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成都市田家炳中学必修第二册第四单元《统计》测试题(含答案解析)
一、选择题1．甲、乙、丙、丁四所学校分别有150、120、180、150名高二学生参加某次数学调研测试.为了解学生能力水平，需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本作卷面分析，记这项调查为①；在丙校有50名数学培优生，需要从中抽取10名学生进行失分分析，记这项调查为.②完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A ．分层抽样法、系统抽样法 B ．分层抽样法、简单随机抽样法 C ．系统抽样法、分层抽样法D ．简单随机抽样法、分层抽样法2．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果分成六组，得到频率分布直方图(如图).设成绩小于16秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为( )A ．0.56，35B ．0.56，45C ．0.44，35D ．0.44，453．一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 A ．B ．C ．D ．4．下图是两组各7名同学体重（单位： kg ）数据的茎叶图．设1， 2两组数据的平均数依次为1x 和 2x ，标准差依次为1s 和 2s ，那么（ ） （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- x 为12,,,n x x x 的平均数）A ．12x x >， 12s s <B ．12x x >， 12s s <C ．12x x <， 12s s <D ．12x x <， 12s s <5．某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过7道工序，分别记为,,,,,,A B C D E F G .其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系，若加工工序Y 必须要在工序X 完成后才能开工，则称X 为Y 的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间（单位：小时）列表如下： 工序A BCD E FG加工时间 3 4 2 2 2 1 5紧前工序无C 无C,A BD,A B现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是（ ） （假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断.) A ．11个小时B ．10个小时C ．9个小时D ．8个小时6．某班所有学生某次数学考试的得分均在区间[90， 140]内，其频率分布直方图如右图所示，若前4 组的频率依次成等差数列，则实数a =A ．0.02B ．0.024C ．0.028D ．0.037．甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次.四人测试成绩对应的条形图如下，以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确．．．的是（ ）A．平均数相同B．中位数相同C．众数不完全相同D．甲的方差最小8．某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有47名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业服务满意的百分比大约为（）A．85% B．75% C．63.5% D．67.5%9．如图是民航部门统计的2018年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳B．天津的变化幅度最大，北京的平均价格最高C．北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的平均价格同去年相比有所下降D．厦门的平均价格最低，且相比去年同期降解最大10．某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名A B C D E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图学生，他们身高都处于,,,,表中不能得出的信息是（）A ．样本中男生人数少于女生人数B ．样本中B 层次身高人数最多C ．样本中D 层次身高的男生多于女生 D ．样本中E 层次身高的女生有3人11．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩（满分150分），根据成绩分数分成六组：[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150，绘制频率分布直方图如图所示，若已知不低于140分的人数为110，则n 的值是（ ）A ．800B ．900C ．1200D ．100012．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从第1行的第5列和第6列数字开始由左往右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．01B ．02C ．14D ．1913．在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天每天新增加疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A ．甲地总体均值为3，中位数为4 B ．乙地总体均值为2，总体方差大于0 C ．丙地中位数为3，众数为3D ．丁地总体均值为2，总体方差为3二、解答题14．某校为了增强学生的爱国情怀，举办爱国教育知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60人，将其成绩分为六段[)40,50，[)50,60，⋯，[]90,100后画出如图频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数m 与中位数n （结果保留一位小数）； （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）．15．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作区间[20,40)，9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100].例如：10点04分，记作时刻64.（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值，同一组中的数据用该组区间的中点值代表；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2σ可用样本的方差近似代替同一组中的数据用该组区间的中点值代表，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46~10:22之间通过的车辆数结果保留到整数. 参考数据：若()2~,T Nμσ，则①()0.6827P T μσμσ-<≤≤=；②(22)0.9545P T μσμσ-<≤+=；③(33)0.9973P T μσμσ-<≤+=. 16．随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30、42、41、36、44、40、37、37、25、45、29、43、31、36、49、34、33、43、38、42、32、34、46、39、36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中1n 、2n 、1f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,35的概率.17．《复仇者联盟4：终局之战》是安东尼·罗素和乔·罗素执导的美国科幻电影，改编自美国漫威漫画，自2019年4月24日上映以来票房火爆.某电影院为了解在该影院观看《复仇者联盟4》的观众的年龄构成情况，随机抽取了100名观众的年龄，并分成(0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]七组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这100名观众年龄的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）、中位数； （2）该电影院拟采用抽奖活动来增加趣味性，观众可以选择是否参与抽奖活动（不参与抽奖活动按原价购票），活动方案如下：每张电影票价格提高10元，同时购买这样电影票的每位观众可获得3次抽奖机会，中奖1次则奖励现金a 元，中奖2次则奖励现金10a +元，中奖三次则奖励现金3a 元，其中8a ≥且a N ∈，已知观众每次中奖的概率均为15. ①以某观众三次抽奖所获得的奖金总额的数学期望为评判依据，若要使抽奖方案对电影院有利，则a 最高可定为多少；②据某时段内的统计，当8a =时该电影院有600名观众选择参加抽奖活动，并且a 每增加1元，则参加抽奖活动的观众增加100人.设该时间段内观影的总人数不变，抽奖活动给电影院带来的利润的期望为Z ，求Z 的最大值.18．某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L （单位：M )的数据，其频率分布直方图如图．（1）从该企业的100位员工中随机抽取1人，求手机月平均使用流量不超过900M 的概率；（2）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M 的流量）需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？19．进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：（1）根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关； （2）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．参考公式：K 2＝()()()()2()n ad bc a b c d a c b d -++++20．南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：分组[0,30)[30,60)[60,90)[90,120)[120,150)[150,180]男生人数216191853女生人数32010211若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.①求男生和女生各抽取了多少人；②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率. 21．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100)六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）22．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果：表1：男、女生上网时间与频数分布表上网时间（分[30,40）[40,50）[50,60）[60,70）[70,80]钟）男生人数525302515女生人数1020402010（Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生女生 合计附：公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中20()P k k ≥ 0.500.400.250.150.100.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8323．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7频数132 49 26 5日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6频数151310 16 5（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）24．某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：[10,20)，[20,30)，…，[50,60]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的概率；（Ⅲ）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．25．有一容量为50的样本,数据的分组以及各组的频数如下:[12.5,15.5),3;[15.5,18.5),8;[18.5,21.5),9;[21.5,24.5),11;[24.5,27.5),10;[27.5,30.5),5;[30.5,33.5],4.(1)列出样本的频率分布表.(2)画出频率分布直方图.(3)根据频率分布表,估计数据落在[15.5,24.5)内的可能性约是多少?26．为了了解高一（1）班53名同学的牙齿健康状况，需从中抽取5名同学做医学检验，现已对53名同学编号为00，01，02，…，50，51，52．从下面所给的随机数表的第1行第3列的5开始从左向右读下去，则选取的号码依次为____________．随机数表如下：0154 3287 6595 4287 53467953 2586 5741 3369 83244597 7386 5244 3578 6241【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可． 【详解】①，四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样， ②在同一所学校，且人数较少，使用的是简单随机抽样，故选B ． 【点睛】本题主要考查简单抽样的应用，根据分层抽样的定义是解决本题的关键．2．A解析：A 【分析】通过频率分布直方图可以得到满足要求的频率，然后计算 【详解】由频率分布直方图可得小于16秒的学生人数占全班总人数的百分比为：0.360.180.020.56++=成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为：()500.360.3435⨯+= 故选A 【点睛】本题考查了频率分布直方图的运用，只需按照条件计算其频率即可得到结果，较为简单3．B解析：B 【解析】 【分析】应用平均数计算方法，设出两个平均数表达式，相减，即可。
