8.1.3向量数量积的坐标运算教案 2021-2022学年高中数学人教B版必修第三册

8.1.3向量数量积的坐标运算【教学目标】1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．3.分清向量平行与垂直的坐标表示．4.能用向量方法证明两角差的余弦公式．【教学重点】数量积坐标表示的推理过程.【教学难点】公式的建立与应用.【教学过程】一、课前预习预习课本，思考并完成以下问题(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？二、课前小测1．若向量a ＝(x,2)，b ＝(－1,3)，a ·b ＝3，则x 等于( )A ．3B ．－3 C.53 D ．－53答案：A解析：a ·b ＝－x ＋6＝3，x ＝3，故选A.2．已知a ＝(2，－1)，b ＝(2，3)，则a·b ＝________，|a ＋b |＝________.答案：1 2 5解析：a ·b ＝2×2＋(－1)×3＝1，a ＋b ＝(4,2)，|a ＋b |＝42＋22＝2 5.3．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，m )，若a ⊥b ，则m ＝______.答案：23解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝1×(－2)＋3m ＝0，解得m ＝23.4．已知a ＝(3，4)，b ＝(5，12)，则a 与b 夹角的余弦值为________．答案：6365解析：因为a ·b ＝3×5＋4×12＝63，|a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13，所以a 与b 夹角的余弦值为a·b |a ||b |＝635×13＝6365.三、新知探究1．平面向量数量积的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.2.向量模的公式设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.3．两点间的距离公式若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 思考：已知向量a ＝(x ，y )，你知道与a 共线的单位向量的坐标是什么吗？与a 垂直的单位向量的坐标又是什么？[提示] 设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±⎝⎛⎭⎫x |a |，y |a |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋y 2，y x 2＋y 2，其中正号、负号分别表示与a 同向和反向．易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直，所以与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y2，x x 2＋y 2，其中正、负号表示不同的方向．四、题型突破题型一 平面向量数量积的坐标运算【例1】 (1)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．(2)已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.①求a 的坐标；②若c ＝(2，－1)，求a ·(b ·c )及(a·b )·c .(1)答案：2解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0,2)，C (2，2)，E (2，1)．可设F (x,2)，因为AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x ＝2，所以x ＝1，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.(2)解：①设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．②∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10，∴a ·(b·c )＝0·a ＝0，(a·b )·c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．【反思感悟】数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．【跟踪训练】1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案：C解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案：A解析：由AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝5.题型二 向量模的坐标表示【例2】 (1)设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|2a －b|等于( )A ．4B ．5C ．3 5D ．4 5(2)若向量a 的始点为A (－2，4)，终点为B (2，1)，求：①向量a 的模；②与a 平行的单位向量的坐标；③与a 垂直的单位向量的坐标．(1)答案：D解析：由a ∥b 得y ＋4＝0，∴y ＝－4，b ＝(－2，－4)，∴2a －b ＝(4，8)，∴|2a －b |＝4 5.故选D.(2)解：①∵a ＝AB →＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a |＝42＋(－3)2＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)， 即坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，35. ③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34. 又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1.解得⎩⎨⎧ m ＝35，n ＝45或⎩⎨⎧ m ＝－35，n ＝－45， ∴e ＝⎝⎛⎭⎫35，45或e ＝⎝⎛⎭⎫－35，－45.【反思感悟】求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.【跟踪训练】3．已知平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)．(1)求a －2b 及其模的大小；(2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |.解：(1)a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，|a －2b |＝72＋32＝58.(2)a ·b ＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)，∴|c |＝1＋62＝37.题型三 向量的夹角与垂直问题[探究问题]1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 2．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于多少？[提示] 由已知得a －b ＝(1－x,4)．∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0.∵a ＝(1,2)，∴1－x ＋8＝0，∴x ＝9.【例3】 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2) D ．(－2,2)(1)答案：B解析：当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，选B. (2)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解：设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．∵点D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ， ∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，即2x ＋y －3＝0.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)，∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，综上，|AD →|＝5，D (1,1)．【多维探究】1．将本例(1)中的条件“a ＝(2,1)”改为“a ＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k 的取值范围．解：当a 与b 共线时，－2k －1＝0，k ＝－12， 此时a 与b 方向相反，夹角为180°，所以要使a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b ＜0，且a 与b 不反向．由a·b ＝－2＋k ＜0得k ＜2.由a 与b 不反向得k ≠－12， 所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“π4”，求k 的值． 解：cos π4＝a·b |a ||b |＝2＋k 5·1＋k 2， 即22＝2＋k 5·1＋k 2，整理得3k 2－8k －3＝0， 解得k ＝－13或3. 【反思感悟】1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求夹角余弦值． (4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．五、达标检测1．判断正误若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( )(2)a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角．( )(3)若a ·b ≠0，则a 与b 不垂直．( )(4)|AB →|表示A ，B 两点之间的距离．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：B解析：a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝32＋(－1)2＝10，|b|＝12＋(－2)2＝5，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝510×5＝22.又0≤θ≤π，∴θ＝π4.3．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋m b)，则实数m＝________.答案：－3解析：a＋m b＝(2＋m,4＋m)，∵b⊥(a＋m b)，∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，得m＝－3.4．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝2 5.综上，|a－b|＝2或2 5.六、本课小结1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.七、课后作业完成本讲配套练习《高一必修三8.1.3向量数量积的坐标运算课时精练（配套2）》.。