机械优化设计课后习题答案

1 第一章习题答案 1-1 某厂每日（8h制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h，正确率为98％，计时工资为4元／h；二级检验员标准为：速度为15件／h，正确率为95％，计时工资3元／h。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = 二级检验员一级检验员21xx； （2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即： f(X) = 8*4*x1+ 8*3*x2 + 2（8*25*0.02x1 +8*15*0.05x2 ） =40x1+ 36x2 （3）本问题的最优化设计数学模型：

min f (X) = 40x1+ 36x2 X∈R3· s.t. g1(X) =1800-8*25x1+8*15x2≤0 g2(X) =x1 -8≤0 g3(X) =x2-10≤0 g4(X) = -x1 ≤0 g5(X) = -x2 ≤0

1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量G，材料重度r，许用剪切应力[]，许用最大变形量[]。欲选择一组设计变量TTnDdxxx][][2321X使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n，簧丝直径0.5d，弹簧中径21050D。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 322234881,1,(2nss

FDFDD

kkcdcdGd旋绕比），

解： （1）确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = nDdxxx2321； （2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即：

f(X) = 322124xxrx （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X) = 322124xxrx X∈R3· s.t. g1(X) =0.5-x1 ≤0 2

g2(X) =10-x2 ≤0 g3(X) =x2-50 ≤0 g4(X) =3-x3 ≤0

g5(X) =312218)21(xFxxx≤0

g6(X) =413328GxxFx≤0 1-3 某厂生产一个容积为8000 cm3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。

解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = hrxx 21高底面半径 , 表面积为目标函数，即： minf(X) = x12 + 2 x1 x2 考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为： minf(X) = x12 + 2 x1 x2

X=[x1,x2]T∈R2 s.t. g1(X) = -x1 ≤0 g2(X) = -x2 ≤0 h1(X) = 8000 - x12 x2 = 0 1-4 要建造一个容积为1500 m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。 解：（1）确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = 高宽长321xxx； （2）建立数学模型的目标函数； 取总价格为目标函数，即： f(X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 6 x1 x2 + 12 x1 x2 （3）建立数学模型的约束函数；

1）仓库的容积为1500 m3。即： 1500-x1 x2 x3 =0 2）仓库宽度为高度的两倍。即： x2 -2 x3 = 0 3）各变量取值应大于0，即： x1 > 0, x2 .> 0.，则 -x1 ≤0，-x2 ≤0 （4）本问题的最优化设计数学模型：

min f (X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 18 x1 x2 X∈R3· 3

s.t. g1(X) = -x1 ≤0 g2(X) = -x2 ≤0 g3(X) = -x3 ≤0 h1(X) = 1500-x1 x2 x3 =0 h2(X) = x2 -2 x3 = 0

1-5 绘出约束条件： 82221xx； 82221xx； 421xx 所确定的可行域

1-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：

1[132]TX; 2[234]TX; 3[414]TX。

第二章习题答案

2-1 请作示意图解释：(1)()()()kkkkXXS的几何意义。 2-2 已知两向量12[1220],[2021]TTPP,求该两向量之间的夹角。 2-3 求四维空间内两点)2,1,3,1(和)0,5,6,2(之间的距离。 2-4 计算二元函数321121()56fxxxxX在(0)[11]TX处，沿方向[12]TS的方向导数(0)'()sfX

和沿该点梯度方向的方向导数(0)'()fX。 2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为 2212

121122123142

min()(3)(4)[,]()50()2.50()0()0TfxxxxgxxgxxgxgxXXXXXX

求： (1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为()1234fX、、、时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。

(2) 找出图上的无约束最优解1X和对应的函数值1()fX，约束最优解2X和2()fX； (3) 若加入一个等式约束条件：

12()0hxxX

求此时的最优解3X，3()fX。 解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X1OX2 。其中的同心圆是目标函数依次为f(X)=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。 4

由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即： X1*＝[3，4]T 函数值 f(X1*)= 0 。 而约束最优解应在由约束线g1(X)=0，g2(X)=0，g3(X)=0，g4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）

内寻找，即约束曲线g1(X)=0与某一等值线的一个切点X2*，可以联立方程：01052121xxxx ，解得X2*=[2，3] 。 函数值 f(X2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。 加入等式约束条件，则X3*为可行域上为h1(X)=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：

0052121xxxx

， 解得X3*=[5/2，5/2] 。

函数值 f(X3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。 2-6 试证明在(1,1)点处函数522)(1222122141xxxxxxfX具有极小值。 证明：求驻点：2244)(121311xxxxxXf，221222)(xxxXf

0)(0)(21xXfxXf，由，4)(]11[**xfxT，极值得：驻点

2)(4)()(2412)(2221122212221212xXfxxxXfxxXfxxxXf，， 



24410

)(XH海赛矩阵

0244100102221121111aaaaa，各阶主子式： H(X)是正定的， 所以驻点必定是极小点。故在(1,1)点处函数)(Xf具有极小值。

2-7 求函数221212()32210fxxxxX的极值点，并判断其极值的性质。 解：26)(11xxXf，14)(22xxXf

0)(0)(21xXfxXf，由，24/229)(]4/13/1[**xfxT，极值得：极值点 5

4)(0)()(6)(222122212212xXfxxXfxxXfxXf，， 

4006)(XH海赛矩阵

04006062221121111aaaaa，各阶主子式： H(X)是正定的，所以，)(Xf为凸函数。 24/229)(]4/13/1[**xfT，极值得：极值点X

2-8 试判断函数2212121()221fxxxxxX的凸性。 解：124)(211xxxXf，12222)(xxxXf

2)(2)(2)(5)(222122212212xXfxxXfxxXfxXf，，， 



2225

)(XH海赛矩阵

02225052221121111aaaaa，各阶主子式： H(X)是正定的， 所以，)(Xf为凸函数。

2-9 试用向量及矩阵形式表示221212()10460fxxxxX并证明它在12{,,1,2}ixxxiD上是一个凸函数。

解：211210)(xxxXf，12224)(xxxXf

2)(1)(2)(222212212xXfxxXfxXf，， 



2112

)(XH海赛矩阵

02112022221121111aaaaa，各阶主子式：