方程与不等式教案

专题五 一元一次方程

复习目的：

1、了解等式的概念，掌握等式的基本性质。

2、了解方程、方程的解及解方程的概念。

3、了解一元一次方程，二元一次方程组及其标准形式、最简形式。

4、会列一元一次方程解应用题，并根据应用题的实际意义检验求值是否合理。

5、能正确地列二元一次方程组解应用题。

考点透视

例1如果2x =是方程

1

12

x a +=-的根，那么a 的值是（ ）A 、0 B 、2C 、2- D 、6- 变式训练：已知关于x 的方程223=+a x 的解是1-=a x ,则=a 。

2、一元一次方程的解法

1）等式的性质：①等式两边同时加上（减去）同一个整式，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个数（除数不能为0），等式仍然成立。

2）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 例2、1）（2008）方程063=+x 的解的相反数是（ ）

A 、2

B 、－２

C 、3

D 、－3

2）（2008）如果05.205.2002005-=-x ，那么x 等于（ ） A 、1814.55 B 、1824.55 C 、1774.55 D 、1784.45

3）解方程：①12223x x x -+-=-；②2

(1)

0.4(1)3430.24

x x -+-=-

3、一元一次方程的应用

1）列一元一次方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③找出相等关系；④列出方程；⑤解方程；⑥检验作答。

2）列一元一次方程解应用题的常见题型：①等积变形问题，注意变形前后的面积（体积）关系；②比例问题，通常设每份数为未知数；③利润率问题，数量关系复杂，要特别注意，常用的相等关系是利润的两种不同表示方法，即利润=售价-进价=进价×利润率；④数字问题，注意数的表示方法；⑤工程问题，注意单位“1”的确定；⑥行程问题，分为相遇、追击、水流问题；⑦年龄问题等。

1、二元一次方程（组）及解的概念

二元一次方程：含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为1，化成标准形式

)0,0(0≠≠=++b a c by ax 的整式方程。二元一次方程的解具有不定性。

例1、1）( 2008) 已知??

?-==1

1

y x 是方程32=-ay x 的解, 则a 的值是( )

A 、1

B 、3

C 、3-

D 、1-

2）（2009市）已知21x y =??=?是二元一次方程组7

1ax by ax by +=??-=?

的解，则a b -的值为（ ）

A ．1

B ．－1

C ． 2

D ．3

2、解二元一次方程组 例2、1）解方程组

①?

??=-=+132342y x y x ②312523-=+=+x y y x

2）若方程1,3=-=+y x y x 和02=-my x 有公共解，则m 的取值为 。

3、二元一次方程组的应用

某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住。

①求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷；

②学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有哪几种方案？

专题六 一元二次方程及其应用

复习目的：

1、掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用。

2、理解一元二次方程的要的判别式，能运用它解相应问题。

3、掌握一元二次方程的根与系数的关系，会用它解决相关问题。

4、会列一元二次方程解决实际问题。

考点透视

1、一元二次方程的概念及其解法

1）一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，化为一般形式02

=++c bx ax 后

0≠a 的整式方程。

2）一元二次方程的解法：①直接开平方法；②配方法；③求根公式法；④因式分解法。

① ②

例1、1）关于x 的一元二次方程01)1(2

2=-++-m x x m 一根为0，则m 的值为（ ）。 A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、

2

1

2）（2008）一元二次方程2

210x x -+=的解是 。

3）（2008）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．

，并选择你认为适当的方法解这个方程。 ①2310x x -+=；②2

(1)3x -=；③230x x -=；④2

24x x -=。

2、一元二次方程要的判别式

一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 根的情况是由ac b 42

-决定的。①当042

?-ac b 时?方

程有两个不相等的实数根；②当042

=-ac b 时?方程有两个相等的实数根；③当042

?-ac b 时?方

程没有实数根；④当042

≥-ac b 时?方程有两个实数根；

例2、1）（2008）如果关于x 的一元二次方程2

2

(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么

k 的取值围是（ ）

A 、k ＞14-

B 、k ＞14-且0k ≠

C 、k ＜14-

D 、1

4

k ≥-且0k ≠ 2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程0)(2)(2

=++++b a cx x b a 的根的情况是（ ）

A 、没有实数根

B 、可能有且只有一个实数根

C 、有两个相等的实数根

D 、有两个不相等的实数根 4、一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题和列一元一次方程解应用题类似。 例4、1）（2008）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2008年，A 市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.

①求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；

②从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？ 2）（2008）如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边。如图②，地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是40平方米。求花边的宽。

3）（2008）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。

经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克上涨1元，日销量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元销售？