今年又见定理证明题
今年又见定理证明题--从2012年陕西高考理科第18题谈起周兴顺(陕西省西安市田家炳中学 710500) (作者简介：周兴顺，高级教师，国家奥林匹克数学竞赛教练员，先后在湖北《中学数学》、陕西师大《中学数学教学参考》、江苏《中学数学月刊》等省级及其以上刊物上发表论文7篇，国家级获奖论文4篇，市级以上获奖论文10篇，出版合著8部、其中编著的5部教辅书在上百所学校使用，被评为“精品图书”；奥数辅导的学生多人次在全国竞赛中获奖。
联系方式：E-mail:xshzhou63@ QQ:987237648 )2011年高考数学陕西卷理科18题，以“叙述并证明余弦定理”，震撼了社会，使很多考生感到很意外，有的网民竟在网上说“他,如神一般,妙杀了38万陕西考生…打破了陕西高考数学历史……破坏了和谐社会…让百万群众所愤怒……”，对此，笔者不苟同，于2011年6月18日在网上以《2011年陕西理科数学高考题的分析与启示》为题为命题者伸冤：余弦定理的证明既在课本（指文1，北师大版，下同）必修五第二章第1.2节中，又是课本必修四第二章第5节从力做的功到向量的数量积中的例2，它的证明方法多样,不只局限于课本中的向量方法，在教学中如果能按新课程的教学理念组织学生认真研究,从各种不同的角度提出解决问题的方法并给以解决,学生应该可以很好地解决此题,但事实上我们很多的课堂是对此一带而过,直奔定理的应用,这是典型的应试教育教学方式,是对数学证明中追求理性精神的背叛。
该题再一次提醒我们，教学要回归教材,教学要让学生经历一个从提出问题到解决问题的完整的过程,不能只注重知识的应用而忽视知识发生、发展的过程。
其实这种叙述并证明课本中的定理的命题方式早在1980年的高考“叙述并证明换底公式”中出现过：， 最近几年有的省份也曾出过“叙述并证明三垂线定理”，没有引起师生的重视。
今年——2012年高考数学陕西卷理科18题：（1）如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线（b 不垂直于π），c 是直线b 在π上的投影，若a b ⊥，则a c ⊥”为真。
高三数学学年度考核个人总结（通用7篇）
高三数学学年度考核个人总结 高三数学学年度考核个人总结（通用7篇） 总结是在某一特定时间段对学习和工作生活或其完成情况，包括取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训加以回顾和分析的书面材料，他能够提升我们的书面表达能力，不如静下心来好好写写总结吧。那么你知道总结如何写吗？以下是小编帮大家整理的高三数学学年度考核个人总结（通用7篇），欢迎阅读，希望大家能够喜欢。 高三数学学年度考核个人总结1 本学期我担任高三理科班(5)(9)两班的数学教学工作，现对本学期教学工作总如下： 一、加强集体备课，优化课堂教学。 新的高考形势下，高三数学怎么去教，学生怎么去学?无论是教师还是学生都感到压力很大，针对这一问题制定了严密的教学计划，提出了优化课堂教学，强化集体备课，培养学生素质的具体要求。即优化课堂教学目标，规范教学程序，提高课堂效率，全面发展、培养学生的能力，为其自身的进一步发展打下良好的基矗在集体备课中，注重充分发挥各位教师的长处，集体备课前，每位教师都准备一周的课，集体备课时，每位教师都进行说课，然后对每位教师的教学目标的制定，重点、难点的突破方法及课后作业的布置等逐一评价。集体备课后，我根据自己班级学生的具体情况进行自我调整和重新精心备课，这样，总体上，集体备课把握住了正确的方向和统一了教学进度，对于各位教师来讲，又能发挥自己的特长，因材施教。 二.研读考纲，梳理知识 研究《考试说明》中对考试的性质、考试的要求、考试的内容、考试形式及试卷构各方面的要求，并以此为复习备考的依据，也为复习的指南，做到复习不超纲，同时，从精神实质上领悟《考试说明》，具体说来是： (1)细心推敲对考试内容三个不同层次的要求。准确掌握哪些内容是了解，哪些是理解和掌握，哪些是灵活和综合运用。这样既明了知识系统的全貌，又知晓了知识体系的主干及重点内容。 (2)仔细剖析对能力的要求和考查的数学思想与教学方法有哪些?有什么要求?明确一般的数学方法，普遍的数学思想及一般的逻辑方法(即通性通法)。 三、重视课本，狠抓基础，构建学生的良好知识构和认知构。 良好的知识构是高效应用知识的保证。以课本为主，重新全面梳理知识、方法，注意知识构的重组与概括，揭示其内在的联系与规律，从中提炼出思想方法。在知识的深化过程中，切忌孤立对待知识、方法，而是自觉地将其前后联系，纵横比较、综合，自觉地将新知识及时纳入已有的知识系统中去，融会代数、三角、立几、解析几何于一体，进而形成一个条理化、有序化、网络化的高效的有机认知构。如面对代数中的“四个二次”：二次三项式，一元二次方程，一元二次不等式，二次函数时，以二次方程为基储二次函数为主线，通过联系解析几何、三角函数、带参数的不等式等典型重要问题，建构知识，发展能力。 四、狠抓常规，强化落实与检查 精心选题，针对性讲评。我们发扬数学科组的优良传统，落实“以练为主线”的教学特色。认真抓好每周的“一测一练”。“每周一测”、既要注重重点基础知识，出“小，巧，活”的题目;又要注意培养学生的能力，出有新意的题目，只要能抓住这两点，就是好题。 对每次测验和练习，我们都坚持认真批改，全面统计。为发挥学生的学习自主性，还要求学生对自己做错了的习题进行改错，提高习题课讲评的针对性与课堂教学的效率性。 五、注重“三点”，培养学习习惯。 高三复习注意到低起点、重探究、求能力的同时，还注重抓住分析问题、解决问题中的'信息点、易错点、得分点，培养良好的审题、解题习惯，养成规范作答、不容失分的习惯。 六、选择填空题的地位与复习策略 虽然高考中选择填空题占分的比例接近50%，高考考它们的方向是基础与全面，为顾及到各层次的考生，高考一定要考基础，考试的知识点覆盖率应该尽量大，这些设计目标由选择填空题来完成。以它的目的来看，选择填空题的难度不应该大，一张卷有1-2道难度大的题就足够了。而文科这是很重要的一部分，所以复习时应用花大的精力去抓选择填空题，实际上，实践告诉我们，难的选择填空题是押不上的，遇到时只能依靠学生自己的数学能力。选择填空题往往有一些技巧解法，如排除法，特值法，代入数值计算，从极端情况出发，等等，我们除了在平时的训练，还作了选择填空题的专题训练以提高学生的解题技巧。 高三数学学年度考核个人总结2 20xx年的高考已经画上了句号，在区进修校和教研室的指导下，通过我校全体高三数学老师的努力与付出，我们取得了较大的进步和提高。下面就我校08级高三数学备课组在高三复习备考中的几点做法向大家作个简单介绍。不妥之处尽请批评、指正。 1、研读考试说明，把握考试方向，明确复习目标 备课组的所有老师一起研读、学习考试说明，仔细对比近几年的考试说明，找出“变”与“不变”，把握高考的规律，重点研究近几年的高考试题，明确复习目标，理清复习思路，把握复习的难度和深度，制定切实可行的复习计划。复习计划争取落实到每月、每周、每天甚至每堂课。 2、加强集体备课，优化课堂教学，提高复习效率 (1)扎实开展备课组活动。备课组活动坚持做到“四定”、“四统一”即备课活动做到定时间、定地点、定内容、定主讲人；统一进度、统一资料、统一作业、统一考试，强化整体协作意识，做到信息、资源共享。 (2)坚持备课组集体编写资料。第一轮、第二轮的复习资料《重庆市田家炳中学高中数学基础复习资料》、《重庆市田家炳中学高考二轮复习资料》等都是我们老师根据自己的教学实践，经集体讨论精心编写出来的，具有较强的实用性和针对性，效果较明显。 (3)坚持相互听课，以老带新的做法。以毕业年级复习课和讲评课的基本要求为指导，在备课组老教师的指导和帮助下，抓好复习课和讲评课的教学，提高课堂复习效率。同时对复习的难度把握、教学方法选取、例题和练习的筛选、考试试题的编排等集思广益，以求最大程度上适合我校的学生。 (4)讲求课堂效率，注重知识的落实与过手。根据高考的要求、学生实际特点认真备课，精心选题，精讲精练，抓好课堂练习，重视解题指导，规范解题格式，注重教师思维再现，强调知识的过手和知识的系统化、网络化，提高课堂复习的有效性。 3、坚持立足课本，注重通性通法，把握复习节奏 课本是教与学的蓝本，是知识和方法的重要载体，也是产生高考题的主要来源。复习每一课题中以课本为纲，理清知识网络和思想方法，规范书写和表达。解题中尽量回归课本的例题和练习，学会从课本中探寻解题的经验、方法和规律。注重通性通法的讲解和一题多解，不刻意追求巧解、妙解。 4、加强应试指导，进行规范训练，提高得分能力 利用练习、测试的机会，培养学生的应试技巧，提高学生的得分能力，如对填空题，要注意寻求合理、简洁的解题途经，要力争“保准求快”；对解答题要规范作答，努力作到“会而对，对而全”，减少无谓失分；指导学生经常总结临场时的审题答题顺序、技巧，力争找到适合自己的心理调节方式和临场审题、答题的具体方法，逐步提高自己的应试能力；帮助学生树立信心、纠正不良的答题习惯、优化答题策略、强化一些注意事项。 不足之处： 1、落实“三基”复习的.时间不够，一轮复习急于赶进度，对各章节知识的整体性、综合性、交叉性，指导学生梳理不够。 2、由于我校学生的学习基础、学习习惯较差，教学上对学生的思维训练落实不太容易到位，学生对数学思想、方法的理解和掌握不能融入大脑，举一反三的能力不足。对学生反思、归纳总结的习惯的培养效果不太好。 以上是我校数学备课组在过去一年里的一些粗略的做法，我们真诚希望兄弟学校的同仁和我们多交流，使我们形成一套更为行之有效的高考数学备考和复习方法。 高三数学学年度考核个人总结3 本学期我担任高三（4）班数学科教学工作，虽然工作量不大，但由于我第一次带高三毕业班，深感责任重大，任务艰巨。结合学生基础薄弱的实际水平，本人认真备课、上课、听课、评课，做到所有题有讲必做，并且向同仁们随时请教。对学生严格要求，作业全批全改，及时辅导，尽力做到勤查勤讲，争取使每一个学生每天都有所收获。为了更好地完成本学年的教学任务，现将本学期的工作总结如下： 第一，接着上一学期的复习进度继续完成第一轮复习。在这一阶段，对旧知识产生全新认识和更透彻、更全面的理解，注重知识间的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将知识系统化、综合化，侧重点在对基础知识灵活、准确的贯通运用。这轮复习面向全体学生。 第二，第二轮复习，这一轮是专题训练，主要是强化综合训练，提高学生的应试能力。第三轮复习，这一轮复习是冲刺模拟复习，基本上是习题课和模拟试卷讲评，培养学生的应试能力和应试策略。 第三，研究高考信息，把握复习方向。认真研读近几年的高考题，纵观每年高考数学试题，从中认识连续性和稳定性，始终保持稳中有变，并且关注新教材的.特点，熟悉考纲要求，分析考纲指南。 第四，及时对学生进行心理辅导。高三学生，尤其是基础差的学生，在综合复习阶段很容易出现浮躁，急躁，各门功课全面展开复习，感到措手不及，无从下手，甚至放弃。所以，在课程复习时，要注重疏导学生心理障碍，使学生树立自信，调整心态，一积极向上的态度面对高考。 总之，从师生的实际水平出发，先对自己的知识结构完善提高，虚心学习同仁们的先进教学经验，认真、有效地做好自己教学工作的每一个细节。同时，督促学生认真完成相应的学习任务，共同努力，为高三这一年画上圆满句号。 高三数学学年度考核个人总结4 我担任高三（3）班和（4）班的文科数学教学工作。学生的基础普遍是偏差的。高考数学试卷的特点是难度大，区分度大，高考所占
江苏省泰州市第三高级中学、田家炳中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
