第三章 第三节 正弦、余弦、正切函数的图像与性质
正弦函数、余弦函数图像与性质
x
0
sinx 0
1 1+sinx y
2
1
o
2
-1
2
1 2
2
3
2
2
0
-1
0
1
0
1
步骤：
y=1+sinx，x[0, 2]
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2 y=sinx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2 ,1)
(
( 2 ,1)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3
(
正弦、余弦函数的图像和性质PPT优质课件
作三角函数图象
描几点何法法:作查图三的角关函键数是表如得何三利角用函单数位值圆,描中点角(xx的,s正in弦x),线连，线巧. 妙地
如移:动x 到 直3 角查坐表标y系内s，i从n3而确0.8定对6应6的0点 (x,sinx).
y
描点 (3 ,0.866)0
1-
y
P
-Hale Waihona Puke 023 2
2
x
1 -
3
O M 1x
2020/12/10
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练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
（1） y
x
2020/12/10
10
四川省天全中学数学组
2005.03
2020/12/10
11
余弦曲线
-
-
y-
1
-
6
4
2
o
-1
2
4
6
由于 ycox scosx)(sin [(x) ]sin x()
几何法：作三角函数线得三角函数值，描点(x,sinx),连线
如: x
3
作
3
的正弦线 MP ,
平移定点 (x, MP)
2020/12/10
5
函数 y six ,n x 0 ,2图象的几何作法
y
作法: (1) 等分
(2) 作正弦线
1-
P1
p
/ 1
(3) 平移 (4) 连线
6
o1
M -11A
o 6
3
正 弦 函 数、余 弦 函数的图象和性质
2020/12/10
1
第三节 三角函数的图象与性质
第三节三角函数的图象与性质一、基础知识批注——理解深一点1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1).函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶 性奇函数偶函数奇函数单 调 性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上是递减函数 在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是递增函数，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是递减函数 在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是递增函数周 期周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是2π周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是π性2π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)三角函数性质的注意点(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调．(2)要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.二、常用结论汇总——规律多一点1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝A cos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)．(3)若y＝A tan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．()(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．()(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．()(4)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(5)y＝sin|x|是偶函数．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(二)选一选1．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z 解析：选D 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B ∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.3．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6()x ∈[0，π]的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，2π3 C.⎣⎡⎦⎤5π6，πD.⎣⎡⎦⎤2π3，π解析：选C 由2k π－π≤x ＋π6≤2k π(k ∈Z)，得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6(k ∈Z)，又x ∈[0，π]，所以令k ＝1，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π6，π.(三)填一填4．函数y ＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π4＋2k π(k ∈Z)． 答案：5π4＋2k π(k ∈Z ) 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象对称中心为________．解析：令x －π4＝k π，k ∈Z ，得函数图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z第一课时 三角函数的单调性考点一 求三角函数的单调区间[典例] (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．[解题技法] 求三角函数单调区间的2种方法[题组训练]1．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为________． 解析：作出y ＝|tan x |的示意图如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎦⎤π2，π 2．函数g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的单调递增区间为________． 解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数g (x )的单调递增区间，只需求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间． 由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2 3．(2019·金华适应性考试)已知函数f (x )＝3cos 2x －2sin 2(x －α)，其中0<α<π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－1.(1)求α的值；(2)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．解：(1)由已知得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－2sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝－3－2cos 2α＝－3－1，整理得cos 2α＝12. 因为0<α<π2，所以cos α＝22，α＝π4.(2)由(1)知，f (x )＝3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝3cos 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝3cos 2x ＋sin 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1. 易知函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令t ＝2x ＋π3，则函数f (x )可转化为y ＝2sin t －1.显然函数y ＝2sin t －1与y ＝sin t 的单调性相同， 当函数y ＝sin t 单调递减时， 2k π＋π2≤t ≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．考点二 求三角函数的值域(最值)[典例] (1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332D.⎣⎡⎦⎤－332，3(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.[答案] (1)B (2)1[变透练清]1.(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－332，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－332，32.(变条件)若本例(2)中函数f (x )的解析式变为：函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，则f (x )的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋cos x (－2≤t ≤2)， 则sin x cos x ＝t 2－12，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y ＝t ＋12t 2－12取最大值为2＋12.故f (x )的最大值为22＋12.答案：22＋123．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π[解题技法] 三角函数值域(最值)的3种求法[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________． [解析] (1)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， 则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4， ∴a 的最大值是π4.(2)法一：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，2π3(ω>0)， 所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤－πω2，2πω3，因为f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34.法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 需⎩⎨⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω，ω>0，即0<ω≤34.[答案] (1)A (2)⎝⎛⎦⎤0，34[解题技法]已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[题组训练]1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，故T ＝π，所以ω＝2πT＝2， 又因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.故f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 答案：322．（2019·贵阳检测）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：由π2<x <π，得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， 所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，ω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案：⎣⎡⎦⎤12，54 [课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的部分不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.4．