北京理工大学信号与系统实验报告6-离散时间系统的z域分析
第6章离散时间体统z域分析ppt课件
a n
a
n
令 f (n) an x(n) ，则它的Z变换
F(z)
f (n)zn
a n x(n) z n
n
n
所以 an x(n) X ( z )
a
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2.5 z域微分特性
若x(n)←——→X(z),收敛域为R，则nx(n)←→
z
dX (z) dz
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
u(n) U(z)
1 1 z1
,
z
1
u(n 1)
z1U (z)
z 1 1 z1 ,
z
1
(n)
u(n)
u(n
1)
1 1 z1
z 1 1 z1
1
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2.2 移序特性
若 x(n)←——→X(z) 的 收 敛 域 为 A ， 则 x(n-n0)←—— →z-n0 X(z)的收敛域也为A，但在零点和无穷远点可能 发生变化。
z re j eT e jT
(6―11)
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2 Z变换的性质
6.2.1 线性特性 设x1(n)X1(z)其收敛域为A，x2(n)X2(z),其收敛域为
B ， 则 有 ax1(n)+bx2(n)aX1(z)+bX2(z) 其 收 敛 域 为 A∩B （这里a,b为常数）。这一关系显然是和拉普拉斯变换 的同一特性相对应，为了避免不必要的重复，它的证 明从略。
(3)n1＞0,n2＞0时，有
n2
X (z) x(n)zn
北京理工大学信号和系统实验报告材料
本科实验报告实验名称：信号与系统实验实验一信号的时域描述与运算一、实验目的①掌握信号的MATLAB表示及其可视化方法。
②掌握信号基本时域运算的MATLAB实现方法。
③利用MATLAB分析常用信号，加深对信号时域特性的理解。
二、实验原理与方法1. 连续时间信号的MATLAB表示连续时间信号指的是在连续时间范围内有定义的信号，即除了若干个不连续点外，在任何时刻信号都有定义。
在MATLAB中连续时间信号可以用两种方法来表示，即向量表示法和符号对象表示法。
从严格意义上来说，MATLAB并不能处理连续时间信号，在MATLAB中连续时间信号是用等时间间隔采样后的采样值来近似表示的，当采样间隔足够小时，这些采样值就可以很好地近似表示出连续时间信号，这种表示方法称为向量表示法。
表示一个连续时间信号需要使用两个向量，其中一个向量用于表示信号的时间范围，另一个向量表示连续时间信号在该时间范围内的采样值。
例如一个正弦信号可以表示如下：>> t=0:0.01:10;>> x=sin(t);利用plot(t,x)命令可以绘制上述信号的时域波形，如图1所示。
如果连续时间信号可以用表达式来描述，则还可以采用符号表达式來表示信号。
例如对于上述正弦信号，可以用符号对象表示如下：>> x=sin(t);>> ezplot(X);利用ezplot(x)命令可以绘制上述信号的时域波形常用的信号产生函数2.连续时间信号的时域运算-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Time(seconds)图1 利用向量表示连续时间信号-1-0.50.51t图 2 利用符号对象表示连续时间信号sin(t)对连续时间信号的运算包括两信号相加、相乘、微分、积分，以及位移、反转、尺度变换（尺度伸缩）等。
1）相加和相乘信号相加和相乘指两信号对应时刻的值相加和相乘，对于两个采用向量表示的可以直接使用算术运算的运算符“+”和“*”来计算，此时要求表示两信号的向量时间范围和采样间隔相同。
第6章离散时间信号与系统的z域分析
6.4.2 LTI离散时间系统零状态响应的 zT分析法 p188
若已知LTI离散时间系统的单位冲激序列响应
h[n]和输入信号f[n] 。计算
h[n]H(z)，| z|:(ah，bh) f[n]F(z)，| z|:(af，bf ) y[z]F(z)H(z)，| z|:公共部分
则：yf [n]Z1[Y(z)，]| z|:公共部分 当因果信号通过散 因LT果系 I 离统时， 由于公共收敛域在 一， 定因 存此可 不再讨再讨论收敛
区外极点是反因果分量 的贡献。
收敛边界a
pk
，b
max
pk'
。
min
j Im[ z ]
0a
b
Re[ z ]
图6-1 （a）
2、因果序列的ZT的收敛域是Z平面上某园的
园外部分 z:(a，) ，全部极点为区内极点 pk
，收敛边界 a pk max
如图6-1（b）所示。
j Im[ z ]
0a
Re[ z ]
若f： [n]F(z),z:(a，)
则n： [fn]zF/(z),z:(a，)
证明：
F ( z ) f [ k ] z k , | z |: ( a . ) k0
上式两端对 z求导，得：
F ' ( z ) f [ n ]( n ) z n 1 n0
z 1 nf [ n ] z n n0
M
bM (z i )
则
H(z)
i1 N
(z pj )
j1
j Im[z]
1
0
1
Re[ z]
图6-5 H(z)极点分布与h[k]的关系
2.离散时间系统的因果性 3.因果LTI离散时间系统的稳定性p196
信号与系统实验六离散时间信号与系统的频域分析
