概率论与数理统计教程(第二版)-魏宗舒-第一章.doc

第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

(3) 甲、乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止，甲先取到白球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }（3）1ω表示白，2ω表示黑白，3ω表示黑黑白，…白黑黑表示个b b 1+ω，则样本空间=Ω{1ω，2ω，…，1+b ω}， 当b 被奇数时：1135{,,,,}b A ωωωω= 当b 为偶数时：21351{,,,,}b A ωωωω+=1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？ 解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是合格品。

解 (1) ni i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i nij j j i A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nji j i j i A A ≠=1,；1.4 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为7828⨯=A 。

所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A “所得分数为既约分数”包含6322151323⨯⨯=⨯+A A A 个样本点。

于是14978632)(=⨯⨯⨯=A P 。

1.5 一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。

如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率为多大？解 显然样本点总数为!13，事件A “恰好组成“MATHEMATICIAN ”包含!2!2!2!3个样本点。

所以!1348!13!2!2!2!3)(==A P 1.6 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。

电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79。

事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。

所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =。

1.7 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。

问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？解 用A 表示“牌照号码中有数字8”，显然44109100009)(⎪⎭⎫⎝⎛==A P ，所以1)(=A P -4410911000091)(⎪⎭⎫⎝⎛-=-=A P1.8 有5双不同的鞋子，从中任取4只，问没有一双配对的概率。

解：鞋子都不同，所以样本点总数为410C .A 表示“没有一双配对”，则有利样本空间为4111152222C C C C C.所以41111522224108()==21C C C C C P A C =有利样本数样本总数 1.9 袋中装有a 个黑球与b 个白球，把球随机一只一只地摸出来（不放回），求第k 次（1k a b ≤≤+）摸出黑球的概率。

策略一:把a 只黑球和b 只白球都看成是不同的,将所有的球一一摸出来依次放在排成一直线的()a b +个位置上,则所有不同的排法有()!a b +,作为基本事件全体;而其中第k 个位置排黑球的方法有1(1)!aC a b +-,故所求概率为1(1)!()()!a C a b aP A a b a b+-==++ 策略二:把a 只黑球和b 只白球都看成是不同的,前k 次摸出球的所有不同可能为ka b A +,将其作为基本事件全体;而第k 个位置排黑球的方法有111k a a b C A -+-,故所求概率为111()k a a b ka bC A aP A A a b -+-+==+ 1.10 任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1； 解 (1)考虑一个数的平方的末位数字，只与这个数的末位数字有关，即末位数字的样本总空间为10. 当该数的末位数是1、9之一时，事件A “该数平方的末位数是1”。

即21()==105P A =有利样本数样本总数。

(2) 考虑一个数的四次方的末位数字，只与这个数的末位数字有关，即末位数字的样本总空间为10. 当该数的末位数是1、3、7、9之一时，事件B “该数四次方的末位数是1”。

即42()==105P B =有利样本数样本总数。

(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含210个样本点。

用事件C 表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a ，则该数的立方的最后两位数字为1和3a 的个位数，要使3a 的个位数是1，必须7=a ，因此C 所包含的样本点只有71这一点，于是1()=100P C =有利样本数样本总数.1.11 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。

然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。

求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。

并把上述结果推广到n 2根草的情形。

解 (1)6根草的情形。

取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有135⋅⋅种接法，同样对尾也有135⋅⋅种接法，所以样本点总数为2)135(⋅⋅。

用A 表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有135⋅⋅种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。

再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为24⋅。

所以A 包含的样本点数为)24)(135(⋅⋅⋅，于是158)135()24)(135()(2=⋅⋅⋅⋅⋅=A P (2) n 2根草的情形和(1)类似得1.12 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

解：以x ，y 分别表示汽车和乘客到达车站的时间，则事件A “若乘客在候车时间不超过三分钟能坐上车”时，满足以下条件0x,532y y x x y ≤≤⎧⎪-≤⎨⎪≤-⎩，在平面上建立直角坐标系，则（x ，y ）的所有可能结果是边长为5的正方形，而满足事件A 的情况由阴影部分所表示，这是一个几何概率问题，由等可能性知所求概率为3()=5S P A S Ω=阴影。

1.13 在ABC ∆中任取一点P ，证明ABC ABP ∆∆与的面积之比大于nn 1-的概率为21n。

解 截取CD nD C 1='，当且仅当点P 落入B A C ''∆之内时ABC ABP ∆∆与的面积之比大于n n 1-，因此所求概率为22()A B C CD P A ABC CD '''∆==∆的面积的面积2221CDn CD=21n =。

1.14 在线段AB 上任取三点321,,x x x ，求：(1) 2x 位于31x x 与之间的概率。

(2) 321,,Ax Ax Ax 能构成一个三角形的概率。

解 (1) 31)(=A P (2) 211213131)(=⨯⨯-=B P 1.15 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。

解 概率为零的事件不一定是不可能事件。

例如向长度为1的线段内随机投点。

则事件A “该点命中AB 的中点”的概率等于零，但A 不是不可能事件。

1.16 设1A 、2A 为两个随机事件，证明： (1) )()()(1)(212121A A P A P A P A A P +--=;(2) )()()()()()(121212121A P A P A A P A A P A P A P +≤⋃≤≤--. 证明(1)-=⋃=1)()(2121A A P A A P )(21A A P ⋃=)()()(12121A A P A P A P +--(2) 由(1)和0)(21≥A A P 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。

1.17 对于任意的随机事件A 、B 、C ，证明：)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+ 证明 )()()()]([)(ABC P AC P AB P C B A P A P -+=⋃≥)()()(BC P AC P AB P -+≥1.18设A,B,C是三个随机事件，且1()()()4P A P B P C ===，1()()8P AB P AC ==, ()0P BC =.求()P A B C 。