全等三角形的判定 解答题优生辅导专题提升训练 2021-2022学年冀教版八年级数学上册

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《13.3全等三角形的判定》解答题优生辅导专题提升训练（附答案）1．如图，B、C、D、E在同一条直线上，AB∥EF，BC＝DE，AB＝EF，求证：AC＝DF．2．如图，AD与BC交于点O，①AD＝BC；②∠A＝∠C；③AB＝CD，请以①②③中的两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明．3．如图，CB为∠ACE的角平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF 与线段AC相交于点D．（1）求证：AB＝FE；（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．5．如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC ＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．6．如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上；BE＝CF．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）点D在AF的延长线上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求证：AB∥DC．7．如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E 在一条直线时，他从D点走了80步到达E处．如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．9．如图所示，A，D，B，E四点在同一条直线上，若AC＝DF，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE ＝180°，求证：AD＝BE．10．某班数学兴趣小组为了测量湛河南北两岸的宽度AB，他们的方法是：让小明从点A出发，沿河岸向东走50步到达电线杆C处，继续前行50步到达D处，然后右转90°直行130步到达E处，这时B，C，E三点在一条直线上．（1）小组得到结论“DE的长度就是河宽”，请说明其中的道理．（2）若小明一步的长度为60厘米，请估计河宽有多少米．11．如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．（1）求证：AD＝CE；（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．12．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝6cm，点P从点A出发，沿A →B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段BP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．13．如图，点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．14．如图，小强为了测量高楼AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，∠APC＝90°，量得P 到楼底距离PB与旗杆高度CD相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？15．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB边上，点E在BC边上，连接CD，DE．已知∠ACD＝∠BDE，CD＝DE．（1）猜想AC与BD的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AD＝3，BD＝5，求CE的长．16．已知△ABC中，∠ACB＝∠DCE＝α，AC＝BC，DC＝EC，且点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．如图1，当α＝60°时，求出∠AEB的度数．17．如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，AB+DC＝ED，AE＝BC．（1）求证：△ABC≌△DAE，（2）若∠BAE＝125°，求∠DCB的度数．18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．19．在△ABC中，D为AC的中点，DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，且DM＝DN．求证：△ADM≌△CDN．20．小明沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C处走向D处的过程中，通过隔离带PM的缝隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙AB上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点P，PD⊥CD，垂足为D．小明根据自己步行的路程CD长为16m，测出标语AB的长度也为16m，请说明理由．21．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在线段BE上截取ED＝EC，AD的延长线交BC于点P，联结DC．（1）请说明AD＝BC的理由；（2）请说明BP＝PC的理由．22．风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC．AC与AE相等吗？请说明理由．23．如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P 运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒．（1）BQ＝，BP＝．（用含a或t的代数式表示）（2）运动过程中，连接PQ，DQ，△BPQ与△CDQ能否全等？若能，请求出相应的t 和a的值，若不能，说明理由．24．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．（1）AD和BC相等吗？为什么？（2）BF和BD相等吗？为什么？25．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，过点D作CE 的平行线交BC延长线于点F，连接DE．求证：（1）∠DBC＝∠ECB；（2）DE＝CF．26．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC ＝∠CBD．27．已知：DF∥BC，∠FDC＝∠AEC．（1）如图1，已知CD⊥AB，CB平分∠NCE．求∠ABC的度数；（2）如图2，若∠ABC＝∠ACF，AC＝FC，DM＝BE．