江苏省泰州市第三高级中学、田家炳中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}10B x x =-<，则A B = （）A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}0,1D ．{}22．已知命题p ：0x ∃∈R ，200104x x -+≤，则命题p 的否定为（）A ．0x ∀∈R ，200104x x -+>B ．0x ∃∈R ，20014x x -+<C ．0x ∀∈R ，200104x x -+≤D ．0x ∀∉R ，200104x x -+>3．已知36x -≤≤，12y -≤≤，则2z x y =-的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．[]2,10-C ．[]7,8-D ．[]5,10-4．声强级，是指声强x （单位：W/m²）和定值α（单位：W/m²）比值的常用对数值再乘以10，即声强级()10lgxd x α=（单位：dB ）．已知人与人交谈时的声强级约为45dB ，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为109，那么这种火箭发射的声强级约为（）A ．135dBB ．140dBC ．145dBD ．150dB5．已知p ：25x -≤≤，():2220q m x m m -≤≤+>，若p 的充分不必要条件是q ，则实数m 的取值范围为（）A ．3m ≤B ．03m <≤C ．2m ≥D ．02m <≤6．已知函数21,1()2,1x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，若()()3f f a =，则a =（）AB ．0C 0D ．7．定义在R 上的奇函数()f x 满足在()0,x ∈+∞上，()f x 单调递增，()20f =.不等式()()10x f x -<的解集为（）A ．()()2,01,2-UB ．()()2,01,-⋃+∞C ．[)(]2,01,2- D ．()()2,00,2-⋃8．已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x 的图象关于点()0,0对称，对任意1x ，[)20,x ∈+∞，都有()()12121f x f x x x ->--.若()()22112f a f a a a -+-++>，则实数a 的取值范围为（）A ．1a <-或2a >B ．2a <-或1a >C ．21a -<<D ．1a <或2a >二、多选题9．设0a b <<，则下列不等式中恒成立的是（）A ．2ab b >B ．b aa b<C ．11a b<D ．1a bb+>10．下列几个命题中正确的是（）A ．函数y =的最小值为4B ．集合{}1,2,3A =，{}1,2,3,4,5A B =U ，满足条件的集合B 的个数为7个C ．已知1x >，2y >，且4x y +=，则1212x y +--的最小值为3+D ．一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则不等式20cx bx a ++>的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭11．已知定义在()0,∞+的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()412f =，当1x >时，()0f x >，则（）A ．()10f =B ．()y f x =在()1,+∞上单调递增C ．()y f x =是偶函数D ．不等式()236f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集是()0,1三、填空题12．已知函数()f x =的定义域为.13．若命题p ：x ∀∈R ，220ax ax -+>为真命题，则实数a 的取值范围为.14．定义某种运算“*”，,,b a ba b a a b ⎧≥*=⎨<⎩，设()()()03f x x x x =*-*，则()f x 在区间[]4,4-上的最小值.四、解答题15．计算下列各式的值：(1)()16200.2516168202449-⎛⎫-⨯--- ⎪⎝⎭；(2)7log 3log lg25lg47++.16．已知函数()21243f x x x +=++.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求关于x 的不等式()2241f x ax a ->+的解集.（其中a ∈R ）17．设命题p ：[]2,2x ∃∈-，不等式2531a a x -+≥+有解，命题q ：关于实数x 的方程220x ax a ++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，其中10x <，21x >.(1)若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围.18．冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足40万箱时()280p x x x =+；当产量不小于40万箱时，()36001411100p x x x=+-，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？19．已知函数()f x x a =-，()g x ax =，()a ∈R .(1)若1a =，求方程()()f x g x =的解；(2)若方程()()f x g x =在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；(3)若0a >，记()()()F x g x f x =，试求函数()y F x =在区间[]1,2上的最大值.。
江苏省南通田家炳中学2023-2024学年七年级下学期期末模拟数学考试(A卷)试题
江苏省南通田家炳中学2023-2024学年七年级下学期期末模拟数学考试（A 卷）试题一、单选题1．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）A ．中央电视台《开学第一课》的收视率B ．我市居民6月份人均网上购物次数C ．即将发射的气象卫星零部件质量D ．了解一批袋装食品是否含有防腐剂2．已知1,2x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程24x ay +=的一组解，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-3≈2.24果（ ）A ．0.071B ．0.224C ．0.025D ．0.0224 4．若点M 在第二象限，且点M 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2，则点M 的坐标为（ ）A ．()21-，B ．()12-，C ．()21-，D ．()12-，5．如图，AB AC =，B C ∠=∠，则ABE ACF V V ≌的判定依据为（ ）A ．ASAB ．AASC ．SASD ．SSS6．如果关于x 的不等式()11a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．0a > C ．1a <- D ．1>-a 7．如图，将5个大小相同的长方形置于平面直角坐标系中，若顶点()2,9A ，()6,3B ，则顶点C 的坐标是（ ）A ．()4,5B ．()3,5C ．()4,7D ．()5,68．如图，已知60A ∠=︒，40B ∠=︒，30C ∠=︒，则D E ∠+∠等于（ ）A ．30°B ．40︒C ．50︒D ．60︒9．平面直角坐标系中，已知A （2，4），B （-3．-2），C （x ，-2）三点，其中x ≠-3．当线段AC 最短时，△ABC 的面积是（ ）A ．30B ．15C ．10D ．15210．如图，在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE +BF 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1112．一个多边形的外角和比内角和小180°，则这个多边形是边形．13．如果点P （m +3，2m ﹣4）在y 轴上，那么m 的值是 ．14．关于x ，y 的二元一次方程组541343218x y k x y k -=-⎧⎨+=+⎩，若x ﹣3y ≥0，则k 的取值范围是． 15．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为．16．如图，有一个直角△ABC ，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，问：当AP=时，才能使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△ABC 全等．17．在ΔABC 中，点D 在AC 上， 516AD AB AC E =+=，，是BD 中点，2ACB ABC BCE ∠=∠+∠则CD =．18．在平面直角坐标系xOy 中有点P （2，0），点M （3-2m ，1），点N （32m -3，1），且M 在N 的左侧，连接MP 、NP 、MN ，若△MNP 区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，则m 的取值范围为．三、解答题19．（1）计算：﹣12020（2）解方程组：331x y x y +=⎧⎨-=⎩． 20．解不等式组431321232x x x +<⎧⎪+-⎨-≤⎪⎩，并写出它的正整数解．21．如图，AB ，DE 交于点F ，点C 在线段AB 上，且AC BE =，AD BE P ，AD BC =，连接CD ，CE ．(1)求证：CD CE =；(2)若40A ∠=︒，60BCD ∠=︒，求CDE ∠的度数．22．某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：(1)课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为______；(2)请补全条形统计图；(3)该校共有1200名男生，小明认为“全校男生中，课外最喜欢参加的项目是乒乓球的的人数约为271200108300⨯=”，请你判断这种说是否正确，并说明理由． 23．阅读理解：解答“已知2x y -=，且1x >，0y <，试确定x y +的取值范围”时有如下方法： 解：∵2x y -=，∴2x y =+．又∵1x >，∴21y +>．∴1y >-．又∵0y <，∴10y -<<．①同理可得12x <<．②由①+②得，02x y <+<．拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题．(1)已知3x y -=，2x >-，1y <，则x y +的取值范围是_______(2)已知关于x ，y 的方程组325233x y a x y a -=-⎧⎨+=+⎩的解均为正数． ①求a 的取值范围；②已知4a b -=，求a b +的取值范围．24．某企业前年按可回收垃圾处理费15元/吨、不可回收垃圾处理费25元/吨的收费标准，共支付两种垃圾处理费5000元，从去年元月起，收费标准上调为：可回收垃圾处理费30元/吨，不可回收垃圾处理费100元/吨．若该企业去年处理的这两种垃圾数量与前年相比没有变化，但调价后就要多支付处理费9000元．（1）该企业前年处理的可回收垃圾和不可回收垃圾各多少吨？（2）该企业计划今年将上述两种垃圾处理总量减少到200吨，且可回收垃圾不少于不可回收垃圾处理量的3倍，则今年该企业至少有多少吨可回收垃圾？25．如图1，点A 的坐标为(0,2)，将点A 向右平移b 个单位得到点B ，其中关于x 的一元一次不等式21bx x -<+的解集为1x <，过点B 作BC x ⊥轴于C ．（1）求B 点坐标及AOCB S 四边形；（2）如图2，点Q 自O 点以1个单位/秒的速度在y 轴向上运动，点P 自C 点以2个单位/秒的速度在x 轴上向左运动，设运动的时间为t 秒(02)t <<，是否存在一段时间，使得12BOQ BOP S S <V V ？若存在，求t 的取值范围；若不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，求BPOQ S 四边形．26．在平面直角坐标系xOy 中，(),2A a a ，()32,24B b b --．(1)若1a =，1b =，则AB ＝______；(2)若23a b +=，小智同学认为AB 的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB 的长；若不同意，请说明理由；(3)在（2）的条件下，点()2,2M -，()0,4N ，线段MN 上存在点P ，使得ABP V 的面积等于4，直接写出b 的取值范围．。
高中数学必修二 专题6 2 平面向量的加法、减法、数乘运算-同步培优专练
