北京市丰台区2016届高三数学上学期期末练习试题文

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北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学文试题含答案

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2016。

1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若A B B=，则实数a 的取值范围是（）(A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D)(,1)-∞-2。

下列函数中,值域为[0,)+∞的偶函数是( )（A)21y x =+ （B)lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =( ）（A ）AB AC- （B ）AB AC+ （C)1()2AB AC -（D)1()2AB AC +4．设命题p :“若e1x>，则0x >"，命题q :“若a b >，则11a b<"，则（） (A ）“p q ∧”为真命题 (B)“p q ∨”为真命题（C ）“p ⌝”为真命题（D ）以上都不对5。

一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的表面积是（ ) （A)1623+侧(左)视图正(主)视图22(B)16+ （C）20+ （D)20+6。

“0mn <"是“曲线221x y m n +=是焦点在x 轴上的双曲线”的( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7。

设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ )（A ）32 (B ）32-（C)14(D ）14-8。

某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示,其中x （单位:千米)为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（）（A ）12[]42y x =-+ （B ）12[]52y x =-+ （C)12[]42y x =++ （D)12[]52y x =++ 第Ⅱ卷（非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9。

北京市部分区2016届高三上学期期中期末数学理试题分类汇编：集合与常用逻辑用语

北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编集合与常用逻辑用语一、集合1、（昌平区2016届高三上学期期末）若集合{}2,1,0,1,2Α=--，{}2|1Βx x =>，则=ΑΒI A ．{|11}x x x <->或 B ．{}2,2- C ．{}2 D ．{0}2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知集合{}|11M x x =-<<，|01x N x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则M N =IA ．{}|01x x ≤<B ．{}|01x x <<C ．{}|0x x ≥D ．{}|10x x -<≤ 3、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则A B =I （）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ． {1,2,3}4、（大兴区2016届高三上学期期末）已知{(1)0}M x x x =-<，{0}N x x =>，则M N I 等于（A ）(0,1) （B ）(0,)+∞ （C ）(0,1)(1,)+∞U （D ）(,1)(1,)-∞+∞U5、（东城区2016届高三上学期期末）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} 6、（东城区2016届高三上学期期中）已知集合A ＝{}|11x R x ∈-<<，B ＝{}|(2)(1)0x R x x ∈-+<，则A B I＝A 、（0,2）B 、（－1,1）7、（海淀区2016届高三上学期期中）已知集合，则集合中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48、（石景山区2016届高三上学期期末）设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则M N I ＝（）A. {1}B.{2}C.{}0,1D.{1,2}9、（西城区2016届高三上学期期末）设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,1]-∞-（B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞集合答案1、B2、A3、D4、A5、A6、B7、B8、D9、 A二、常用逻辑用语1、（朝阳区2016届高三上学期期末）“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2、（朝阳区2016届高三上学期期中）给出下列命题：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ；②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x ，其中正确的命题序号是（）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③ 3、（朝阳区2016届高三上学期期中）设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,)2 B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)24、（大兴区2016届高三上学期期末）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则αβ⊥是m β⊥的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5、（东城区2016届高三上学期期末）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“3k >”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 6、（东城区2016届高三上学期期中）若，则的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、不充分不必要条件 7、（丰台区2016届高三上学期期末）“20x >”是“0x >”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 8、（海淀区2016届高三上学期期中）“x ＞0 ”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9、（石景山区2016届高三上学期期末）“4ab =”是直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10、（西城区2016届高三上学期期末）设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为假命题（C ）“q ⌝”为假命题（D ）以上都不对11、（西城区2016届高三上学期期末）在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件常用逻辑用语参考答案1、A2、A3、B4、B5、B6、C7、B8、C9、B 10、B 11、B。

2016-2017年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷(文科)和答案

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2016-2017 学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5 分）复数 i（2﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（ A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（1，2） D．（﹣1，2）【解答】解：复数 i（2﹣i）=2i+1 在复平面内对应的点的坐标为（1，2），故选：C．）
3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ A． B．y=﹣x2 C．y=log2x D．y=|x|+1 =0，（）• =2，则| |=（）
4．（5 分）已知向量，满足 A． B．1 C． D．2
5．（5 分）如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入 a 的值为 16，b 的值为 24，则执行该程序框图的结果为（）
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（13 分）已知数列{an} 是各项均为正数的等比数列，且 a2=1，a3+a4=6 （Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；（Ⅱ）设数列{an﹣n} 的前 n 项和为 Sn，比较 S4 和 S5 的大小，并说明理由． 16．（13 分）已知函数（Ⅰ）求 f（x）的定义域及（Ⅱ）求 f（x）在的值；上的单调递增区间．
19．（13 分）已知椭圆的右顶点 A（2，0），且交椭圆 G 于另一点 C （Ⅰ）求椭圆 G 的标准方程；
的离心率为
，直线 l 过椭圆 G
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（Ⅱ）若以 AC 为直径的圆经过椭圆 G 的上顶点 B，求直线 l 的方程． 20．（14 分）已知函数．

北京市部分区2016届高三上学期期中期末数学理试题分类汇编：函数

北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编函数一、选择题 1、（昌平区2016届高三上学期期末）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ．y x =B. 1y x =C. 1()2xy = D. 12log y x = 2、（朝阳区2016届高三上学期期末）设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a <3、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．1(,1)3B ．11(,)34-- C ．11(,1)(1,)33--U D ．1111(,)(,)3443--U4、（大兴区2016届高三上学期期末）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(1,1)-内有零点的函数是（A ）3y x=- （B ）12-=x y（C ）212y x =- （D ）2log (2)y x =+5、（东城区2016届高三上学期期末）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b << 6、（东城区2016届高三上学期期中）下列函数为奇函数的是A 、lg y x =B 、sin y x =C 、12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D 、y x =7、（海淀区2016届高三上学期期中）下列函数中为偶函数的是8、（海淀区2016届高三上学期期中）如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）．若函数且）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足9、（海淀区2016届高三上学期期中）已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是10、（（西城区2016届高三上学期期末）下列函数中，值域为R 的偶函数是（）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x = 11、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数11y x =-，那么 A 、函数的单调递减区间为（－∞，1），（1，＋∞） B 、函数的单调递减区间为（－∞，1］U （1，＋∞） C 、函数的单调递增区间为（－∞，1），（1，＋∞） D 、函数的单调递增区间为（－∞，1］U （1，＋∞） 12、（东城区2016届高三上学期期中）设，则下列关系式中正确的是A 、N ＝R ＜MB 、N ＝R ＞MC 、M ＝R ＜ND 、M ＝R ＞N参考答案1、A2、B3、C4、B5、C6、B7、B8、A9、D 10、C11、A 12、C 二、填空题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数2()|3|,.f x x x x =-∈R 若方程()|1|0f x a x -+=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是_____________________．2、（大兴区2016届高三上学期期末）0.32a =，1ln 2b =，sin1c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是 .3、（东城区2016届高三上学期期中）函数－2）的定义域是4、（丰台区2016届高三上学期期末）设函数(1),()ln()(1).x a x f x x a x ⎧-<=⎨+≥⎩e 其中1a >-.①当0a =时，若()0f x =，则x =__________；②若()f x 在），（∞+∞-上是单调递增函数，则a 的取值范围________. 5、（海淀区2016届高三上学期期末）已知函数22,0,(),0.xa x f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ 若()f x 的最小值是a ，则__.a =6、（西城区2016届高三上学期期末）某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C o）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C o的保鲜时间是16小时. 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C o的保鲜时间是8小时； ○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.参考答案1、(0,1)(9,)+∞U2、b c a <<3、4、1 , [)1,e -+∞5、－46、○1 ○4三、解答题 1、（东城区2016届高三上学期期中）如图所示，函数f （x ）的定义域为［－1,2］，f （x ）的图象为折线AB 、BC 。