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，π B.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡⎦⎤0，2π3 D.⎣⎡⎦⎤2π3，π 解析：选A 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又因为f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π3，π. 5．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值为( )A ．1 B.1－32C.32D ．1－ 3解析：选A 函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6. 当2x －π6＝5π6时，函数f (x )取得最小值为1.6．(2019·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14B.13C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 7．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：要使函数有意义，需sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ， 由函数的图象得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，故原函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． 答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 8．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.答案：59．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． 解析：因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤3π2，即－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故f (x )的最大值为2，最小值为－3，它们之和为2－ 3. 答案：2－ 310．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：法一：由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数 的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二：由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案：3211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 12．已知函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．解：(1)因为函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 所以函数f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π， 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．B 级——创高分自选1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”表示)．解析：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 10π21， b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2， c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2， 所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 答案：c <a <b2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x ) 的图象关于直线x ＝π4对称， ∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， ∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π， ∴2πω≥π，∴ω≤2，又∵ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，有{ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，所以a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，有{ b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.第二课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性考点一 三角函数的周期性[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则正整数k 的值为________． [解析] (1)由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由题意知1<πk <2，即π2<k <π.又因为k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] (1)C (2)2或3[解题技法]1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法；(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|； (3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．2．有关周期的2个结论(1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|.(2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|.[题组训练]1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ， 所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π； 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π； 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，得－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π考点二 三角函数的奇偶性[典例] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3C.5π6D.2π3[解析] 因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ， 又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.[答案] C[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[题组训练]1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.2．若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3－θ， 因为函数f (x )为奇函数， 所以－π3－θ＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π－π3，k ∈Z ，故tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π3＝－ 3. 答案：－ 3考点三 三角函数的对称性[典例] (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称 (2)(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．[解析] (1)因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6.令x 2＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)， 故f (x )的对称轴为x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)， 令x 2＋π6＝k π(k ∈Z)，解得x ＝－π3＋2k π(k ∈Z)．故f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，0(k ∈Z)，对比选项可知B 正确． (2)由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )． ∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π6. [答案] (1)B (2)－π6[解题技法]三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再把(ωx ＋φ)整体看成一个变量，若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图象的对称轴，则只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .[题组训练]1．若函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，则|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z. 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.2．(2018·长春质检)函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2，且f (0)＝1，则下列结论中正确的是( )A ．f (φ)＝2B.⎝⎛⎭⎫π6，0是f (x )图象的一个对称中心 C ．φ＝π3D ．x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴解析：选A 由f (0)＝1且0<φ<π2，可得φ＝π6，故选项C 错误；可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，把x ＝π6代入f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，得f (φ)＝2，选项A 正确；f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f (x )取得最大值，选项B 错误；而f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－1，非最值，选项D 错误，故选A. 3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 答案：2或－2 [课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x 2cos x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，故选A.2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A 令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π3＋π9，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9. 