专题6.2 平面向量的加法、减法、数乘运算知识储备一．向量加法的法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则有什么关系？【答案】(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.二．向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【思考】若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？【答案】如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC |，|a －b |＝|BA |，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.三 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎪⎩⎪⎨⎧<>.00的方向相反时，与当的方向相同；时，与当a a λλ 特别地，当λ＝0时，λa ＝0.当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .四 向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【思考】向量共线定理中为什么规定a ≠0?【答案】若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线.(1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa .(2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·江西高一期末（理））下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+【答案】A 【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（ ）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC【答案】B 【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==，故选B.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE中（如图），AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【答案】B【解析】AB BC DC AB BC CD AD+-=++=.故选B4．（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB＋12BC＋12BD等于（）A．AD B．GA C．AG D．MG 【答案】C【解析】∵四面体A-BCD中，M、G为BC、CD中点，∵12BC BM=，12BD MG=，∵1122AB BC BD AB BM MG AM MG AG ===+++++.故选C 5．（2021·江苏高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+=；①2OA OC OF +=-；①AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】对于∵：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故∵错误； 对于∵：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形， 又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC OB OF +==-，故∵正确；对于∵：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故∵正确，故选：C.6．（2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则DC =（ ）A ．a b c -++B ．a b c -+-C ．a b c ++D ．a b c -+【答案】D 【解析】由题意，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，根据向量的运算法则，可得DC DA AB BC b a c a b c =++=-++=-+.故选D.7．（2020·陕西宝鸡市·高三二模（文））点P 是ABC ∆所在平面内一点且PB PC AP +=，在ABC ∆内任取一点，则此点取自PBC ∆内的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点， 故13PBC ABC S S ∆∆=，所以此点取自PBC ∆内的概率是13．故选B. 8．（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ）A ．ABC 内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【数学】第三章《三角恒等变换》单元测试题(新人教版必修4)
六安市田家炳实验中学2011-2012学年度第二学期第一次月考高一数学（文科）试题一、选择题（每题5分，共55分）请将答案填入答题卡中，否则不计分。
1.化简AC - BD + CD - AB得（ ）A ． AB B ． DC C ． BCD ． 02.0570cos =（ ）A ．12-B ．12C ．32-D ．323．以下说法错误的是（ ）A ．与任意向量都平行的向量是零向量B ．零向量与单位向量都没有方向C ．共线向量一定在一条直线上D ．平行向量一定不在一条直线上4．设四边形ABCD 中，有DC =21AB，且|AD |=|BC |，则这个四边形是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形5．下列命题正确的是（ ）A ．向量AB的长度与向量BA 的长度相等。
B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C ．若非零向量AB与CD 是共线向量，则A B C D 、、、四点共线。
D ．若AB=DC , 则A B C D 、、、四点构成平行四边形6. 判断下列命题：①若a b = 则a b =，②四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC = ，③若a b = ，b c = ，则a c =，④若//a b ，//b c ，则//a c ，其中正确的有（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④7．函数221tan 21tan 2xy x-=+的最小正周期是( )A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 8．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 132a b c -=-==+则有（ ） A.a b c >> B.a b c << C.a c b << D.b c a <<9．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ） A.1925 B.1625 C.1425 D.72510.已知53sin ,54cos =-=αα，那么角α2的终边所在的象限为（ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 11.对于等式,sin 2sin 3sin x x x +=下列说法正确的是A 对于任意x ,R ∈ 等式都成立B ．对于任意x ,R ∈ 等式都不成立C ．存在无数个x ,R ∈ 使等式都成立D ．只有有限个x ,R ∈ 使等式都成立 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填入题后横线上。
高中数学选择性必修二 4 3 等比数列(精讲)(含答案)
4.3 等比数列考点一 等比数列基本量计算【例1】（1）（2020·四川仁寿一中开学考试）在等比数列{}n a 中，126a a +=，33a =，则公比q 的值为（ ）A ．12-B ．12-或1 C ．－1D ．12-或－1 （2）（2020·哈密市第十五中学月考）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16B ．8C ．4D ．2（3）（2020·四川省内江市第六中学开学考试（理））等比数列{}n a 的前n 项和131n n S a -=⋅+，则a =（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【答案】（1）B （2）C （3）C【解析】（1）由题意112163a a q a q +=⎧⎨=⎩，解得131a q =⎧⎨=⎩或11212a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩．故选：B ．【答案】C（2）设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．（3）因为数列是等比数列故满足2213a a a ，111a S a ==+ ，232,6.a a a a ==代入2213a a a 得到 3.a =- 故答案选C ．【一隅三反】1．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知{}n a 是等比数列，a 1=2,a 4=14,则公比q =（ ） A ．12-B ．-2C ．2D ．12【答案】D【解析】∵{}n a 是等比数列，∴34111428a q a ===，∴12q =．故选：D ．2．（2020·黑龙江工农·鹤岗一中高一期末（文））已知数列{}n a 满足112n n a a +=，若48a =，则1a 等于 A ．1 B ．2C ．64D ．128【答案】C【解析】因为数列{}n a 满足112n n a a +=，所以该数列是以12为公比的等比数列，又48a =，所以188a =，即164a =；故选C.3．（2020·合肥市第十一中学高二开学考试）各项都是正数的等比数列{}n a 中，2311,,2a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）AB．12CD【答案】B【解析】由题得2231211112,,102a a a a q a a q q q ⨯=+∴=+∴--=，所以q = 因为{}n a 是各项都是正数的等比数列，所以0q >，所以2q =.故选：B4．（2020·全国高二月考（文））已知各项均为正数的等比数列{}n a ，且13213,,22a a a 成等差数列，则4567a a a a ++的值是（ ） A ． B ．16C ．D ．19【答案】D【解析】各项均为正数的等比数列{}n a 的公比设为q ，则q >0， 由13213,,22a a a 成等差数列，可得31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 所以2230q q --=，解得3q =或1q =-（舍），所以34344511565623267111119a a a q a q q q q a a a q a q q q q q q ++++======++++.故选：D. 5．（2020·贵州省思南中学月考）设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，10103020102(21)0S S S -++=，则公比q 等于（ ） A ．12B ．13C ．14D ．2【答案】A【解析】因为10103020102(21)0S S S -++=，所以()()103020201020S S S S ---=所以302010201012S S S S -=-，即102122301011122012a a a q a a a +++==+++ 因为0n a >，所以12q =故选：A 考点二 等比数列中项性质【例2】（1）（2020·自贡市田家炳中学开学考试）等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+（2）（2020·河南高二月考）在等比数列{}n a 中，若1358a a a =，则42a a =（ ） A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】（1）B （2）B【解析】（1）由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=则()5313231031103log log log log 5log 910a a a a a +++===故选B.（2）由等比中项的性质可得313538a a a a ==，解得32a =，因此，2224324a a a ===.故选：B.【一隅三反】1．（2020·安徽滁州·期末）在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的根，则1179a a a = A． B ．2 C ．1 D ．2-【答案】A【解析】由题得3153156,8a a a a +=⎧⎨=⎩所以211798a a a ==，因为3153156080a a a a +=>⎧⎨=>⎩，所以315990,0,0,a a a a >>∴>∴=所以1179a a a==故答案为A 2．（2019·福建高三学业考试）若三个数1，2，m 成等比数列，则实数m =（ ）A ．