｏ）＝Ｆ（１），故令
Ｇ，（ｚ）＝矿（砷一ｆ，（ｚ）出，从而Ｇ（Ｊ）＝ｒ，（，）ｄ，，Ｇ（ｘ）
满足罗尔定理．命题可证． ５．需证结论：形式同３，但通过３构造函数Ｆ（ｊ）
女：笪堑；二型盟，６，（６）一拍：妒（。）一妇（对称式），
丛盟：￡盟
ｇ（喜） ｇ。（孝）
将ｆｊｘ．整理得，（ｘ）ｇ。（Ｊ）＝ｇ（ｚ），’（Ｊ），两边
同时求不定积分得，（ｘ）ｇ’（曲一ｆ，’（ｘ）ｇ’（ｚ）“＝ ｇ（ｚ） ，７“）一Ⅳ’ｏ）ｇ’（ｆ）出＋ｃ ， 从而有
，（ｘ）ｇ’【ｘ）一ｇ（ｘ），’（ｘ）＝ｃ，于是有辅助函数