因此函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π9.3．(2018·南宁二中、柳州高中联考)同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数；④图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π12，0”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C 因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A 选项；当x ＝π3时，对于B ，y＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝0，对于D ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π3＝32，因为图象关于直线x ＝π3对称，所以排除B 、D 选项，对于C ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π6＝0，且在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数，故C 满足条件．4．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )满足( ) A ．在⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增 B ．图象关于直线x ＝π6对称C ．f ⎝⎛⎭⎫π3＝32D ．当x ＝5π12时有最小值－1 解析：选D 由函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，得ω＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，2x ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，显然此时f (x )不单调递增，故A 错误；当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos π2＝0，故B 错误；f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos 5π6＝－32，故C 错误；当x ＝5π12时，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＝cos π＝－1，故D 正确．5．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，4π3内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，4π3内单调递增解析：选A 由题意知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4. ∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4.由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数， 因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)．又∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .当0<2x <π，即0<x <π2时，f (x )单调递减．故选A.6．(2018·昆明调研)已知函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92D ．6解析：选A 因为函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，所以2ω3π＝k π(k ∈Z)，即ω＝32k (k ∈Z)，①又因为函数f (x )＝sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数， 所以π4≤π2ω且ω>0，所以0<ω≤2，②由①②得ω＝32.7．若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为________．解析：因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以cos ⎝⎛⎭⎫π6ω＋π6＝0， 即πω6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，故ω＝2＋6k (k ∈Z)， 又因为ω∈N *，故ω的最小值为2. 答案：28．若函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2图象的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________. 解析：因为y ＝sin x 图象的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z)，所以3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)， 得φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又因为|φ|<π2，所以k ＝0，故φ＝π4.答案：π49．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝________. 解析：由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝⎪⎪⎪⎪sin 2π3＝32.答案：3210．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.答案：211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. (1)求函数的最大值及相应的x 值集合； (2)求函数f (x )的图象的对称轴与对称中心．解：(1)当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋3π8，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2. 故f (x )的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3π8＋k π，k ∈Z . (2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋12k π，k ∈Z ，即函数f (x )的图象的对称轴为x ＝3π8＋12k π，k ∈Z.由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π8＋12k π，k ∈Z ，即对称中心为⎝⎛⎭⎫π8＋12k π，0，k ∈Z.12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：由f (x )的最小正周期为π，得T ＝2πω＝π， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，有φ＝π2＋k π(k ∈Z)．因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝32， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z)， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z)，故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)．B 级——创高分自选1．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4内单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4内单调递减 解析：选D 因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称， 所以8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－13π6，k ∈Z.又因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π6，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ， 所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4内单调递减，故选D. 2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0，x ∈R )．若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为( )A.12 B ．2 C.π2D.π2解析：选D 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z.又ω－(－ω)≤12·2πω，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.3．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值； (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π3. 令2×⎝⎛⎭⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z)， 得t ＝k π2＋π3(k ∈Z)， 又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6.(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 所以f (x )∈[1,2]． 又|f (x )－m |<3， 即f (x )－3<m <f (x )＋3， 所以2－3<m <1＋3， 即－1<m <4.故实数m 的取值范围是(－1,4)．。
三角函数的图像和性质
(ω>0)的最小正周期为π，则函数 ( π B．关于直线x＝ 对称 8 π D．关于点8 ，0对称 )
π 2π 解析：∵f(x)＝sin ωx＋4 的最小正周期为π，∴ ω ＝π，ω＝2， π π π 3π ∴f(x)＝sin 2x＋4 ．当x＝ 时，2x＋ ＝ ，∴A、C错误；当x 4 4 4
[即时应用] 求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤ 4的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， ． 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ ． 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
2．求三角函数单调区间的 2 种方法 (1)代换法： 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代 数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性 列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象 求它的单调区间．
[演练冲关] π 1．最小正周期为π且图象关于直线x＝ 对称的函数是( 3
π π B，因为sin2×3－6 ＝sin
π ＝1，所以选B． 2
答案：B
2．函数
π y＝cos4－2x的单调减区间为____________． π π y＝cos4－2x＝cos2x－4 得
解析：由
π 2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π(k∈Z)， 4 π 5π 解得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 8 8
π π π π 3 在 3，2 上单调递减知， ＝ ，∴ω＝ ． 2ω 3 2
1.4.3正切函数的图像与性质
单调区间：（ 5 2k，1 2k），k Z 33
对称中心：(k- 2 , 0), k Z 3
应用提升
例2.比较tan 13 与tan 17 的大小 ?
4 5
应用提升
练习1：试着画出y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性.
练习2.如果、
(
,
)且
tan
cot
,
2
那么必有（ ）
A.
B.