8B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】因为1,2,m 为等比数列，故212m=即4m =，故选：B. 3．（2020·宁夏二模（理））已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为A B ．2 C 或2 D ．2【答案】A【解析】∵1，m ，9构成一个等比数列，∴m 2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线2x m +y 2=1；当m=﹣3时，圆锥曲线2x m +y 2=1．故选A ． 考点三 等比数列的前n 项和性质【例3】（2020·赣榆智贤中学月考）已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40 B ．60 C ．32 D ．50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ． 【一隅三反】1．（2020·赣榆智贤中学月考）已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则16S =（ ） A ．48 B ．90C ．105D ．106【答案】C【解析】由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列，所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=.故选：C2．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高一期中）等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A ．4:1 B ．6:1C ．7:1D ．9:1【答案】C【解析】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列， 设3S m =，则63S m =，则632S S m-=，故633S S S -=96632S S S S -=-，所以964S S m -=，得到97S m =，所以937S S =.故选：C. 3．（2020·眉山市彭山区第一中学高二开学考试）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝10，S 10＝30，则S 20＝（ ） A ．80 B ．120C ．150D ．180【答案】C【解析】因为数列{}n a 是等比数列，故可得510515102015,,,S S S S S S S ---依然成等比数列， 因为51010,30S S ==，故可得10520S S -=，故该数列的首项为10，公比为2，故可得()420101215012S-==-.故选：C .4．（2020·运城市景胜中学高二开学考试）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A ．12B ．24C ．30D ．32【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q qq++=++=++==.故选：D.考点四 等比数列的单调性【例4】（2020·上海市青浦高级中学高一期末）已知数列{}n a 满足156a =，()*11133n n a a n N +=+∈. （1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）1123n na =+. 【解析】（1）()*11133n n a a n N +=+∈，111111111132332362111132222n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫-+---⎪⎝⎭∴====----， 因此，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由于115112623a -=-=，所以，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13为首项，以13为公比的等比数列，111112333n n na -⎛⎫∴-=⨯=⎪⎝⎭，因此，1123n n a =+. 【一隅三反】1．（2020·湖北高一期末）已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ．2．（2020·四川成都·高一期末（文））已知单调递减的等比数列{}n a 中，10a >，则该数列的公比q 的取值范围是（ ） A ．1q = B ．0q < C ．1q > D ．01q <<【答案】D【解析】因为等比数列{}n a 单调递减，所以0q >，()11111110nn n n n a a a q a qa q q --+-=-=-<，因为10a >，所以()110n q q --<，又因为1n ≥，所以10,10n qq ->-<，所以01q <<，故选：D3．（2020·河北桃城·衡水中学高三月考（理））若{}n a 是公比为(0)q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A ．若{}n a 是递增数列，则10,0a q << B ．若{}n a 是递减数列，则10,01a q ><< C ．若0q >，则4652S S S +>D ．若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D【解析】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误； B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误；C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，111(0)n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.4．（2020·宁夏兴庆·银川一中期末）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论： ①01q <<；②9910110a a ->；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198 其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B 【解析】①9910010a a ->，219711a q ∴>，9821()1q a q ∴>．11a >，0q ∴>．又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <．01q ∴<<，即①正确；②299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，9910101a a ∴<<，即9910110a a -<，故②错误； ③由于10099100T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故③错误；④中9919812198119821979910099100()()()()1T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=>，199121991199219899101100()()()1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故④正确．∴正确的为①④，故选：B ．考点五 证明判断等比数列【例5】（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 等差中项.（1）证明数列{}n a 等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）13-=n n a【解析】（1）因为数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以11133log log 1n n a a +-=-， 故113log 1n n a a +=-，所以13n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列.（2）因为22a +是13,a a 的等差中项，所以()21322a a a +=+，所以()1112329a a a +=+，解得11a =，数列{}n a 的通项公式为-13n n a =.【一隅三反】1．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高一月考）数列0,0,0,...,0,...（ ）A ．既不是等差数列又不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．是等差数列但不是等比数列【答案】D【解析】数列0,0,0,...,0,...是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义，所以数列0,0,0,...,0,...是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为0的项，所以数列0,0,0,...,0,...不是等比数列，故选D. 2．（2020·山东省泰安第二中学高三月考）已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A ．1{}na B ．22log ()n a C ．1{}n n a a ++ D ．12{}n n n a a a ++++【答案】AD 【解析】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列，1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}n a 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ．3．（2020·浙江金华·期中）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+．设n n a b n=． （1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）详见解析；（2）12n n a n -=⋅． 【解析】（1）()121n n na n a +=+，n n a b n =，由条件可得121n n a a n n +=+，即12n n b b +=，又111b a ==， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． （2）由（1）可得12n n b -=，12n n a n -=，所以12n n a n -=⋅．。
2022届江苏省南京市田家炳高级中学高三上学期期中数学试题(解析版)
2022届江苏省南京市田家炳高级中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{A x y =，集合{}ln(1)B x y x ==-，则A ∩B 等于（ ） A ．{x |1<x ≤2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |1<x <2} D ．{x |x ≥2}【答案】A【分析】先根据函数的定义域，求出{}2A x x =≤和{}1B x x =>，进而求出A B ⋂. 【详解】由20x -≥得：2x ≤，故{}2A x x =≤，由10x ->得：1x >，故{}1B x x =>，故{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A2．设复数z 满足236i z z +=+，则z 等于（ ） A ．12i + B ．16i +C ．32i +D ．36i +【答案】B【分析】首先设复数i z a b =+，再根据236i z z +=+求解即可. 【详解】设复数i z a b =+，因为236i z z +=+， 所以()2i i 3i 36i a b a b a b ++-=+=+，解得1a =，6b =. 所以16i z =+. 故选：B3．“[]a 0,1∈”是“x ∀∈R ，210x ax -+>”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先根据二次不等式恒成立得到22a -<<，从而得到[]()0,12,2≠⊂-，即可得到答案. 【详解】x ∀∈R ，210x ax -+>，则240a -<，解得22a -<<.因为[]()0,12,2≠⊂-， 所以“[]a 0,1∈”是“x ∀∈R ，210x ax -+>”成立的充分不必要条件. 故选：A4．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A ．53B ．103 C ．56D ．116【答案】A【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.5．已知函数()y f x =的图象与函数2x y =的图象关于直线y x =对称，函数()g x 是奇函数，且当0x >时，()()g x f x x =+，则(4)g -=（ ） A ．