求证：BC＝MC．28．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）求∠EAF的度数．29．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝DC；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中面积为△ABC面积的一半的所有三角形．参考答案1．证明：∵AB∥EF，∴∠B＝∠E，在△ACB和△FDE中，，∴△ACB≌△FDE（SAS），∴AC＝DF．2．解：已知；①③，求证②或者已知②③，求证①．若AD＝BC，AB＝CD，连接BD，在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠A＝∠C．若∠A＝∠C，AB＝CD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OA＝OC，OB＝OD，∴AD＝BC．3．证明：（1）∵CB为∠ACE的角平分线，∴∠ACB＝∠FCE，在△ABC与△FEC中，，∴△ABC≌△FEC（AAS），∴AB＝FE；（2）∵AB∥CE，∴∠B＝∠FCE，∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB，∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°，∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°，即3∠ACB＝90°，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．4．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∠1＝∠2，AD＝DE，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△DCE，∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，∵AC＝AB，∴AC＝5，∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．5．解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD与△CAE中，，∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案为：8；（3）AE⊥BD，理由如下：在△AOD与△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．6．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE＝30°，∴∠BAE＝∠CAF＝30°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC＝＝75°，∵∠BAD＝75°，∴∠BAD＝∠ADC，∴AB∥DC．7．解：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE，又∵小刚走完DE用来80步，一步大约50厘米，∴DE＝80×0.5＝40（米）．答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．8．解：（1）∵AD∥BC，∴∠F＝∠EBC，∠FDE＝∠C，∵点E为CD的中点，∴ED＝EC，在△FDE和△BEC中，，∴△FDE≌△BEC（AAS）；（2）∵△FDE≌△BEC，∴BE＝EF，BC＝DF，∵AE⊥BF，∴AB＝AF，∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+BC＝1+2＝3，∴AB的长为3．9．证明：∵∠E+∠CBE＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠E＝∠ABC，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB＝DE，∴AB﹣DB＝DE﹣DB，∴AD＝BE．10．解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠BAC＝∠EDC，在△ABC与△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA），（2）∵DE＝130×0.6＝78（米），∴河宽AB＝78米．11．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，∴∠ABD＝∠CBE．在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（SAS），∴AD＝CE；（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣30°）＝75°，∵∠AFC＝45°，∴∠BCE＝∠AFC﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°，∵△ADB≌△CEB，∴∠BAD＝∠BCE＝15°，∴∠EAC＝∠BAD+∠BAC＝15°+75°＝90°．12．（1）证明：在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE；（2）当0≤t≤2时，BP＝（6﹣3t）cm，当2＜t≤4时，BP＝（3t﹣6）cm，综上所述，线段BP的长为（6﹣3t）cm或（3t﹣6）cm；（3）由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，在△ACP和△ECQ中，，∴△ACP≌△ECQ（ASA），当0≤t≤2时，3t＝6﹣t，解得：t＝1.5；当2＜t≤4时，12﹣3t＝6﹣t，解得：t＝3；综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1.5s或3s．13．（1）证明：∵AD∥BC∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，∴∠EAD＝∠FCB，∵DE∥BF，∴∠E＝∠F，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），（2）∵△ADE≌△CBF，∴ED＝FB，DA＝BC，EC＝F A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△ADC和△CBA中，，∴△ADC≌△CBA（SAS），∴AB＝CD；∴图中所有相等的线段有：ED＝FB，DA＝BC，AB＝CD，EC＝F A．14．解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝54°，在△CPD和△P AB中，∴△CPD≌△P AB（ASA），∴DP＝AB，∵DB＝36，PB＝10，∴AB＝36﹣10＝26（m），答：楼高AB是26米．15．