杭州电子科技大学信号与系统实验报告课程名称：信号与系统实验实验名称：离散时间信号与系统的频域分析一、实验目的1、掌握离散时间信号与系统的频域分析方法，从频域的角度对信号与系统的特性进行分析。
2、掌握离散时间信号傅里叶变换与傅里叶逆变换的实现方法。
3、掌握离散时间傅里叶变换的特点及应用4、掌握离散时间傅里叶变换的数值计算方法及绘制信号频谱的方法二、预习内容1.离散时间信号的傅里叶变换与逆变换2.离散时间信号频谱的物理含义3.离散时间系统的频率特性4.离散时间系统的频域分析方法三、实验原理1. 离散时间系统的频率特性在离散LTI 系统时域分析中得到系统的单位冲激响应可以完全表征系统，进而通过h[n]特性来分析系统的特性。
系统单位冲激响应h[n]的傅里叶变换H () 成为LTI 系统的频率响应。
与连续时间LTI 系统类似，通过系统频率响应可以分析出系统频率特性。
与系统单位冲激响应h[n]一样，系统的频率响应H ( ) 反映了系统内在的固有特性，它取决于系统自身的结构及组成系统元件的参数，与外部激励无关，是描述系统特性的一个重要参数，H () 是频率的复函数可以表示为其中，||随频率变化的规律称为幅频特性；ϕ(ω)随频率变化的规律称为相频特性。
2. 离散时间信号傅里叶变换的数值计算方法算法原理，由傅里叶变换原理可知：序列f [n]的离散时间傅里叶变换F是ω的连续函数。
由于数据在 matlab 中以向量的形式存在，F ()只能在一个给定的离散频率的集合中计算。
然而，只有类似形式的e− jω的有理函数，才能计算其离散时间傅里叶变换。
四、实验内容1 离散时间傅里叶变换(1)下面参考程序是如下序列在范围−4π≤ω≤4π的离散时间傅里叶变换修改程序，在范围 0≤ω≤π内计算如下有限长序列的离散时间傅里叶变换h1=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];h2=[zeros(1,10),h1];w=0:pi/511:pi;h=freqz(h2,1,w);subplot(4,1,1)plot(w/pi,real(h));grid;title('实部')xlabel('omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(4,1,2)plot(w/pi, imag(h));grid;title('虚部')xlabel('omega/\pi');ylabel('振幅'); figure;subplot(4,1,3)plot(w/pi, abs(h));grid;title('幅度谱')xlabel('omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(4,1,4)plot(w/pi, angle (h));grid;title('相位谱')xlabel('omega/\pi');ylabel('以弧度为单位的相位');(2)利用1的程序，通过比较结果的幅度谱和相位谱，验证离散时间傅立叶变换的时移特性。
实验二离散系统的Z域分析
一、实验目的1）学习和掌握离散系统的频率特性及其幅度特性、相位特性的物理意义；2）深入理解离散系统频率特性的对称性和周期性；3）认识离散系统频率特性与系统参数之间的关系；4）通过阅读、修改并调试本实验系统所给源程序，加强计算机编程能力；二、实验原理及方法及实验内容1、实验原理及方法1）离散信号的z变换和逆z变换序列f(k) (k为整数)的双边z变换定义为∑∞-∞=-=kkz kfzF)()(MATLAB的符号数学工具箱(Symbolic Math Tools)提供了计算z正变换的函数ztrans和计算逆z变换的函数iztrans。
其调用形式为：F=ztrans(f) %求符号函数f的z变换，返回函数的自变量为z；F=ztrans(f,w) %求符号函数f的z变换，返回函数的自变量为w；F=ztrans(f,k,w) %对自变量为k的符号函数f求z变换，返回函数的自变量为w。
f=iztrans(F) %对自变量为z的符号函数F求逆z变换，返回函数的自变量为n；f=iztrans(F,k) %对自变量为z的符号函数F求逆z变换，返回函数的自变量为k；f=iztrans(F,w,k) %对自变量为w的符号函数F求逆z变换，返回函数的自变量为k。
kkf-=2)(，求其z变换。
解：在命令窗口中输入如下命令，即可完成f(k)的z变换>> syms k>> f=sym('2^(-k)'); %定义序列k k f -=2)( >> F=ztrans(f) %求z 变换运行结果为：F =2*z/(2*z-1) ，即122)(-=z zz F23)(2++=z z zz H ，求其冲激响应h (k )。
解：运行如下M 文件，syms k zH=sym('z/(z^2+3*z+2)');h=iztrans(H,k) %求逆z 变换运行结果为：h =(-1)^k-(-2)^k ，即)(])2()1[()(k u k h k k ---= 对象函数F 求逆z 变换，还可以利用函数residuez( )对象函数作部分分式展开，然后按部分分式展开法求得原函数。
第6章 离散系统的Z域分析
6、初值定理和终值定理
例子
例6.3 求kU(k)的Z变换。 kU(k)的 变换。
F ( Z ) = ∑ kZ k = Z 1 + 2 Z 2 + 3Z 3 +
k =0 ∞