北京市东城区2016届高三上学期期末考试文数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =.若{}3AB =，则实数m =（）A.1B.2C.3D.4 【答案】C. 【解析】试题分析：因为{3}AB =，所以3A ∈，所以3m =，故选C ．考点：集合的运算． 2.在复平面内，复数2iiz -=对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C. 【解析】试题分析：212iz ii-==--，对应点为(1,2)--，在第三象限，故选C 考点：复数综合运算．3.已知向量(1,2)=a ，(2,)x =-b .若+a b 与-a b 平行，则实数x 的值是（） A.4 B.1 C.1- D.4-【答案】D. 【解析】试题分析：(1,2)a b x +=-+，(3,2)a b x -=-，因为a b +与a b -平行，所以1(2)(2)3x x -⨯-=+⨯，即4x =-，故选D考点：平面向量坐标运算．4.经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是（）A.230x y --=B. 210x y --=C.230x y -+=D.210x y ++=【答案】A. 【解析】试题分析：所求直线斜率为2，且过点(1,1)-，所以方程为12(1)y x +=-，即230x y --=，故选A 考点：直线方程． 5.给出下列函数：①2log y x = ； ②2y x = ； ③错误！未找到引用源。

； ④2y x=. 其中图象关于y 轴对称的是（）A.①②B.②③C.①③D.②④ 【答案】B. 【解析】试题分析：图象关于y 轴对称即为偶函数，故选B 考点：函数的奇偶性．6.“sin 221αα=”是“4απ=”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B. 【解析】试题分析：1sin 221sin(2)32πααα=⇔-=，∴2236k ππαπ-=+或522,36k k Z ππαπ-=+∈，即4k παπ=+或712k αππ=+（k Z ∈），所以“sin 221αα-=”是“4πα=”的必要而不充分条件，故选B.考点：充分必要条件．7.某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 值恰好是13，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A.3y x =B.3y x =C. 3x y =D.3y x=【答案】C. 【解析】试题分析：循环两次后1x =-，因为输出13y =，所以3x y =，故选C. 考点：算法与程序框图．8.已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（） A.5[,)4-+∞ B.[1,2] C.5[,1]4- D.[1,1]- 【答案】D.考点：函数综合．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9.双曲线221169x y -=的离心率是_________.【答案】54. 【解析】试题分析：由标准方程知4a =，3b =，所以5c ==，所以离心率54c e a ==. 考点：双曲线．10.在△ABC 中，角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且c =,45B =,面积2S =，则a =______；b =_____.【答案】5. 【解析】试题分析：11sin 222S ac B ===，1a =，由余弦定理2222cos 1322125b ac ac B =+-=+-⨯⨯=，所以5b =.考点：解三角形．11.如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩落在[)50,70 中的学生人数是_________.【答案】25. 【解析】试题分析：由图可知，10(3762)2001a a a a a a ++++==，所以1200a =，所以成绩落在[50,70)中的学生频率为110(23)504a a a +==，所以人数为1100254⨯=. 考点：频率分布直方图．12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【答案】4.13.已知点(,)P x y 的坐标满足条件4,,1,x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩点O 为坐标原点,那么OP 的最大值等于_________.【解析】试题分析：作出可行域如图，当点(,)P x y 位于点时(1,3)，||OP考点：线性规划．14.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，等标记来表示纸张的幅面规格. 复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A ()n n n ∈≤N 8，系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，，A8所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:x y =；② 将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，，A8纸各一张.若A4纸的宽度为2dm ，则A0纸的面积为 2dm ；这9张纸的面积之和等于__________2dm ．【解析】试题分析：依题意，0A ，1A ，2A ，…，8A 的面积构成以12为公比的等比数列因为4A 纸的宽度为2，所以长为，故面积为，所以0A纸的面积为2，这9=. 考点：等比数列的运用．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，312S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值．【答案】（1）*2,n a n n N =∈；（2）2k =．【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于1,a d 的方程组即可求解；（2）根据（1）以及条件列出关于k 的方程即可求解．试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知2310a a +=，即12310a d +=，由12a =，解得2d =，所以22(1)2n a n n =+-=，即*2,n a n n N =∈；（2）由（1）可得2(22)2n n nS n n +==+，所以2k S k k =+，又3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，由已知可得213k k a a S +=，即22(22)6()k k k +=+，整理得220k k --=，*k N ∈，解得1k =-（舍去）或2k =，故2k =. 考点：数列综合运用． 16.（本小题13分）已知函数()sin()(0,02)f x x ωϕωϕ=+><<π在一个周期内的部分对应值如下表：（1）求的解析式；（2）求函数()()2sin g x f x x =+的最大值和最小值. 【答案】（1）()cos 2f x x =；（2）最大值32，最小值3-．【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于1,a d 的方程组即可求解；（2）根据（1）以及条件列出关于k 的方程即可求解．试题解析：（1）由表格可知，()f x 的周期()22T πππ=--=，所以22πωπ==，又由sin(20)ϕ⨯+=，且02ϕπ<<，所以2πϕ=，所以()sin(2)cos 22f x x x π=+=；（2）2213()()2sin cos 22sin 12sin 2sin 2(sin )22g x f x x x x x x x =+=+=-+=--+，由sin [1,1]x ∈-，所以当 1sin 2x = 时，()g x 有最大值32；当sin 1x =-时，()g x 有最小值3-.考点：三角函数综合． 17.（本小题13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示. （1）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率.【答案】（1）①处的数据为35，②处的数据为0.300；（2）3人，2人，1人；（3）35．【解析】试题分析：（1）根据题意中的数据即可求解；（2）利用分层抽样的性质即可求解；（3）列出所有符合题意的基本事件的种数以及所有符合题意的基本事件的种数，利用古典概型即可求解．试题解析：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人，第3组的频率为300.300100=，即①处的数据为35，②处的数据为0.300；（2）因为第3，4，5组共有60名学生,所以利用分层抽样,在60名学生中抽取6名学生,每组分别为: 第3组:306360⨯=人；第4组：206260⨯=人；第5组:106160⨯=人，所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人；（3）从6位同学中抽两位同学有15种可能，其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有9种可能，所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率93155P ==. 考点：概率综合． 18.（本小题13分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥， CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，3CD AB =. （1）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（2）在线段DE 上是否存在一点F ,使AF平面BCE ？若存在,求出EFED的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =．【解析】试题分析：（1）首先证明AE ⊥平面CDE ，再根据面面垂直的判定即可得证；（2）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，再利用线面平行的判定与性质加以求解．试题解析：（1）因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥，又因为AE DE ⊥，CD DE D =，所以AE ⊥平面CDE ，又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE ；（2）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，使AF 平面BCE ，设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =，过点F 作FM CD 交CE 于M ，则13FM CD =，因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ，所以CDAB ，又FM CD ，所以FM AB ，因为3CD AB =，所以FM AB =.所以四边形ABMF 是平行四边形，所以AF BM ，又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以AF平面BCE .考点：立体几何综合． 19.（本小题14分）已知函数()e x f x x a =-，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程；（2）若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围；（3）设函数3()g x x =，请写出曲线()y f x =与()y g x =最多有几个交点.（直接写出结论即可）【答案】（1）1y =-；（2）0a ≤或1ea =；（3）3个．【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）求导，分析()f x 导函数的取值情况，确定其单调性，即可知其大致的函数图象，从而求解；（3）最多有3个交点．试题解析：（1）当1a =时，()e x f x x =-，()1e x f x '=-，当0x =时，1y =-，又(0)0f '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =-；（2）由()e x f x x a =-，得()1e x f x a '=-. 当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增.当x a =时，()e (1e )0a a f a a a a =-=-≤，当1x =时，(1)1e >0f a =-，所以当0a ≤时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点；当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =-.()f x 与()f x '在区间(,)-∞+∞上的情况如下：若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，则有(ln )0f a -=，即ln ln e 0a a a ---=.解得1ea =. 综上所述，当0a ≤或1ea =时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点；（3）曲线()e xf x x a =-与曲线3()g x x =最多有3个交点. 考点：导数的综合运用． 20.（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(0,，且满足a b +=.(1) 求椭圆C 的方程； (2) 斜率为12的直线交椭圆C 于两个不同点A ，B ，点M 的坐标为(2,1)，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ．① 若直线过椭圆C 的左顶点，求此时1k ，2k 的值； ② 试探究21k k +是否为定值？并说明理由. 【答案】（1）22182x y +=；（2）①2121--=k ，2122-=k ，②021=+k k ．【解析】试题分析：（1）根据条件列出,,a b c 满足的关系式即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理即可求解．试题解析：（1）由椭圆过点(0，则b =，又a b +=a = 所以椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =+，由2212182y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，或220.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故2121--=k ，2122-=k .②21k k + 为定值，且021=+k k . 设直线的方程为m x y +=21，由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得042222=-++m mx x . 当0168422>+-=∆m m ，即22<<-m 时，直线与椭圆交于两点. 设),(11y x A .),(22y x B ,则122x x m +=-，42221-=m x x . 又21111--=x y k ，21222--=x y k ，故2121221121--+--=+x y x y k k =)2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y . 又m x y +=1121，m x y +=2221，所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y )2)(121()2)(121(1221--++--+=x m x x m x)1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m . 故021=+k k ．考点：圆锥曲线综合．：。

