八年级数学上册173勾股定理勾股定理的推广应用素材冀教版!
合集下载
冀教版八年级数学上册17.勾股定理课件
较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”.因此，直角三角
形三边之间的关系称为勾股定理 .
B
弦
如果直角三角形两条直角边分别为a，b，
斜边为c，那么2 + 2 = 2
A
勾
C
股
知识讲授
几何语言：
B
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
c
a
C
a2 + b2 = c 2
你根据此图，利用它们之间的面积关系推
导出:
a2 b 2 c2
证明： ∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
1
2
2
c 4 ab b a a 2 b2 .
2
a
c
b
b-a
赵爽弦图
知识讲授
右图是四个全等的直角三角形拼成的.请你根据此图，
2
平方厘米.
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
问题3
如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°
（1）以AC为边长的正方形的面积为
（2）以BC为边长的正方形的面积为
（3）以AB为边长的正方形的面积为
2
2
2
猜测一下：上面三个正方形的面积之间有
什么关系？
利用它们之间的面积关系推导出: a 2 b 2 c 2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
1
=4× ab+c2
形三边之间的关系称为勾股定理 .
B
弦
如果直角三角形两条直角边分别为a，b，
斜边为c，那么2 + 2 = 2
A
勾
C
股
知识讲授
几何语言：
B
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
c
a
C
a2 + b2 = c 2
你根据此图，利用它们之间的面积关系推
导出:
a2 b 2 c2
证明： ∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
1
2
2
c 4 ab b a a 2 b2 .
2
a
c
b
b-a
赵爽弦图
知识讲授
右图是四个全等的直角三角形拼成的.请你根据此图，
2
平方厘米.
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
问题3
如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°
（1）以AC为边长的正方形的面积为
（2）以BC为边长的正方形的面积为
（3）以AB为边长的正方形的面积为
2
2
2
猜测一下：上面三个正方形的面积之间有
什么关系？
利用它们之间的面积关系推导出: a 2 b 2 c 2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
1
=4× ab+c2
冀教版数学八年级上册精品课件17.3 勾股定理
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边, 那么a2+b2=c2.
我们通过举例得出勾股定理,那么能不能设计一种方案验证 勾股定理呢? 组1:准备四块直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形的纸板, 拼出如下图形:
组2:我们也准备了四个直角三角形,两条直角 边分别为a,b, 斜边为c.
组3:我们准备了两个直角三角形,两条直角边为a,b,斜边为c.
2.勾股定理的变形公式
a c2 b2 ,b c2 a2 ,c a2 b2
要求直角三角形中某一边的长度,就要知道其他两边 的长度.
检测反馈
1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则
△ABC的斜边AB的长是 ( A )
A44,AC2=162=256, AB2=AC2+BC2=400=202,∴AB=20.故选A.
解:在△ ABC中,∵∠ACB=90°, ∴AC2+BC2=AB2(勾股定理). ∵AB=200 m,BC=160 m, AC AB2 BC2 2002 1602 120m 答:点A和点C间的距离是120 m.
例：(教材第153页做一做)如图所示的是某厂房屋顶的三脚 架的示意图.已知AB=AC=17 m, AD⊥BC,垂足为D,AD=8 m,求BC的长.
(4)解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成平面图形,利 用勾股定理解决表面距离最短的问题.
课堂小结
1.当已知条件告诉了有直角三角形时,直接用勾股定 理解决问题. 2.当遇到立体图形表面两点间的距离问题时,应想到 化立体为平面.
1.如图所示,有两棵树,一棵高10米,另一棵高
4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞
2.下图中,不能用来证明勾股定理的是( D )
我们通过举例得出勾股定理,那么能不能设计一种方案验证 勾股定理呢? 组1:准备四块直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形的纸板, 拼出如下图形:
组2:我们也准备了四个直角三角形,两条直角 边分别为a,b, 斜边为c.
组3:我们准备了两个直角三角形,两条直角边为a,b,斜边为c.
2.勾股定理的变形公式
a c2 b2 ,b c2 a2 ,c a2 b2
要求直角三角形中某一边的长度,就要知道其他两边 的长度.
检测反馈
1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则
△ABC的斜边AB的长是 ( A )
A44,AC2=162=256, AB2=AC2+BC2=400=202,∴AB=20.故选A.
解:在△ ABC中,∵∠ACB=90°, ∴AC2+BC2=AB2(勾股定理). ∵AB=200 m,BC=160 m, AC AB2 BC2 2002 1602 120m 答:点A和点C间的距离是120 m.
