抛物线经典性质总结

1 抛物线 抛 物 线

)0(22ppxy )0(22ppxy )0(22ppyx )0(22ppyx

定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

{MFM=点M到直线l的距离}

范围 0,xyR 0,xyR ,0xRy ,0xRy 对称性 关于x轴对称 关于y轴对称

焦点 (2p,0) (2p,0) (0,2p) (0,2p) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e=1 准线 方程 2px 2px 2

py

2

py

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2

p

焦点到准线的距离 p

焦半径 11(,)Axy 12pAFx 12pAFx 12pAFy 1

2

pAFy

x y O l F x y O l F l F x y O x

y

O l

F 2 焦点弦长 AB 12()xxp 12()xxp 12()yyp 12()yyp

焦点弦AB的几

条性质11(,)Axy

22(,)Bxy

以AB为直径的圆必与准线l相切

若AB的倾斜角为，则22sinpAB 若AB的倾斜角为，则22cospAB 2124

pxx 212yyp

112AFBFABAFBFAFBFAFBFp

••

切线 方程 00()yypxx 00()yypxx 00()xxpyy 00()xxpyy

1. 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，

，消y得： （1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k≠0时， Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） （4） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线l：bkxy 抛物线，)0(p ① 联立方程法：

o x

22,Bxy

F

y 11,Axy 3 pxybkxy220)(2222bxpkbxk

设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)())((bxxkbxxkbkxbkxyy

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB的弦长

2122122124)(11xxxxkxxkABak21

或 2122122124)(1111yyyykyykABak21 b. 中点),(00yxM, 2210xxx， 2210yyy ② 点差法： 设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得

1212pxy 2222pxy 将两式相减，可得 )(2))((212121xxpyyyy

2121212yypxxyy

a. 在涉及斜率问题时，212yypkAB b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为),(00yxM，

00212121222ypypyypxxyy

，

即0ypkAB， 同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点，点4 5

三、抛物线的综合问题 例5、(2011·江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝ OA＋λOB，求λ的值．

例6、(2011·湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，

B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD· EB的最小值

例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－12x＋b与抛物线C交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程； (2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程． 6

练习题 1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于 ( ) A．1 B．4 C．8 D．16 2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )

A．－1716 B．－1516 C.716 D.1516 3．(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )

A.34 B．1 C.54 D.74 4．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 5．(2012·宜宾检测)已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于 ( ) A．42 B．8 C．82 D．16 6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( )

A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2) 7．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是 ( ) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 8．(2012·永州模拟)以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________． 10．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么| FA| ＋| FB| ＝________. 7

11．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若x1＋x2＝6，那么 |AB|等于________ 12．根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点是双曲线 16x2－9y2＝144的左顶点； (2)过点P(2，－4)．

13．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OM

与OP的夹角为π4，求△POM的面积． 8

参考答案： 一、抛物线的定义及其应用 例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1. 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，

即为5. (2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4. 例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已 知只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)． 二、抛物线的标准方程和几何性质 例3、设点A(x1，y1)，其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有

|BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝|BB1||BC|＝12，∠

CBB1＝π3.即直线AB与x轴的夹角为π3.又|AF|＝|AK|＝x1＋p2＝4，因此y1＝

4sinπ3＝23，因此△AKF的面积等于12|AK|·y1＝12×4×23＝43. 例4．分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3， ∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故

点F到准线的距离为p＝12|AA1|＝32，故抛物线的方程为y2＝3x. 三、抛物线的综合问题 例5、(1)直线AB的方程是y＝22(x－p2)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px

＋p2＝0，所以：x1＋x2＝5p4，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，