北京市朝阳区2016届高三上学期期末联考文数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{1,0,1}A =-，{11}B x x =-<≤，则A B =I （）A ．{0,1}B ．{1,0}-C ．{0}D ．{1,0,1}- 【答案】A. 【解析】试题分析：由题意得，{0,1}A B =，故选A ．考点：集合的运算．2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A ．()f x =B ．1()f x x=C ．()e xf x = D ．()sin f x x = 【答案】D. 【解析】试题分析：A ：不是奇函数，B ：不存在零点；C ：既不是奇函数，也不存在零点；D ：符合题意，故选D ．考点：函数的奇偶性与函数的零点．3.执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B. 【解析】试题分析：依次执行程序：1m =，1i =，2m =，2i =，否；1m =，3i =，否；0m =，4i =，是，∴输出的i 的值为4，故选B. 考点：算法和程序框图．4.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1700辆【答案】D.【解析】试题分析：以正常速度通过该处的汽车频率为：1(0.010.005)100.85-+⨯=， ∴以正常速度通过该处的汽车约有：0.852*******⨯=辆，故选D. 考点：频率分布表与直方图.5.已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m α⊂，n β⊂，则下列说法正确的是（）A ．若//αβ，则//m nB ．若m β⊥，则αβ⊥C ．若//m β，则//αβD ．若αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】B. 【解析】试题分析：A ：m ，n 平行或异面，故A 错误；B ：根据面面垂直的判定可知B 正确；C ：根据面面平行判定可知C 错误；D ：根据面面垂直的性质可知D 错误，故选B. 考点：空间中直线平面的位置关系的判定与性质.6.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 且与y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A.24y x =± B. 24y x = C. 28y x =± D. 28y x = 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，抛物线2y ax =的焦点坐标为(,0)4a，∴直线方程为2()242a a y x x =-=-， ∴(0,)2a A -，1||48242OAF a aS a ∆=⋅⋅=⇒=±，∴抛物线的方程为28y x =±，故选C. 考点：抛物线的标准方程及其性质.7.已知A ，B 为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n R ∈)上两个不同的点（C 为圆心），且满足13||=+，则AB =（）A.23 B.C. 2D. 4 【答案】A. 【解析】试题分析：如下图所示，设D 为AB 中点，∵13||=+CB CA ，∴132||=13||CD CD ⇒=∴||AB === A.考点：1.平面向量的线性运算；2.直线与圆的位置关系.8.设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a R ∈），若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是（）A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a < 【答案】B. 【解析】试题分析：若0a ≤：当0x >时，()||||f x x a a x x =--==，又∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()f x x =，符合题意；若0a >：当0x >时，, 0()||2, x x af x x a a x a x a-<<⎧=--=⎨-≥⎩，又∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()f x 大致的函数图象如下图所示，根据题意可知(20)()f x f x +>对于任意x R ∈恒成立，∴问题等价于将()f x 的图象向左平移20个单位后得到的新的函数(20)f x +图象恒在()f x 图象上方，根据图象可知420a <，即05a <<，综上实数a 的取值范围是(,5)-∞，故选B.考点：函数综合题．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．） 9.计算:(1)i i -= (i 为虚数单位). 【答案】1i +. 【解析】试题分析：2(1)1i i i i i -=-=+，故填：1i +.考点：复数的运算.10.双曲线2213y x -=的渐近线方程为 .【答案】y =. 【解析】试题分析：1a =，b =，∴双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故填：y =. 考点：双曲线的标准方程及其性质.11.在ABC ∆中，若1BC =， 2AC =，1cos 4C =，则AB = ，sin A = .【答案】2 【解析】试题分析：由余弦定理可知，2c ===，即2AB =，再由正弦定理，1sinsin sin sinc aAC A A=⇒=⇒=，故填：2.考点：正余弦定理解三角形.12.已知正数x，y满足约束条件⎩⎨⎧≥+-≤-532yxyx，则21()2x yz+=的最小值为. 【答案】116.考点：线性规划.13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是，侧面积为.【答案】12，27.考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.14.在ABC ∆中，AB AC =，D 为线段AC 的中点，若BD 的长为定值l ，则ABC ∆面积的最大值为（用l 表示）. 【答案】223l . 【解析】试题分析：如下图所示，设22AB AC AD x ===，在ABD ∆中，由余弦定理可知22222422cos 54cos l l x x x x A x A =+-⋅⋅⋅⇒=-，∴2212sin 22sin 2sin 254cos ABC l A S x x A x A A∆=⋅⋅⋅==-，令sin sin 4cos 5sin()4)54cos A y A y A y A y A ϕϕ=⇒+=⇒+==-，∴22251111111633y y y -≤≤⇒≤⇒-≤≤+，∴max 13y =，即ABC ∆面积的最大值是223l ，故填：223l .考点：1.余弦定理；2.三角函数综合最值问题.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且113a b ==，2214a b +=，3453a a a b ++=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）21n a n =+，n N *∈，3nn b =，n N *∈；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于d ，q 的方程组，求得其值即可求解；（2）数列{}n c 的通项公式可以看成一个等差数列与一个等比数列的组合，分组即可求和.试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >，依题意有，11211143(3)a d b q a d b q++=⎧⎨+=⎩，由113a b ==，又0q >，解得32q d =⎧⎨=⎩， ∴1(1)32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+， n N *∈，111333n n n n b b q --==⨯=，n N *∈；（2）∵213nn n n c a b n =+=++，∴前n 项和1212()()n n n S a a a b b b =+++++++12(3521)(333)n n =++++++++(321)3(13)3(2)(31)2132n n n n n n ++-=+=++--，∴前n 项和3(2)(31)2n n S n n =++-，n N *∈．考点：等差数列等比数列的通项公式及其前n 项和．16.（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x a =++的图象过点(,1)6π.（1）求实数a 的值及函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在[0,]2π上的最小值.【答案】（1）12a =-，函数()f x 的最小正周期为π；（2）12-. 【解析】试题分析：（1）对()f x 进行三角恒等变形，将其化为形如sin()y A x ωϕ=+的形式，再根据过点(,1)6π即可求得a 的值；（2）根据（1）中求得的解析式，再利用正弦函数的性质即可求解. 试题解析：（1）由2()cos cos f x x x x a =++1cos 22x a +=++1sin(2)62x a π=+++，∵函数()f x 的图象过点(,1)6π，∴1()sin(2)16662f a πππ=⨯+++=，解得12a =-，函数()f x 的最小正周期为π；（2）∵02x π≤≤，∴72666x πππ≤+≤，则1sin(2)126x π-≤+≤，∴当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 在[0,]2π上的最小值为12-．考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的图象和性质．17.（本小题满分13分）某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的2人都是女同学的概率；（2）设“选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N，求事件N发生的概率．【答案】（1）15；（2）25.【解析】试题分析：（1）首先穷举析所有基本事件的种数，再列举出符合题意的基本事件的种数即可求解；（2）首先穷举析所有基本事件的种数，再列举出符合题意的基本事件的种数即可求解.试题解析：穷举可知从6名同学中随机选出2人参加活动的所有基本事件为共15个，（1）设“选出的2人都是女同学”为事件M，则事件M包含的基本事件有共3个，∴事件M发生的概率31 ()155P M==，（2）事件N包含的基本事件有共6个，∴事件N发生的概率62 ()155P N==．考点：古典概型．18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：//AB EF；（2）若PA AD=，且平面PAD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；（3）在（2）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD?（直接给出结论，不需要说明理由）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）首先证明//AB面PCD，再利用线面平行的性质即可得证；（2）根据题目条件证明CD AF ⊥，AF PD ⊥，再根据线面垂直的判定即可得证；（3）假设存在符合题意的点M ，根据面面垂直的判定推导出与题意矛盾的地方，即可得证.试题解析：（1）∵底面ABCD 是菱形，∴//AB CD ，又∵AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，∴//AB 面PCD ，又∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =，∴//AB EF ；（2）在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，∴CD ⊥平面PAD ，又∵AF ⊂平面PAD ，∴CD AF ⊥，由（1）可知//AB EF ，又∵//AB CD ，∴//CD EF ，由点E 是棱PC 中点，∴点F 是棱PD 中点，在PAD ∆中，∵PA AD =，∴AF PD ⊥，又∵PDCD D =，∴AF ⊥平面PCD ；（3）若存在符合题意的点M ：∵EM ⊥平面PCD ，EM ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD ，而这与题意矛盾了，∴不存在.考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质． 19.（本小题满分13分）已知函数()(21)ln 2kf x k x x x=-++，k R ∈. （1）当1k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）当k e =时，试判断函数()f x 是否存在零点，并说明理由；（3）求函数()f x 的单调区间.【答案】（1）12+=x y ；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义即可求解（2）求导，分析导函数的取值情况，判断()f x 的单调性，从而研究()f x 的取值情况，求得其极值后即可求解；（3）求导，对k 的取值进行分类讨论即可求解.试题解析：函数()f x 的定义域：(0,)x ∈+∞，222212(21)()2k k x k x kf x x x x -+--'=-+= 2()(21)x k x x +-=（1）当1k =时，x x x x f 21ln )(++=，2)12)(1()(xx x x f -+='，有3211ln )1(=++=f ，即切点(1,3)，21)12)(11()1(2=-+='=f k ，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程是)1(23-=-x y ，即12+=x y ；（2）若k e =，()(21)ln 2ef x e x x x=-++，2()(21)()x e x f x x +-'=，令()0f x '=，得1x e =-（舍），212=x ，则min 111()()(21)ln22(1ln 2)ln 21012222e f x f e e ==-++⋅=-++>，∴函数()f x 不存在零点；（3）2)12)(()(x x k x x f -+='，当0≤-k ，即0≥k 时，)(x f 在)21,0(上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增；当210<-<k ，即021<<-k 时：)(x f 在),0(k -，),21(+∞单调递增；在)21,(k -上单调递减；当21=-k ，即21-=k 时：()f x 在(0,)+∞上单调递增，当21>-k ，即21-<k 时：)(x f 在)21,0(，),(+∞-k 上单调递增，在),21(k -上单调递减. 考点：导数的综合运用．20.（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）求证：OA OB ⊥；（3）求OAB ∆面积的最大值.【答案】（1（2）详见解析；（3【解析】试题分析：（1）根据题意以及椭圆中a ，b ，c 满足的关系式即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证；（3）建立OAB S ∆的函数关系式，将问题转化为求函数最值.试题解析：（1）由题意可知24a =，243b =，∴22283c a b =-=，∴c e a ==C 的离心率为（2）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±，在223144x y +=中令1x =得1y =±，不妨设(1,1)A ，(1,1)B -，则110OA OB ⋅=-=，∴OA OB ⊥，同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥，若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，依题意1=，即221k m +=，由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+，∴2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， ∴1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m km k km m k k -=+-+++ 2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+， ∴OA OB ⊥，综上所述，总有OA OB ⊥成立；（3）∵直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高，当l 的斜率不存在时，由（2）可知2AB =，则1OAB S ∆=，当l 的斜率存在时，由（2）可知，=====， ∴2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时，等号成立），，此时max (S )OAB ∆=，综上所述，当且仅当k =时，OAB ∆．考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的最值问题．：。