Z 1 F ( Z ) = Z 2 + 2 Z 3 + 3Z 4 + (1 Z 1 ) F ( Z ) = Z 1 + Z 2 + Z 3 + = 1 + Z 1 + Z 2 + Z 3 + 1 1 Z ∞ = 1 1 1 Z
§6.2 Z变换的性质 Z变换的性质
1、线性特性
f1(k)←→F1(Z)， f2(k)←→F2(Z) )←→F )←→F )+bf )←→aF 则af1(k)+bf2(k)←→aF1(Z)+ bF2(Z)
2、尺度变换
f(k)←→F(Z) )←→F )←→F Z/a) 则akf(k)←→F(Z/a)
5、F(z)微分特性 F(z)微分特性
f(k)←→F(Z) )←→F d d kf(k)←→-Z──F(Z)， kf(k)←→(-Z─)nF(Z) kf( )←→- ──F kf( )←→(- dZ dZ 若f(k)为因果序列，即k<0时f(k)=0，则 为因果序列， <0时 )=0， f(0)=lim F(Z) Z→∞ (Z及lim f(k)=lim (Z-1)F(Z)
3、移序性质
f(k)←→F(Z) )←→F f(k+1)←→Z[F(Z)-f(0)] +1)←→Z n-1 f(k+n)←→ZnF(Z)-Zn∑f(k)Z-k )←→Z
k=0
4、卷积定理
7.离散时间信号与系统的z域分析
第七章离散时间系统的Z域分析7.1 学习要求1.熟练掌握信号的Z域分析方法：Z变换的定义、收敛区及基本性质，能够应用长除法和部分分式分解法求Z反变换。
2.掌握序列的傅里叶变换的定义和基本性质，并了解Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系。
3.掌握离散系统响应的Z变换分析方法：深刻理解离散系统的系统函数的概念，掌握离散时间系统的时域和Z域框图与流图描述形式。
7.2 学习重点1.z变换,z反变换定义、基本性质、计算方法。
2.离散时间系统的z域分析。
3.离散时间系统的频率响应特性。
7.3知识结构7.4内容摘要7.4.1 Z变换1.定义∑∞-∞=-=n nz n x z X )()( 表示为：)()]([z X n x Z =。
2. 收敛域 (1) 有限长序列12(),()0,x n n n n x n n ≤≤⎧=⎨⎩其他当0,021>>n n 时，收敛条件为0>z ；当0,021<<n n 时，收敛条件为∞<z ；当0,021><n n 时，收敛条件为∞<<z 0。
(2) 右边序列11(),()0,x n n n x n n n ≥⎧=⎨<⎩当01>n 时，收敛域为1x R z >，1x R 为最小收敛半径；当01<n 时，收敛域为∞<<z R x 1。
(3) 左边序列2(),()0,x n n n x n n ≤⎧=⎨⎩其他 当02<n ，收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径； 当02>n ，收敛域为20x R z <<。
(4) 双边序列双边序列指n 为任意值时,)(n x 皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。
其z 变换：∑∑∑∞=--∞=--∞-∞=-+==1)()()()(n n nnn nzn x zn x zn x z X双边序列的收敛域为一环形区域21x x R z R <<。
信号与线性系统分析第六章离散系统的Z域分析61 .2课件 精品推荐
页
f ( M ) lim z M F ( z )
z
f ( M 1) lim[ z M 1 F ( z ) zf ( M )]
z
f ( M 2) lim[ z M 2 F ( z ) z 2 f ( M ) zf ( M 1)]
z
第 15 页
六、序列除 (k+m)（Z域积分）
若
页
f ( k ) F ( z ), z
F ( ) f (k ) m z d , m 1 z km
设有整数m，且k+m>0，则
z
若m=0且k>0，则
f (k ) k
z
F ( ) d ,
z
页
且有任意常数 a1 , a2有：
a1 f1 (k ) a2 f 2 (k ) a1 F1 ( z ) a2 F2 ( z )
其收敛域为 F1（z）与 F2（z）收敛域的交集
1 k 第 P275 例6.2-1 f1 ( k ) ( k ), f 2 ( k ) 2 ( k 1) ( ) ( k ) 页 2 求f1 ( k ) f 2 ( k )的ZT
第 13
七、k域反转
若
则
页
f ( k ) F ( z ), z
f ( k ) F ( z ) ,
1
1
z
1
八、部分和
若
k
f ( k ) F ( z ), z
则：
z g( k ) f ( i ) F ( z ) , max( ,1) z z 1 i
离散信号与系统的Z域分析
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 16
例： F(z) = 1/(za) |z| a 求f [k]。 解：
1 F ( z) z 1 1 az
z 例： (3) u[k ] , z 3 z 3
k
类似于傅氏、拉氏变换的尺度变换特性。
1 1 s L f (at ) F ( j ) f (at ) F ( ), a a a a
F
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 18
a 0, a 0
例*：求aksin(0k) u[k] 的z变换及收敛域