例：(教材第153页做一做)如图所示的是某厂房屋顶的三脚 架的示意图.已知AB=AC=17 m, AD⊥BC,垂足为D,AD=8 m,求BC的长.
(4)解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成平面图形,利 用勾股定理解决表面距离最短的问题.
课堂小结
1.当已知条件告诉了有直角三角形时,直接用勾股定 理解决问题. 2.当遇到立体图形表面两点间的距离问题时,应想到 化立体为平面.
1.如图所示,有两棵树,一棵高10米,另一棵高
4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞
2.下图中,不能用来证明勾股定理的是( D )
冀教版-数学-八年级上册- 17.3勾股定理 精品课件
2、西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理。 毕达哥拉斯是古希腊杰出的数学家。他不仅提出了定理， 而且还证明了此定理。因此国外通常称勾股定理为毕达 哥拉斯定理。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a b
c
试着用四个直角边为a、b，斜边
为c的相同直角三角形，拼出一个正
方形的图案。
b
c
a c
ab
（1）已知在△ABC中，∠C=90， BC=a,CA=b,AB=c.
直角是以边三所，边你对为是的边用正分什方别么形 为A方向、法外B，得作斜到正的边方所形？对的
正方思（形考两为：直C角这。边三探个对究正的三 个正方正方形方形的形的面是面积A积有、有什B，什么 么关关斜 为系系边C）？？对。的正方形
SA+SB=SC a2+b2=c2
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。
勾股定理的命名
1、古代算书《周髀算经》中记载了公元前1120年我国古人发现 的“勾三股四弦五”。当时把较短的直角边叫做勾,较长的 直角边叫做股,斜边叫做弦。
“勾三股四弦五”的意思是:在直角三角形中, 如果勾为3, 股为4,那么弦为5.这里32+42=52。人们还发现, 勾为6, 股为8, 弦一定为10等。同样,有62+82=102,即勾2+股2=弦2。 所以,我国称它为勾股定理。
试比较两直角边的平方和与斜边平方 的大小。
你发现这两个直角三角形的三边长存在 什么关系呢？
C Bb c
a A
(任1)意观在画察方一正格个方纸顶形上点A的 都在面做格积一点是个上直的角，直三正角角方三 角别(形向形形 边2)，外B分，正的以做别使方面三正为两形积边方条3C是的和为形直面4边，角。积分两。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a b
c
试着用四个直角边为a、b，斜边
为c的相同直角三角形，拼出一个正
方形的图案。
b
c
a c
ab
（1）已知在△ABC中，∠C=90， BC=a,CA=b,AB=c.
直角是以边三所，边你对为是的边用正分什方别么形 为A方向、法外B，得作斜到正的边方所形？对的
正方思（形考两为：直C角这。边三探个对究正的三 个正方正方形方形的形的面是面积A积有、有什B，什么 么关关斜 为系系边C）？？对。的正方形
SA+SB=SC a2+b2=c2
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。
勾股定理的命名
1、古代算书《周髀算经》中记载了公元前1120年我国古人发现 的“勾三股四弦五”。当时把较短的直角边叫做勾,较长的 直角边叫做股,斜边叫做弦。
“勾三股四弦五”的意思是:在直角三角形中, 如果勾为3, 股为4,那么弦为5.这里32+42=52。人们还发现, 勾为6, 股为8, 弦一定为10等。同样,有62+82=102,即勾2+股2=弦2。 所以,我国称它为勾股定理。
试比较两直角边的平方和与斜边平方 的大小。
你发现这两个直角三角形的三边长存在 什么关系呢？
C Bb c
a A
(任1)意观在画察方一正格个方纸顶形上点A的 都在面做格积一点是个上直的角，直三正角角方三 角别(形向形形 边2)，外B分，正的以做别使方面三正为两形积边方条3C是的和为形直面4边，角。积分两。
八年级数学上册 17.3 勾股定理教案2 (新版)冀教版-(新版)冀教版初中八年级上册数学教案
word
1 / 1
勾股定理
教学 目标
1.通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性．
定理，培养学生的知识应用技能．
重点
通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性．
难点 通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能 教法 直观教学发现法和启发诱导教学法 学法
自学，小组合作
一、预习导航
1.在Rt △ABC 中，两条直角边分别为3，4，则斜边c =
2.直角三角形的两边长为4、5，则第三边长的平方为
3.在Rt △ABC 中，一直角边分别为5，斜边为13，则另一直角边的长是
4.直角三角形三边的长为连续偶数，则其周长为________．
5.如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是
6.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的
7.如果一个直角三角形的三边为三个连续偶数，那么它的三边长为______
8. 分别以下列四组为一个三角形的三边的长（1）6，8，10；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）7，8，9其中能构成直角三角形的有 二、合作探究、展示交流 二、巩固练习
1.工人在制作铝合金窗框时,为保证窗框的四个角都是直角,采用如下方法:先量出框AB,BC 和长,再量出两点A,C 的距离,由此推断∠B 是否是直角.