北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：立体几何

俯视图侧（左）视图正（主）视图11223北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择题1、（昌平区2016届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是 A.5B. 3C. 352D.352、（朝阳区2016届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A ．27B ．30C ．32D ．363、（大兴区2016届高三上学期期末）（某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ） 3 （B ） 6（C ） 9 （D ） 124、（东城区2016届高三上学期期末）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于343 正视图侧视图俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 5、（东城区2016届高三上学期期末）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题：① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈，则)(x h 为单调函数．其中假．命题．．为 ()A ① ()B ②()C ③（D ）④6、（丰台区2016届高三上学期期末）在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47、（海淀区2016届高三上学期期末）已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是M NED'B'A'CDAA. 1,1m n== B. 4,1m n==C. 3,4m n== D. 4,4m n==8、（石景山区2016届高三上学期期末）如图，点O为正方体ABCD A B C D''''-的中心，点E为面B BCC''的中心，点F为B C''的中点，则空间四边形D OEF'在该正方体的面上的正投影不．可能．．是（）9、（石景山区2016届高三上学期期末）如图，在等腰梯形ABCD中，12AB CD=，,E F分别是底边,AB CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得面BEFC⊥面ADFE，若动点P∈平面ADFE，设,PB PC与平面ADFE所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0)．若12θθ=，则动点P的轨迹为( )A.直线B.椭圆C.圆D.抛物线10、（西城区2016届高三上学期期末）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）1623+（B）1625+（C）2023+（D）2025+ABCDEFPABC DFEP MD CBA参考答案1、C2、A3、B4、A5、D6、D7、D8、D9、C 10、B二、填空题 1、（丰台区2016届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .2、（海淀区2016届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如右上图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为___.参考答案 1、1632、23三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形,12AB AD CD ==,AB AD ⊥,//AB CD ,点M 是PC 的中点．（I ）求证://MB 平面PAD ；（II ）求二面角P BC D --的余弦值；（III ）在线段PB 上是否存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ？若存在,请求出PNPB的值；若不存在,请说明理由.2、（朝阳区2016届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．3、（大兴区2016届高三上学期期末）如图，在三棱锥K ABC -中，平面KAC ⊥平面ABC ，KC AC ⊥，AC AB ⊥,H 为KA 的中点，KC AC ==2AB =.（Ⅰ）求证：CH ⊥平面KAB ；（Ⅱ）求二面角H BC A --的余弦值；（Ⅲ）若M 为AC 中点，在直线KB 上是否存在点N 使MN ∥平面HBC ,若存在，求出KN 的长，若不存在，说明理由.4、（东城区2016届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.F D CP E5、（丰台区2016届高三上学期期末）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E是AB 的中点，AB =AD =PA =PB =2，BC =1，PC =5. （Ⅰ）求证：CF ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥平面ABCD ； (Ⅲ)求二面角B -PA -C 的余弦值.6、（海淀区2016届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，ADBC ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====. （Ⅰ）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF平面PAB ；（Ⅱ）求二面角B PD A --的大小；（Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥?若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由.7、（石景山区2016届高三上学期期末）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =.（Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45？若存在,求PQPC的值；若不存在，请述明理由．FADCBP ABCDEPH z yxKOA BCDMP 8、（西城区2016届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.参考答案1、（Ⅰ）证明:取PD 中点H ,连结,MH AH . 因为 M 为PC 中点 ,所以 1//,2HM CD HM CD =.因为1//,2AB CD AB CD =.所以//AB HM 且AB HM =. 所以四边形ABMH 为平行四边形,所以 //BM AH .因为 BM PAD ⊄平面,AH ⊂平面PAD ,所以//BM 平面PAD . …………………………..4分（Ⅱ）取AD 中点O ,连结.PO因为 PA PD =, 所以PO AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ABCD ⊥平面.取BC 中点K ,连结OK ,则//.OK AB 以O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 设2,AB =F CADPMB E则 (1,0,0),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),3),A B C D P --(2,2,0),(1,2,3)BC PB =-=-.平面BCD 的法向量3)OP =, 设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =,由0,0,BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,230.x y x y z -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，则3)n =.15cos ,||||OP n OP n OP n ⋅<>==. 由图可知，二面角P BC D --是锐二面角，所以二面角P BC D --15. …………………………..9分（Ⅲ）不存在. 设点(,,)N x y z ,且,[0,1]PNPBλλ=∈ , 则,PN PB λ=所以(,,3)(1,2,3)x y z λ=-.则,2,33.x y z λλλ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以(,233)N λλλ, (1,233)DN λλλ=+.若 DN PBC ⊥平面,则//DN n , 即33123λλλ-+==，此方程无解, 所以在线段PB 上不存在点N ,使得DN PBC ⊥平面. …………………………..14分2、解：（Ⅰ）因为2cos 10ADB ∠=-，所以2sin 10ADB ∠=．又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅7222245=． ………………………7分（Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin ，得74sin 252sin 72AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………13分 3、（Ⅰ）KAC ABC AB AC ⊥因为平面底面，且垂直于这两个平面的交线AB KAC ⊥所以平面 …… 1分AB CH ⊥所以 …… 2分CK=CA H AK CH AK ⊥因为，为中点所以…… 3分 AB AK=A CH AKB.