C. 3 D. 3
2
2
应用提升
例3.求函数y tan x 1 的定义域 3 tan x
例4.试讨论函数y loga tan x的单调性
小结回顾
正切函数的基本性质
课后作业
1．书本P45练习，做书上. 2．P46习题A组6,7,8,9；B组2 做本子上 3.《作业本》同步练习
-6 -5 -6 -5
-4 -3 -4 -3
复习回顾
y y=sinx
1
-2 -
o
-1
2 3
y y=cosx
1
-2
- -1
2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
四.单调性：
正弦函数在[ 2k , 2k ](k Z )上是单调递增的,从 1到1;
2
2
在[ 2k , 3 2k ](k Z )上是单调递减的,从1到 1
4 5
6 x
y y=cosx
1
-6 -5 -4 -3 -2
- -1
2 3 4
5
6 x
六.对称轴和对称(k ,0);
2
y cos x的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
《余弦函数、正切函数的图像与性质》课件1
正切函数y=tanx的主要性质： x | x , 1. 定义域： 2 2.值域：实数集R. 3.周期性：周期是π. 4.奇偶性：由tan(-x)=-tan(x),知正切函 数是奇函数，它的图象关于原点成中心 对称. 5.单调性：正切函数在每一个开区间 , 内都是增函数.
• 小结 1.通过本节学习，应掌握余弦函数 图象的画法.
2.会用“五点法”画出余弦曲线简图. 3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的 性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性）
正切函数的图象与性质
• 学习目标 1.理解利用正切线画出正切函数图象 的方法 2.掌握正切函数的图象与性质 3.会画正切函数简图
• 课堂练习二 1.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=|x|+cosx; (2)f(x)=sinx+cosx; (3)f(x)=cosx|sinx|+sinx|cosx|. 2.已知f(x)是定义在R上的奇函数, 且x>0时, f(x)=sinx+cosx,则在定义域R 上,f(x)=___________. 3.已知函数y=a-bcos3x的最大值为6,最小值为-2, 求a,b的值. 4.求y=cos2x的单调区间. 5．教材５６页－４，５．
• 学法指导： 1. 余弦曲线是中心对称图形，其所有的 ,0 对称中心坐标是_____________ ； 2 2.余弦曲线是轴对称图形，其所有的对 x , 称轴方程是_______________. 余弦曲线的对称轴一定是过余弦曲线的 最高点或最低点，此时余弦值为最大值 或最小值.
• 余弦型函数 y Acosx A0, 0的 2 定义域R；值域[-A,A]；周期 T . 当 时 y Acos(x ) 为偶函数, 当 2 时y Acos(x )为奇函数； 对称轴由x 求得 x 对称中心横坐标由 x 求得. 2 其单调区间求法与正弦型函数相同。
三角函数的图像和性质
一、复习引入：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM r x==αcos向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲授新课：1、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五 点起决定作用，它们是 描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了。
因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。
注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。
（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。
（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好。
（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。
2、正弦曲线下面是正弦函数y sin x,x R =∈的图象的一部分：-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()3、余弦曲线利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22πππ-π-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = cos x ()4、正切曲线y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx三、正弦余弦函数性质1奇偶性(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。
正弦余弦函数的图像和性质 优质课件
余弦曲线
-
-
y-
1
-
6
4
2
o
-1
2
4
6
由于 y cosx cos(x) sin[ (x)] sin(x )
所以余弦函数
y
c
os
x,
x
2
R与函数
y
sin(x
2
),
x
R
2
是同一个函数；余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
各单位长度而得到．
3 2
5 3
11 6
2 x
x
-
-
-1 -
l
-
-
余弦曲线
y
1-
6
4
2o-1 - Nhomakorabea2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
-
-
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法）
y
(五点作图法)
正弦函数和余弦函数的图像与性质
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零 常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都 有 f ( x＋T )＝ f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期 函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期．
(2) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x＋k ·2 )＝sin x (kZ) 可知： 正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ，… ，－2 ， －4 ，… ， 2k (kZ 且 k≠0)都是正弦函数的周期．
2 是其最小正周期 .
(3) 正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x
3 判断下列函数的奇偶性：
① f (x) sin x cosx ② f (x) 1 sin x cosx
1 sin x cosx
（答案：①偶函数 ②既不是奇函数也不是偶函数）
图象
y=sinx
y
1
-2 - o
-1
2 3
4 x
y= cosx
y
1
-2 - o 2 3
2 偶函数
单调性
单调增区间:
[ 2k , 2k ](k Z)
2
2
单调减区间:
[ 2k , 3 2k ](k Z )
正弦,余弦函数图象性质
正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数、余弦函数的图象和性质
攸县五中 汤庆平
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
想一想?