1 cos 0 z 1 1 2 z 1 cos 0 z 2 sin 0 z 1 1 2 z 1 cos 0 z 2
五、单边z变换的主要性质
f [k ] F ( z), z R f
f1[k ] F1 ( z), z R f 1
1 2
sin 0 z 1 za 2 2 z 1 cos 0 z 2
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 19
五、单边z变换的主要性质
4. z域微分特性（时域线性加权）
dF ( z ) kf [k ] z dz
Z
Z Rf
m d m d F ( z) Z m m 或写成 : ( z ) F ( z ) k f [k ] ( z ) m dz dz
2 2
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 13
五、单边z变换的主要性质
2. 位移特性(记忆)
因果序列的位移
《信号与系统》第八章 北京理工大学
8单边Z变换的性质 延时定理(右移) 超前定理(左移)
{x[n m]u[n]} z
n m
lim x(n) lim{( z 1) X ( z )}
X ( z) z
1 z 1 m
{x[n m]u[n]} z m X ( z ) z m
k m m1 k 0
方法2 分别求零输入响应和零状态响应
零输入: 令x[n]=0 令初始条件y[-1]=0 例8-13 例8-14 利用H(z) 求解
零状态:
1
(1) n 1 a n z n X ( z) n n 1 根据定义
(1) n 1 a n / n x[n] n0 0
n 1
8.6
Z变换分析法
• 将差分方程转换成代数方程。 •比离散傅里叶变换有更广的适用范围。
Z变换分析法
方法1 直接将方程两边进行Z变换,得到系统完全响应 例8-12
| x[n]r n |
X ( z)
n 0
(a z 1 ) n
n 0
| az 1 |n
| az 1 | 1 或 | z || a |
1
图8－1
z X ( z ) (a z ) | z | a 1 za 1 az n 0 z a 1 X ( z) | z | 1 z 1
n
1
a n z n
n 1
n 0
(a 1 z ) n
n 0
| a 1 z |n
| a 1 z | 1 或 | z || a |
1
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. -- 实验6 离散时间系统的z域分析 （综合型实验）
一、实验目的 1） 掌握z变换及其反变换的定义，并掌握MATLAB实现方法。 2） 学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z域分析方法。 3） 掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1. z变换 序列(n)x的z变换定义为(z)(n)znnXx （1）
Z反变换定义为11(n)(z)z2nrxXdzjÑ （2） MATLAB中可采用符号数学工具箱ztrans函数和iztrans函数计算z变换和z反变换： Z=ztrans(F)求符号表达式F的z变换。 F=iztrans(Z)求符号表达式Z的z 反变换 2. 离散时间系统的系统函数 离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应h(n)的z变换
(z)(n)znnHh （3）
此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z变换之比得到 (z)(z)/X(z)HY （4）
由（4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为 101101...(z)...MMNNbbzbzHaazaz
（5） . -- 3. 离散时间系统的零极点分析 MATLAB中可采用roots来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。 此外还可采用MATLAB中zplane函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图，zplane函数的调用格式为： zplane(b,a) b、a为系统函数分子分母多项式的系数向量（行向量） zplane(z,p) z、p为零极点序列（列向量） 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化，还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性； 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。 系统的频率响应取决于系统函数的零极点，根据系统的零极点分布情况，可以通过向量法分析系统的频率响应。 因果的离散时间系统稳定的充要条件是H(z)的全部极点位于单位圆内。
三、实验内容 （1） 已知两个因果离散时间系统的系统函数，采用MATLAB画出零极点分布图，求解系统的冲激响应h(n)和频率响应(e)jH，并判断系统是否稳定。
1）23221()0.50.0050.3zzHzzzz