⋂⊥因为，所以平面 …… 4分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系A -xyz ,0,0,02,0,00,2,00,2,20,1,1A B C K H 则（），（），（），（），（）0,1,12,2,0CH=BC=-所以（）, （-） …… 1分 (,,),HBC n x y z =设平面的法向量为00CH n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则即0220y z x y -+=⎧⎨-+=⎩(1,1,1)y z x n =令=1,则=1,=1.所以 …… 3分 (0,0,1)ABC m =取平面的法向量为 …… 4分3cos ,||||3m n m n m n ⋅<>===⋅ …… 5分因为所求的二面角为锐角， 3H-BC-A 所以二面角 …… 6分（Ⅲ）KN=KB λ设，N a b c （,,）, …… 1分2222222222a b c a b c λλλλλλ--=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩则（,,）=(,-,-)所以2,22,22N --λλλ所以（）(0,1,0)M 因为，2,12,22MN=--λλλ所以（） …… 2分 0MN n ⋅=由3-2=0λ可得，3=.2λ所以 …… 3分333||||||233 3.222KN KB KB ===⨯=3 3.KB N KN 所以直线上存在点，的长为 …… 4分4、（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ．因为AD CD ⊥，所以CD PAD ⊥面. 由于AE PAD ⊂面，所以有CD AE ⊥．…………………４分（Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设2AB AP ==，可得(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，0,2,0D ， 0,0,2P .由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E . (0,1,1)AE = 向量(2,2,0)BD =-,(2,0,2)PB =-.设(,,)n x y z =为平面PBD 的法向量，则⎩⎨⎧=⋅=⋅0PB n BD n 即⎩⎨⎧=-=+-022022z x y x ．不妨令1y，可得=n （1,1,1）为平面PBD 的一个法向量.所以 6cos ,AE EF =. zyxE B CDP所以，直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值为6. …………………11分（Ⅲ）解：向量(2,2,2)CP =--，(2,2,0)AC =，(2,0,0)AB =. 由点M 在棱PC 上，设,(01)CM CP λλ=≤≤. 故 (12,22,2)FM FC CM λλλ=+=--. 由AC FM ⊥，得0=⋅AC FM，因此，(1-2)2(2-2)20λλ⨯+⨯=，解得34λ=. 所以 13PM MC =. …………………13分 5、解：（Ⅰ）取AP 的中点M ，连接,MF MB ，因为M 是AP 中点，F 是PD 中点，所以1,2MF AD MF AD =，又因为1,2BC AD BC AD =，所以四边形BCFM 是平行四变形 ,FC BM FC ⊄面ABP ， BM ⊂面ABP所以FC 面ABP …………………………5分（Ⅱ）连接CE ，因为在ABP ∆中，AB AP BP ==，点E 是边AB 在的中点，所以PE AB ⊥且22213PE =-=，在Rt BEC ∆中，1BE EC ==，EB BC ⊥，所以2EC = 在PEC ∆中，3PE =，2EC =，5PC =，所以PE EC ⊥又因为,AB EC E AB =⊂面ABCD ，EC ⊂面ABCD所以PE ⊥面ABCD …………………………9分（Ⅲ）取CD 中点N ，以EB ，EN ，EP 分别为轴x ，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)B ，(0,0,3)P ，(1,0,0)A - 因为：BC PE ⊥， AB BC ⊥ 所以BC ⊥面ABP面ABP 的法向量为(0,1,0)BC =z FAP设面ABP 的法向量为2000(,,)n x y z =3)AP =，(2,1,0)AC =200002030200AP n x z x y AC n ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩ 23(1,2,n =- 由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ12123cos ||||||n n n n θ⋅==⋅ 二面角B PA C --余弦值为：12123cos ||||||n n n n θ⋅==⋅ ………………………14分 6、解：（Ⅰ）过点F 作FHAD ，交PA 于H ,连接BH ,因为13PF PD =，所以13HF AD BC ==.…………………………….1分又FHAD ，AD BC ，所以HF BC .…………………………….2分所以BCFH 为平行四边形, 所以CFBH .…………………………….3分又BH ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB ,………………….4分（一个都没写的，则这1分不给）所以CF平面PAD . …………………………….5分（Ⅱ）因为梯形ABCD 中，AD BC ，AD AB ⊥,所以BC AB ⊥.因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB PB BC ⊥⊥，,如图，以B 为原点，,,BC BA BP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,…………………………….6分所以(1,0,0),(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3)C D A P .设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =，平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =, 因为(3,3,3),(0,0,3),PD BP =-=所以00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩，…………………………….7分取1x =得到(1,1,0)n =-,…………………………….8分同理可得(0,1,1)m =,…………………………….9分HFA DCBPPBCDA F yz x所以1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-,…………………………….10分因为二面角B PD A --为锐角，所以二面角B PD A --为π3.…………………………….11分（Ⅲ）假设存在点M ，设(3,3,3)PM PD λλλλ==-，所以(13,3,33)CM CP PM λλλλ=+=-+-,…………………………….12分所以93(33)0PA CM λλ⋅=-+-=，解得12λ=,…………………………….13分所以存在点M ，且1332PM PD ==.…………………………….14分 7、解：（Ⅰ）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以//EF CD ，且112EF CD ==，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，所以//EF AB ，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形，所以//BE AF ， …………………2分因为BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD . …………………4分（Ⅱ）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥. …………………5分如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P …………………6分(1,1,0)DB =，(1,1,0)BC =-，所以0BC DB ⋅=，BC DB ⊥， ……………8分又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥，因为PD BD D ⋂=所以BC ⊥平面PBD . …………………9分（Ⅲ）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-， …………………10分(0,2,1)PC =-，设PQ PC λ=，(0,1)λ∈所以(0,2,1)Q λλ-， ……………11分设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =，(1,1,0)DB =，(0,2,1)DQ λλ=-，由0DB ⋅=n ，0DQ ⋅=n ，得2(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩，令1b = 所以2(1,1,)1λλ--n =， …………………12分所以22cos 452222()1BC BCλλ⋅===+-n n …………………13分注意到(0,1)λ∈，得21λ=.所以在线段PC 上存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45，此时21PQPC= …………………14分 8、（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，A BCD EP y xzQF同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--，所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 |22|3λ-=，解得33λ-=33λ+=. ………………14分。