（1）这样推断的依据是什么?
（2）如果AB=,BC=,那么只有当点A,C 的距离为多少时,∠B 才是直角呢?
2. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口A 向东南方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开港口A 向西南方向航行,它们离开港口小时以后,相距多远?。
八年级数学上册(冀教版)课件：17.3 第1课时 勾股定理
△ABC的面积为__2_4__,斜边上的高CD为__4_._8__.
A D
C
B
4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图), 这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股
定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
=0.49，
C
B 所以BC=0.7.
答：梯脚与墙的距离是0.7米.
课堂小结
认识勾 股定理
如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
课后作业
见《学练优》本课时练习
故直角三角形的面积是:
(cm2).
当堂练习
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积 为 36 cm² . 8 cm
10 cm
2.判断题.
①Rt△ABC的两直角边AB=5,AC=12,则斜边BC=13 ( √ ) ②△ABC的两边a=6,b=8,则c=10 ( )
3.填空题 在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
b-a F
C
D 推导如下： S正方形ABDE=S正方形CFGH+4S△ACE， c2=（b-a）2+2×ab， a2+b2=c2.
B
知识要点
勾股定理
如图，我国古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”，较长
的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”.因此，直角三角形三边之
间的关系称为勾股定理. A
即：如果直角三角形两直角边
B
S2
猜想：
S3= S1+ S2 c2= a2+ b2 通过探究可知：在直角三角形中，两条 直角边的平方和等于斜边的平方.
A D
C
B
4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图), 这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股
定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
=0.49，
C
B 所以BC=0.7.
答：梯脚与墙的距离是0.7米.
课堂小结
认识勾 股定理
如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
课后作业
见《学练优》本课时练习
故直角三角形的面积是:
(cm2).
当堂练习
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积 为 36 cm² . 8 cm
10 cm
2.判断题.
①Rt△ABC的两直角边AB=5,AC=12,则斜边BC=13 ( √ ) ②△ABC的两边a=6,b=8,则c=10 ( )
3.填空题 在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
b-a F
C
D 推导如下： S正方形ABDE=S正方形CFGH+4S△ACE， c2=（b-a）2+2×ab， a2+b2=c2.
B
知识要点
勾股定理
如图，我国古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”，较长
的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”.因此，直角三角形三边之
间的关系称为勾股定理. A
即：如果直角三角形两直角边
B
S2
猜想：
S3= S1+ S2 c2= a2+ b2 通过探究可知：在直角三角形中，两条 直角边的平方和等于斜边的平方.
冀教版-数学-八年级上册- 17.3勾股定理 精选课件
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
比一比看谁算得又快又准确！
2.求下列直角三角形中未知边的长:
A
x
6
C8
B
解：（1）在Rt△ABC中,由勾
股定理得：AB2=AC2+BC2 x2=62+82
=36+64
C
y
B
5
13
A
（2）在Rt△ABC中,由勾 股定理得:AC2+BC2=AB2
y2+52=132
/200406/ca488379.htm
http://202.113.29.16/mengdj/wlkj/sxyx/gougu.htm /subject/maths/html/040602/ 2001_03/20010313_62.html
s3
（图中每块地砖为1个单位面积）
s11 a
c s3
sb2
猜算换说写一一一一一猜算换说写：：：：：
怎积表25角 样形 把样..各1s示通3三 的的 s.41的.三、是1请s过.、角数请三1数个、多s用以s形量用条22量、正少、sa上三关直边2、关、方？ss探边系角33ab之之系形s、究、有，三3间间？.的b，c怎说角、的有面直c
冀教版数学八年级上册
勾股定理
华罗庚
相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从 朋友家的地砖铺成的地面上找到了直角三角形三边的某 种数量关系。
算 猜 换 写一 一算 猜 换 写： ：
sa1 b s2
c
是 样 s条 之2、多 的 边 间1234..ss三 请a少 数 的13、、.用个？ 量 关bsa正直关系、2、、方角系表cb把s形三？示、3之s的角出c1、间表面形来s有示2积的.、怎s各三s1、3
冀教版八年级数学上册17.3《勾股定理》 (共28张PPT)
• 教学难点：勾股定理逆定理的证明
• 证明关键是构建全等三角形，教学中 采用从特殊到一般，由动手验证到推 理证明的顺序，从而有利于突破难点
八年级学生已具备一定的动手、动脑能力，
思维活跃，喜欢发表个人见解，具有小组合作学 习经验。在前面刚刚学过了勾股定理的知识，初 步了解了数形结合的思想方法，对直角三角形三 边关系有了了解。受个人生活经历、课外知识面 的影响，可能对探究方法的多样性考虑不全面， 学生合作时可以弥补这一缺陷，充分体现集体智 慧的魅力。根据基础情况，在探究的过程中，教 师适时地加以引导、指点、帮助他们完成探究的 过程，让学生通过动手实践、独立思考 和与他人