如何作出任一角的正弦线、余弦线与正 切线？
00
2 2
描点作图
0 -1 11
10
3 32 2
2 2
yy
2-
cos x x 0 1 sin cosx 1 1 sin x -1
1 0 2 0
00
00
1-1
1- 1
1 - 1
y 1 sin x, x [0,2 ] y cos x, x [0,2 ]
2
)
是同一个函数； 余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左
平移 个单位长度而得到． 2
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
在作函数 y cos x, x [0,2 ] 的图像中起关键作用的点有哪些？
y
-
图象的最高点 (0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
1-
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
y
1-
哪些？
五点作图法
图象的最高点 ( ,1) 2
与x轴的交点 (0,0) ( ,0) (2 ,0)
3 2 5 3 11 6
-
-1
o
-1 -
6
2
3
2 3
5 6
7 6
4 3
2
x
图象的最低点 ( 3
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第三章 第三节 正弦、余弦、正切函数的图像与性质
题组一 三角函数的定义域问题
1.函数y＝tanπ4－x的定义域是 ( )
A．{x|x≠π4，x∈R} B．{x|x≠－π4，x∈R}
C．{x|x≠kπ＋π4，k∈Z，x∈R} D．{x|x≠kπ＋3π4，k∈Z，x∈R}
解析：∵x－π4≠kπ＋π2，∴x≠kπ＋
3
4
π，k∈Z.
答案：D
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝cosx＋tanx；
(2)y＝lg(2sinx－1)＋－tanx－1cos(x2＋π8)
解：(1)要使函数有意义，
则 cosx≥0，tanx≥0，即 2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，kπ≤x＜kπ＋π2，(k∈Z)，
所以2kπ≤x＜2kπ＋π2(k∈Z)．
所以函数y＝cosx＋tanx的定义域是
{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2，k∈Z}．
(2)由函数式有意义得 2sinx－1＞0，－tanx－1≥0，cos(x2＋π8)≠0，
得 sinx＞12，tanx≤－1，x2＋π8≠kπ＋π2，(k∈Z)．
即 2kπ＋π6＜x＜2kπ＋5π6，kπ－π2＜x≤kπ－π4，x≠2kπ＋3π4，(k∈Z)．
求交集得2kπ＋π2＜x＜2kπ＋3π4(k∈Z)．
所以函数的定义域是{x|2kπ＋π2＜x＜2kπ＋3π4，k∈Z}．
题组二 三角函数的单调性
3.若函数y＝sinx＋f(x)在[－π4，3π4]内单调递增，则f(x)可以是 ( )
A．1 B．cosx C．sinx D．－cosx
解析：y＝sinx－cosx＝2sin(x－π4)，－π2≤x－π4≤π2，满足题意，所以f(x)可以是－cosx.
答案：D
4．求y＝3tan(π6－x4)的周期及单调区间．
解：y＝3tan(π6－x4)＝－3tan(x4－π6)，∴T＝π|ω|＝4π，
∴y＝3tan(π6－x4)的周期为4π.
由kπ－π2＜x4－π6＜kπ＋π2，得4kπ－4π3＜x＜4kπ＋8π3(k∈Z)，
y＝3tan(x4－π6)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k∈Z)内单调递增．
∴y＝3tan(π6－x4)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k∈Z)内单调递减．
题组三 三角函数的值域与最值
5.已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，12]，则b－a的值不可能是( )
A.π3 B.2π3 C．π D.4π3
解析：画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为[2π3，4π3]．
答案：A
6．已知函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A.23 B.32 C．2 D．3
解析：由题意知 T4≤π3，T＝2πω，解得ω≥32.
答案：B
7．设函数f(x)＝2cos2x＋3sin2x＋a(a为实常数)在区间[0，π2]上的最小值为－4，那么a
的值等于 ( )
A．4 B．－6 C．－4 D．－3
解析：y＝cos2x＋3sin2x＋a＋1＝2sin(2x＋π6)＋a＋1，
∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，7π6]，
∴ymin＝2×(－12)＋a＋1＝a＝－4.
答案：C
8．已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sinωxsin(ωx＋π2)(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间[0，2π3]上的取值范围．
解：(1)f(x)＝1－cos2ωx2＋32sin2ωx
＝32sin2ωx－12cos2ωx＋12＝sin(2ωx－π6)＋12.
因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，
所以2π2ω＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x－π6)＋12.