-18 B ．-12 C ．-8 D ．-6【答案】D【分析】首先根据题意得到()2log f x x =，再根据()g x 的奇偶性求解即可. 【详解】由题知：()2log f x x =，所以当0x >时，()2log g x x x =+， 又因为函数()g x 是奇函数，所以()()()244log 446g g -=-=-+=-. 故选：D6．已知(),0απ∈-，且3cos24cos 10αα++=，则tan α等于（ ）A B ．C ．-D ．【答案】C【分析】首先根据已知条件得到1cos 3α=，再利用同角三角函数关系求解即可.【详解】3cos24cos 10αα++=，()232cos 14cos 10αα-++=，整理得：()()23cos 2cos 13cos 1cos 10αααα+-=-+=，解得1cos 3α=或cos 1α=-.因为(),0απ∈-，所以1cos 3α=，sin α=3tan 13α==-故选：C7．已知向量OA =（1，3），向量OB =（3，t ），AB =2，则cos ,OA AB 等于（ ） A．BCD．【答案】B【分析】根据AB 求出t ，再利用向量的坐标运算求解向量夹角的余弦. 【详解】()2,3AB O t OB A =-=-，222AB ∴=，解得3t =，则()2,0AB =，2cos ,1OA AB OA AB OA AB⋅∴===⋅ 故选：B.8．已知函数22()sin 36x x x f x e eA ππ--+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有且只有一个零点，则实数A 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．-4【答案】C【分析】先证明22()sin 36x x x f x e e A ππ--+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称，结合条件列方程求实数A 的值.【详解】∵ 22()sin 36x x x f x e eA ππ--+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭∴ 22222(2)sin =cos 3363x x x x f x ee A x e e A x ππππ+---+-⎛⎫+=+++-++ ⎪⎝⎭， 又()=cos3x xg x e e A x π-++，则()()=cos ()cos 33x x x x g x e eA x e e A x ππ----⎡⎤-++-=++⎢⎥⎣⎦，∴ 函数()=cos3x x g x e e A x π-++为偶函数，故函数()=cos3x xg x e e A x π-++的图象关于0x =对称，∴ 函数(2)f x +的图象关于0x =对称， ∴函数()f x 的图象关于2x =对称，又函数22()sin 36x x x f x e eA ππ--+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有且只有一个零点， ∴函数22()sin 36x x x f x e eA ππ--+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的零点为2， ∴ (2)0f =，即22222sin =036e eA ππ--+⎛⎫++- ⎪⎝⎭， ∴ 2+0A =, ∴ 2A =-. 故选：C.二、多选题9．已知实数x ，y 满足x y a a <（0<a <1），则下列关系式恒成立的有（ ） A ．33x y > B ．11x y< C ．ln(1)0x y -+> D ．sin sin x y >【答案】AC【分析】先根据题干条件，得出x y >，再进行判断，BD 选项可以通过举出反例进行证明，AC 选项可以通过函数的单调性进行证明.【详解】因为01a <<，所以()x f x a =是单调递减函数，因为x y a a <，所以x y >，而()3g x x =是定义在R 上单调递增函数，故33x y >，A 正确；当1x =，=2y -时，满足x y >，此时11x y>，故B 错误；因为x y >，所以11x y -+>，所以ln(1)0x y -+>，C 正确；当πx =，π2y =时，sin π=0，πsin 12=，所以sin sin x y <，D 错误. 故选：AC10．已知函数22,0(),0x x x f x e x ⎧+<=⎨≥⎩，满足对任意的x R ∈，()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．-B ．CD ．【答案】ABC【分析】当0x <得到2a x x≥+恒成立，即可得到a ≥-0x =时，00e ≥恒成立，当0x >得到xe a x≤恒成立，即可得到a e ≤，从而得到a e -≤≤，再结合选项求解即可.【详解】因为函数22,0(),0x x x f x e x ⎧+<=⎨≥⎩，满足对任意的x R ∈，()f x ax ≥恒成立，当0x <时，22x ax +≥恒成立，即2a x x≥+恒成立，因为2x x+≤-2x x =，即x =所以a ≥-当0x =时，00e ≥恒成立.当0x >时，xe ax ≥恒成立，即xe a x ≤恒成立，设()x e g x x =，()()221xx x e x xe e g x x x --'==， ()0,1x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数，()1,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以()()min 1g x g e ==，所以a e ≤，综上所述：a e -≤. 故选：ABC11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”.如取m =3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n =7.则下列命题正确的有（ ） A ．若n =2，则m 只能是4； B ．当m =17时，n =12；C ．随着m 的增大，n 也增大；D ．若n =7，则m 的取值集合为{3，20,21,128}.【答案】ABD【分析】根据“冰雹猜想”逐一验证各选项的对错.【详解】若2n =，则数m 经过第一,步变换的结果必须为2，所以4m =，A 正确， 当17m =时，变换过程为175226134020105168421→→→→→→→→→→→→， 所以12n =，B 正确，当3m =时，变换过程为3105168421→→→→→→→，此时7n =， 当4m =时，变换过程为421→→，此时2n =，C 错误，由已知可得当7n =时，第7次变换为21←，第6次变换为42←，第五次变换为84←，第四次变换为168←，第三次变换为3216←或516←，由此可得下列情况； 由1286432168421←←←←←←←可得128m =， 由216432168421←←←←←←←可得21m = 由20105168421←←←←←←←可得20m =， 由3105168421←←←←←←←可得3m =，D 正确， 故选：ABD.12．已知函数()sin cos f x x x =+，下列叙述正确的有（ ） A ．()f x 的周期为2π；B ．()f x 是偶函数；C ．()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；D ．∀x 1，x 2∈R ，12()()f x f x -【答案】BC【分析】AB 选项，可以分别研究()sin g x x =与()cos h x x =的奇偶性和周期性，从而判断()f x 的周期性和奇偶性；C 选项，在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，化简整理得到，π()4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而得到()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性；D 选项可以取特殊值代入，证明其不成立.【详解】()sin g x x =是偶函数，不是周期函数，()cos h x x =是偶函数，是周期函数，最小正周期为π，故()f x 不是周期函数，A 错误，B 正确；当35,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π()sin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，因为ππ,π42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦π4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在次区间上单调递减，故()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C 正确；当0x >时，()sin cos f x x x =+，3π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π12f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即33ππ142f f ⎛⎫⎛⎫-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 选项错误. 故选：BC三、填空题13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且122()n n a S n N *+=+∈，则1a =___________.【答案】2【分析】令1n =，2n =，结合等比数列的性质，求出12a =或11a =-，两种情况下，求出相应的公比，排除不当答案.【详解】设等比数列的公比为q （0q ≠），当1n =时，2122a S =+，即1122a q a =+，当2n =时，3222a S =+，即2111222a q a a q =++，两式结合，21120a a --=，解得：12a =或1-，当11a =-时，0q =（舍去），当12a =时，3q =，符合题意，综上：12a =故答案为：214．已知函数()f x 满足()sin cos 4f x f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭___________.【答案】21+##12+【分析】对()sin cos 4f x f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭求导，再代入π4x =，进行求解.【详解】()cos sin 4f x f x x π⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭，ππππcos sin 4444f f ⎛⎫⎛⎫''=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π2π24242f f ⎛⎫⎛⎫''=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：214f π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭故答案为：21+15．已知ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则PB PC ⋅的最小值为_________. 【答案】12-##0.5-【分析】以以A 为原点，AC ，AB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，设(),P x y ，利用向量数量积的坐标表示列PB PC ⋅关于,x y 的表达式，即可求最值，注意取值条件.【详解】以A 为原点，AC ，AB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则()0,1B ，()1,0C ，设(),P x y ，则(,1)PB x y =--，(1,)PC x y =--，所以222211112222PB PC x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-+=-+--≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时等号成立，所以PB PC ⋅的最小值为12-.故答案为：12-四、双空题16．函数2()1f x x ax =--的零点个数为___________，当[0,3]x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】 2 [1,4]【分析】根据二次函数的零点的定义判断其零点个数，由()5f x ≤可得2155x ax ---≤≤， 根据其在[0,3]x ∈上恒成立，化简求实数a 的取值范围.