北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学(文)试题及答案

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若AB B =，则实数的取值范围是（）（A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(,1)-∞-2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =（）（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2AB AC +4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为真命题（C ）“p ⌝”为真命题（D ）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+侧(左)视图正(主)视图俯视图6. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____. 11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5,2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时. ○1 该食品在8C 的保鲜时间是_____小时；○2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <.16．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积.FADPM18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x =，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x ，点A 在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值.20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x x=+，直线1l y kx =-：.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．6 3x =- 11. 9 12．1 13．7914．4 是注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为123,1,a a a +是公差为3-的等差数列，所以213213,(1)3,a a a a +=-⎧⎨=+-⎩……………… 2分即112114,2,a q a a q a q -=-⎧⎨-=-⎩……………… 3分解得118,2a q ==. ……………… 5 分所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=． ……………… 7分（Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==，所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分 16116[1()]343n =-<. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+2sin cos 1)x x x =+-1sin 222x x =+ ……………… 4分πsin(2)3x =+， ……………… 6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ……………… 8分（Ⅱ）解：由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ， ……………… 9分得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ……………… 11分所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ……………… 13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………7分同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分（Ⅲ）解：在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略），由12PM MD =，得23MN PA =，又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDFV SMN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=. …… 14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>. ……………… 2分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零，F CADPMB E所以,x y 中至少有一个小于6， ……………… 4分又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ，所以15x y +≤，所以15x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ， ……………… 6分记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ， 34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ……………… 7分而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ， ……………… 8分因此事件M 的概率81()162P M ==. ……………… 10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ……………… 2分又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ……………… 3分解得2a =，1b =，c ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ……………… 5分（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，易得直线1OP ，2OP 的斜率之积1214k k ⋅=-. …………… 6分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ……………… 8分因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……………… 9分由方程组22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(1)250k x kmx m +++-=， ……………… 10分设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，212251m x x k -⋅=+， ……………… 11分所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅=== 222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分将2241m k =+代入上式，得212211444k k k k -+⋅==--.综上，12k k ⋅为定值14-. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， ……………… 1分求导，得32()2f x x '=-， ……………… 2分令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，……………… 3分所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值． ……………… 4分（Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ……………… 5分设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x'=-，所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ，所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分即2031x =-，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ……………… 8分（Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”. 由方程2121x kx x +=-，得3112k x x =++. ……………… 9分令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ，因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ……………… 11分而方程32k t t =++中， t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点. ……………… 13分。