备考策略

1、求解一元二次方程相关问题（尤其是求字母系数的取值时），要注意两个隐含条件：一是二次项系数0≠a ，二是判别式042

≥-ac b ；同时应用判别式时，其前提是二次项系数不为0。

2、配方法是一种十分重要的数学方法，配方法的关键就是将方程化为)0()(2

≥=+b b a x 的形式。 3、一元二次方程的根与系数的关系应用较广，考查方式较多，要学会进行基本变形和运用，前提是要确保一元二次方程有根，即判别式非负。

4、列一元二次方程解决实际问题是各地中考命题的热点，并且题目型覆盖面广，须引起重视。

专题七 分式方程及其应用

复习目的：

1、了解分式方程的概念。

2、掌握可化为一元一（二）次方程的分式方程的解法，会用去分母法或换元法求方程的解。

3、了解分式方程产生增根的原因，掌握验根的方法。

4、能够列出可化为一元二次方程的分式方程解应用题。

考点透视

1、分式方程的解法

1）分母中含有未知数的方程叫分式方程。

2）解分式方程的基本思想：将分式方程“转化”为整式方程。

3）分式方程的基本解法：①通过去分母将其转化为整式方程；②对于其中一部分在构造上有一定特点的分式方程，我们可采用换元法求解。

4）在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫分式方程的增根。解分式方程一定要验根，即把所求得的根带入最简公分母中，检验最简公分母是否等于0，若最简公分母等0，则为增根，应舍去。

例1、1）（2008）方程

221

23=-+--x

x x 的解是=x 。 2）（2008凉山）分式方程263

111

x x -=

--的解是 。 3）（2008）用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21

x y x

-=，并将原方程化为关于

y 的整式方程，那么这个整式方程是 。

2、由分式方程的根求待定字母的值

由方程的增根、失根或无解的情况，求字母的值或取值围。一般地，解决此类问题，都是将原方程化为整式方程，再根据根的情况，解决相应问题。

例2、1）（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213

x m

x +=--无解。 2）（2009市）已知关于x 的方程

32

2=-+x m

x 的解是正数，则m 的取值围为 。 3、分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，解题时应抓住“找等量关系，恰当设未知数，用含未知数的式子表示相关未知量”等关键环节，从而正确列出方程并进行求解。另外还要注意检验结果是否是增根，是否是原方程的根，是否符合实际意义。

例3、1）（2008）A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？

2）(2008) “5·12”汶川震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ）

A 、120120

45x x -=+ B 、

120120

45x x -=+ C 、12012045x x

-=-

D 、120120

45

x x -=-

3）（2009市）奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了

一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元。

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=

?利润

成本

） 备考策略

1、求解分式方程时要灵活利用分式的基本性质进行约分和通分，去分母时不要漏乘不含分母的项。

2、分式方程在求解后要注意验根。

3、结合实际问题，加深对分式方程转化为整式方程的体会，从而提高解决实际问题的能力。

4、换元法是一种重要的数学方法，要细心体会。

专题八 一元一次不等式（组）

复习目的：

1、理解并掌握不等式的性质，理解它们与等式性质的区别。

2、能用数形结合的思想理解一元一次不等式（组）解集的含义。

3、能熟练正确地解不等式（组），并会求其特殊解。

4、能利用转化思想、数形结合的思想解一元一次不等式（组）综合题、应用题。

考点透视

具体容

知识技能要求过程性要求

⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺

列不等式√

不等式的基本性质√

一元一次不等式√

一元一次不等式组√

不等式（组）的运用√

1

例1、1）（2008）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（）

A、P R S Q

>>>B、Q S P R

>>>C、S P Q R

>>>D、S P R Q

>>> 2）（2008）若x

y

x>

-，且y

y

x<

+，则下列不等式中正确的是（）

A、0

<

xy B、0

>

y

x

C、0

>

+y

x D、0

<

-y

x

3）（2008）如果ａ＜ｂ＜0,下列不等式中错误

．．的是（）

A. ab＞0

B. ａ＋ｂ＜0

C.

b

a

＜1 D. ａ－ｂ＜0

2、解一元一次不等式

解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同。但要注意以下几点：①分数线兼有括号的作用，分母去掉后分子是和差代数式时，应添上括号。同时去分母时，不要漏乘不含分母的项；②不等式两边都乘（除以）同一个负数时，不等号必须改变方向；③在数轴上表示不等式的解集，当解集是a

x<或a

x>时，不包含数轴上表示数a的这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是a

x≤或a

x≥时，包含数轴上表示数a的这一点，则这一点用黑圆点表示。

例2、1）(2008)解不等式x

x<

-6

4，并将不等式的解集表示在数轴上。

2）（2008）不等式3

x<的解集在数轴上表示为（）。

Ａ、Ｂ、

Ｃ、

变式训练：若不等式0

3>

+

-n

x的解集是2

<

x，则不等式0

3>

+n

x的解集是。

3、解一元一次不等式组

3

2

1

3

2

1

0 3

2

1

3

2

1

1）解不等式组36;4

45(2)82.

x x x x -?

+?

??--<-?≥ 2）已知关于x 的不等式组010

x a x ->??

->?，

的整数解共有3个，则a 的取值围是 。

变式训练：已知不等式组?

?

?>->023

a x x 的解集是3>x ，则a 的取值围是 。

4、解字母系数的不等式

如果关于x 的不等式5)1(+<-a x a 和42

6月1日起，某超市开始有偿．．

提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少．．应付给超市 元。

备考策略

1、加强对基本概念的理解。

2、加强训练，提高解题能力。要认真研究不等式（组）的特殊解，将不等式的知识与方程和函数的相关知识结合在一起训练，这样有利于提高综合能力。

3、用不等式（组）的有关知识解决实际问题为考点，题型以填空题、选择题和解答题的形式出现，特别关注不等式（组）与方程、函数有关知识结合在一起的运用，把用不等式（组）解决应用题作为重点来抓。