因为0≤x≤2π3，所以－π6≤2x－π6≤7π6，
所以－12≤sin(2x－π6)≤1，
所以0≤sin(2x－π6)＋12≤32，
即f(x)的取值范围为[0，32]．
题组四 图像和性质的综合应用
9.(2009·江西高考)函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx的最小正周期为 ( )
A．2π B.3π2 C．π D.π2
解析：f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx
＝2sin(x＋π6)，T＝2π|ω|＝2π.
答案：A
10．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像关于直线x＝π3对称，它的最小正周期
是π，则函数f(x)的图像的一个对称中心是 ( )
A．(π3，1) B．(π12，0)
C．(5π12，0) D．(－π12，0)
解析：∵T＝2πω＝π，∴ω＝2，
又∵函数f(x)的图像关于直线x＝π3对称，
∴sin(2×π3＋φ)＝±1，∴φ＝k1π－π6，k1∈Z，
由sin(2x＋k1π－π6)＝0得
2x＋k1π－π6＝k2π，k1，k2∈Z，
∴x＝π12＋(k2－k1)π2，
当k1＝k2时，x＝π12，
∴函数f(x)的图像的一个对称中心为(π12，0)．
答案：B
11．已知f(x)＝sin(ωx＋π3)(ω＞0)，f(π6)＝f(π3)，且f(x)在区间(π6，π3)有最小值，无最大值，
则ω＝________.
解析：由f(π6)＝f(π3)，
知f(x)的图像关于x＝π4对称．且在x＝π4处有最小值，∴π4ω＋π3＝2kπ－π2，有ω＝8k－
10
3
(k∈Z)．
又∵12T＝πω＞π3－π6＝π6，∴ω＜6，
故k＝1，ω＝143.
答案：143
12．(文)若a＝(3cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)，其中ω＞0，记函数f(x)＝(a＋b)·b＋k.
(1)若函数f(x)的图像中相邻两条对称轴间的距离不小于π2，求ω的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小正周期为π，且当x∈[－π6，π6]时，函数f(x)的最大值是12，求函数
f(x)的解析式，并说明如何由函数y＝sinx的图像变换得到函数y＝f(x)的图像．
解：∵a＝(3cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)，
∴a＋b＝(3cosωx＋sinωx，sinωx)．
故f(x)＝(a＋b)·b＋k＝3sinωxcosωx＋sin
2
ωx＋k
＝32sin2ωx＋1－cos2ωx2＋k
＝32sin2ωx－12cos2ωx＋12＋k
＝sin(2ωx－π6)＋k＋12.
(1)由题意可知T2＝π2ω≥π2，∴ω≤1.
又ω＞0，∴0＜ω≤1.
(2)∵T＝2π2ω＝π，∴ω＝1.
∴f(x)＝sin(2x－π6)＋k＋12.
∵x∈[－π6，π6]，∴2x－π6∈[－π2，π6]．
从而当2x－π6＝π6，即x＝π6时，
f(x)max＝f(π6)＝sinπ6＋k＋12＝k＋1＝12，
∴k＝－12.故f(x)＝sin(2x－π6)．
由函数y＝sinx的图像向右平移π6个单位长度，得到函数y＝sin(x－π6)的图像，再将得到
的函数图像上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，
得到函数y＝sin(2x－π6)的图像．
(理)(2009·重庆高考)设函数f(x)＝sin(π4x－π6)－2cos2π8x＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈[0，43]时，y＝g(x)的最
大值．
解：(1)f(x)＝sinπ4xcosπ6－cosπ4xsinπ6－cosπ4x
＝32sinπ4x－32cosπ4x＝3sin(π4x－π3)，
故f(x)的最小正周期为T＝2ππ4＝8.
(2)法一：在y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．
由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图像上，从而
g(x)＝f(2－x)＝3sin[π4(2－x)－π3]
＝3sin(π2－π4x－π3)＝3cos(π4x＋π3)．
当0≤x≤43时，π3≤π4x＋π3≤2π3，因此y＝g(x)在区间[0，43]上的最大值为gmax＝3cosπ3＝
3
2
.
法二：因区间[0，43]关于x＝1的对称区间为[23，2]，且y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于x
＝1对称，故y＝g(x)在[0，43]上的最大值即为y＝f(x)在[23，2]上的最大值．
由(1)知f(x)＝3sin(π4x－π3)，
当23≤x≤2时，－π6≤π4x－π3≤π6.
因此y＝g(x)在[0，43]上的最大值为gmax＝3sinπ6＝32.