>> b=[1 2 1]; >> a=[1 -0.5 -0.005 0.3]; >> zplane(b,a) >> impz(b,a) . -- 全部极点都在单位圆内，系统稳定。 >> [H,w]=freqz(b,a); >> subplot(211) >> plot(w/pi,abs(H)); >> xlabel('\omega(\pi)'); >> ylabel('Magnitude'); >> title('|H(e^j^\Omega)|'); >> grid on >> subplot(212) >> plot(w/pi,angle(H)/pi); >> xlabel('\omega(\pi)'); >> ylabel('Phase(\pi)'); >> title('theta(\Omega)'); >> grid on
2）324322()3331zzHzzzzz
>> b=[1 -1 0 2]; >> a=[3 3 -1 3 -1];
-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812
Real PartImaginary
Part
051015202530-1-0.500.5
1
1.522.5
n (samples) AmplitudeImpulse Response
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9102468()
Magnitude|H(ej)|
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.50()
Phase()theta(). -- >> zplane(b,a) >> impz(b,a)
有极点在单位圆外，系统不稳定。 >> [H,w]=freqz(b,a); >> subplot(211) >> plot(w/pi,abs(H)); >> xlabel('\omega(\pi)'); >> ylabel('Magnitude'); >> title('|H(e^j^\Omega)|'); >> grid on >> subplot(212) >> plot(w/pi,angle(H)/pi); >> xlabel('\omega(\pi)'); >> ylabel('Phase(\pi)'); >> title('theta(\Omega)'); >> grid on
（2） 用MATLAB绘制以下六种情况系统函数的零极点分布图，并绘制相应单位抽样响应
-1.5-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartImaginary Part
0510152025-6-4-202
4
6810x 104
n (samples) AmplitudeImpulse Response
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.511.5()
Magnitude|H(ej)|
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51()
Phase()theta(). -- 的时域波形，观察分析系统函数极点位置对单位抽样响应时域特性的影响和规律。 1） z=0,p=0.25 b=[1 0]; a=[1 -0.25]; subplot(211) zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)
2） z=0,p=1 b=[1 0]; a=[1 -1]; subplot(211) zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)
3） z=0,p=-1.25
-3-2-10123-1-0.500.51Real PartImaginary Part
012345600.51n (samples) Amplitude
Impulse Response
-3-2-10123-1-0.500.51Real PartImaginary Part
012345678900.51n (samples) Amplitude
Impulse Response.
-- b=[1 0]; a=[1 1.25]; subplot(211) zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)
4）66
120,0.8,0.8jjzpepe
b=[1 0]; a=poly([0.8*exp(j*pi/6) 0.8*exp(-j*pi/6)]); subplot(211) zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)
5）88
120,,jjzpepe
b=[1 0]; a=poly([exp(j*pi/8) exp(-j*pi/8)]); subplot(211) zplane(b,a);
-3-2-10123-1-0.500.51Real PartImaginary Part
0102030405060-1-0.500.51x 106
n (samples) AmplitudeImpulse Response
-3-2-10123-1-0.500.512
Real PartImaginary
Part
0510152025303540-0.500.511.5n (samples) Amplitude
Impulse Response