解：（1）AC＝BD，理由如下：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，在△ADC和△BED中，∴△ADC≌△BED（AAS），∴AC＝BD；（2）由（1）知：△ADC≌△BED，∴AC＝BD＝5，BE＝AD＝3，∴BC＝AC＝5，∴CE＝BC﹣BE＝2．16．解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠CF A＝∠BFE，∴∠AEB＝∠ACF＝60°．17．（1）证明：∵DE＝AB+DC，AB＝AD，∴DE＝AD+DC＝AC，在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（SSS）．（2）解：∵△ABC≌△DAE，∴∠EAD＝∠B，∴∠B+∠BAC＝∠EAD+∠BAC＝∠EAB＝125°，∴∠DCB＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝180°﹣125°＝55°．18．解：AB+BE＝CD，理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC，在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），∴AB＝DE，BD＝CD，∵DE+BE＝BD，∴AB+BE＝CD．19．（Ⅰ）证明：∵DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，∴∠DMA＝∠DNC＝90°，∵D是AC的中点，∴DA＝DC，在Rt△ADM和Rt△CDN中，，∴Rt△ADM≌Rt△CDN（HL）．20．解：CD＝AB＝16米，理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP＝90°，∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD＝PB，在△ABP与△CDP中，，∴△ABP≌△CDP（ASA），∴CD＝AB＝16米．21．解：（1）∵BE⊥AC，，∠BAC＝45°，∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°，∴BE＝AE，在△BCE和△ADE中，，∴△BCE≌△ADE（SAS），∴AD＝BC．（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BE⊥AC，BE＝AE，EC＝ED，∴∠DCE＝∠CDE＝∠EBA＝∠BAE＝45°，∴∠ABC﹣∠EBA＝∠ACB﹣∠DCE，即∠DBC＝∠DCB，∴BD＝CD，∴PD为线段BC的垂直平分线，22．解：AC＝AE，理由是：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，∴△BAC≌△DAE（ASA），∴AC＝AE．23．解：（1）由题意得，AP＝atcm，BP＝（8﹣at）cm，BQ＝2tcm，故答案为：2tcm，（8﹣at）cm；（2）△BPQ与△CDQ能全等；∵∠B＝∠C，∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况：①当△PBQ≌△QCD时，PB＝CQ，BQ＝CD，∴2t＝6，8﹣at＝8﹣2t，∴a＝2，t＝3；②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，∴8﹣at＝6，2t＝8﹣2t，∴a＝1，t＝2；综上，△BPQ与△CDQ能全等，此时a＝2，t＝3或a＝1，t＝2．24．解：（1）AD＝CB，理由如下：∵AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，同理可得，∠ADB＝∠CBD，在△ABD与△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴AD＝CB；（2）BF＝BD，理由如下：∵AD＝CB，BE＝AD，∵∠DEF＝∠ADC，∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，即∠EFB＝∠CDB，在△EFB与△CDB中，，∴△EFB≌△CDB（ASA），∴FB＝DB．25．证明：（1）∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，在Rt△ACE和Rt△ABD中，∴△ACE≌△ABD（AAS）∴AE＝AD，CE＝BD，∴∠AED＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠AED+∠ADE+∠A＝∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠AED＝∠ABC，∴ED∥BC，∵CE∥FD，∴四边形ECFD为平行四边形，∠ECB＝∠F，∴CE＝FD，∴BD＝FD，∴∠DBC＝∠F，∴∠DBC＝∠ECB；（2）∵四边形ECFD为平行四边形，∴DE＝CF．26．证明：在△DCA和△DCB中，，∴△CDA≌△DCB（SSS），∴∠DAC＝∠CBD．27．解：（1）∵DF∥BC，∴∠FDC＝∠NCB，∵CB平分∠NCE，∴∠NCB＝∠BCE，∵∠FDC＝∠AEC，∴∠FDC＝∠NCB＝∠BCE＝∠AEC，∵CD⊥AB，∴∠ENC＝90°，∴∠AEC+∠NCE＝∠AEC+∠BCE+∠NCB＝3∠NCB＝90°，∴∠NCB＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠NCB＝60°；（2）∵DF∥BC，∴∠FMC＝∠ACB，∵∠ABC＝∠ACF，∴180°﹣∠FMC﹣∠ACF＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC，即∠F＝∠BAC，在△DFC和△EAC中，，∴△DFC≌△EAC（AAS），∴CD＝CE，在△MDC和△BEC中，，∴△MDC≌△BEC（SAS），∴MC＝BC．28．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，∴∠ACD＝∠EBA，在△AEB和△F AC中，，∴△AEB≌△F AC（SAS），∴AE＝F A；（2）解：∵△AEB≌△F AC，∴∠E＝∠CAF，∵∠E+∠EAG＝90°，∴∠CAF+∠EAG＝90°，即∠EAF＝90°．29．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB∵AD是BC边上的中线，∴DB＝CD∴AF＝CD；（2）解：过A作AH⊥BC于H，则S△ABC﹣BC•AH，S△ABD＝BD•AH，S△ACD＝CD •AH，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝BD，∴S△ABD＝S△ACD＝BD•AH＝×BC•AH＝S△ABC，∵AF＝CD，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴S△ACF＝S△ACD＝S△ABC，∴图中面积为△ABC面积的一半的所有三角形是△ACF，△ABD，△ACD．。