北京市朝阳区2016届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．368．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是，最小值是．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= ．14．已知点O在△ABC的内部，且有=，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得：0≤x＜1，即N={x|0≤x＜1}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}，故选：A．2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z=i（1+i）化简，从而判断即可．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为：（﹣1，1），故选：D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，i的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆．【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．故选：D．5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a﹣sinx≥0，即a≥sinx，∵﹣1≤sinx≤1，∴a≥1，则“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”充分不必要条件，故选：A．6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选C．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．36【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP==6，S△ABP==6，S△CDP==，S△CBP==．∴四棱锥的侧面积S=6+6++=27．故选A．8．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【考点】函数的值．【分析】由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x=0时，|20﹣a|﹣a＞0，解得a＜10．∴实数a的取值范围是a＜10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是π，最小值是﹣1 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性和最小值，得出结论．【解答】解：函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是=π，最小值为﹣2+1=﹣1，故答案为：π，﹣1．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z．由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故答案为：4．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是4．【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性．【分析】由基本不等式可得，a1+2a3≥2=，结合已知即可求解【解答】解：∵a2=2，且a n＞0由基本不等式可得，a1+2a3≥2==4即最小值为故答案为：12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为12 ．【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，共有2×6=12种方法．故答案为：12．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= 4 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求得圆的圆心和半径，运用向量的减法运算和数量积的性质：向量模的平方即为向量的平方，求得|+|2+||2=36，即可得到所求值．【解答】解：由圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9可得，圆心C（m，n），半径为3，由题意可得||=||=3，由|+|2+||2=|+|2+|﹣|2=2+2+2•+2+2﹣2•=2（2+2）=2（32+32）=36，由，可得||2=16，即有||=4．故答案为：4．14．已知点O 在△ABC 的内部，且有=，记△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积分别为S △AOB ，S △BOC ，S △AOC ．若x=y=z=1，则S △AOB ：S △BOC ：S △AOC = 1：1：1 ；若x=2，y=3，z=4，则S △AOB ：S △BOC ：S △AOC = 4：2：3 ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】（1）由=，得O 是△ABC 的重心，故S △AOB =S △BOC =S △AOC ，得出答案；（2）延长OA ，OB ，OC ，使OD=2OA ，OE=3OB ，OF=4OC ，结合已知可得O 是△DEF 的重心，故△DOE ，△EOF ，△DOF 的面积相等，进而得到答案．【解答】解：若=，则O 是△ABC 的重心，∴S △AOB =S △BOC =S △AOC =S △ABC ，∴S △AOB ：S △BOC ：S △AOC =1：1：1．若2+3+4=，延长OA ，OB ，OC ，使OD=2OA ，OE=3OB ，OF=4OC ，如图所示：则，∴O 是△DEF 的重心，∴S △DOE =S △EOF =S △DOF ．∴S △AOB ==×OD ×sin ∠AOB=S △DOE ，S △BOC ==OFsin ∠BOC=S △EOF ，S △AOC ==OFsin ∠BOC=S △DOF ，∴S △AOB ：S △BOC ：S △AOC =：：=4：2：3．故答案为1：1：1，4：2：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，利用排列组合知识能求出选出的3名同学来自班级的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望E（X）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则P（A）==．所以选出的3名同学来自班级的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E（X）==．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以=．…（Ⅱ）在△ACD中，由，得．所以．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为PA=PD，所以PG⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设PA=PD=AD=2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n=（x，y，z），则有所以令x=3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．因为，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，分离出a，结合函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）（i）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最大值，证出结论；（ii）求出|f（x）|≥2，令g（x）=+，求出g（x）的最大值小于|f（x）|的最小值，从而判断无解．【解答】解：函数f（x）定义域x∈（0，+∞），f′（x）=a+，（Ⅰ）因为f（x）在区间上为增函数，所以f′（x）≥0在x∈上恒成立，即，在x∈上恒成立，则．…（Ⅱ）当a=﹣e时，f（x）=﹣ex+lnx，．（ⅰ）令f′（x）=0，得．令f′（x）＞0，得，所以函数f（x）在单调递增．令f′（x）＜0，得，所以函数f（x）在单调递减．所以，．所以f（x）+2≤0成立．…（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）max=﹣2，所以|f（x）|≥2．设．所以．令g'（x）=0，得x=e．令g'（x）＞0，得x∈（0，e），所以函数g（x）在（0，e）单调递增，令g'（x）＜0，得x∈（e，+∞），所以函数g（x）在（e，+∞）单调递减；所以，，即g（x）＜2．所以|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞．所以，方程|f（x）|=没有实数解．…19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证；（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．讨论当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，运用弦长公式和点到直线的距离公式，运用基本不等式可得面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，a2．即可得出a3．（II）若k=4，由①知a4=a1．由于，解得或．分类讨论即可得出．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m ﹣1﹣i，t∈Z．对i分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，．解得，a2=1或．当a2=1时，不满足，舍去；∴这个数列为．（Ⅱ）若k=4，由①知a4=a1．∵，∴．∴或．如果由a1计算a4没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件；∴由a1计算a4只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，，，则，解得；（2）若，，，则，解得a1=1；（3）若，，，则，解得a1=2；（4）若，，，则，解得a1=1；综上，a1的所有取值的集合为．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m﹣1﹣i，t∈Z．当i是偶数时，t≠0，无正数解，不满足条件；当i是奇数时，由得，∴．又当i=1时，若，有，，即．∴a1的最大值是2m﹣1．即．2016年8月22日。

2017届北京市丰台区高三上学期期末练习数学(文)答案

丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习高三数学（文科）参考答案及评分参考2017．01 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．i 1+ 10．x y 54±= 11．4 12．01=--y x 或01=-+y x 13．82 14．83π；23 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题意可知，x x x x f 2sin 3cos sin )(-⋅=2)2cos 1(32sin 21x x --=……………………2分232cos 232sin 21-+=x xπsin 2+)32(x =-……………………4分由此可知，π60f ()=. ……………………6分（Ⅱ）由20x π≤≤可知，ππ4π2+333x ≤≤，进而sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………………8分当02x π≤≤时，]231,3[)(--∈x f ， ……………………9分所以函数)(x f 在区间[]20,π上的最大值为231-，最小值为3-． …………13分 16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为4224==-d a a ，所以2=d ……………………2分又8213=+=d a a ，可得41=a ， ……………………4分从而22+=n a n . ……………………6分（Ⅱ）因为()()122222++===n n a n nb ……………………7分所以数列{}n b 的前8项和为102041024)12(421)21(4888=-=-⨯=--⨯=S……………………13分17．（本小题共14分）证明：（Ⅰ）连接1AC 交1A C 于O ，连接OD ，因为，O D 分别为1AC ，AB 的中点，所以OD ‖1BC ……………………2分OACBDA 1C 1B 1又因为1BC ⊄平面1A CD ，OD ⊂平面1A CD ，所以1BC ‖平面1A CD . ……………………4分（Ⅱ）因为AC BC =，D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥.……………………5分又因为1AB AA =，160A AB ∠=，所以△1AA B 为等边三角形，所以1A D AB ⊥ ……………………7分因为1A D CD D =I ，所以AB ⊥平面1A CD……………………9分（Ⅲ）因为△ABC 与△1AA B 都是边长为2的正三角形，所以1CD A D =因为1AC 所以22211CD A D AC =+，所以1A D CD ⊥， ……………………11分又因为1A D AB ⊥ ，AB CD D =I ，所以1A D ⊥平面ABC ，即1A D 是三棱柱的高， ……………………13分故三棱柱的体积1= 3.ABC V S A D ∆⨯= ……………………14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为在样本200人中参与在线测试的共150人 ……………………2分所以全区2000名高一学生中参与在线课堂的人数为1502000=1500200⨯人 ………5分（Ⅱ）记“抽取参加测试的2人都参加了线下延伸”为事件A ……………………6分用分层抽样抽取的5人中，有3人参加了自主学习和线下延伸，记为1，2，3；有2人参加了自主学习和在线测评，记为a ,b . ……………………8分6人中抽取2人，共有（1，2）（1，3）（1，a ）（1，b ）（2，3）（2，a ）（2，b ）（3，a ）（3，b ）（a ，b ）10种取法 ……………………10分其中事件A 包含3个． ……………………11分所以3()10P A =……………………13分 19．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由已知得：2a =，12c a=，所以 23b =所以椭圆的标准方程为22143x y += ……………………4分（Ⅱ）设11(),M x y ，22(),N x y ，(4),P n设直线MN 的方程为：1y x =- ……………………6分由221143y x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩得：27880x x --= ……………………7分1287x x +=， 1287x x ⋅=- ……………………8分1212211212()(4)+()(4)+ =44(4)(-4)PM PN y n y n y n x y n x k k x x x x ------+=---……………9分1212121212128()4(2)+2()=4()16n n x x x x x x x x x x x x -+-+--+-++8241688+7777 =8321677n n -----+23n =因为 3PF nk =，所以2PF PM PN k k k =+ ……………………12分所以直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列. ……………………13分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为2()3()f x x a '=-,所以(0)3f a '=-，因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为3y ax =-. ……………………4分（Ⅱ）因为2()3()f x x a '=-，所以，当0a ≤时，()0f x '≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，()f x 没有极值点，不符合题意；……………………5分当0a >时，令()0f x '=得x =当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：当……………………7分因为函数()f x 在区间(1-，2)仅有一个极值点，所以2,1.<-⎪⎩所以14a ≤<. ……………………9分(Ⅲ) 令3()()(13)h x f x x a x a x a =+-=+--，方程()f x a x =-在[0]，a -上恰有两个实数根等价于函数()h x 在[0]，a -上恰有两个零点. 2()3(13)h x x a '=+-，因为1a >，令()0h x '=，得x = ……………………10分所以(0)0()0(0.h h a h ⎧⎪≤⎪⎪-≤⎨⎪⎪>⎪⎩,,所以3230320((130.,,a a a a a a ⎧⎪≥⎪⎪-+-≤⎨⎪⎪-->⎪⎩，所以0122(20.3,或a a a a a ⎧⎪≥⎪⎪≤≥⎨⎪⎪->⎪⎩……………………12分因为1a >，所以2(203a a ->恒成立. 所以2a ≥，所以实数a 的最小值为2. ……………………14分2(203a a ->恒成立，证明如下：(t t =>，所以213a t =+，3221(2=233a a t t --- 令321()23p t t t =--，2()62p t t t '=-，当t >2()603p t '>⨯->，所以()p t 在)+∞上单调递增，所以()2110p t >=>.（若用其他方法解题，请酌情给分）。