【详解】方程21=0x ax --的判别式为2Δ=40a +>，所以方程21=0x ax --有两个解， 所以函数2()1f x x ax =--的零点个数为2，不等式()5f x ≤可化为2155x ax ---≤≤，所以2246ax x x ax ⎧≤+⎨-≤⎩，当0x =时，不等式显然成立，当(0,3]x ∈，不等式组2246ax x x ax ⎧≤+⎨-≤⎩可化为46a x xx a x ⎧≤+⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，由已知当(0,3]x ∈时，46a x xx a x ⎧≤+⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩恒成立，所以min 4a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭且max 6x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，其中(0,3]x ∈，由基本不等式可得44x x +≥，当且仅当2x =时等号成立，所以min 4=4x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，函数6y x x =-在(0,3]上增函数，所以max 6=1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴ 14a ≤≤∴ 实数a 的取值范围为[1,4]， 故答案为：2，[1,4].五、解答题17．在①､②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答.①在()0,2π上有且仅有4个零点；②在()0,2π上有且仅有2个极大值点和2个极小值点.设函数()()sin 23x f x N ωπω*⎛⎫=+∈⎪⎝⎭，且满足___________. (1)求ω的值；(2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 在（0，2π）上的单调递减区间.【答案】(1)4ω(2)511,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1723,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）选①，根据题意得到3233x x πωππω<+<+，从而得到111433ω<≤，即可得到4ω；选②，根据题意得到3233x x πωππω<+<+，从而得到192566ω<≤，即可得到4ω；（2）根据题意得到()sin 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求解单调区间即可.【详解】（1）选① 因为()0,2x π∈，所以3233x x πωππω<+<+，若函数()f x 在()0,2π上有且仅有4个零点，则453ππωππ<+≤，即111433ω<≤，又*N ω∈，所以4ω；选②因为()0,2x π∈，所以3233x x πωππω<+<+，若函数()f x 在()0,2π上有且仅有2个极大值点和2个极小值点， 则792232x πωππ<+≤，即192566ω<≤，又*N ω∈，所以4ω.（2）因为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到函数()sin 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为3222232k x k πππππ+≤-≤+，Z k ∈， 即5111212k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈， 因为()0,2x π∈，所以单调递减区间有511,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1723,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 18．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.(1)请写出一个图象关于点（-1，0）成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数32()34f x x x =-+图象的对称中心. 【答案】(1)()1f x x =+（注：答案不唯一，只要满足(1)=-y f x 为奇函数） (2)(1,2)【分析】(1)由推广结论可得(1)f x -为奇函数，由此写出符合要求的函数解析式；(2) 设(),a b 为32()3f x x x =+图象的对称中心，()()32()3y f x a b x a x a b =+-=+++-为奇函数，设()()()323x a a g x x b +++-=，利用()g x 为奇函数，则()()0g x g x -+=，即可得出结果.【详解】（1）因为函数()f x 的图象关于点(1,0)-成中心对称， 所以(1)=-y f x 为奇函数，只要设(1)y f x x =-=， 则()1f x x =+.（注：答案不唯一，只要满足(1)=-y f x 为奇函数） （2）设函数32()34f x x x =-+图象的对称中心为(,)P a b ， 则32()()()3()4g x f x a b x a x a b =+-=+-++- 32232(33)3(2)34x a x a a x a a b =+-+-+-+-，因为()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-， 即32232(33)3(2)34x a x a a x a a b -+---+-+- 32232(33)3(2)34x a x a a x a a b =------+-+，所以得32330,340a a a b -=-+-+=， 解得1a =，2b =.19．在锐角三角形ABC 中，已知sin tan 2cos 1AA A =-.(1)求角A 的值；(2)若a =b c +的取值范围. 【答案】(1)3A π=；(2)6b c <+≤【分析】(1)根据给定条件切化弦，借助二倍角的正弦、余弦化简变形求出cos A 的值即可得解. (2)利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及三角函数的性质即可计算作答. 【详解】（1）因sin tan 2cos 1A A A =-，即sin 2sin cos2cos 1A AA A =-，则22sin cos sin 2cos 1cos 1A A A A A =--， 锐角ABC 中，02A π<<，即sin 0A >，则22cos 12cos 1cos 1A A A =--，化简得1cos 2A =，即3A π=，所以角A 的值3π. （2）由(1)及正弦定理得：23sin sin sin b cA B C ==，得4sin ,4sin b B c C ==，而23C B π=-, 则有24sin 4sin 4sin 4sin()3b c B C B B +=+=+-224sin 4sin cos 4cos sin 33B B B =+- 6sin 23cos 43sin()6B B B π=+=+， 锐角ABC 中，02B π<<，2032B ππ<-<，于是得62B ππ<<，2363B πππ<+<，故有3sin()126B <+≤，643sin()436B <+≤，即643b c <+≤，所以b c +的取值范围是：643b c <+≤.20．在△ABC 中，已知2AB =，11AC =，511cos 22BAC ∠=，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O .设AE xAB =.(1)若14x =，求CO OE的值； (2)求AO CE ⋅的最小值. 【答案】(1)4COOE= (2)4-【分析】（1）首先根据向量的线性运算得到(1)4AO AC AB =-+和()2y AO yAD AB AC ==+，从而得到4=5λ，25y =，即可得到4COOE =. （2）首先根据题意得到2111145(12)AO CE x x λλλ⋅=-++-，根据12y-=，2y x =，得到11x=+，从而得到29161x xAO CE x-⋅=+，再求解最小值即可.【详解】（1）因为C ，O ，E 三点共线，所以有CO CE λ=， 即()CA AO CA AE +=+，得(1)(1)4AO AC xAB AC AB =-+=-+，同理可设()2y AO yAD AB AC ==+， 所以得12y-=，42y =，解得42,55y ==. 所以45CO CE =，即4COOE =. （2）解：()1AO CE AC xAB AC xAB λλ⎡⎤⎡⎤⋅=-+⋅-+⎣⎦⎣⎦2111145(12)x x =-++-，由（1）可知12y -=，2y x =，所以11x=+， 所以29161x xAO CE x-⋅=+，令1[1,2]x t +=∈，则25934344AO CE t t⋅=+-≥=-， 等号当且仅当53t =，即23x =时，AO CE ⋅的最小值为4-. 21．已知正项数列{}n a 的前项积为n T ，且满足()31nn n T a n N T *=∈-. (1)求证：数列12n T ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)若12...10n a a a +++>，求n 的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)11【分析】（1）利用前n 项积对题干中的条件变形消去n a ，得到+131n n T T -=，再利用构造法得到+1112132n n T T -=-，得到数列12n T ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）结合第一问的结论，得到n a 的通项公式，然后进行放缩2211333n n na =->-+，求出121110a a a +++>，再结合21133n n a =-<+，得到121010a a a +++<，综上，求出n 的最小值.【详解】（1）因为31nn nTa T =-，所以121212313131n n nTT T a a a T T T ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅---，即1212313131nn n T T T T T T T =⋅⋅⋅---， 同理得+112+112+131313131n n n n n T T T TT T T T T =⋅⋅⋅⋅----⋅所以+1+1+131n n n n T T T T =-， 因为0n a >，所以+10n T >，所以得+131n n T T -=，则+1113()22n n T T -=-，因为当1n =时，11131Ta T =-，得123a =， 所以12n T -不恒等于0，所以+1112132n n T T -=-，即12n T ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为13的等比数列， 则1111()263n n T --=⋅，即111()232n n T =⋅+.（2）由（1）可得111()3122321313313333()1232n n n n n n n n T a T ⋅++====--++⋅+-， 所以2211333n n na =->-+， 所以1221112()333n n a a a n +++>-+++111133211313n n n n +-=-=-+-，所以当11n =时，121111110103a a a +++>+>， 当10n =时，1210110+12210++1033+1a a a ⎛⎫+++=-< ⎪⎝⎭， 所以n 的最小值为11.【点睛】数列与不等式相结合的题目，要充分使用数列的通项公式，要进行适当的放缩，而放缩的方法通常可以利用分离常数法，放缩为等比数列，或放缩为裂项相消法等，朝着我们熟悉的方向或者求和好处理的思路来进行.22．1.已知函数()ln x m f x e x -=-（m ≥0）.(1)当m =0时，求曲线()y f x =在点（1，f （1））处的切线方程；(2)若函数()f x 的最小值为11e -，求实数m 的值.【答案】(1)(e 1)1y x =-+ (2)e 1m =+【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求解切线方程的斜率，进而求出切线方程；（2）对导函数再次求导，判断其单调性，结合隐零点求出其最小值，列出方程，求出实数m 的值. 【详解】（1）当0m =时，因为()1e xf x x'=-，所以切线的斜率为e 1-， 所以切线方程为e (e 1)(1)y x -=--，即(e 1)1y x =-+. （2）因为1()e x mf x x --'=，令1()e x m t x x-=-，因为21()e0x mt x x -+'=>，所以1()e x mt x x-=-在(0,)+∞上单调递增， 当实数1m >时，11()e 0m mt m m -=-<，1()10t m m =->；当实数01m <<时，1()10t m m =-<，11()e0m mt m m-=->； 当实数1m =时，()0t m =， 所以总存在一个0x ，使得0001()e0x mt x x -=-=， 且当0x x <时，()0t x <；当0x x >时，()0t x >，所以0min 00011()eln ln 1ex mf x x x x -=-=-=-， 令1()ln h x x x =-，因为211()0h x x x '=--<，所以1()ln h x x x=-单调递减， 又(e)1e1h =-，所以0e x =时，所以e 1e em-=，即e 1m =+.。