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2621.8.2610:49:3610:49:36August 26, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月26日星期四上午10时49分36秒10:49:3621.8.26
• 请说明理由
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边a,b,c满a²+b²=c² ，
那么这个三角形是直角三角形
练一练
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角 三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 _是___ ∠_A_=__9_0;°
(2) a=13 b=14 c=15 _不__是_
a2 + b2 = c2 直角三角形 思考2:已知△ABC是直角三角形,以
C
S1
S2
b
a
b c a c
A
B
a,b,c为边向外作正方形，有S1+S2=S3？ 为什么？
冀教版八年级数学上册17.3《勾股定理》 (共33张PPT)
正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
C D
B A
7cm
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为( )C
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３
４
试一试:
2、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则
BC的长为____5__或_____7
a
经过证明被确认正确的命题叫做定理.
勾股命定题1理如: 果如直果角直三角角三形角的形两的直角两边直长角分边长分 别为别a为,ba,,斜b, 斜边边长长为为c,c那, 那么么aa22 b2 cc22..
用赵爽弦图证明勾股定理
b
a
a2 b2 =
c b
a
c2
勾股定理（gou-gu法则)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说
成“勾三股四弦五”，所以在我国人们就把这个定理叫作
“商高定理”。
毕达哥拉斯定理：
“勾股定理”在国外，尤其在西 方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百 牛定理”．
毕达哥拉斯
相传这个定理是公元前500多年时 古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的 。他发现勾股定理后高兴异常，命令 他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟 大的发现，因此勾股定理又叫做“百 牛定理”．
A
130
?
C
120 B
1、判断题： 1)直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一定满足下面的
式子： a2+b2 =c2( × )
2) 直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5.
C D
B A
7cm
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为( )C
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３
４
试一试:
2、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则
BC的长为____5__或_____7
a
经过证明被确认正确的命题叫做定理.
勾股命定题1理如: 果如直果角直三角角三形角的形两的直角两边直长角分边长分 别为别a为,ba,,斜b, 斜边边长长为为c,c那, 那么么aa22 b2 cc22..
用赵爽弦图证明勾股定理
b
a
a2 b2 =
c b
a
c2
勾股定理（gou-gu法则)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说
成“勾三股四弦五”，所以在我国人们就把这个定理叫作
“商高定理”。
毕达哥拉斯定理：
“勾股定理”在国外，尤其在西 方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百 牛定理”．
毕达哥拉斯
相传这个定理是公元前500多年时 古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的 。他发现勾股定理后高兴异常，命令 他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟 大的发现，因此勾股定理又叫做“百 牛定理”．
A
130
?
C
120 B
1、判断题： 1)直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一定满足下面的
式子： a2+b2 =c2( × )
2) 直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
勾股定理的推广应用
数学课上，老师写出几对常用的勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；经观察、
分析、我发现几对勾股数有一个规律，以3，4，5这对为例，由勾股定理可得32+42=52，且
有32=4+5，及2231314,522，根据这些条件，不难得出：2222231313()()22，
5，12，13这对也类似，以此类推，就可以得到下面这一公式：22222a1a1a()()22
下面对这一公式进行探索、研究．
一、公式的证明
证明 对任一实数a，将公式变形，可得
二、公式的应用
这一公式在数学计算中，对简化计算过程，提高计算正确率方面，有一定的作用．
这样计算太繁琐，也容易出错．
2
分析 ∵28852－242符合222a1()a2的形式；
232+2642符合222a1()a2的形式；
例3 如图，在△ABC中，∠B=90°，D是AC上一点，且DA=BA，若BC=a，2a1AB2，
求DC的长。
3
解 ∵ ∠B=90°，BC=a，
∵AD=AB
∴DC=AC－AD=1