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1 丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习 2016.01 高三数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.函数0.5()log(1)fxx的定义域为（A）(1,) （B）(1,) （C）(0,) （D）(,0) 2.在复平面内，复数(1i)(2i)z对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 3．“1x”是“210x”的（A）充分必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分而不必要条件（D）既不充分也不必要条件 4.已知向量(3,-4)a，(,)bxy，若a//b，则（A）340xy （B）340xy （C）430xy （D）430xy 5.已知圆O：221xy，直线l过点（-2，0），若直线l上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线l的斜率为

（A）33 （B）3 （C）2 （D）1 6. 函数()=sin2cos2fxxx的一个单调递增区间是（A）3[,]44 （B）3[,]44 （C）3[,]88 （D）3[,]88 7.如图，在圆224xy上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的

轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（A）12 （B）14

（C）22 （D）32

ODyx

PM2

8. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有电费（元/年）

年用电量（度）48002880

2439.841406.30B

O ① ②

③ 参考数据：0.4883元/度2880度=1406.30元， 0.5383元/度(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元. (A) ①② (B) ②③ (C) ①③ (D)①②③ 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9.设等差数列{}na的前n项和为nS，若9=72S,则249++aaa=______ .

10.已知实数,xy满足1,3,4,yxxxy则2zxy的最大值是_____ . 11.已知下列函数：①3()fxxx；②()cos2fxx；③()ln(1)ln(1)fxxx，

0.48830.53830.7883单价（元/度）年用电量（度）28804800o0.7883元/度0.5383元/度0.4883元/度

线段PQ左侧阴影部分的面积表示年用电量为x度时的电费

xo48002880年用电量（度）

PQ3

其中奇函数有_________个. 12.下图是计算1111++++

232016的程序框图，判断框内的条件是_______.

13.已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是_______. 14.已知函数22(1),()log()(1).xaxfxxax(1)a.①当0a时，若()0fx，则 x _______；②若()fx是(,)上的增函数，则a的取值范围是___________.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题13分）

如图，在ABC中，点D在BC边上，ADAC ，6cos3B ，32AB ，3BD.

（Ⅰ）求ABD的面积；（Ⅱ）求线段DC的长.

16.（本小题13分）倡导全民阅读是传承文明、更新知识、提高民族素质的基本途径.某调查公司随机调查了

输出 AA=A+1n

n=n+1

n=1,A=0

否是结束

开始

ABCD

俯视图11侧视图

2正视图24 1000位成年人一周的平均阅读时间（单位：小时），他们的阅读时间都在[0,20]内，将调查结果按如下方式分成五组：第一组[0,4)，第二组[4,8)，第三组[8,12)，第四组[12,16)，第五组[16,20]，并绘制了频率分布直方图，如图.假设每周平均阅读时间不少于12小时的人，称为“阅读达人”. （Ⅰ）求这1000人中“阅读达人”的人数；（Ⅱ）从阅读时间为[8,20]的成年人中按分层抽样抽取9人做个性研究.从这9人中随机抽取2人，求这 2人都不是“阅读达人”的概率.

17.（本小题14分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 4的菱形， 4PDPB，060BAD

，E为PA中点.

（Ⅰ）求证：//PC平面EBD；（Ⅱ）求证：平面EBD平面PAC；（Ⅲ）若PAPC，求三棱锥CABE的体积.

18.（本小题13分）设数列na的前n项和为nS，满足1=1a，121nnSa.

t(h)0.100.030.060.040.02201612840

频率组距

PEDC

BA5

（I）求23,aa的值；（II）求数列na的通项公式,并求数列21nan的前n项和nT.

19.（本小题14分）已知点F为抛物线C:22(0)ypxp的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M,N两点，如图.当直线l与x轴垂直时，||4MN.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)P,设直线PM的斜率为1k，直线PN的斜率为2k.请判断12kk是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由.

20.（本小题13分）设函数32()fxxaxbx的图象与直线38yx相切于点(2,2)P．（Ⅰ）求函数()fx的解析式；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；

（Ⅲ）设函数32111()(1)323mgxxxmxm，对于10,4x, 20,4x，使得12()()fxgx，求实数m的取值范围.

丰台区2015-2016年第一学期期末练习高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 6

答案 B A C C A D D B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9． 24 10．5 11．2 12．2016n 13. 433 14. 1，1,

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题13分）

解（Ⅰ）∵6cos3B，且0B， ∴02B．又∵22sincos1BB， ∴3sin3B．∴3sin3B． ∵32AB,3BD， ∴1sin2ABDSABBDB1332323 322．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

（Ⅱ） ∵2222cosADABBDABBDB，且32AB,3BD，6cos3B， ∴26183232393AD， ∴3AD．

又∵2223918323233BDADABcosADBBDAD，

∴33cosADC．又∵在tRDAC中, 090DAC , ∴ADcosADCDC,即333DC,

ABCD7

∴33DC． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分 16.（本小题13分）解（Ⅰ）由题知“每周平均阅读时间不少于12小时的人，称为‘阅读达人’”. 由频率分布直方图知，事件A：“是阅读达人”的频率为0.1040.0240.48

∴这1000人中“阅读达人”的人数为：10000.48480．„„„„„5分（Ⅱ）按照分层抽样抽取9人做个性研究，则从小组[8,12)，[12,16)，[16,20]分别抽取的人数为：3，5，1，分别标记为123,,aaa，12345,,,,bbbbb，c．从9人中随机抽取2人，共有36n种，结果如下：

cb5

b2b1a3a2a1a

b2b3

b4b5ccb5b4

b1b

cb5

b3b

ccb

设事件B：“这2人都不是‘阅读达人’”, 事件B共有3m种，

结果如下：12aa，13aa，23aa

所以31()3612mPBn．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分

17.（本小题14分）解（Ⅰ）设ACBDO，连结EO，

∵E为PA中点，O为AC中点， ∴EO∥PC．