高二(1-2)月考数学
西安市田家炳中学高二数学（选修1-2）月考试题（卷）注意事项：1、试卷满分120分，考试时间100分钟。
2、请将选择、填空题的答案写在题后相应的答题框内一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.）1、线性回归直线方程bx a y +=必过定点（ ） A （0,0） B (x ,0) C(0,y ) D( x ,y )2、设有一个回归直线方程y=2-1.5x ，则变量x 每增加一个单位时y 就（ ） A.y 平均增加1.5个单位 B.y 平均增加2个单位 C.x 平均减少1.5个单位 D.x 平均减少2个单位3、若回归直线方程中的回归系数b=0，则相关系数( )A r=1B r=-1C r=0D 无法确定4、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6、0.5，现已知目标被击中，则它是甲射中的概率是（ ）A 0.45B 0.6C 0.65D 0.75 5、下列是一个2⨯2列联表A ．94，96B ．52，50C ．52，54D ．54，52 6、要描述一工厂的组织情况，应用（ ）A 程序框图B 工序流程图C 知识结构图D 组织结构图 7、如图所示为某公司的组织结构图，后勤部的直接领导是( )A ．总工程师B ．专家办公室C ．总经理D ．开发部 8、对于独立性检验，下列说法正确的是（ ）A ．两事件频数相关越小，2χ就越小。
B ．两事件频数相关越小，2χ就越大。
C.2χ<3.841时，事件A 与事件B 无关。
D.2χ＞6.635时，有95%的把握说事件A 与事件B 有关。
9、如框图所示，当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，x 3等于( )A ． 7B ．8C ． 9D ．1010、(2010年高考山东卷)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ． f (x )B ．－f (x )C ． g (x )D ．－g (x )二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。
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田家炳中学高三数学周练一 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1． C是圆心在原点的圆，对（1）上半圆，（2）下半圆，（3）左半圆，（4）右半圆，（5）四分之一的某段圆弧，（6）整个圆，以上六种图形定能作为某函数图象的有 （ ） （A）一种 （B）二种 （C）四种 （D）六种
2．已知)(xf的值域为[0，2]，则函数)2(xf的值域是 （ ） （A）[0，2] （B）[2，4] （C）[-2，0] （D）[0，4]
3．已知339)(2xxxf )0()01()1(xxx，则)]3([fff等于 （ ） （A）0 （B）3 （C）1 （D）不存在 4．若函数cxbaxxf)(的反函数是213)(1xxxf，则实数a、b、c依次是 （ ） （A）2，1，3 （B）312，， （C）213，， （D）231，， 5．在等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为（ ） （A）30 （B）27 （C）24 （D）21
6．奇函数)(xf定义在区间（-1，1）上，且在（-1，0]上为减函数，若0)1()1(2afaf，则a的范围是 （ ） （A）01a （B）10a （C）2121a （D）11a 7．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票反卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这手股票卖给了乙，在上述股票交易中 （ ） （A）甲刚好盈亏平衡 （B）甲盈利9元 （C）甲盈利1元 （D）甲亏本1.1元
8．若121loga，则a的范围是 （ ）
（A）210a （B）121aa且 （C）1a （D）1210aa或 9．已知函数mxxxf23212)(（m为常数）图象上A处的切线与03yx的夹角为45，则A点的横坐标为 （ ） （A）0 （B）1 （C）0或61 （D）1或61 图1
10．下列判断正确的是 （ ） （A）)1lg()(23xxxxf是非奇非偶函数 （B）)10(1121)(aaaxfx且是奇函数 （C）设{an}为等比数列，Sn=a1+…+an,则在数列{Sn} 中任何一项均不为零
（D）设等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项的倒数之和为Tn,则nnTS的值为naa1 11．已知数列{an}的前n项和为Sn=b×2n+a(a0,b0),若数列{an}是等比数例，则a、b应满足的条件为（ ） （A）a-b=0 （B）a-b0 （C）a+b=0 （D）a+b0 12．一个凸n边形内角的度数成等差数列，公差为5°，且最大角为160°，则n的值为（ ） （A）9 （B）12 （C）16 （D）9或16
二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24把答案填在题中横线上。） 13．函数f(x)=x3-ax+11在区间[-1,+2]上单调递减，则实数a的取值范围是____________. 14．若1)(13bxaxxf且13)7(f，则)7(f 。 15．在项数为n的等差数列{an}中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n项之和为240，则n= 。 16．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号) ①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an. 其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.
17．若函数f(x)=a2bx在[0,+∞]上为增函数,则实数a、b的取值范围是 . 18．图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大. 三、解答题（本大题共5小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 19．（12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元. 该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就 降低0.18元，但实际出厂单价不能低于51元. （1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ （2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数)(xfP的表达式； （3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个， 利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本） 20．(12分) 已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-17 (1)设f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列。 (2)设f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成{bn}，求{bn}的前n项和。
21．（14分）已知定义在R上的函数)(xf，满足，时，且0)(0)()()(xfxbfafbaf
f(1)=-2 （1）求证：)(xf是奇函数 （2）判断)(xf单调性并证明你的结论 （3）不等式f(mx)-f(x2)+4>0在[1，3]上恒成立，求m的取值范围 22．（14分）已知函数axxf，122axxxg（a为正常数），且函数xf与xg
的图象在y轴上的截距相等。 （1）求a的值； （2）求函数xgxf的单调递增区间；
（3）若n为正整数，cn=ngnf)21(103,指出数列nc第几项最大，并说明理由 23．（14分）下表给出一个“等差数阵”： 4 7 （ ） （ ） （ ） … ja1 … 7 12 （ ） （ ） （ ） … ja2 … （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … ja3 … （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … ja4 … … … … … … … … …
1ia 2ia 3ia 4ia 5ia … ija …
… … … … … … … … 其中每行、每列都是等差数列，ija表示位于第i行第j列的数. （1）写出45a的值； （2）写出ija的计算公式； （3）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整 数之积. 田家炳中学高三数学周练一 答题卷 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
二、填空题 13． ， 14、 ，15、
16、 ， 17、 ，18、 三、解答题（边框外答题无效）
19．解：
20．解： 21．解： 22．解： 边框外答题无效 边框外答题无效 边框外答题无效 边框外答题无效 边框外答题无效 边框外答题无效 23．解： 田家炳中学高三数学周练一参考答案 一、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A A B B B C D C B C A
二、13、a≥12,14、-11；15、10 ，16、①、④，17、a>0且b≤0 18、2/3 三、 19、解（1）当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元. 3分
（2）当1000x时，P=60；当550100x时，5062)100(02.060xxP；
当.51,550Px时；.550,51)(,550100,5062,1000,60)(xNxxxxxfP 6分 （3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元； 如果订购1000个，利润是11000元. 3分 20、（1）f(x)=[x-(n+1)2]+3n-8 ∴an=3n-18,∵ an+1-an=3 , ∴{an}为等差数列。 3分
（2）bn=183n；1分； 当16n时，bn=18-3n,b1=15。Sn=23332)31815(2nnnn,……2分；当n7时。bn=3n-18 Sn=15+12…3+0+3+7+…+（3n-18）=45+21803332)1833)(6(2nnnn，5分
∴Sn=2180333233322nnnn 321nn 1分 21． （1）略 3分；（2）判断 1分，证单调性，5分 ； （3）m<4, 5分 22、(1)由题意，00gf，1||a又0a，所以1a。 2分 (2)12|1|2xxxxgxf 当1x时，xxxgxf32，它在,1上单调递增； 当1x时，22xxxgxf，它在1,21上单调递增。 5分 (3)ngnfnc)(10213，考查数列nc的变化规律： 解不等式11nncc，由0nc，上式化为1)21(10323n ，因Nn得4n，于是4321cccc，而654ccc 所以数列nc第4项最大 7分（结论1分）
22、解：（1）.4945a 2分 （2）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列； )1(341jaj； 2分
第二行是首项为7，公差为5的等差数列： )1(572jaj；
…… 第i行是首项为)1(34i，公差为12i的等差数列，因此， .)12(2)1)(12()1(34jjijiijjiiaij 4分
（3）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得 jjiN)12(，从而
).12)(12(12)12(212jijjiN 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 3分 充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为 两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得),12)(12(12lkN
从而klallkN)12(，可见N在该等差数阵中. 综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整 数之积. 3分